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(共19张PPT)
第二十章　勾股定理
第3课时　勾股定理的应用（二）——几何问题
课堂讲练
课堂检测
课堂讲练
勾股定理与无理数
图1
答图1
解：如答图1，点A即为所求．
训练　1.如图2，数轴上点O，A所表示的数分别是0，3，过点A作AB垂直于数轴，AB的长为1个单位长度，以点O为圆心，OB长为半径画弧交数轴上点A的左侧一点C，则点C表示的数是__________．
图2
勾股定理与平面直角坐标系
例2　（人教八下新教材P26改编）如图3，在平面直角坐标系中有两点A（5，0）和B（0，4），则这两点之间的距离为__________．
图3
训练　2.如图4，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2）， B（2，－2），则点B到原点的距离为__________，线段AB的长为__________．
图4
图5
勾股定理与网格
例3　如图6，由边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则AB＝_________，AC＝_________，BC＝__________．
图6
5
训练　3.如图7，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点都在网格的格点上．
（1）线段BC的长为__________；
（2）若AD⊥BC，垂足为D，则AD的长
为__________.　
图7
课堂检测
1．如图8，在边长为1的小正方形网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（　　）
A．PA B．PB C．PC D．PD
图8
D
2．如图9，数轴上点A表示的数是1，点O表示的数是0.在Rt△ABO中，BO＝1，以点A为圆心，AB长为半径作弧，与数轴负半轴交于点C，则点C表示的数为__________．
图9
3．在平面直角坐标系中，
（1）点P（4，－2）到原点的距离是________；
（2）若点A，B的坐标分别为A（2，2），B（0，－2），则线段AB的长为__________．
4．如图10，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB的长为__________.　
图10
图11
＜
6．如图12，△ABC的顶点坐标分别为A（3，5），B（5，3），C（2，1）.将△ABC平移后得到△A′B′C′，且点C的对应点是点C′（－5，－3），点A，B的对应点分别是点A′，B′.
（1）请在图中画出△A′B′C′；
（2）点B，B′之间的距离是__________．
图12
答图2
解：（1）如答图2，△A′B′C′即为所求．
7．如图13，在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），以点O为圆心，OA长为半径作弧，交x轴的正半轴于点B，则点B的坐标是（　　）
图13
C
8．如图14，正方形网格中每个小正方形的边长为1，则△ABC中AC边上的高为__________．
图14
9．【分类讨论】如图15，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（1，0），C为y轴上一点．若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则点C的坐标为_________________________
_________________．
图15(共6张PPT)
第二十章　勾股定理
易错点集训
易错点1　对勾股定理及其逆定理掌握不牢
例1　在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别为a，b，c且满足a2＝b2－c2，则（　　）
A．∠A＝90° B．∠B＝90°
C．∠C＝90° D．无法确定直角
错解　C
错因分析　一般情况下，我们将勾股定理表示为a2＋b2＝c2，容易造成Rt△ABC的直角为∠C的误解．
正解　B
训练　1.若Rt△ABC的两边长分别为AC＝3，BC＝4，则AB＝__________．
2.以下列长度的线段为边，能组成直角三角形的是（　　）
C
易错点2　考虑问题不全面造成漏解
例2　如图1，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，动点D在AC上运动，当△CBD为直角三角形时，CD＝__________.
错解　3.6
错因分析　分析不全面，只考虑到∠CDB＝90°
的情况，遗漏了∠CBD＝90°，即点D与点A重合的
情况．
正解　3.6或10
图1
训练　3.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，AD是边BC上的高，AD＝12，求△ABC的面积．
答图1
解：①如答图1，当△ABC为锐角三角形时，
②如答图2，当△ABC为钝角三角形时，
同①理可得BD＝9，CD＝5.
∴BC＝BD－CD＝9－5＝4.
答图2
综上，当△ABC为锐角三角形时，△ABC的面积为84；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的面积为24.(共5张PPT)
第二十章　勾股定理
中考新题型—— 综合实践与探究
1．（人教八下新教材P33改编）某学习小组参照教材上的材料进行勾股定理的项目式探究，并制表如下：
利用剪拼法证明勾股定理 背景 意大利著名画家达·芬奇证明勾股定理的剪拼法 步骤 ①在纸片上绘制两个边长分别为a，b的正方形 ②将左右两部分剪开 ③将右侧部分上下翻转 ④左右两部分拼接在一起
利用剪拼法证明勾股定理 步骤 说明：
步骤①中大小正方形公共顶点的邻边分别在一条直线上；
步骤①中多边形的面积为S1，步骤④中多边形的面积为S2.
问题解决 任务 （1）请用含a，b，c的代数式分别表示S1，S2；
任务 （2）请利用等积法证明勾股定理．
（2）证明：由剪拼可得S1＝S2.
∴a2＋b2＋ab＝c2＋ab.
∴a2＋b2＝c2.(共21张PPT)
第二十章　勾股定理
第5课时　勾股定理的逆定理的应用
课堂讲练
课堂检测
能运用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题．（运算能力、应用意识、模型观念、抽象能力、几何直观）
课标要求
课堂讲练
方位问题
例1　如图1，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以 15 n mile/h的速度向南偏西45°方向航行，乙轮船以20 n mile/h的速度航行，两小时后，两艘轮船分别到达A，B处，且相距50 n mile，求乙轮船航行的方向．
图1
解：由题意，得OA＝15×2＝30，OB＝20×2＝40，AB＝50.
∵302＋402＝2 500＝502，即OA2＋OB2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°.
∵甲轮船向南偏西45°方向航行，
∴乙轮船向南偏东45°方向航行．
答：乙轮船航行的方向为南偏东45°.
训练　1.如图2，小李和小王从一座雕像O处同时出发，计划分别向不同的方向行走一段距离后对雕像进行拍照．已知小李向北偏东40°方向走了150 m到达A处，小王向另一个方向走了80 m到达 B处，此时，小李和小王相距170 m，求小王行走的方向．
图2
解：由题意，得OA＝150，OB＝80，AB＝170.
∵1502＋802＝28 900＝1702，即OA2＋OB2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°.
∵小李向北偏东40°方向行走，
∴小王向南偏东50°方向行走．
答：小王行走的方向为南偏东50°.
几何问题
图3
解：AC⊥AD.理由如下：
∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16.∴AC＝4.
∴AC2＋AD2＝CD2.
∴△ACD是直角三角形，即AC⊥AD.
图4
解：如答图1，连接AC.
答图1
∴CD2＋AD2＝12＋32＝10.
∴AC2＝CD2＋AD2.∴∠D＝90°.
课堂检测
1．如图5，学校在校园围墙边开垦出一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝17 m，且∠ABC＝90°，则这块菜地的面积是（　　）
A．48 m2
B．114 m2
C．122 m2
D．158 m2
图5
B
2．如图6，在6×6的网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点上．
（1）填空：AB＝__________，BC＝__________，AC＝__________；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
图6
5
解：（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.
（3）△ABC的面积为__________；
（4）若BD⊥AC，则BD的长为__________．
5
2
图6
3．如图7，从3 m高的帐篷支撑竿AB的顶部向地面拉一根绳子AC固定帐篷，若绳子的长度是5 m，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4 m，试判断帐篷支撑杆是否与地面垂直？并说明理由．
图7
解：帐篷支撑杆与地面垂直．理由如下：
在△ABC中，AB2＋BC2＝32＋42＝25＝52＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.
∴帐篷支撑杆与地面垂直．
4．如图8，某中学有一块四边形的空地ABCD.为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠D＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m，BC＝24 m.
（1）求空地ABCD的面积；
图8
答图2
解：（1）如答图2，连接AC.在Rt△ACD中，
∠D＝90°，CD＝6，AD＝8，
在△ABC中，AB＝26，BC＝24，AC＝10，
∴102＋242＝262，即AC2＋BC2＝AB2.
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.
答：空地ABCD的面积为96 m2.
（2）若每种植1 m2草皮需要200元，则学校总共需花费__________元．
19 200
5．如图9，C地与A，B两地之间分别有笔直的道路CA，CB相连，A地与B地之间有一条笔直的河流通过，A，B，C三地之间的距离如图9所示．
（1）如果A地在C地的正东方向，那么B地
在C地的什么方向？
图9
∵A地在C地的正东方向，
∴B地在C地的正北方向．
解：（1）由题图，得AC＝8，BC＝6，AB＝10.
∵62＋82＝102，即BC2＋AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.
（2）现计划从河道AB段的某一点出发修建一条新河道把河水引到C地，则新河道的最短长度为__________km.
4.8
提示：如答图3，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则线段CD的长就是新河道的最短长度．
答图3(共13张PPT)
第二十章　勾股定理
微专题1　方程思想在勾股定理中的运用
类型 单勾股列方程
导语：此类型常见于折叠类，秋千类试题，其关键在于已知直角三角形一边和另两边的关系，利用勾股定理列方程即可．
例1　图1是一架秋千的侧面示意图，AB为秋千在静止位置时，下端B到地面的距离OB为0.6 m，当秋千荡到AC的位置时，下端C到地面的距离CD为1.4 m，与静止位置的水平距离CH为2.4 m，求秋千AB的长．
图1
解：由题意，得OH＝CD＝1.4.
∴BH＝OH－OB＝1.4－0.6＝0.8.
设AB＝x m，则AC＝x m，AH＝（x－0.8）m.
在Rt△ACH中，根据勾股定理，得AH2＋CH2＝AC2，
即（x－0.8）2＋2.42＝x2.解得x＝4.
答：秋千AB的长为4 m.
图1
训练　1.如图2，某数学兴趣小组在测量学校旗杆的高度时发现：旗杆上升旗用的绳子（一端在旗杆顶部）的长度比旗杆的高度多1 m，当把绳子的下端拉开5 m后，下端C刚好接触地面，且绳子处于绷直状态，求旗杆AB的高度．
图2
解：设旗杆AB的高度为x m，则绳长为（x＋1）m.
由题意，得∠ABC＝90°，BC＝8 m，AB＝x m，AC＝（x＋1）m.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，
即x2＋52＝（x＋1）2.解得x＝12.
答：旗杆AB的高度为12 m.
图2
2.如图3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3 cm，AC＝5 cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，求CE的长．
图3
由折叠的性质，得AE＝CE.
设AE＝CE＝x cm，则BE＝（4－x）cm.
在Rt△ABE中，根据勾股定理，
得AB2＋BE2＝AE2，即32＋（4－x）2＝x2.
类型 双勾股列方程
导语：若题干中含有两个直角三角形，且两个直角三角形有等边或者共边关系，可利用其等量关系列方程求解．
例2　如图4，在△ABC中，AB＝17，BC＝9，AC＝10，求△ABC的面积．
图4
答图1
解：如答图1，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB2－BD2＝AD2.
在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AC2－CD2＝AD2.
∴AB2－BD2＝AC2－CD2.
设CD＝x，则BD＝BC＋CD＝9＋x.
∴172－（9＋x）2＝102－x2.解得x＝6.
训练　3.如图5，在笔直的铁路上A，B两点相距20 km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，AD＝8 km，BC＝12 km，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到中转站E的距离相等，则中转站E应建在距点A多远处？
图5
解：在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AD2＋AE2＝DE2.
在Rt△BEC中，根据勾股定理，得BC2＋BE2＝CE2.
设AE＝x km，则BE＝（20－x）km.
∵C，D两村到中转站E的距离相等，
∴DE＝CE，即DE2＝CE2.
∴AD2＋AE2＝BC2＋BE2，即82＋x2＝122＋（20－x）2.
解得x＝12.
答：中转站E应建在距点A 12 km处．
图5
4.如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s，当t为何值时，△ABP为直角三角形？
图6
由题意知BP＝2t.
①如答图2，当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4，即2t＝4，t＝2.
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
根据勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16.
∴BC＝4.
答图2
②如答图3，当∠BAP为直角时，BP＝2t，CP＝2t－4，AC＝3.
答图3
在Rt△ACP中，根据勾股定理，
得AP2＝AC2＋CP2＝32＋（2t－4）2.
在Rt△BAP中，根据勾股定理，
得AP2＝BP2－AB2＝（2t）2－52.(共18张PPT)
第二十章　勾股定理
第1课时　勾股定理的证明及简单应用
课堂讲练
课堂检测
新知导学
探索勾股定理．（运算能力、推理能力）
课标要求
新知导学
文字语言 几何语言 图形
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么____________．
a2＋b2＝c2
课堂讲练
探索勾股定理
例1　（人教八下新教材P23改编）如图1，每个小方格的面积均为1，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，三个正方形的面积分别为S1，S2，S3.
（1）S1＝________，S2＝________，
S3＝________；
（2）S1，S2，S3之间的数量关系为__________．
图1
4
9
13
S1＋S2＝S3
训练　1.如图2，用4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成1个大正方形（无重叠、无缝隙）．
（1）大正方形的面积可以表示为4×________＋________；
（2）大正方形的边长为__________，利用边长可以求出正方形的面积为__________；
（3）根据（1）（2），可以得到等
式_________________________，化简为
______________．
图2
c2
a＋b
（a＋b）2
a2＋b2＝c2
勾股定理的简单应用
例2　如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB＝7，AC＝3.求BC的长及△ABC的面积．
图3
训练　2.（人教八下新教材P25改编）设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）若a＝6，b＝8，则c＝__________；
（2）若a＝5，c＝13，则b＝__________；
10
12
6
3．【分类讨论】已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8，则它的第三条边长为___________．
例3　如图4，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，求△ABC的面积．
图4
答图1
课堂检测
1．我国古代称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一条直角边为股，斜边为弦．若一勾股形的勾为9，股为12，则弦为（　　）
A．21 B．15 C．13 D．12
B
2．如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝4，则AC＝__________．
图5
3．如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，∠A＝30°，则AC的长为__________．
图6
4．如图7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4.以AB为一条边向三角形外部作正方形，则该正方形的面积是_________．
图7
52
5．如图8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边长分别为a，b，c.若a＝2，b＝2a，求c的值及AB边上的高．
图8
6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图9所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b.若ab＝10.5，大正方形的面积为48，则小正方形的面积为（　　）
A.8 B．16
C.25 D．27
图9
D
7．如图10，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
图10
答图2
解：如答图2，过点A作AD⊥BC于点D.
设BD＝x，则CD＝14－x.
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°.
在Rt△ADC中，根据勾股定理，得AD2＝AC2－CD2.
在Rt△ADB中，根据勾股定理，得AD2＝AB2－BD2.
∴AC2－CD2＝AB2－BD2，即132－（14－x）2＝152－x2.解得x＝9.(共11张PPT)
第二十章　勾股定理
中考新考向——教材母题变式
教材母题　例1　（人教八下新教材P31）如图1，分别以等腰直角三角形ABC的边AB，AC，BC为直径画半圆．求证：所得两个月牙形图案AGCE和BHCF的面积之和（图中阴影部分）等于Rt△ABC的面积．
图1
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC2＋BC2＝AB2.
∴S半圆ACB＝S半圆AEC＋S半圆CFB.
又S阴影＝S半圆AEC＋S半圆CFB＋S△ABC－S半圆ACB，
∴S阴影＝S△ABC.
∴所得两个月牙形图案AGCE和DHCF的面积之和（图中阴影部分）等于Rt△ABC的面积．
变式1　（2025惠州期末）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，AC＝10，分别以三边为直径画半圆，则两月形图案的面积之和（阴影部分的面积）是（　　）
A．6π
B．10π
C．24
D．30
图2
C
变式2　如图3，分别以直角三角形的三条边为直径画半圆，若较小的两个半圆的面积分别为3π和4π，则最大的半圆的面积为（　　）
A．5π
B．7π
C．12π
D．不能确定
图3
B
教材母题　例2　（人教八下新教材P44）古希腊哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数．你认为这种说法正确吗？如果正确，请给出证明，并利用这个结论写出一些勾股数．
解：正确．证明如下：
∵m表示大于1的整数，∴a，b，c都是正整数，且c是最大边．
∵（2m）2＋（m2－1）2＝（m2＋1）2，
∴a2＋b2＝c2，即a，b，c为勾股数．
当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5.
变式3　已知m，n为整数，且m＞n＞1，a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2.求证：a，b，c为勾股数．
证明：∵m，n为整数，且m＞n＞1，a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2，∴a，b，c均为正整数．
又（m2－n2）2＋（2mn）2＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2＝m4＋2m2n2＋n4＝（m2＋n2）2，
∴a2＋b2＝c2.∴a，b，c为勾股数．
教材改编　例3　（人教八下新教材P32改编）如图4①，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接BD.
（1）求证：①∠ADB＝90°；②AE2＋AD2＝2AC2.
图4
（1）证明：①∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，∴∠ACB＝∠ECD＝90°，∠E＝∠CDE＝45°，∠CAB＝∠CBA＝45°.
∴∠ECA＋∠ACD＝∠ACD＋∠DCB＝90°.
∴∠ECA＝∠DCB.∴△ECA≌△DCB（SAS）.
∴∠E＝∠CDB＝45°.
∴∠ADB＝∠CDE＋∠CDB＝45°＋45°＝90°.
∴∠ADB＝90°.
②由（1）①可得△ECA≌△DCB（SAS），∠ADB＝90°.
∴AE＝BD.
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得
BD2＋AD2＝AB2，即AE2＋AD2＝AB2.
∵△ACB是等腰直角三角形，AC＝BC.
根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝2AC2.
∴AE2＋AD2＝2AC2.
（2）解：BE的长是7.
答图1(共24张PPT)
第二十章　勾股定理
第二十章　章末复方和
a2＋b2
a2＋b2＝c2
知识点1　勾股定理
1．一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边长为（　　）
A．10
B．13
C．7
D．14
A
A
3．如图1，Rt△ABC的直角边AB在数轴上，点A表示的实数为0，以A为圆心，AC长为半径作弧交数轴的负半轴于点D.若CB＝1，AB＝2，则点D表示的实数为（　　）
图1
A
4．图2是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边长和一条直角边长分别是13，12，则图中阴影部分的面积之和是（　　）
A．16
B．25
C．144
D．169
图2
B
5．如图3，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的小正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则AD的长为（　　）
图3
D
6．已知一个等腰三角形的底边长为12 cm，腰长为10 cm，则底边上的高为__________cm.
7．如图4，在长方形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为__________cm2.
图4
8
6
知识点2　勾股定理的实际应用
8．（2025连云港）如图5，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h为__________m.
图5
2.4
9．《九章算术》中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？其大意如下：如图6，推开双门（大小相同），双门间隙CD＝2寸，点C、点D与门槛AB的距离CE＝DF＝1尺（1尺＝10寸），则AB的长为________寸．
图6
101
10．图7①是某临街店铺在窗户上方安装的遮阳棚，其侧面如 图7②所示，遮阳棚收拢紧贴墙面自然下垂时，遮阳棚棚骨外端C距离地面90 cm（即CE＝90 cm），将其展开至距离墙面170 cm的点B处（即水平距离BD＝170 cm）时，AB＝190 cm，则此时棚骨外端B离地面的垂直高度BF是（　　）
图7
①　　　　　　　②
A
11．如图8，有两只猴子都在一棵垂直于地面AC的树CD上的点B处，且BC＝5 m，一只猴子先爬下树再走到离树15 m的A处，另一只先爬到树顶D再沿缆绳DA滑到A处．若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？
图8
解：由题意，得BC＋AC＝20 m＝DB＋DA.
设CD的长为x m，则DB的长为（x－5）m，
DA的长为[20－（x－5）]m.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＋AC2＝DA2，
即x2＋152＝[20－（x－5）]2.解得x＝8.
答：这棵树高8 m.
知识点3　勾股定理的逆定理及其应用
12．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a∶b∶c＝5∶4∶3
B．a2＋b2＝c2
C．a2＝b2＋c2
D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
D
13．下列各组数中，是勾股数的为（　　）
D
14．如图9，一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航行方向从港口O出发，轮船从港口O沿北偏西40°的方向航行60海里到达点A处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点B处．若A，B两点相距100海里，则此时渔船在港口O南偏西__________°的方向．
图9
50
15．（人教八下新教材P43改编）如图10，网格中每个小正方形的边长都为1，四边形的四个点都在格点上．
（1）四边形的周长为______________，面积为__________；　
（2）求证：∠BAD是直角．
图10
答图1
10.5
（2）证明：如答图1，连接BD，
根据勾股定理，得BD2＝32＋42＝25.
∴AB2＋AD2＝BD2.
∴△ABD为直角三角形，∠BAD是直角．
16．如图11，AD是△ABC的中线，DE是△ADC中AC边上的高，且CE＝1，DE＝2，AE＝4.求证：∠ADC是直角．
图11
证明：∵DE是△ADC中AC边上的高，
∴∠AED＝∠CED＝90°.
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴AD2＝AE2＋DE2＝42＋22＝20.
同理可得CD2＝5.∴AD2＋CD2＝25.
∵AC＝AE＋CE＝4＋1＝5，
∴AC2＝25.∴AD2＋CD2＝AC2.
∴△ADC是直角三角形，∠ADC是直角．
17．如图12，在正方形网格中，A，B，C，D，E都是格点，则∠BAC＋∠CDE的度数为（　　）
A．45°
B．40°
C．35°
D．30°
图12
A
18．如图13，在底面周长约为6 m的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约16 m，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（　　）
A．20 m
B．25 m
C．30 m
D．15 m
图13
A
19．（2025扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为_____________．
11，60，61
20．在平面直角坐标系中，将一块直角三角板按如图14所示的方式放置，其中∠ACB＝90°，∠A＝∠OCB＝30°，B（0，1），则点A的坐标为__________．
图14
21．如图15，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，AC＝8 cm，动点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿射线AC方向运动，设点P运动的时间为t s.
（1）求BC的长；
图15
解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
∴BC的长为6 cm.
（2）当△ABP是以BP为腰的等腰三角形时，求t的值．
解：（2）当△ABP是以BP为腰的等腰三角形时，分两种情况：
①如答图2，当BP＝AP时，点P在线段AC上．
∴BP＝AP＝2t.∴CP＝AC－AP＝8－2t.
在Rt△BCP中，根据勾股定理，得
BC2＋CP2＝BP2，即62＋（8－2t）2＝（2t）2.
答图2
②如答图3，当BP＝AB时，点P在AC的延长线上，此时AP＝2t.
∵AB＝BP，BC⊥AP，∴AC＝CP.
∴AP＝2AC＝16，即2t＝16.解得t＝8.
答图3(共16张PPT)
第二十章　勾股定理
题型突破　构造直角三角形的综合运用
题型 30°，45°，120°，135°等特殊角的处理
例1　如图1，在△ABC中，∠B＝30°，∠BAC＝105°，AB＝8.求BC的长．
图1
答图1
解：如答图1，过点A作AD⊥BC于点D.
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵∠B＝30°，AB＝8，
∵∠BAC＝105°，∴∠CAD＝105°－60°＝45°.
∴△ACD是等腰直角三角形．
解：∵∠ACB＝120°，∠B＝30°，
∴∠A＝180°－120°－30°＝30°.
∴AC＝BC.
如答图2，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
图2
答图2
在Rt△ACD中，∠A＝30°，∴AC＝2CD.
设CD＝x，则AC＝2x.
解得x＝1（负值已舍）．
∴AC＝2x＝2.（解法不唯一，也可过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D）
题型 分类讨论
例2　在△ABC中，AB＝20，AC＝15，边BC上的高为12，求△ABC的周长．
解：过点A作AD⊥BC于点D，则AD为边BC上的高，AD＝12.
分两种情况：
①高AD在△ABC内，如答图3所示．
在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2＝AD2＋DC2.
答图3
在Rt△ADB中，由勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2.
∴BC＝BD＋DC＝16＋9＝25.
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝20＋15＋25＝60.
②高AD在△ABC外，如答图4所示．
在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2＝AD2＋DC2.
答图4
在Rt△ADB中，由勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2.
∴BC＝BD－DC＝16－9＝7.
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝20＋15＋7＝42.
综上，△ABC的周长为60或42.
训练　2.在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为__________________．
题型 中点问题
例3　如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，M为BC的中点，且AM⊥DM，AM＝4，DM＝3.求AB＋CD的值．
图3
解：如答图5，延长DM交AB的延长线于点E.
答图5
∵AB∥CD，∴∠CDM＝∠E，∠C＝∠EBM.
∵M为BC的中点，∴CM＝BM.
∴△CDM≌△BEM（AAS）.∴EM＝DM＝3，CD＝BE.
∵AM⊥DM，
∴∠AME＝90°，即△AME为直角三角形．
∴AB＋BE＝5.
∴AB＋CD＝5.
训练　3.如图4，在△ABC中，AD为边BC上的中线，AB＝3，AC＝5，AD＝2，求证：AD⊥AB.
图4
答图6
证明：如答图6，延长AD至点E，使得DE＝DA，连接CE.
∵AD为边BC上的中线，∴BD＝CD.
又∠ADB＝∠EDC，AD＝ED，
∴△ABD≌△ECD（SAS）.
∴EC＝AB＝3，∠BAD＝∠E.
又AE＝2AD＝4，AC＝5，∴AC2＝AE2＋CE2.
∴△ACE是直角三角形，∠E＝90°.
∴∠BAD＝∠E＝90°.∴AB⊥AD.
题型 旋转模型
例4　如图5，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△DCE的斜边DE上．试判断线段AD，AE，AC之间满足的数量关系，并说明理由．
图5
答图7
解：AD2＋AE2＝2AC2.理由如下：
如答图7，连接BE.
∵△ACB与△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠ACB＝90°，∠D＝∠DEC＝
∠CAB＝45°，AC2＋BC2＝AB2 .∴2AC2＝AB2.
∵∠DCE－∠ACE＝∠ACB－∠ACE，
∴∠ACD＝∠BCE.
∴△ADC≌△BEC（SAS）.
∴AD＝BE，∠D＝∠BEC＝45°.
∴∠BEA＝∠BEC＋∠DEC＝90°.
在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，
∴AE2＋AD2＝AB2＝2AC2.
训练　4.如图6，△ACD，△ABE都是等边三角形．若BC＝8，AC＝6，∠ACB＝30°，求CE的长．
图6
解：∵△ABE和△ACD都是等边三角形，
∴AE＝AB，AC＝AD＝CD＝6，
∠EAB＝∠DAC＝∠ACD＝60°.
∴∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC，
即∠EAC＝∠BAD.
∴△EAC≌△BAD（SAS）.
∴CE＝DB.
∵∠ACD＝60°，∠ACB＝30°，
∴∠BCD＝∠ACD＋∠ACB＝90°.
在Rt△BCD中，CD＝6，BC＝8，
∴CE＝BD＝10.(共20张PPT)
第二十章　勾股定理
微专题2　利用勾股定理解决最短路径问题
类型 平面图形中的最短路径问题
情况一　垂线段最短
例1　如图1，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条道路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝600 m，BC＝800 m，AB＝1 000 m，现需要修建一条道路，使工厂C到公路的路程最短，请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建道路的长．
图1
答图1
解：如答图1，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即为新建的最短道路．
∵6002＋8002＝1 0002，
∴AC2＋BC2＝AB2.
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.
答：新建道路的长为480 m.
拓展　如图2，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD⊥BC，且AD＝8.若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是__________．
图2
9.6
情况二　两点之间，线段最短
例2　（平移法）如图3，相邻的两边互相垂直，则从点B到点A的最短距离为（　　）
A．13
B．12
C．8
D．5
图3
A
变式　如图4，若∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF＝__________．
图4
10
拓展　如图5，台阶阶梯每一层的高为20 cm，宽为40 cm，长为50 cm，一只蚂蚁从点A出发，沿台阶表面爬行到点B，最短路程是__________cm.
130
图5
例3　（对称法）如图6，某镇政府要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村到河边的距离AC为2 km，B村到河边的距离BD为7 km，且AB两村庄相距13 km.
（1）C，D两点间的距离为__________km；
（2）水泵站到A，B两村的距离之和的最小值为__________km.
图6
12
15
变式1　如图7，等边三角形ABC的周长为12，AD是BC边上的高，F是AD上的动点，E是边AB上一点．若AE＝2，则BF＋EF的最小值为__________．
图7
变式2　如图8，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是BC的中点，E是AB上的动点，且不与点A，B重合，则DE＋CE的最小值为__________．
图8
变式3　如图9，在长方形ABCD中，BC＝8，∠ABD＝30°，若M，N分别是线段BD，AB上的两个动点，则AM＋MN的最小值为__________．
图9
12
类型 立体图形中的最短路径问题
模型 圆柱 正方体
长方体 注：1.圆柱侧面展开图的长方形的长是圆柱的底面周长．
2．长方体的长、宽、高不一定相等，因此需要分三种情况考虑．
情况一　用展开图求长方体中的最短问题
例4　如图10，一长方体木块长AB＝6，宽BC＝5，高BB1＝2.一只蚂蚁从木块的点A处，沿长方体木块表面爬行到点C1位置的最短路程为（　　）
图10
B
变式1　图11是一个封闭的正方体盒子，其棱长为4 cm，一只蚂蚁从点A出发，沿正方体表面爬行到点B处去吃食物，则它需要爬行的最短路程为__________cm.
图11
变式2　如图12，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外点A处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆．已知容器长为5 cm，宽为3 cm，高为4 cm，点A距底部1 cm，请问蚂蚁需爬行的最短路程是__________cm（容器壁厚度不计）．
图12
情况二　用展开图求圆柱体中的最短问题
例5　如图13，有一圆柱，其高为2 cm，它的底面半径为1 cm，在圆柱下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的点B处的食物，则该蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为__________cm.（π取3）
图13
变式1　如图14，已知圆柱底面的周长为12 cm，圆柱高为8 cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度最小为__________cm.
图14
20
变式2　每年秋分日为“中国农民丰收节”．如图15，小明用3D打印机制作了一个底面周长为8 cm，高为5 cm的圆柱形粮仓模型．现要从点A开始绕此模型的侧面到点A正上方的点B处贴一圈彩色装饰带，则装饰带的最短长度为__________cm.
图15
拓展　如图16，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为15 cm，底面周长为8 cm，在容器内壁离容器底部6 cm的点A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部1 cm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是__________cm.
图16(共20张PPT)
第二十章　勾股定理
第2课时　勾股定理的应用（一）——实际问题
课堂讲练
课堂检测
新知导学
能运用勾股定理解决一些简单的实际问题．（运算能力、推理能力、应用意识，抽象能力）
课标要求
新知导学
1．如图1，在△ABC中，∠C＝90°.
（1）若AC＝6 cm，AB＝10 cm，则BC＝__________cm.
（2）若AC＝BC＝4 cm，则AB＝__________cm；AB边上的高为__________cm.
图1
8
课堂讲练
利用勾股定理解决实际问题
类型1　已知两直角边求斜边
例1　（人教八下新教材P30改编）如图2，一根垂直于地面的木杆在离地面5 m处撕裂折断，木杆顶部落在离木杆底部12 m处，则木杆折断部分AB的长度为________m．
图2
13
训练　1.（人教八下新教材P31改编）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题，大意是：某池塘的底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面1尺（BC＝1）.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′（如图3）．则水深________尺，芦苇长________尺．
12
13
图3
类型2　已知斜边和一直角边求另一直角边
例2　（人教八下新教材P26改编）如图4，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，此时OB的长为1 m．
（1）求梯子顶端A到地面的距离OA；
图4
（2）若梯子顶端A沿墙面下滑1.4 m至点A′，求梯子底端在水平方向滑动的距离BB′.
解：（2）由题意，得AA′＝1.4，A′B′＝AB＝2.6.
∴OA′＝OA－AA′＝2.4－1.4＝1.
∴BB′＝OB′－OB＝2.4－1＝1.4（m）.
答：梯子底端在水平方向滑动的距离BB′为1.4 m.
训练　2.某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度的关系”的实践探究活动．已知笔记本的宽度AC为25 cm，当顶部边缘A处离桌面的高度AD为15 cm时，此时用眼舒适度不太理想（如图5）．小组成员通过不断调整顶部边缘离桌面的高度，最后发现当顶部边缘离桌面的高度A′E＝24 cm时，用眼舒适度较为理想．求调整前后顶部边缘移动的水平距离DE的长．
图5
解：由题意，得AC＝A′C＝25，AD＝15，A′E＝24，∠D＝∠A′EC＝90°.
∴DE＝CD－CE＝20－7＝13（cm）.
答：调整前后顶部边缘移动的水平距离DE的长为13 cm.
课堂检测
1．如图6，一支笔放在圆柱形笔筒中，已知笔筒内部的底面直径是9 cm，内壁高是12 cm，则这支笔的长度可能是（　　）
A．9 cm
B．12 cm
C．15 cm
D．18 cm
图6
D
2．（人教八下新教材P27改编）如图7，为了求出湖两岸A，B两点之间的距离，观测者在湖边找到一点C，并测得∠ABC＝90°，AC＝80 m，BC＝64 m，则A，B两点之间的距离为______m．
图7
48
3．（人教八下新教材P30改编）图8是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），可得两圆孔中心A和B之间的距离为__________mm.
图8
5
4．如图9，线段AB是电线杆的一条固定拉线，AB＝2.5 m， BC＝1.5 m，另一条拉线A1B1在地面上的固定点B1到杆底C的距离B1C＝2.4 m，拉线A1B1＝2.5 m．求电线杆上两固定点A和A1的距离．
图9
解：依题意，得△ABC和△A1B1C均为直角三角形．
∴AA1＝AC－A1C＝2－0.7＝1.3（m）.
答：电线杆上两固定点A和A1的距离是1.3 m.
图9
5．【方程思想】如图10，小明在测量学校旗杆的高度时发现：旗杆上升旗用的绳子（一端在旗杆顶部）的长度比旗杆的高度多 2 m，当把绳子的下端拉开8 m后，下端C刚好接触地面，且绳子处于绷直状态，求旗杆AB的高度．
图10
解：设旗杆AB的高度为x m，则绳长为（x＋2）m.
由题意，得∠ABC＝90°，
BC＝8，AB＝x，AC＝x＋2.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，
即x2＋82＝（x＋2）2.解得x＝15.
答：旗杆AB的高度为15 m.
图10
6．如图11，在一条绳子AC下端系着一艘小船A，CD为靠水一侧垂直于水面的河岸，小明在河岸上拉着绳子上端从C处水平移动到E处，同时小船从A处水平移动到B处，AB平行于水面，延长AB交CD于点F（绳子始终绷紧，且绳长保持不变）．若CF＝5 m，AF＝12 m，小船移动的距离AB＝8.25 m，求小明向后移动的距离．
图11
∵AF＝12，AB＝8.25，
∴BF＝AF－AB＝12－8.25＝3.75.
由题意，得AC＝BC＋CE.
∴CE＝AC－BC＝13－6.25＝6.75（m）.
答：小明向后移动的距离为6.75 m.

图11(共24张PPT)
第二十章　勾股定理
第4课时　勾股定理的逆定理
课堂讲练
课堂检测
新知导学
探索勾股定理的逆定理．（运算能力、推理能力、模型观念）
课标要求
新知导学
c
≌
课堂讲练
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是__________三角形．
直角
例1　如图3，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，AB＝10，求证：△ABC是直角三角形．
图3
证明：根据题意，得AC2＝64，BC2＝36，AB2＝100.
∴AC2＋BC2＝AB2.
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形．
训练　1.（人教八下新教材P35改编）判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a＝15，b＝8，c＝17；
解：（1）∵a2＋b2＝152＋82＝289，c2＝172＝289，
∴a2＋b2＝c2.
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．
∴a2＋b2≠c2.
根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形．
（3）a∶b∶c＝3∶4∶5.
解：（3）设a＝3x，b＝4x，c＝5x.
∴a2＋b2＝（3x）2＋（4x）2＝9x2＋16x2＝25x2，c2＝（5x）2＝25x2.∴a2＋b2＝c2.
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．
　根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
勾股数
像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个__________，称为勾股数
正整数
例2　下列各组数中，是勾股数的为（　　）
D
训练　2.下列各组数中，是勾股数的为________．（填序号）
① 1，2，3；　　　　　
② 9，12，15；
③ 0.3，0.4，0.5;
④ 8，15，17.
②④
　常见的勾股数有：① 3，4，5；② 5，12，13；③ 7，24，25；④ 8，15，17.成为勾股数的三个数同时放大k（k是正整数）倍，仍然是勾股数．
课堂检测
1．下列长度的四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
D
2．如图4，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点B到AC的距离是（　　）
A.6
B．7
C．8
D．10
图4
A
3．若8，a，17是一组勾股数，则a的值为__________．
4．如图5，在△ABC中，a2＋b2＝c2，∠A＝35°，则∠B＝__________．
图5
15
55°
5．（人教八下新教材P38改编）如图6，在正方形ABCD中， E为BC的中点，F是CD上一点且CF＝ CD，连接AE，AF，EF，设CF＝a.
（1）线段AE＝__________，AF＝__________，EF＝__________；（用含a的代数式表示）
5a
图6
∴AE2＋EF2＝AF2.
∴△AEF是直角三角形，∠AEF＝90°.∴AE⊥EF.
（2）求证：AE⊥EF.
6．（人教八下新教材P36改编）如图7，以△ABC的三边为直径，分别作三个半圆．三个半圆的面积分别为S1，S2，S3，且S1＋S2＝S3.
（1）判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．
图7
∵S1＋S2＝S3，
∴△ABC为直角三角形．
解：设AC＝λ，BC＝μ，AB＝γ.
（1）△ABC是直角三角形．理由如下：
图7
（2）如图8，如果将图中半圆改为分别以△ABC的三边为斜边的等腰直角三角形．那么（1）中的结论是否仍成立？为什么？
图8
解：（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
∵△ABG为等腰直角三角形，
∵S1＋S2＝S3，
∴△ABC为直角三角形．

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