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2024年江苏省南京一中高三数学竟赛人才选拔试题
一、A组填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分.
1.（北境信仰)用计算机生成在0,1中（均匀分布）的随机数x、y、共得到
10600组数据点(x,),其中有8325组满足x2+y2≤1、据此给出π的一
个近似值为▲一·
2.(73Ds)若最高次项系数为一的三次函数f(x)的图像上有且仅有两点满
足：存在过该点的f(x)的两条切线，它们相互垂直、则f(x)的极大值与
极小值之差为▲一。
3(考千我亦悠悠)有两个元素为复数的集合D={问≤引和E=
w;w=
2-1
2+2∈D
则D和E在复平面上形成图形的面积比值为
4.（北境信仰)抛物线下的方程为2=4x、圆M:(红-2)2+2=4、点
P是第一象限抛物线上一点、过点P作圆M的两条切线、分别与y轴交
于点A、B(切点位于线段PA、PB上)、则△PAB面积S的最小值为
、取最小值时点P的坐标为▲一
5.（北境信仰)如图所示为钢琴键的结构、每相邻的十二个键为一组，白键以
大写字母C、D、E、F、G、A、B命名（相当于唱名do,re.mi、fa,sol.
a、s)、黑键则以升号“”加上其左侧白键的字母来命名、右侧是下一组的
C、D'、··每相邻（最近）的两个键相差一个“半音”如C和‘C、'C和
D、但C和D并不相邻.从C到C为十二个半音、称为一个八度，
相差一个八度的两个音频率之比应为1：2、为了确定一个八度范围内各个
音的高度（频率）、历史上有不同的律制、如春秋时期管仲的“三分损益法”、
西方毕达哥拉斯的“五度相生律”、文艺复兴之后诞生的“纯律”、明代朱载堉
提出并计算的“十二平均律”等等
"F "G A
BCD'
第5题图1
不妨设C的频率为1.左侧程序框图为“十二平均律”确定频率的过程，其
规定相邻的两个音频率比为2，这样C的频率为2，程序输出的十二个
数便是C,D,D,E,F,F,G,G,A,A,B,C的频率。
右侧程序框图为“五度相生律”确定频率的过程，请仔细阅读程序框图.我
们在试题云盘链接中准备了 xe程序来实现这两个算法，你可以将其下载
到电脑并运行，请回答以下问题：
开始
开始
a=1,i=1
/a=1.i=1
a-v2.a
a≥2
=i+1
输出a
Y.o-
=i+可
/输出a子
1212
N
i≥12
结束
Y
第5题图2
结束
第5题图3
(1)右侧程序输出的第十二个数是▲一
(保留四位小数)，这个数
理论上是降八度的C,但并不等于C的频率1，而是著名的“毕达哥拉斯
音差
(2)思考“五度相生律”确定频率的规则，右侧程序输出的前十一个数依次是
(填音名)的频率.

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