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(共11张PPT)
第二十一章　四边形
模型探究　中点四边形
模型探究
新知导学
新知导学
三角形中位线的性质：三角形的中位线________于三角形的第三边，并且等于第三边的________．
中点四边形的定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫作中点四边形．
平行
一半
模型探究
例1　（人教八下新教材P87改编）如图1，E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH，我们称这个四边形为四边形ABCD的中点四边形．
图1
（1）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
答图1
解：（1）四边形EFGH是平行四边形．理由如下：
如答图1，连接AC.
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥GH，EF＝GH.
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）连接对角线AC，BD，当AC与BD满足怎样的关系时，四边形EFGH是菱形？并说明理由．
解：（2）当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形．理由如下：
如答图1，连接AC，BD.
∵G，H分别是CD，DA的中点，
∵AC＝BD，∴GH＝HE.
由（1）可知，四边形EFGH是平行四边形．
∴四边形EFGH是菱形．
（3）连接对角线AC，BD，当AC与BD满足怎样的关系时，四边形EFGH是矩形？并说明理由．
解：（3）当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．理由如下：
如答图1，连接AC，BD.
∵E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，
∴EF∥AC，FG∥BD.
∵AC⊥BD，∴EF⊥FG.∴∠EFG＝90°.
由（1）可知，四边形EFGH是平行四边形．
∴四边形EFGH是矩形．
（4）连接对角线AC，BD，当AC与BD满足_________________时，四边形EFGH是正方形．
AC＝BD且AC⊥BD
总结
原四边形的特征 中点四边形的形状
一般四边形
对角线相等的四边形（如矩形）
对角线垂直的四边形（如菱形）
对角线相等且垂直的四边形（如正方形）
平行四边形
菱形
矩形
正方形
拓展探究　如图2，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点．
（1）四边形EFGH的形状为____________；
（2）当AB＝CD时，四边形EFGH的形状为__________；　
（3）当AB⊥CD时，四边形EFGH的形状为________；
（4）当AB＝CD且AB⊥CD时
四边形EFGH的形状为__________．
图2
平行四边形
菱形
矩形
正方形(共22张PPT)
第二十一章　四边形
微专题1　中位线与中线
三角形的中位线
例1　如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．
（1）若∠AED＝60°，则∠C＝__________；
（2）若DE＝3，则BC＝__________.　
图1
60°
6
直角三角形斜边上的中线
例2　如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点．
（1）若AB＝4，则CD＝__________；
（2）若∠B＝55°，则∠ADC＝__________．
图2
2
110°
类型 中位线与中线的综合应用
1．（2025扬州）如图3，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°.若AC＝4，BC＝8，则DF的长是__________．
图3
6
2．如图4，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F是线段DE上的一点，连接AF，BF，且∠AFB＝90°，AB＝8，BC＝12，则EF的长是__________．
图4
2
3．如图5，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM.若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为__________．
图5
2.5
类型 构造三角形的中位线
方法1　连中点
4．如图6，已知等边三角形ABC的边长为4，D，E分别是边AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，连接DF，则DF的长为__________．
图6
5．如图7，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ADB＝90°，E为AB的中点，F为DB上一点，AD＝4，DF＝5，FB＝1，则EF的长为__________．
图7
6．如图8，DE是△ABC的中位线，AF是边BC上的中线，DE与AF是否互相平分？并说明理由．
图8
解：DE与AF互相平分．理由如下：
如答图1，连接DF，EF.
∵AF是边BC上的中线，∴F是BC的中点．
∵D是AB的中点．
∴DF是△ABC的中位线．∴DF∥AC.
同理，得EF∥AB，∴四边形ADFE是平行四边形．
∴DE与AF互相平分．
答图1
方法2　取中点
7．如图9，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝6，D是边BC的中点，点E在边AB上，若∠DEB＝30°，则DE的长为__________．
图9
6
8．如图10，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F.若AB＝4，则EF的长为__________．
图10
1
9．如图11，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝4，BD＝6，E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，则EF的长是__________．
图11
方法3　构造三角形
10．如图12，在四边形ABCD中，∠C＝90°，BC＝8，CD＝6，G为边BC的中点，连接AG，E，F分别为AG，AD的中点，则EF的长为__________.　
图12
11．（2025扬州期末）如图13，点G在正方形ABCD的边CD上，以CG为边向正方形ABCD外部作正方形CEFG，连接AF，M，N分别是AB，AF的中点，连接MN.若AB＝17，EF＝7，则MN＝__________．
图13
类型 构造直角三角形斜边上的中线
方法1　连中点
12．如图14，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠A＝24°，D为AC的中点，E为BA上一点，AC＝2BE，则∠DEB的度数为__________．
图14
78°
13．如图15，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，O为BD的中点，连接OA.
（1）求证：∠AOD＝2∠ABO；
图15
证明：（1）∵∠BAD＝90°，O为BD的中点，
∴OA＝OB＝OD.∴∠ABO＝∠BAO.
∴∠AOD＝∠ABO＋∠BAO＝2∠ABO.
（2）若∠ADC＝135°，求证：AC＝OA.
答图2
证明：（2）如答图2，连接OC.
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°.
∵∠ADC＝135°，∴∠ABC＝45°.
同（1）可得∠COD＝2∠CBO.
∴∠AOC＝2（∠ABO＋∠CBO）＝2∠ABC＝90°.
∴△AOC为等腰直角三角形．∴OA＝OC.
方法2　取中点
14．如图16，在△ABD中，∠B＝20°，AE⊥AB，交BD于点E，BE＝2AD，则∠D的度数为__________.　
图16
40°
15．如图17，在四边形ACBD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，∠DBC＝60°，若AB＝4，则CD的长为__________．
图17
方法3　构造三角形
16．如图18，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点B，C，E在同一条直线上，且点D在边CG上．若BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，求CH的长．
图18
解：如答图3，连接AC，CF.
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，BC＝1，CE＝3，
∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠B＝
∠E＝90°，∠ACD＝∠GCF＝45°.
∴∠ACF＝∠ACD＋∠GCF＝90°.
答图3(共19张PPT)
第二十一章　四边形
第1课时　四边形及其内角和
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
新知导学
了解四边形的不稳定性．（几何直观、运算能力、推理能力、应用意识）
课标要求
新知导学
1．四边形：如图1，在平面内，由不在__________上的四条线段__________顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点，四边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图1中的四边形可以按照顶点的顺序，记作“_____________”．
2．凸四边形：如图1，画出四边形ABCD的
任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形
都在这条直线的__________，这样的四边形叫作
凸四边形．
图1
同一直线
首尾
四边形ABCD
同一侧
3．四边形的对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线，四边形的两条对角线分别将四边形分为__________个三角形．（如图1中的线段AC，BD）
4．四边形的内角：四边形________两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角．（如∠BCD）
5．四边形的外角：四边形的角的一边与另一边的__________组成的角叫作四边形的外角．（如∠1）
两
相邻
延长线
课堂讲练
四边形的相关概念
例1　下列图形中，是四边形的是__________，是凸四边形的是__________．（填序号）
①②③
①③
训练　1.如图2，已知四边形ABCD.
（1）该四边形的边有：AD，______________；
（2）该四边形的外角有：∠1，______________；
（3）该四边形ABCD的两条对角线为__________．
图2
AB，BC，CD
∠2，∠3，∠4
AC，BD
四边形的内角和
例2　（人教八下新教材P47改编）如图3，探究四边形的内角和．
在四边形ABCD中，连接对角线BD，则四边形ABCD被分成△ABD和__________．
在△ABD中，由三角形内角和定理，得∠A＋∠1＋∠4＝_______．
同理，在△BCD中，____________________．
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠CDA＝∠A＋∠1＋∠2＋
∠C＋∠3＋∠4＝________＋________＝__________°.
∴四边形ABCD的内角和等于__________．
图3
△BCD
180°
∠2＋∠C＋∠3＝180°
180°
180°
360
360°
训练　2.（人教八下新教材P49改编）求出图4中x，y的值．
图4
解：根据四边形的内角和等于360°，
对于图4①，可得140°＋x°＋x°＋90°＝360°.解得x＝65.
对于图4②，可得3y°＋3y°＋2y°＋4y°＝360°.解得y＝30.
四边形的外角和
例3　（人教八下新教材P47改编）如图5，探究四边形的外角和．
∵∠1与∠5是邻补角，∴∠1＋∠5＝__________．
同理，∠2＋∠6＝________，______________，_____________．
∴∠1＋∠5＋∠2＋∠6＋∠3＋∠7＋∠4＋∠8＝__________．
∵∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝__________，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝__________．
∴四边形的外角和等于__________．
图5
180°
180°
∠3＋∠7＝180°
∠4＋∠8＝180°
720°
360°
360°
360°
训练　3.（1）正方形的外角和等于__________；
（2）如图6，在四边形ABCD中，∠1，∠2，∠3，∠4均是四边形的外角，且∠1＋∠3＝210°，则∠2＋∠4＝__________；
（3）若四边形的四个外角的度数之比为1∶3∶3∶5，则其中最小的外角的度数是__________，最大的外角的度数是__________．
图6
360°
150°
30°
150°
四边形的不稳定性
三角形具有__________，四边形__________稳定性．
稳定性
不具有
例4　如图7，可伸缩式的挂衣架做成了四边形，是利用了四边形的__________．（填“稳定性”或“不稳定性”）
图7
不稳定性
训练　4.下列图形具有稳定性的是（　　）
B
课堂检测
1．（人教八下新教材P86）若四边形ABCD的四个内角的度数比为1∶2∶3∶4，则其中最大的内角是（　　）
A．120°
B．135°
C．144°
D．150°
C
2．已知一个四边形的一个内角是其外角的 倍，则这个内角的度数为__________．
108°
3．如图8，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分线．若∠B＋∠C＝240°，则∠E的度数为_______．
图8
60°
4．（人教八下新教材P53）如图9，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB与DC有怎样的位置关系？为什么？BC与AD呢？
图9
解：AB∥CD，BC∥AD.理由如下：
由四边形的内角和可知，
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.
∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴∠A＋∠B＋∠A＋∠B＝360°，∠A＋∠D＋∠A＋∠D＝360°.
∴∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°.
∴AB∥CD，AD∥CB.
随 堂 测(共14张PPT)
第二十一章　四边形
中考新考向——教材母题变式（操作探究）
1．（人教八下新教材P88改编）根据以下素材，探索完成任务．　
你会用折纸的方式做出不同的角度吗？
问题背景
矩形是我们熟悉的四边形，两组对边分别相等，四个角都是90°，因此我们可以折出很多漂亮的图案（如图1）．
　　 　　 　　　
图1
你会用折纸的方式做出不同的角度吗？ 操作一 如图2，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，在AD上选一点P，将△ABP沿BP折叠，使点A落在矩形内部的点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM与BC交于点N.

图2
操作二 如图3，将矩形纸片ABCD换成正方形纸片ABCD，将正方形纸片ABCD按照操作一中的方式操作，并延长PM与CD交于点Q，连接BQ.
图3
你会用折纸的方式做出不同的角度吗？ 解决问题 任务一 在操作一中，若点M在EF上，则∠BME的度数为__________，△BNP的形状是______________；
任务二 在操作二中，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由；
任务三 在操作二中，若正方形ABCD的边长为6 cm，当P是边AD的三等分点时，求CQ的长．
30°
等边三角形
解：任务二：∠MBQ＝∠CBQ.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠A＝∠C＝90°.
由折叠的性质，得MB＝AB，∠A＝∠BMP＝90°.
∴MB＝CB，∠BMQ＝90°＝∠C.
又BQ＝BQ，∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL）.
∴∠MBQ＝∠CBQ.
解：任务三：分以下两种情况讨论：
情况一：如答图1，当AP∶PD＝2∶1时，即AP＝4，PD＝2.
答图1
∵Rt△BMQ≌Rt△BCQ，
∴MQ＝CQ.由折叠的性质，得PM＝AP＝4.
设CQ＝MQ＝x，则DQ＝CD－CQ＝6－x，
PQ＝PM＋MQ＝AP＋MQ＝4＋x.
在Rt△PQD中，PQ2＝PD2＋DQ2，
即（4＋x）2＝22＋（6－x）2.
情况二：如答图2，当AP∶PD＝1∶2时，即AP＝2，PD＝4.
答图2
∵Rt△BMQ≌Rt△BCQ，
∴MQ＝CQ.由折叠的性质，得PM＝AP＝2.
设CQ＝MQ＝y，则DQ＝6－y，PQ＝2＋y.
在Rt△PQD中，由勾股定理，得PQ2＝PD2＋DQ2，
即（2＋y）2＝42＋（6－y）2.解得y＝3.∴CQ的长为3 cm.
2.（人教八下新教材P83数学活动1改编）（2025鹤山一模）【背景知识】宽与长的比等于 的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的帕特农神庙（如图4）等．
图4
（1）经测量帕特农神庙的长约为30 m，则它的宽是多少米？（结果保留根号）
【实验操作】折一个黄金矩形
第一步：在矩形纸片的一端利用图5的方法折出一个正方形MNCB，然后把纸片展平；
第二步：如图6，将这个正方形MNCB对折成两个全等的矩形，再将其展平；
第三步：折出矩形AEBC的对角线AB，并将AB折到图7所示的AD处；
第四步：展平纸片，如图8，按照所得的点D折出DF，得到矩形BCDF.
图5
图6
图7
图8
【问题思考】
（2）若MN的长为2，请证明：矩形BCDF是黄金矩形；
（3）在（2）的条件下，以图7中的折痕AQ为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积．
[提示]由折叠的性质，得∠BAQ＝∠DAQ.
又BQ∥AD，∴∠BQA＝∠DAQ.
分以下两种情况：(共15张PPT)
第二十一章　四边形
中考新题型——综合实践与探究（跨学科、生活情境）
【跨学科应用·平行四边形法则】1.（2025石家庄一模）【概念学习】
在物理学中，速度具有大小和方向．如图1，点O受到两个速度v1，v2的影响，其大小分别用线段OA，OB的长度表示，其方向分别用画有箭头的有向线段OA，OB表示，以线段OA，OB为邻边作平行四边形，则对角线OC的长度和方向表示v1与v2
的合速度v（即实际速度）的大小和方向，这
种求v1与v2合速度v的方法称为平行四边形法则．
图1
【问题解决】
利用平行四边形法则解决下面的问题．
（1）如图2，若小河的水流速度为3 km/h，方向为正东，小船在静水中的航行速度也为3 km/h，方向为正北．根据平行四边形法则可知，小船的实际速度的方向为北偏东__________°方向，大小为__________km/h.
45
图2
（2）如图3，小河的水流速度仍为3 km/h，方向为正东．若要使小船的实际速度的方向为正北，大小为3 km/h.
①尺规作图：在图3中作出表示小船在静水中航行速度的有向线段（保留作图痕迹，不写作图过程）；
图3
解：（2）①如答图1，有向线
段GH即为所求．
答图1
②小船在静水中航行的方向为______________，并求其在静水中航行的速度．
北偏西30°
由题意，可知四边形GMNH为平行四边形，∴GH＝NM＝6.
∴小船在静水中航行的速度为6 km/h.
（3）如图4，小河的水流速度为4 km/h，方向为正东，若要使小船的实际速度的方向为北偏东30°，大小为4 km/h.请求出此时小船在静水中航行速度的方向和大小．
图4
答图2
解：（3）如答图2，CF为小船在静水中航行速度的有向线段，过点C作CQ⊥EF于点Q.
由题意，得CD＝4，CE＝4.
当小船的实际速度的方向为北偏东30°时，即∠QCE＝30°，
∴∠DCE＝60°.∴△CDE为等边三角形．∴CD＝DE.
由题意可知，四边形CDEF为平行四边形，
∴四边形CDEF为菱形．
∴CF＝CD＝4＝CE，∠FCE＝∠DCE＝60°.
∴此时小船在静水中航行速度的方向为北偏西30°，大小为 4 km/h.
【生活情境·停车位】2.（2025广西一模）“小小停车位，关乎大民生”．某数学兴趣小组关注到本校教师每天进校的车辆数超过学校原有的停车位数，有部分车辆不能规范停放，对校园安全存在一定的隐患，于是打算向学校提供一个增设停车位的方案．
素材1：该兴趣小组对学校的一片空地进行了实地测量，测得空地长32 m，宽14 m.
素材2：
停车位布置方式 垂直停车位 倾斜停车位
示意图
车位标准尺寸 长6 m，宽2.5 m 倾斜线长6 m，倾斜线之间的距离为2.5 m
通道 通道宽度不小于3.5 m 任务1　兴趣小组根据素材2分别设计了垂直停车位和倾斜停车位．垂直停车位如图5①所示，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝CD；倾斜停车位如图5②所示，EG＝FH，∠G＝120°，∠H＝60°.请分别判断所设计的两种停车位的形状，并选择一种进行证明．
图5
解：任务1：图5①设计的停车位是矩形，图5②设计的停车位是平行四边形．证明如下：
在图5①中，AB⊥AD，CD⊥AD，∴AB∥CD.
又AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°.∴四边形ABCD是矩形．
在图5②中，∵∠G＝120°，∠H＝60°，
∴∠G＋∠H＝180°.∴EG∥FH.
又EG＝FH，∴四边形EFHG是平行四边形．（证明其中一种停车位的形状即可）
任务2　为了排除校园安全隐患，根据素材提供的信息，若用上述设计的两种停车位，并设置尽可能多的停车位数量，学校在该空地上应选择哪种停车位布置方式？最多可以设置多少个停车位？（参考数据： ≈1.73）
任务2：①设置垂直停车位时，
∵空地长32 m，宽14 m，垂直停车位长6 m，宽2.5 m，通道宽度不小于3.5 m，
∴14÷2.5＝5.6，即按照车位的宽度来设置停车位可以设置5个．
设按照车位的长度来设置停车位可以设置n列，
∴6n＋3.5（n－1）≤32.解得n≤3.7.
∴最多可以设置3列．
∴当设置垂直停车位时，最多可以设置5×3＝15（个）.
②设置倾斜停车位时，如答图3，过点G作GP⊥FH于点P，过点H作HQ⊥EF交EF的延长线于点Q.
答图3
∵四边形EFHG为平行四边形，倾斜线长6 m，倾斜线之间的距离为2.5 m，
∴HF＝GE＝6 m，GH＝EF，GH∥EQ，
GP＝2.5 m．∴∠HFQ＝∠GHF＝60°.
在Rt△HFQ中，∠FHQ＝90°－∠HFQ＝30°，
在Rt△GHP中，∠HGP＝90°－∠GHF＝30°，∴GH＝2HP.
由勾股定理，得GH2－HP2＝GP2，即（2HP）2－HP2＝2.52.
∴每行设置的停车位有（32－3）÷2.88≈10（个）.
∵5.19＋3.5＋5.19＝13.88＜14，
∴可以设置两行倾斜停车位，共有10×2＝20（个）.
∵15<20，∴学校该空地应选择倾斜停车位布置方式，最多可以设置20个停车位．(共9张PPT)
第二十一章　四边形
易错点集训
易错点1　混淆判定定理
例1　下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．四条边都相等的四边形是正方形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．四个角相等的四边形是矩形
错解　A或B或C
错因分析
易错点1；注意特殊四边形的判定是从四边形角度还是平行四边形角度，如对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故A选项错误．
易错点2：混淆判定条件，如四条边都相等的四边形是菱形，故B选项错误；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C选项错误．
正解　D
训练　1.下列命题是真命题的是（　　）
A．一组对边相等的平行四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．对角线互相平分的四边形是菱形
C
2.如图1，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，则下列结论中错误的是（　　）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当∠ABC＝90°时，它是正方形
C．当AC＝BD时，它是矩形
D．当AC⊥BD时，它是菱形
图1
B
易错点2　缺少分类讨论（无图题）
例2　在 ABCD中，∠DAB的平分线交直线CD于点E，且DE＝5，CE＝3，则 ABCD的周长为__________．
错解　26
错因分析　注意题中描述的“交直线CD于点E”，由于题中未给出图形，所以点E的位置不确定，即点E可以在线段DC上（如图2①），也可以在线段DC的延长线上（如图2②）．
① 　　②
图2
正解　26或14
训练　3.在 ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为__________．
作图区：
3或5
答图1
答图2
4.在 ABCD中，AD＝BD，BE是边AD上的高，∠EBD＝20°，则∠C的度数为__________．
作图区：
55°或35°
答图3
答图4(共19张PPT)
第二十一章　四边形
第12课时　菱形的判定
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
新知导学
探索并证明菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（几何直观、推理能力、应用意识、模型观念、运算能力）
课标要求
新知导学
菱形的判定 几何语言 图示
判定1（定义）：有一组____________的平行四边形是菱形． 在 ABCD中，AB＝________________， ∴四边形ABCD是菱形．

判定2：对角线____________的平行四边形是菱形． 在 ABCD中，______________， ∴四边形ABCD是菱形． 判定3：四条边__________的四边形是菱形． 在四边形ABCD中，____________________， ∴四边形ABCD是菱形． 邻边相等
BC（或AD）
互相垂直
AC⊥BD
相等
AB＝BC＝CD＝DA
课堂讲练
例1（判定1）　（人教八下新教材P87）如图1，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD.求证：四边形OCED是菱形．
图1
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝OD.∴四边形OCED是菱形．
训练　1.如图2，在 ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证： ABCD是菱形．
图2
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠ADB＝∠DBC.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC.
∴∠ABD＝∠ADB.∴AB＝AD.∴ ABCD是菱形．
例2（判定2）　（2025中山期末）如图3， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝4，BD＝2，BC＝ ，求证： ABCD是菱形．
图3
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵OB2＋OC2＝12＋22＝5＝BC2，
∴△BOC是直角三角形，∠BOC＝90°.
∴AC⊥BD.∴ ABCD是菱形．
训练　2.如图4，已知矩形ABCD，点E，F分别在CB，AB的延长线上，且B是CE的中点，EF∥AC.求证：四边形ACFE是菱形．
图4
证明：∵B是CE的中点，∴BE＝BC.
∵EF∥AC，∴∠ACB＝∠FEB.
∵∠ABC＝∠FBE，∴△ABC≌△FBE（ASA）.
∴AB＝FB.
又BE＝BC，∴四边形ACFE是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，即AF⊥EC.
∴四边形ACFE是菱形．
例3　（北师九上P7）如图5，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是菱形．
图5
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD.
∵G，H分别是OC，OD的中点，∴GH是△ODC的中位线．
∴GH＝GF＝EF＝EH.∴四边形EFGH是菱形．
训练　3.如图6，在 ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，BD是对角线，且BD⊥BC.求证：四边形BEDF是菱形．
图6
证明：∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC.
∴∠ADB＝∠CBD＝90°.
又AB＝CD，∴DE＝BE＝BF＝DF.
∴四边形BEDF是菱形．
课堂检测
1．（2025龙东地区）如图7，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件_______________________，使平行四边形ABCD为菱形．
图7
AC⊥BD（答案不唯一）
2．（人教八下新教材P79改编）如图8，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.
求证：（1）AD＝BC；（2）四边形ABCD是菱形．
图8
证明：（1）∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD.
∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD.
∴∠BCA＝∠BAC.∴AB＝BC.
同理可得∠ABD＝∠ADB.
∴AB＝AD.∴AD＝BC.
（2）∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
由（1）可知，AB＝BC.
∴四边形ABCD是菱形．
3．（2025扬州节选）（北师九上P7）如图9，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形．
图9
证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，FA＝FC，OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.∴∠OAE＝∠OCF.
∴△OAE≌△OCF（ASA）.∴EA＝FC.
∴EA＝EC＝FA＝FC.∴四边形AFCE是菱形．
4．（人教八下新教材P75改编）数学活动课上，何老师布置了一道题目：如图10，你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个以∠A为内角的菱形吗？石雨的折法如下：
第一步：折出∠A的平分线，交BC于点D；
第二步：折出AD的垂直平分线，分别交AB，
AC于点E，F，把纸片展平；
第三步：折出DE，DF，得到四边形AEDF.
图10
请根据石雨的折法在图中画出对应的图形，并证明四边形AEDF是菱形．
答图1
解：根据石雨的折法在图中画出对应的图形如答图1所示．
证明：∵AD是∠BAC 的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵EF是AD的垂直平分线，∴EA＝ED.
∴∠EAD＝∠EDA.∴∠EDA＝∠CAD.∴ED∥AF.
同理AE∥FD.∴四边形 AEDF是平行四边形．
又EA＝ED，∴四边形 AEDF 是菱形．
随 堂 测(共19张PPT)
第二十一章　四边形
第3课时　多边形的外角和
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
探索并掌握多边形外角和公式．（运算能力、几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）
课标要求
课堂讲练
多边形的外角和
例1　探究多边形的外角和．
（1）知识储备：n边形的内角和等于________________；多边形的每一个内角与和它相邻的外角互为__________，即多边形的每一个内角与和它相邻的外角的度数之和为__________．
（2）探究规律：如图1，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，…分别是多边形的外角．
图1
（n－2）×180°
邻补角
180°
多边形的边数 多边形的内角和 多边形的外角和
3 180° 3×180°－180°＝__________
4 2×180° 4×180°－2×180°＝__________
5 3×180° 5×180°－3×180°＝__________
6 4×180° 6×180°－4×180°＝__________
… … …
n __________ __________×180°－______________＝__________
360°
360°
360°
360°
（n－2）×180°
n
（n－2）×180°
360°
（3）得出结论：多边形的外角和等于__________，与多边形的边数无关．
360°
例2　（1）七边形的外角和为__________；
（2）（人教八下新教材P53改编）一个多边形的外角和与内角和相等，这个多边形的边数是__________；
（3）一个多边形的内角和比外角和多180°，这个多边形的边数是__________．
360°
4
5
训练　1.（人教八下新教材P52改编）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形是几边形？
解：设这个多边形的边数是n.
根据题意，得（n－2）×180°＝3×360°.
解得n＝8.∴这个多边形是八边形．
正多边形的外角与内角
例3　（1）正八边形的外角和是__________，它的每个外角的度数为__________；
（2）正九边形的每个外角的度数为__________，每个内角的度数为__________；
（3）若一个正多边形的每个内角均为108°，则该多边形的每个外角的度数为__________，该多边形是正__________边形．
360°
45°
40°
140°
72°
五
训练　2.（1）正六边形的外角和是__________，每个外角的度数为__________，每个内角的度数为__________；
（2）若一个多边形的每个外角均为30°，则这个多边形的边数为__________；
（3）若一个正多边形的一个内角为144°，则这个正多边形的边数是__________．
360°
60°
120°
12
10
　1.正n边形的每一个内角与和它相邻的外角的度数之和为__________；
180°
n
课堂检测
1．【建筑文化】（2025郑州期末）如图2，天坛公园祈年殿的4根龙井柱所形成的开间象征春夏秋冬四季，12根金柱所形成的开间象征12个月，12根檐柱所形成的开间象征12个时辰；檐柱、金柱合计24根柱子所形成的开间象征农历24节气，加上4根龙井柱所形成的开间合计28个象征周天二十八星宿．
若将12根金柱底部相连构成正十二
边形，则它的每一个外角的度数为
__________．
图2
30°
2．（2025湛江一模）若一个正多边形的每个外角都为60°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．6
B．8
C．10
D．12
A
3．（2025遂宁）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（　　）
A．10
B．11
C．12
D．13
A
4．（人教八下新教材P86）一个多边形的每个内角都相等，且每个内角与它相邻外角的度数比为3∶1，这个多边形的内角和是多少？
解：由题意，可知这个多边形是正多边形．
设这个正多边形的外角是x°，则其相邻的内角是3x°.
根据题意，得x＋3x＝180.解得x＝45.
∴这个正多边形的边数为360°÷45°＝8.
∵（8－2）×180°＝1 080°，
∴这个多边形的内角和为1 080°.
5．如图3，将五边形ABCDE沿直线l裁去一个角，得到六边 形ABCDGF，则下列说法正确的是（　　）
A．外角和减少180°
B．内角和增加180°
C．外角和不变
D．内角和不变
图3
C
6．（2025辽宁模拟）如图4，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，若∠A＋∠B＝215°，则∠1＋∠2＋∠3＝（　　）
图4
A．140° B．180° C．215° D．220°
C
7．【实际应用】如图5，小明从点A出发沿直线前进10 m到达点B，向左转45°后又沿直线前进10 m到达点C，再向左转45°后沿直线前进10 m到达点D，……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时走过的路程为（　　）
A．100 m
B．80 m
C．60 m
D．40 m
图5
B
随 堂 测(共22张PPT)
第二十一章　四边形
第13课时　正方形的性质
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
新知导学
理解正方形的概念；正方形既是矩形，又是菱形．（几何直观、推理能力、应用意识、模型观念、运算能力）
课标要求
新知导学
正方形的性质 边：正方形的四条边都________； 角：正方形的四个角都是________． 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴______________________， _____________________________________________.
对角线：①相等；②互相垂直；③互相平分；④平分每一组对角 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC________BD，AC________BD，OA＝_______＝_______＝_______，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°. 相等
直角
AB＝BC＝CD＝AD
∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝
∠ADC＝90°
＝
⊥
OB
OC
OD
正方形的性质 对称性：正方形是__________图形，它有__________条对称轴．
注：正方形既是矩形，又是菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质． 轴对称
4
课堂讲练
例1　如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
（1）若正方形的边长为2，则对角线的长为________，周长为________，面积为________．
（2）图中共有多少个等腰直角三角形？请全部写出来．
图1
8
4
解：（2）图中共有8个等腰直角三角形，它们是△AOB，△BOC，△COD，△AOD，△ABC，△BCD，△ACD，△ABD.
训练　1.（1）若正方形的面积是25 cm2，则它的边长是________ cm，周长是________ cm，对角线长是________ cm；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且 BC＝BE，则∠BEC＝________°.
图2
5
20
67.5
例2　如图3，E是正方形ABCD的边CD上一点，F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF.求证：BF＝DE.
图3
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADE＝∠BAD＝90°.∴∠ABF＝90°.
∵EA⊥AF，∴∠FAE＝90°.∴∠FAE－∠BAE＝
∠BAD－∠BAE，即∠FAB＝∠EAD.
∴△AFB≌△AED（ASA）.∴BF＝DE.
【一线三垂直】例3　如图4，直线a经过正方形ABCD的顶点A，过点B作BE⊥a，过点D作DF⊥a，垂足分别为E，F，求证：DF＝AE.
图4
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°.∴∠DAF＋∠EAB＝90°.
∵DF⊥a，BE⊥a，∴∠DFA＝∠AEB＝90°.
∴∠FDA＋∠DAF＝90°.∴∠FDA＝∠EAB.
∴△DFA≌△AEB（AAS）.∴DF＝AE.
训练　2.（人教八下新教材P81改编）如图5，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F.求证：DE－BF＝EF.
图5
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠DAE＋∠BAF＝90°.
∵DE⊥AG，BF∥DE，∴∠BFA＝∠DEF＝∠AED＝90°.
∴∠ABF＋∠BAF＝90°.∴∠DAE＝∠ABF.
∴△AED≌△BFA（AAS）.∴AE＝BF，DE＝AF.
∴DE－BF＝AF－AE＝EF.
训练　3.（人教八下新教材P77改编）如图6，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF，AE与BF相交于点O.试判断AE与BF之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
图6
解：AE＝BF，AE⊥BF.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°.
∴△ABE≌△BCF（SAS）.∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF.
∵∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°.
∴∠CBF＋∠AEB＝90°.∴∠BOE＝90°，即AE⊥BF.
课堂检测
1．（人教八下新教材P86）（2025广州期中）如图7，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB＝__________．
图7
15°
2．如图8，正方形ABCD的面积为1，E，F分别为BC，CD的中点，则以EF为边的正方形EFGH的周长为__________．
图8
3．（人教八下新教材P79）如图9，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，过点E且与BD垂直的直线交CD于点F，连接BF.判断DE与CF相等吗？说一说你的理由．
图9
解：相等．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∠BDC＝45°.
∵EF⊥BD，∴∠DEF＝∠BEF＝90°＝∠C.
又BE＝BC，∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL）.∴EF＝CF.
∵∠BDC＝45°，∠DEF＝90°，
∴△DEF为等腰直角三角形．
∴DE＝EF.∴DE＝CF.
4．【正方形中的全等·对角互补】（人教八下新教材P88改编）如图10，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等．
（1）设线段OA′交AB于点E，OC′交BC于
点F.求证：△OEB≌△OFC.
图10
（1）证明：在正方形ABCD中，对角线AC⊥BD，OB＝OA＝OC，
∴∠BOC＝AOB＝90°，∠EBO＝∠FCO＝45°.
在正方形OA′B′C′中，∠A′OC′＝90°，
∴∠EOB＋∠BOF＝∠BOF＋∠FOC＝90°.
∴∠EOB＝∠FOC.
∴△OEB≌△OFC（ASA）.
（2）若正方形ABCD的面积为a，则在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为__________．
0.25a
图10
随 堂 测(共25张PPT)
第二十一章　四边形
第11课时　菱形的性质
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
新知导学
理解菱形的概念；探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直．（几何直观、推理能力、应用意识、模型观念、运算能力）
课标要求
新知导学
菱形的定义：有一组邻边__________的平行四边形是菱形．（由平行四边形的边的特殊化得到菱形） 菱形的性质 边：菱形的四条边都__________． 几何语言：∵四边形ABCD是菱形， ∴____________________．
对角线：菱形的两条对角线互相__________，并且每一条对角线__________一组对角． 几何语言：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC__________BD，OA＝__________，OB＝__________；∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB. 相等
相等
AB＝BC＝CD＝DA
垂直
平分
⊥
OC
OD
菱形的性质 对称性：菱形是__________图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴．
注：菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质． 轴对称
课堂讲练
利用菱形的性质进行边角计算
例1　如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
（1）若AB＝4，则菱形ABCD的周长为___________；
（2）若∠BAD＝80°，则∠BAC＝__________，
∠ABD＝__________；
（3）若AC＝4，BD＝2，
则菱形的边长为__________.　
图1
16
40°
50°
训练　1.如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2.
（1）∠BAO＝__________，△ABC是________三角形；
（2）AC＝__________，BD＝__________.　
图2
60°
等边
2
利用菱形的性质进行面积相关计算
例2　（北师九上P9改编）如图3，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
（1）求证：S菱形ABCD＝ AC·BD；
图3
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
（2）若AC＝6，BD＝9，则菱形ABCD的面积为__________．
27
图3
训练　2.（人教八下新教材P80改编）如图4，四边形ABCD是菱形，周长为20，AC＝8，DH⊥AB于点H.
（1）求菱形ABCD的面积；
图4
解：（1）∵四边形ABCD是菱形且周长为20，
（2）求DH的长．
解：（2）由（1）可知，S菱形ABCD＝24，AB＝5.
总结　菱形的面积＝底×高＝对角线长的乘积的一半．
利用菱形的性质进行证明
例3　（人教八下新教材P74）如图5，在菱形ABCD中，∠A＝60°，连接对角线BD，E，F分别是边AB，BC的中点，分别连接DE，DF，EF.求证：△DEF是等边三角形．
图5
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠A＝60°.
∴△ABD，△BCD都是等边三角形．
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝BE＝BF＝CF，DE⊥AB，DF⊥BC，∠ADE＝∠BDE＝∠BDF＝∠CDF＝30°.∴∠EDF＝60°.
∴DE＝DF.∴△DEF是等边三角形．
课堂检测
1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．四个角都相等
C
2．（人教八下新教材P73改编）如图6，在菱形ABCD中， AC＝3，∠B∶∠BCD＝1∶2，则菱形ABCD的周长为__________．
图6
12
3．（2025广州期中）如图7，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是_____________．
图7
25°
4．（2025深圳模拟）如图8，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，菱形的边长为25 cm，根据实际需要可自行调节A，E间的距离．现测得B，D间的距离为40 cm，则A，E间的距离为__________cm.
图8
90
5．【动点·最值问题】（2025东莞期中）如图9，已知菱形ABCD，AB＝4，∠ABD＝30°，E为BC的中点，P为对角线BD上一点，则 PE＋PC的最小值为__________．
图9
6．（2025广州期中）如图10，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，E，F分别是边BC，CD上的动点，且∠EAF＝60°，连接AC.
（1）求证：CE＝DF.
图10
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴△ADC是等边三角形．
∴AC＝AD，∠D＝∠CAD＝60°.∴∠ACE＝∠D.
∵∠EAF＝60°，
∴∠EAF－∠CAF＝∠CAD－∠CAF，即∠CAE＝∠DAF.
∴△CAE≌△DAF（ASA）.∴CE＝DF.
（2）在点E，F的运动过程中，四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请说明理由．
答图1
解：四边形AECF的面积不发生变化．
如答图1，过点A作AM⊥CD于点M.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝AB＝4.
∵△ADC是等边三角形，AM⊥CD，
由（1）可知，△CAE≌△DAF.∴S△CAE＝S△DAF.
随 堂 测(共20张PPT)
第二十一章　四边形
阶段整合　平行四边形的判定与性质
灵活运用
知识回顾
知识回顾
平行四边形 研究思路 性质 判定
边 对边__________且__________． 1.两组对边分别__________的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别__________的四边形是平行四边形；
3.一组对边____________的四边形是平行四边形．
角 对角__________． 两组对角分别__________的四边形是平行四边形．
对角线 对角线互相__________． 对角线互相__________的四边形是平行四边形．
平行
相等
平行
相等
平行且相等
相等
相等
平分
平分
灵活运用
1．（2025广州期中）在 ABCD中，∠B－∠A＝20°，则∠D的度数为（　　）
A．80°
B．90°
C．100°
D．110°
C
2．根据图中所标数据，不能判断下列选项中的四边形是平行四边形的是（　　）
C
3．（2025广州二模）如图1，在 ABCD中，AC＝BC，DE⊥AC于点E.若∠B＝70°，∠CDE＝____________.
图1
20°
4．（2025东莞一模）如图2，在 ABCD中，AB＝3，AD＝10，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，则EF的长为__________．
图2
4
5．（2025汕头期中）如图3，四边形AEDF是平行四边形，△CFD和△DEB的周长分别为5和10，则△ABC的周长为__________．
图3
15
6．如图4，在 ABCD中，A（－1，0），B（2，0），且 ∠DAO＝60°，则点C的坐标为__________．
图4
7．（2025珠海模拟）如图5，点P在 ABCD的对角线BD上，过点P作EF∥BC，GH∥AB.
（1）图中平行四边形的个数为__________；
（2）已知S ABCD＝22，S四边形BGPE＝2，S四边形PFDH＝10，则四边形AEPH的面积是__________．
图5
9
5
8．如图6，在 ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F.若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的度数为__________．
图6
36°
9．现有一张平行四边形纸片ABCD，AD＞AB，要求用尺规作图的方法在边BC，AD上分别找点M，N，使得四边形AMCN为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图7所示，则作法正确的是__________（填“甲”“乙”或“甲、乙”）．
图7
甲、乙
10．（2025武汉模拟）如图8，将 ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E，F，连接AE，CE，CF，AF.若____________，则AF＝CE.请从①CF∥AE；②DF＝BE；③∠CFD＝∠AFD这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由．
图8
解：可以添加条件①或②.
如答图1，连接AC交BD于点O.
答图1
若添加条件①CF∥AE.理由如下：
∵CF∥AE，∴∠CFO＝∠AEO.
∵∠COF＝∠AOE，OC＝OA，
∴△COF≌△AOE（AAS）.
∴OF＝OE.
∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．∴AF＝CE.
若添加条件②DF＝BE.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵DF＝BE，∴OF＝OE.
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AF＝CE.
11．如图9，在四边形ABCD中，AD∥BC，CE平分∠DCB交AB于点E，且EB＝BC.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
图9
证明：（1）∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE＝∠BCE.
∵EB＝BC，∴∠BEC＝∠BCE.
∴∠BEC＝∠DCE.∴CD∥AB.
又AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）过点B作BF⊥CE，交AD的延长线与点F，求证：DF＝AE.
（2）∵AD∥BC，∴∠F＝∠FBC.
∵EB＝BC，BH⊥CE，∴∠ABF＝∠FBC.
∴∠ABF＝∠F.∴AB＝AF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.
∴DF＝AF－AD＝AF－BC＝AB－BC＝AB－EB.
∴DF＝AE.
12．（2025广州期中）如图10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E，F分别是边AB，AC的中点，延长BC到点D，使CD＝ BC，连 接EF，CE，DF.
（1）猜想四边形CDFE是什么图形？并说明理由．
图10
解：（1）四边形CDFE是平行四边形．理由如下：
∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴四边形CDFE是平行四边形．
（2）连接DE，交AC于点O，若AB＝BD＝6，则DE的长为__________．
图10(共8张PPT)
第二十一章　四边形
题型精讲　平行四边形的存在性问题
例1　（2025惠州期末）如图1，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上．请你在图中找出一点D（在格点上），作出以A，B，C，D四点为顶点的平行四边形．
图1
答图1
解：如答图1，点D可以在D1，D2，D3的位置．
例2　如图2，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F均在格点上，现以点B，E为顶点，再从点A，C，D，F中选择两个点为顶点，构成平行四边形，则下列搭配：①A和C，②A和F，③C和F，④C和D，符合要求的有__________（填序号），并画出相应的平行四边形．
图2
①③④
答图2
解：如答图2，由搭配①画出平行四边形BECA，由搭配③画出平行四边形BEFC，由搭配④画出平行四边形BDEC.
类型1　三定（点A，B，C）一动（点D）
分析：回顾学习四边形的研究思路，即从边、角、对角线的角度进行探究．同样，我们也可以从AB，AC，BC这3条线段哪条是对角线（或边）进行分类讨论．
总结：如右图，
①以AB为对角线，得 ACBD1；
②以AC为对角线，得 ABCD2；
③以BC为对角线，得 ABD3C.
类型2　两定（点A，B）两动（点C，D）
如下图，分两种情况：
①以AB为边，得 ABCD；
②以AB为对角线，得 ACBD.
拓展　中点坐标公式
如下图，若 ABCD的顶点坐标分别为A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD），根据平行四边形对角线互相平分的性质，则有：
1.（2025广州期中）如图3，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（－1，0），B（1，2），C（2，0）.若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_________________
________________．
（4，2）或（－2，
2）或（0，－2）
图3
2.（2025广州期中）如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝12 cm，BC＝18 cm，点P从点A出发，在射线AD上以2 cm/s的速度向右运动；同时点Q从点C出发，在线段BC上以1 cm/s的速度向点B运动．当点Q到达端点B时，点P也停止运动．设点P，Q运动的时间为t s．当t的值为__________时，以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
图4
4或12(共22张PPT)
第二十一章　四边形
第4课时　平行四边形的性质（一）——边、角
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
新知导学
理解平行四边形的概念；探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等；理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离．（几何直观、运算能力、推理能力、模型观念、应用意识）
课标要求
新知导学
平行四边形的定义 性质 图示
两组对边分别__________的四边形是平行四边形．平行四边形用“ ”表示，如右图，平行四边形ABCD记作“__________”． ①对边__________且__________； ②对角__________． 几何语言 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥________，AD∥________； AB＝________，AD＝________； ∠A＝________，∠B＝________．
平行
ABCD
平行
相等
相等
CD
BC
CD
BC
∠C
∠D
课堂讲练
平行四边形的性质——边、角
例1　如图1，已知 ABCD.
（1）若AD＝4，CD＝3，则BC＝________，AB＝________， ABCD的周长为________．
（2）若∠B＝70°，则∠A＝________，
∠C＝________，∠D＝________．
图1
4
3
14
110°
110°
70°
训练　1.如图2，已知 ABCD.
（1）若 ABCD的周长为30 cm，AB＝7 cm，则CD＝________cm，BC＝________cm.
（2）（2025广州期中）若∠A＋∠C＝140°，则∠A＝________，∠D＝________．
（3）（2025东莞期中）若∠B＝2∠A，
则∠B＝________，∠C＝________．
图2
7
8
70°
110°
120°
60°
　1.平行四边形的对边平行→邻角互补（即邻角之和为180°）；
2.平行四边形的对边相等→邻边长之和等于周长的一半．
例2　【模型观念】（人教八下新教材P59改编）（2025珠海期中）如图3，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于点E.
（1）求证：AD＝DE.
图3
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.∴∠2＝∠3.
∵AE平分∠BAD，∴∠1＝∠2.
∴∠1＝∠3.∴AD＝DE.
【模型应用】（2）若AB＝10，BC＝6，则EC的长为__________．
模型总结　①作平行四边形的内角平分线，可得到“三等角，三等边”，例如图3中，∠1＝∠2＝∠3，AD＝DE＝BC.②一般地，对于“平行线”“角平分线”“等腰三角形”，可知二推一．
4
训练　2.如图4，在 ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.求证：△ABE≌△CDF.
图4
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠BAE＝∠DCF.
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
∴△ABE≌△CDF（AAS）.
课堂检测
1．（2025汕头月考）在 ABCD中，∠A与∠B的度数之比为1∶2，则∠C的度数是（　　）
A．120°
B．100°
C．60°
D．50°
C
2．已知一个平行四边形的三条边的长度分别为5，5，7，则第四条边的长度为__________．
7
3．【生活情境】如图5，有一块平行四边形拼图ABCD，小明不小心丢失了∠D处的一片拼图，现测得AE＝60 cm，BC＝80 cm，∠B＝60°，则丢失那片拼图的∠D的度数为__________，DE的长为__________cm.
图5
60°
20
4．（人教八下新教材P67改编）（2025广州期中）如图， OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（4，0），C（1，3），那么顶点B的坐标为__________.　
图6
（5，3）
5．（北师八下新教材P161改编）如图7，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF.求证：AE＝CF.
图7
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD.
又BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）.
∴AE＝CF.
6．（2025宜宾）如图8，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5.求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长．
图8
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD＝5.∴∠D＝∠FCE.
∵E是CD的中点，∴DE＝CE.
∴△ADE≌△FCE（ASA）.∴AD＝FC＝5.
∴BF＝BC＋FC＝5＋5＝10.
7．【模型观念】（2025广州期末）如图9，在 ABCD中，点E在边CD上，连接AE，BE，AE平分∠DAB，BE平分∠CBA.
（1）求证：AE⊥BE；
图9
（1）证明：∵AE平分∠DAB，BE平分∠CBA，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠DAB＋∠CBA＝180°.
∴∠BAE＋∠ABE＝90°.
∴∠AEB＝180°－（∠BAE＋∠ABE）＝90°.
∴AE⊥BE.
（2）若AE＝4，BE＝3，则 ABCD的周长为__________.　
15
8．【易错】在 ABCD中，BE是边AD上的高，若∠ABE＝40°，则∠BAD的度数为______________．
50°或130°
本题没有给出图形，你能确定高BE的具体位置吗？若不能，又该如何分情况讨论呢？请你画出对应的图形进行解答．
随 堂 测(共18张PPT)
第二十一章　四边形
第7课时　平行四边形的判定（二）
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
新知导学
探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）
课标要求
新知导学
上一课时学行四边形的判定：
1.两组对边分别__________的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别__________的四边形是平行四边形；
3.两组对角分别__________的四边形是平行四边形；
4.对角线互相__________的四边形是平行四边形．
图1
平行
相等
相等
平分
课堂讲练
平行四边形的判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
例1　（人教八下新教材P62改编）如图2，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：四边形EBFD是平行四边形．
图2
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，即EB∥FD.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴四边形EBFD是平行四边形．
训练　1.（人教八下新教材P66）如图3，四边形AEFD和四边 形EBCF都是平行四边形．求证：四边形ABCD是平行四边形．
图3
证明：∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD＝EF，AD∥EF.
∵四边形EBCF是平行四边形，
∴BC＝EF，BC∥EF.
∴AD＝BC，AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
例2　如图4，在四边形ABCD中，AD＝BC，点M，N在对角线BD上，且AN＝CM，DN＝BM，求证：四边形ABCD是平行四边形．
图4
∴△ADN≌△CBM（SSS）.
∴∠ADN＝∠CBM.∴AD∥BC.
又AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
训练　2.如图5，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD.求证：四边形ABCD是平行四边形．
图5
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEA＝∠BFC＝90°.
∵∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠BCF.
又DE＝BF，∴△DEA≌△BFC（AAS）.∴AD＝BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
课堂检测
1．如图6，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD，AD＝BC
B．AB＝CD，AB∥CD
C．AB∥CD，AD∥BC
D．AB＝CD，AD∥BC
D
图6
2．如图7，在 ABCD中，G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF.求证：四边形EGFH是平行四边形．
图7
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠GAE＝∠HCF.
∵G，H分别是AB，CD的中点，∴AG＝CH.
又AE＝CF，∴△AGE≌△CHF（SAS）.
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH.
∴∠GEF＝∠HFE.∴GE∥HF.
又GE＝HF，∴四边形EGFH是平行四边形．
3．（人教八下新教材P66）如图8，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝∠B，求证：AD＝BC.
图8
答图1
证明：如答图1，在边AB上截取线段AE，使得AE＝DC.
∵AB∥DC，∴AE∥DC.
又AE＝DC，∴四边形ADCE是平行四边形．
∴AD＝CE，AD∥CE.∴∠A＝∠CEB.
又∠A＝∠B，∴∠CEB＝∠B.
∴CE＝CB.∴AD＝CB.
　你还有其他辅助线作法和解题方法吗？
4．【生活情境】如图9①，某小区门口安装了汽车出入道闸，道闸关闭时，四边形ABCD为长方形，道闸打开的过程如图9②所示，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行，则在转动过程中，AB与CD的关系为______________．
①　　　　　　　②
图9
平行且相等
5．【动点问题】（人教八下新教材P81改编）如图10，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12 cm，BC＝15 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动，到点D即停止运动；同时点Q从点C出发，以2 cm/s的速度向点B运动，到点B时，就停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s）．
（1）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
图10
解：（1）根据题意，得AP＝t，CQ＝2t，BQ＝15－2t.
∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15－2t.解得t＝5.
∴当t＝5时，四边形APQB是平行四边形．
（2）当t＝__________时，四边形PDCQ是平行四边形．
4
变式　6.如图11，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝10 cm，点Q从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2 cm/s的速度在线段BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．若以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值．
图11
解：∵AD∥BC，
∴当QD＝CP时，以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
由题意，得AQ＝t cm，QD＝（8－t）cm.
当点P从点B到点C时，BP＝2t cm，CP＝（10－2t）cm；
当点P从点C返回点B时，BP＝（20－2t）cm，CP＝（2t－10）cm.
∴8－t＝10－2t或8－t＝2t－10.解得t＝2或t＝6.
随 堂 测(共30张PPT)
第二十一章　四边形
第5课时　平行四边形的性质（二）——对角线
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
新知导学
探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分．（几何直观、运算能力、推理能力、模型观念、应用意识）
课标要求
新知导学
1.平行四边形的对边______________，对角__________.　
2.平行四边形的对角线__________．
几何语言（如图1）：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝________＝ AC，
OB＝________＝________BD.
请在右侧完成这一性质的证明过程．
图1
平行且相等
相等
互相平分
OC
OD
3.已知：如图1， ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
求证：OA＝OC，OB＝OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝__________，AB∥__________．
∴∠ABO＝__________，∠BAO＝__________．
∴△ABO≌__________（ASA）.
∴OA＝__________，OB＝__________．
CD
图1
CD
∠CDO
∠DCO
△CDO
OC
OD
课堂讲练
平行四边形的性质——对角线
例1　如图2， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，AD＝9，则OA＝________，OB＝________，△BOC的周长为________．
图2
4
6
19
训练　1.（人教八下新教材P65改编）如图3， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＋BD＝18，AB＝6，则△AOB的周长为________．
图3
15
例2　（人教八下新教材P58）如图4， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F.求证：OE＝OF.
图4
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，DC∥AB.∴∠EBO＝∠FDO.
∴△BEO≌△DFO（ASA）.∴OE＝OF.
训练　2.如图5， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF.求证：BE∥DF.
图5
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
又AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.
∴△BEO≌△DFO（SAS）.
∴∠BEO＝∠DFO.∴BE∥DF.
平行四边形的面积计算
例3　如图6，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，则S ABCD＝BC·__________＝________________·AF.
图6
AE
CD（或AB）
训练　3.（人教八下新教材P57改编）如图7， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，AC＝10，BD＝6.
（1）AD的长为__________；
（2） ABCD的面积为__________．
图7
4
24
例4　如图8，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
（1）若S△ABC＝10，则S△BCD＝__________，
S△ABD＝__________；
（2）若S△AOB＝5，则S△BOC＝__________，
S△COD＝__________；　
（3）若S ABCD＝20，则S△AOD＝__________．
图8
10
10
5
5
5
　平行四边形的一条对角线将其分成面积相等的两个三角形，两条对角线将其分成面积相等的四个三角形．你能解释其中的道理吗？
两条平行线之间的距离
概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离．
注：两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．
例5　如图9，直线a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，则下列说法中错误的是（　　）
A．CE＝FG
B．AB＝CD
C．AB的长就是直线a，b之间的距离
D．CE的长就是直线a，b之间的距离
图9
C
课堂检测
1．（人教八下新教材P57改编）如图10， ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AD＝12 cm，CD＝10 cm，则△AOD的周长比△COD的周长多__________cm.
图10
2
2．如图11， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，且AC＝4，AD＝3，则BD的长为__________.　
图11
3．如图12，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若 ABCD的面积为16，则图中阴影部分的面积为__________．
△AOF和△COE的面积有什么关系呢？阴影部分的面积可以转化为哪个三角形的面积呢？
图12
4
4．（人教八下新教材P66改编）如图13，直线l1∥l2，则S△ABC__________S△DBC（填“＞”“＜”或“＝”），理由：__________________________．
图13
＝
两条平行线间的距离相等
5．如图14，已知 ABCD和 AECF的顶点B，E，F，D在同一条直线上，求证：DF＝BE.
图14
证明：如答图1，连接AC交BD于点O.
∵四边形ABCD和四边形AECF均为平行四边形，
∴OD＝OB，OF＝OE.
∴OD－OF＝OB－OE，即DF＝BE.
答图1
6．（人教八下新教材P59改编）如图15，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD于点O，交AD于点E，连接BE.若 ABCD的周长为28，则△ABE的周长为__________．
图15
14
此类图形构造在特殊四边形中很常见，由 ABCD的对角线互相________→点O是BD的________＋垂直关系OE⊥BD→OE是BD的____________线．
平分
中点
垂直平分
7．（人教八下新教材P59）如图16，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝5，E为边BC上一点，AB∥DE.求AD，BC之间的距离．
图16
解：∵AD∥BC，AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴BE＝AD＝3，DE＝AB＝4.
∵BC＝5，∴CE＝BC－BE＝2.
在Rt△CDE中，∠C＝90°，由勾股定理，
8．【情境·操作·探究】（人教八下新教材P67改编）探究：（1）如图17，李老师用硬纸板剪出一个平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，用大头针把一根平放在平行四边形上的细直木条（可看作一条线）固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，木条交AD于点E，交BC于点F.观察几次转动的结果，
猜想四边形ABFE与四边形CDEF的面积有何关系？
并说明理由．
图17
解：（1）相等．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD.
∴△AOB≌△COD（SSS）.
∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO.
又∠EOA＝∠FOC，∴△AOE≌△COF（ASA）.
同理可得△BOF≌△DOE（ASA）.
∴S△AOB＋S△AOE＋S△BOF＝S△COD＋S△COF＋S△DOE，
即S四边形ABFE＝S四边形CDEF.
四边形ABFE与四边形CDEF的周长有何关系？
应用：（2）如图18，点P在 ABCD的内部，请在AB上找一点Q，使得直线PQ平分 ABCD的周长和面积．（只需画出图形，不写过程）
图18
解：（2）如答图2，点Q即为所求．
答图2
实践：（3）如图19，现有一块形状不规则的空地由 ABCD和 GDEF组成，王叔叔计划修建一条小路（不考虑小路的宽度，视为直线l），在被小路分成的两部分空地上分别种上月季和郁金香两种花，若想要这两种花的种植面积相等，这条小路该如何修建？请你帮王叔叔画出小路的位置．（只需画出图形，不写过程）
图19
答图3
解：（3）如答图3，直线l即为小路的位置．
随 堂 测(共19张PPT)
第二十一章　四边形
微专题2　四边形中的折叠问题
关于折叠的性质：
①折叠前后的两部分图形关于折痕成__________；
②折叠前后的两部分图形全等，对应边__________，对应角__________；
③折叠之后对应点的连线被折痕____________．
轴对称
相等
相等
垂直平分
例1　（原创）如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，将△BCE沿CE折叠，点B落在边AD上的点F处．
（1）图1中，由折叠得到的相等的角有：∠BCE＝_________，________＝∠FEC，∠CFE＝_________；相等的边有：________＝CF，BE＝__________．
（2）若∠DCF＝40°，求∠CEF的度数．
图1
∠FCE
∠BEC
∠B
CB
EF
解：（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠BCD＝90°.
由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE，∠B＝∠CFE＝90°.
∵∠DCF＝40°，
∴∠CEF＝90°－∠FCE＝65°.
（3）若AD＝10，CD＝8，求BE的长．
解：（3）∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD＝10，AB＝CD＝8，∠A＝∠D＝90°.
由折叠的性质可知，FC＝BC＝10，EF＝BE.
在Rt△CDF中，由勾股定理，得
∴AF＝AD－DF＝10－6＝4.
设BE＝x，则EF＝x，AE＝8－x.
在Rt△AEF中，由勾股定理，得AE2＋AF2＝EF2，
即（8－x）2＋42＝x2.
解得x＝5.
∴BE的长为5.
例2　（原创）如图2，在矩形ABCD中，F，G分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿FG折叠，点D落在点B处．
（1）若∠BFG＝2∠AFB，则∠BGE＝_________；
（2）求证：△BFG是等腰三角形；
图2
36°
（2）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC.∴∠DFG＝∠FGB.
由折叠的性质可知，∠DFG＝∠GFB.
∴∠GFB＝∠FGB.
∴△BFG是等腰三角形．
（3）若AB＝2，BC＝4，求BG的长．
（3）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD＝4，AB＝CD＝2，∠A＝90°.
由折叠的性质可知，BF＝DF.
由（2）知，△BFG是等腰三角形．∴BF＝BG.
设BF＝BG＝x，则DF＝x，AF＝4－x.
在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB2＋AF2＝BF2，
找等量 找出折叠前后的位置关系和数量关系，找到相等的角和相等的线段是关键．
解题目 （1）角度问题：通常根据折叠前后的对应角相等，结合特殊四边形的性质、三角形内角和、外角等进行角度的转化与和差计算；
（2）长度问题：多出现在矩形和正方形中，根据折叠前后的对应边相等，结合特殊四边形的性质、三角形全等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，通过设参列方程求得线段的长度．
训练　1.如图3，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处．若∠DBC＝24°，则∠A′EB的度数是____________．
图3
57°
2．如图4，将矩形纸片ABCD沿折痕EF折叠，点D，C的对应点分别为点D′，C′，D′C′交BC于点G，若∠FGC′＝20°，则∠DEF的度数是__________．
图4
55°
3．如图5，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°，将正方形ABCD沿EF折叠，点B恰好落在边AD上的点B′处，则BE的长为__________．
图5
2
4．如图6，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝40°，则∠B的度数为__________．
图6
120°
5．如图7，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到边AB上的点D′处，直线l交CD于点E，连接BE.若BE平分∠ABC，且AB＝5，BE＝4，则AE＝__________．
图7
3
6．如图8，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在边AD的点B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是__________．
图8
7．如图9，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边CD上），点D恰好落在边OC上的点F处，已知A（0，8），CE＝3.则点F的坐标为__________．
图9
（6，0）
8．取一张边长为2的正方形纸片ABCD，按如图10所示的方法折叠两次，则DE的长为（　　）
图10
A
9．【分类讨论】如图11，在 ABCD中，AB＝4 .BC＝10，∠A＝45°，E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠，得到△FEB，设BF与AD交于点M，当BF与 ABCD的一边垂直时，DM的长为__________．
图11
2或6
10．如图12，已知正方形ABCD的边长为12，E是边AD的中点，将正方形ABCD沿BE翻折，点A落在点F处，延长EF交CD于点G， 则CG的长为__________．
图12
4(共25张PPT)
第二十一章　四边形
第2课时　多边形及其内角和
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
新知导学
了解多边形（指凸多边形）的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；探索并掌握多边形内角和公式．（几何直观、运算能力、推理能力、模型观念、应用意识）
课标要求
新知导学
1．多边形：在平面内，由n（n≥3）条线段A1A2，A2A3，…，An－1An，AnA1__________顺次相接，组成的图形叫作多边形．多边形有几条边就叫作几边形．多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示，如图1中的六边形记作“__________________”．
图1
首尾
六边形ABCDEF
2．多边形的内角：多边形__________两边组成的角．（如图1中的∠1）
3．多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的__________组成的角．（如图1中的∠2）
4．多边形的对角线：连接多边形__________的两个顶点的线段．（如图1中的线段AC，AD）
5．正多边形：各个角都__________，各条边都__________的多边形．
相邻
延长线
不相邻
相等
相等
课堂讲练
多边形的相关概念
例1　下列图形中，是多边形的是__________，是凸多边形的是__________．（填序号）
①③④
①④
训练　1.关于多边形，下列说法正确的是_________.（填序号）
①三角形是边数最少的多边形；
②等边三角形和长方形都是正多边形；
③各个角都相等的多边形是正多边形；
④n边形有n条边、n个顶点、n个内角、2n个外角；
⑤五角星是凸多边形．
①④
多边形的内角和
例2　如图2，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形分为若干个三角形，探究多边形的内角和规律．
图2
多边形的边数 3 4 5 6 … n
从一个顶点 引出的对角线条数 0 ________ ________ ________ … __________
分成的三角形个数 1 ________ ________ ________ … __________
多边形的内角和 180° ______× 180° ______× 180° ______× 180° … __________×180°
1
2
3
n－3
2
3
4
n－2
2
3
4
（n－2）
由此，我们可以得出，从n（n≥3）边形的一个顶点出发，可以作__________条对角线，它们将n边形分为__________个三角形， n边形的内角和等于_______________．
（n－3）
（n－2）
（n－2）×180°
例3　（1）六边形的内角和为__________°，七边形的内角和为__________°；
（2）（人教八下新教材P52 改编）若一个n边形的内角和为 1 080°，求n的值．
720
900
解：（2）根据题意，得（n－2）×180°＝1 080°.
解得n＝8.∴n的值为8.
训练　2.（1）九边形的内角和为__________°；
（2）一个多边形的内角和为1 800°，求它的边数．
1 260
解：（2）设这个多边形的边数为n.
根据题意，得（n－2）×180°＝1 800°.
解得n＝12.∴它的边数为12.
正多边形的内角与边数的关系
例4　正五边形的内角和为__________，每个内角的度数为__________．
540°
108°
例5　（人教八下新教材P52改编）若一个正n边形的每个内角均为150°，求n的值．
解：根据题意，得（n－2）×180°＝150°×n.
解得n＝12.∴n的值为12.
训练　3.（2025北京）若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为（　　）
A．60
B．90
C．120
D．150
C
4.（2025扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为__________．
9
课堂检测
1．（2025东莞二模）若一个多边形的内角和是1 440°，则这个多边形的边数是（　　）
A．7
B．8
C．9
D．10
D
2．（2025清远模拟）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形的内角和是（　　）
A．360°
B．540°
C．720°
D．900°
B
3．（人教八下新教材P52改编）若一个正多边形的每个内角都是135°，则这个多边形是（　　）
A．正七边形
B．正八边形
C．正九边形
D．正十边形
B
4．（人教八下新教材P52）求出下列图形中x的值．
x＝__________　　　　x＝__________
60
135
5．（2025眉山）如图3，直线l与正五边形ABCDE的边AB，DE分别交于点M，N，则∠1＋∠2的度数为（　　）
A．216°
B．180°
C．144°
D．120°
图3
C
6．（2025湖南）如图4，图4①为传统建筑中的一种窗格，图4②为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，∠AMB＝__________°.
图4
45
7．（1）一个n边形剪去一个角（剪痕不过顶点）后，形成的新多边形内角和是900°，则n＝__________．
（2）【分类讨论】（2025广州月考）一个n边形剪去一个角后，形成的新多边形内角和是720°，则n＝__________．
6
5或6或7
随 堂 测(共32张PPT)
第二十一章　四边形
微专题3　与正方形有关的模型
类型 十字模型
一题精讲　例1　（1）（人教八下新教材P77改编）（2025韶关期末）如图1，在正方形ABCD中，M，N分别是边CD，AD的中点，连接AM，BN交于点O.猜想AM与BN之间的位置关系和数量关系，并说明理由．
图1
（1）解：AM⊥BN，且AM＝BN.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAN＝∠ADM＝90°.
∵M，N分别是边CD，AD的中点，
∴△ABN≌△DAM（SAS）.∴BN＝AM，∠ABN＝∠DAM.
∵∠DAM＋∠BAO＝90°，∴∠ABN＋∠BAO＝90°.
∴∠AOB＝180°－（∠ABN＋∠BAO）＝90°.∴AM⊥BN.
BN右移至EN→（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，M，N分别在边BC，CD，AD上，连接AM，EN交于点O，且AM⊥EN.求证：DN＋DM＝CE.
图2
（2）证明：如答图1，过点N作NG⊥BC于点G，
则∠NGE＝∠NGC＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠C＝∠D＝90°.
∴四边形CDNG是矩形．
∴CD＝NG，DN＝CG，∠DNG＝90°.
∴AD＝NG，∠ANO＋∠GNE＝90°.
又∠ANO＋∠DAM＝90°，∴∠DAM＝∠GNE.
∵∠D＝∠NGE＝90°，∴△ADM≌△NGE（ASA）.
∴DM＝GE.∴DN＋DM＝CG＋GE＝CE.
答图1
AM下移至FM→（3）如图3，在正方形ABCD中，点F，E，M，N分别在边AB，BC，CD，AD上，连接FM，EN交于点O，且FM⊥EN.求证：FM＝NE.
图3
答图2
（3）证明：如答图2，过点N作NG⊥BC于点G，过点F作FH⊥CD于点H，则∠FHM＝∠FHD＝∠NGE＝∠NGC＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠C＝∠D＝90°.
∴四边形CDNG是矩形．∴CD＝NG.
同理可得四边形ADHF是矩形，AD＝FH.∴FH＝NG.
在四边形CMOE中，∠C＝∠EOM＝90°，
∴∠NEG＋∠CMO＝180°.
又∠CMO＋∠FMH＝180°，∴∠FMH＝∠NEG.
∵∠FHM＝∠NGE＝90°，∴△FHM≌△NGE（AAS）.
∴FM＝NE.
识别十字模型：
当正方形中存在两条互相垂直的线段时，看起来是十字，故称之为十字模型．
图形理解：
条件：AM⊥BN
结论：△ADM≌△BAN
条件：AM⊥EN
结论：△ADM≌△NGE
条件：FM⊥EN
结论：△FHM≌△NGE
解题策略：
（1）寻图形：寻找或构造（作垂直或作平行）十字模型所在的直角三角形；
（2）证全等：利用正方形的性质可以得到直角和对应边相等，再通过同（等）角的余角相等进行角度转化得到对应角相等，进而证明十字模型所在的直角三角形为全等三角形．
模型 对角互补模型
一题精讲　例2　（人教八下新教材P88改编）如图4，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点O又是正方形MNHO的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，OM，OH分别与正方形ABCD的边AB，BC相交于点E，F.
（1）猜想线段OE，OF的数量关系，
并进行证明．
图4
（1）解：OE＝OF.证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOB＝90°.
∵四边形MNHO是正方形，∴∠EOF＝90°.
∴∠AOB－∠EOB＝∠EOF－∠EOB，即∠AOE＝∠BOF.
∴△AOE≌△BOF（ASA）.∴OE＝OF.
（2）求证：BE＋BF＝ OB.
（2）证明：由（1）知，△AOE≌△BOF.
∴AE＝BF.∴BE＋BF＝BE＋AE＝AB.
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠AOB＝90°，即△AOB是等腰直角三角形．
∴AB2＝OA2＋OB2，即AB2＝2OB2.
（3）连接EF，求证：AE2＋CF2＝EF2.
（3）证明：由（1）知，△AOE≌△BOF.∴AE＝BF.
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°.
∴AB－AE＝BC－BF，即BE＝CF.
∴AE2＋CF2＝BF2＋BE2.
在Rt△BEF中，由勾股定理，得BF2＋BE2＝EF2.
∴AE2＋CF2＝EF2.
（4）若四边形BEOF的面积是3，则OB的长为__________，正方形ABCD的面积为__________．
12
变式　如图5，在正方形ABCD中，H为对角线BD上任意一点，E，F分别为AD，CD上的动点，连接HE，HF，且HE⊥HF.求证：HE＝HF.
图5
答图3
证明：如答图3，过点H作HM⊥AD于 点M，HN⊥CD于点N，则∠HMD＝∠HME＝∠HNF＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∠ADB＝45°.
∴∠HMD＝∠ADC＝∠HNF＝90°.∴四边形HMDN是矩形．
∵∠HMD＝90°，∠ADB＝45°，
∴△HMD是等腰直角三角形．
∴HM＝DM，∴矩形HMDN是正方形．
∴HM＝HN，∠MHN＝90°.
∵HE⊥HF，∴∠EHF＝∠MHN＝90°.
∴∠EHM＋∠MHF＝∠MHF＋∠FHN.∴∠EHM＝∠FHN.
∴△EHM≌△FHN（ASA）.∴HE＝HF.
答图3
识别对角互补模型：
正方形中存在四边形的一组对角之和为180°.
图形理解：
（1）直角在对角线交点上：
（寻找旋转型的全等三角形）
结论：
①△AOE≌△BOF，
△BOE≌△COF；
②OE＝OF，△EOF为等腰直角三角形；
③BE＋BF＝ OB；
④S四边形BEOF＝S△AOB＝ OB2＝ S正方形ABCD.
（2）直角在对角线上：
（作垂线构造全等三角形）
结论：
①△EHM≌△FHN；
②HE＝HF，四边形BMHN为正方形；
③BE＋BF＝ BH；
④S四边形BEHF＝ BH2.
类型 半角模型
例3　如图6，在正方形ABCD中，点E，F分别在直线BC， CD上运动，且始终保持∠EAF＝45°.
（1）点E，F分别在边BC，CD上时，求证：EF＝BE＋DF.
图6
答图4
（1）证明：如答图4，延长CB至点H，
使BH＝DF，连接AH.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADF＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AB.
∴∠ABH＝180°－∠ABC＝90°＝∠ADF.
∴△ADF≌△ABH（SAS）.∴∠DAF＝∠BAH，AF＝AH.
∴∠FAH＝∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF＝∠BAD＝90°.
∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＋∠BAE＝45°.
∴∠BAH＋∠BAE＝45°＝∠EAH.∴∠EAH＝∠EAF.
∴△FAE≌△HAE（SAS）.∴EF＝EH＝BE＋BH.∴EF＝BE＋DF.
（2）如图7，当点E，F分别在射线CB，DC上时，猜想线段BE，DF和EF之间的数量关系，并证明．
图7
答图5
（2）解：DF－BE＝EF.证明如下：
如答图5，在DC上截取DH＝BE，连接AH.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝∠ABE＝90°.
∴△ABE≌△ADH（SAS）.
∴AE＝AH，∠BAE＝∠DAH.
∴∠BAE＋∠BAH＝∠BAH＋∠DAF＝90°，
即∠EAH＝∠BAD＝90°.
∵∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠HAF＝45°.
又AF＝AF，∴△EAF≌△HAF（SAS）.
∴EF＝HF.
∵HF＝DF－DH＝DF－BE.∴EF＝DF－BE.
条件：在正方形ABCD中，
∠EAF＝45°.
辅助线作法：延长CB至点G，使BG＝DF，连接AG，GF.
结论：①△AGB≌△AFD，
△AEG≌△AEF；
②EF＝BE＋DF；
③AH＝AB；
④FA平分∠DFE，EA平分∠BEF.
类型 一线二等角模型
例4　（人教八下新教材P88）如图8，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE＝EF.
图8
答图6
证明：如答图6，取AB的中点M，连接EM.
∵四边形ABCD正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝∠DCG＝90°.
∵M，E分别是边AB，BC的中点，
∴AM＝BM＝BE＝EC.
∴∠BME＝∠BEM＝45°.
∴∠AME＝135°.
∵CF平分∠DCG，∴∠DCF＝∠FCG＝45°.
∴∠ECF＝∠BCD＋∠DCF＝135°.∴∠AME＝∠ECF.
∵∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠CEF＝90°.
又∠AEB＋∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠CEF.
∴△AME≌△ECF（ASA）.∴AE＝EF.
类型 手拉手模型
例5　如图9，已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG.请判断BE与DG的数量关系与位置关系，并证明．
图9
解：BE＝DG，BE⊥DG.证明如下：
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴∠BAD＝∠GAE＝90°，AB＝AD，AE＝AG.
∴∠BAD＋∠EAD＝∠GAE＋∠EAD.
∴∠BAE＝∠GAD.∴△BAE≌△GAD（SAS）.
∴BE＝DG，∠EBA＝∠GDA.
如答图7，设BE与DG交于点M，BE与AD交于点N.
在△DMN和△ABN中，∠DNM＝∠ANB，∠EBA＝∠GDA，
∴∠DMN＝∠NAB＝90°.∴BE⊥DG.
答图7(共19张PPT)
第二十一章　四边形
第10课时　矩形的判定
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
新知导学
探索并证明矩形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形．（几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）
课标要求
新知导学
矩形的定义（判定1）：有一个角是__________的平行四边形是矩形．
1.（人教八下新教材P70改编）如图1，在 ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC＝DB.求证： ABCD是矩形．
直角
图1
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC.
又BC＝CB，AC＝DB，
∴△ABC≌△DCB（SSS）.∴∠ABC＝∠DCB.
∵AB∥DC，∴∠ABC＋∠DCB＝180°.
∴∠ABC＝∠DCB＝90°.∴ ABCD是矩形．
2.如图2，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．
图2
证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝∠B＋∠C＝180°.
∴AD∥BC，AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形．
→判定2：对角线________的平行四边形是矩形．
→判定3：有三个角是________的四边形是矩形．
相等
直角
课堂讲练
例1（判定1）　如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M为斜边AB上一点，过点M分别作MD∥BC交AC于点D，ME∥AC交BC于点E.求证：四边形DMEC是矩形．
图3
证明：∵MD∥BC，ME∥AC，
∴四边形DMEC是平行四边形．
又∠C＝90°，
∴四边形DMEC是矩形．
训练　1.如图4，在 ABCD中，M是AD的中点，连接BM，CM，且BM＝CM，求证： ABCD是矩形．
图4
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥CD.
∵M是AD的中点，∴AM＝DM.
又BM＝CM，∴△ABM≌△DCM（SSS）.
∴∠A＝∠D.
∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.
∴∠A＝90°.∴ ABCD是矩形．
例2（判定2）　如图5，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是矩形．
图5
证明：∵∠1＝∠2，∴AO＝BO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO.∴AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形．
训练　2.如图6，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE⊥AC于点E，过点C作CF⊥BD于点F，且BE＝CF.求证：四边形ABCD是矩形．
图6
证明：∵BE⊥AC，CF⊥BD，
∴∠OEB＝∠OFC＝90°.
又∠BOE＝∠COF，BE＝CF，
∴△BEO≌△CFO（AAS）.∴OB＝OC.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD＝2OB，AC＝2OC.
∴BD＝AC.∴四边形ABCD是矩形．
例3（判定3）　如图7，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F.求证：四边形AECF为矩形．
图7
证明：∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠EAF＝180°－∠AEC＝90°.
∴四边形AECF是矩形．
训练　3.（人教八下新教材P71改编）如图8，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，AN平分外角∠CAM，过点C作CE⊥AN于点E.求证：四边形ADCE是矩形．
图8
∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°.
∴四边形ADCE是矩形．
证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∵∠BAC＋∠CAM＝180°，
课堂检测
1．下列说法正确的有__________．（填序号）
①有一个角是直角的四边形是矩形；
②四个角相等的四边形是矩形；
③对角线相等的四边形是矩形；
④对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
⑤对角互补的平行四边形是矩形．
②④⑤
2．（2025北京节选）如图9，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC.求证：四边形DFCG是矩形．
图9
证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥BC.
又DG＝FC，∴四边形DFCG是平行四边形．
∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°.
∴四边形DFCG是矩形．
3．如图10，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠AOB＝2∠OAD.求证：四边形ABCD是矩形．
图10
证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠AOB＝∠OAD＋∠ODA＝2∠OAD，
∴∠OAD＝∠ODA.∴AO＝DO.
∴AO＝BO＝CO＝DO.∴AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形．
4．【动点·最值问题】如图11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是边AB上一动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为__________．
图11
随 堂 测(共26张PPT)
第二十一章　四边形
第6课时　平行四边形的判定（一）
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
新知导学
探索并证明平行四边形的判定定理；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．（几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）
课标要求
新知导学
1．平行四边形的性质：对边__________且__________；对角__________；对角线互相__________．
2．平行四边形的判定：
平行
相等
相等
平分
平行四边形的判定 几何语言 图示
判定1（定义）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ∵_____________________， ∴四边形ABCD是平行四边形．
AB∥CD，AD∥BC
平行四边形的判定 几何语言 图示
判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ∵__________________， ∴四边形ABCD是平行四边形．
判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 如：∵∠A＝∠C，____________， ∴四边形ABCD是平行四边形． 判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形． ∵__________________， ∴四边形ABCD是平行四边形．
AB＝CD，AD＝BC
∠B＝∠D
OA＝OC，OB＝OD
课堂讲练
平行四边形的判定1（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
例1　如图1，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：四边形ABCD是平行四边形．
图1
证明：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.
∵∠3＝∠4，∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
训练　1.如图2，在 ABCD中，点E，F分别是边BC，AD上的点，且∠1＝∠2.求证：四边形AECF是平行四边形．
图2
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥CE.∴∠1＝∠EAF.
又∠1＝∠2，∴∠2＝∠EAF.
∴CF∥AE.∴四边形AECF是平行四边形．
平行四边形的判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
例2　（北师八下新教材P162）如图3，在四边形ABCD中， ∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形．
图3
∴△ABC≌△CDA（AAS）.∴AB＝CD，BC＝DA.
∴四边形ABCD是平行四边形．
训练　2.如图4，在 ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且∠BCE＝∠DAF.求证：四边形AECF是平行四边形．
图4
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝DA，∠B＝∠D，AB＝CD.
又∠BCE＝∠DAF，
∴△EBC≌△FDA（ASA）.∴CE＝AF，BE＝DF.
∴AB－BE＝CD－DF，即AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形．
平行四边形的判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
例3　如图5，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，AB∥CD.求证：四边形ABCD是平行四边形．
图5
证明：∵AB∥CD，
∴∠A＋∠D＝180°，∠B＋∠C＝180°.
又∠A＝∠C，∴∠B＝∠D.
∴四边形ABCD是平行四边形．
　一组对边平行且一组对角相等的四边形一定是平行四边形．
训练　3.如图6，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠DCA＝∠CAB.求证：四边形ABCD是平行四边形．
图6
证明：∵∠B＝∠D，∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ACB.
∴∠DAC＋∠CAB＝∠ACB＋∠DCA，
即∠DAB＝∠DCB.
又∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形．
平行四边形的判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
例4　（人教八下新教材P60）如图7， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．
图7
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.
又OB＝OD，∴四边形BFDE是平行四边形．
训练　4.（人教八下新教材P66）如图8，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
图8
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，
∴OE＝OG，OF＝OH.
∴四边形EFGH是平行四边形．
课堂检测
1．如图9，在四边形ABCD中，AC交BD于点O，O为AC的中点，添加下列条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．OB＝OD
B．AB＝CD
C．AC＝BD
D．AD＝BC
图9
A
2．下列给出的四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．1∶2∶3∶4
B．2∶3∶2∶3
C．2∶2∶3∶3
D．1∶2∶3∶3
B
3．（人教八下新教材P62改编）图10是由六个全等的正三角形拼成的图形，则图中平行四边形的个数为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
图10
C
4．（2025广州二模）如图11，在四边形ABCD中，AB∥CD，BE平分∠ABC且交AD于点E，AB＝AE.求证：四边形ABCD是平行四边形．
图11
证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.
∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB.
∴∠AEB＝∠CBE.∴AD∥BC.
又AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
5．如图12， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BM⊥AC，DN⊥AC，垂足分别为M，N.求证：四边形BMDN是平行四边形．
图12
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD.
∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴∠OMB＝∠OND＝90°.
∴△OBM≌△ODN（AAS）.∴OM＝ON.
∴四边形BMDN是平行四边形．
6．（人教八下新教材P67改编）如图13，在四边形ABCD中，∠ADB＝90°，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26.
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
图13
（1）证明：∵∠ADB＝90°，
在Rt△OAD中，根据勾股定理，
∵AC＝26，∴CO＝AC－AO＝26－13＝13.
∴CO＝AO.
又OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）求四边形ABCD的面积．
（2）解：由（1），知四边形ABCD是平行四边形．
∴BD＝2OD＝10.
∴四边形ABCD的面积为AD·BD＝12×10＝120.
7．【尺规作图】在综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．图14是其作图过程．在嘉嘉的作法中，判定四边形ABCD为平行四边形的依据是____________________________________．
图14
对角线互相平分的四边形是平行四边形
8．【生活情境】图15①是四连杆平开窗铰链，图15②为其示意图，已知AB＝40 cm，BC＝25 cm，DE＝CF＝10 cm，CD＝EF＝ 9 cm，当CD⊥AB时，窗户为完全开启状态，则点A到点E的距离为__________cm.
图15
28
9．【网格作图】（2025上海期末）如图16，在3×3的正方形网格中，以线段AB（点A，B均在格点上）为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画出几个呢？请你在下图中一一画出．
图16
解：这样的平行四边形最多可以画出5个．画出的平行四边形如答图1～5所示．
答图1
答图2
答图3
答图4
答图5
随 堂 测(共24张PPT)
第二十一章　四边形
第9课时　矩形的性质
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
新知导学
理解矩形的概念；探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等．（几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）
课标要求
新知导学
矩形的定义：有一个角是_______的平行四边形叫作矩形．（由平行四边形角的特殊化得到矩形）
注：（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质；
（2）矩形是轴对称图形，它每组__________连线所在的直线是它的对称轴．
直角
对边中点
矩形的性质：
探究　（北师九上P11改编）已知：如图1，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与BD相交于点O.求证：
（1）∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB（矩形的_______相等），AB∥DC（____________________）．∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
又∠ABC＝90°，∴∠BCD＝__________°.
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°.
图1
对角
矩形的对边平行
90
（2）AC＝BD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC（矩形的对边相等）．
∴△ABC≌△DCB（SAS）.∴AC＝DB.
→性质1：矩形的四个角都是__________；
几何语言：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝__________°.
直角
90
→性质2：矩形的对角线__________．
几何语言：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC__________BD.
相等
＝
课堂讲练
矩形的性质
例1　如图2，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝3，AC＝5.
（1）BD＝__________，BC＝__________；
（2）矩形ABCD的周长为__________.　
图2
5
4
14
训练　1.（人教八下新教材P69改编）如图3，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AB＝6，则∠ACB＝________，AC＝________，矩形ABCD的面积为________．
图3
30°
12
例2　如图4，在矩形ABCD中，E，F是边BC上的两点，且 AF＝DE.
（1）求证：BE＝CF；
图4
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC.
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）.
∴BF＝CE.∴BF－EF＝CE－EF，即BE＝CF.
（2）若∠AFB＝45°，AB＝4，CF＝2，则EF的长为__________．
2
图4
训练　2.（人教八下新教材P70改编）如图5，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC交BC的延长线于点E.
（1）求证：BD＝ED；
（2）若∠E＝40°，则∠BOC的度数为_____________．
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴OB＝OC.∴∠OBC＝∠OCB.
∵DE∥AC，∴∠E＝∠OCB.
∴∠E＝∠OBC.∴BD＝ED.
图5
100°
直角三角形斜边中线的性质
直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________．
几何语言（如图6）：
∵BO为Rt△ABC的斜边AC上的中线，
∴BO＝ AC.
一半
图6
例3　如图7，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点．
（1）若BC＝6，AC＝8，则CD的长为___________；
（2）若∠A＝35°，则∠DCB的度数是___________．
图7
5
55°
训练　3.（2025广州期末）如图8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.若∠ECD＝50°，E是斜边AB的中点，则∠A的度数是__________.　
图8
20°
课堂检测
1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线相等
B．对角线互相平分
C．对边平行
D．对角相等
A
2．已知一个直角三角形斜边上的中线和高的长度分别是6和5，则这个三角形的面积是（　　）
A．10
B．15
C．20
D．30
D
3．（2025珠海期中）如图9，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E.若∠AOD＝120°，则∠CDE的度数是_____________．
图9
30°
4．如图10，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，点F在BE上，连接CF，且BF＝CF.
（1）∠DCF的度数为________；
（2）若BC＝4，CD＝3，则DE＝________，EF＝________．
图10
45°
2
5．（人教八下新教材P79改编）如图11，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C′，BC′交AD于点E.
（1）试判断△BED的形状，并证明；
图11
解：（1）△BED为等腰三角形．证明如下：
由折叠的性质，得∠EBD＝∠DBC.
∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC.
∴∠EDB＝∠DBC.∴∠EDB＝∠EBD.∴BE＝ED.
∴△BED为等腰三角形．
（2）【方程思想】若AB＝2，BC＝8，求AE的长．
解：（2）∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝8，∠A＝90°.
设AE＝x，则BE＝ED＝8－x.
在Rt△BAE中，由勾股定理，得BE2＝AB2＋AE2，
随 堂 测(共9张PPT)
第二十一章　四边形
图形整合　平行四边形、矩形、菱形、正方形的综合探究
特殊四边形之间的关系：
例1　（1）如图1， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别以点C，D为圆心， BD， AC长为半径画弧，两弧交于点P，并连接CP，DP.判断四边形CODP的形状，并说明理由．
图1
解：（1）四边形CODP是平行四边形．理由如下：
∴四边形CODP是平行四边形．
（2）如图2，将（1）中的 ABCD变为矩形，再次判断四边形CODP的形状，并说明理由．
图2
解：（2）四边形CODP是菱形．理由如下：
由（1），得四边形CODP是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝OD.∴四边形CODP是菱形．
（3）如图3，将（1）中的 ABCD变为菱形，再次判断四边形CODP的形状，并说明理由．
图3
解：（3）四边形CODP是矩形．理由如下：
由（1），得四边形CODP是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.∴∠DOC＝90°.
∴四边形CODP是矩形．
（4）如图4，将（1）中的 ABCD变为正方形，再次判断四边形CODP的形状，并说明理由．
图4
解：（4）四边形CODP是正方形．理由如下：
由（1），得四边形CODP是平行四边形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DOC＝90°，OC＝OD.
∴四边形CODP是正方形．
训练　1.如图5，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，且MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE，AF.
（1）∠ECF的度数为__________．
（2）当点O运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
图5
90°
解：（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由如下：
∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF.
又CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF.
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC.
∴EO＝CO，FO＝CO.∴OE＝OF.
当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
由（1）知∠ECF＝90°.∴四边形AECF是矩形．
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，矩形AECF为正方形？请说明理由．
解：（3）在（2）的条件下，△ABC满足∠ACB为直角时，矩形AECF是正方形．理由如下：
由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.
∵MN∥BC，∴MN⊥AC，即EF⊥AC.
∴矩形AECF是正方形．(共20张PPT)
第二十一章　四边形
第14课时　正方形的判定
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系．（几何直观、推理能力、应用意识、模型观念、运算能力）
课标要求
课堂讲练
在矩形的基础上判定
（1）有一组邻边__________的矩形是正方形．
几何语言：在矩形ABCD中，AB__________AD，
∴四边形ABCD是正方形．
相等
＝
（2）对角线互相__________的矩形是正方形．
几何语言：在矩形ABCD中，__________，
∴四边形ABCD是正方形．
垂直
AC⊥BD
例1　如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G.求证：四边形ABCD是正方形．
图1
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠DAE＝90°.∴∠BAF＋∠DAF＝90°.
∵AF⊥DE，∴∠AGD＝90°.
∴∠ADE＋∠DAF＝90°.∴∠BAF＝∠ADE.
又AF＝DE，∴△ABF≌△DAE（AAS）.∴AB＝DA.
又四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．
例2　（北师九上P26）如图2，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD＝3，BC＝3 .求证：四边形ABCD是正方形．
图2
证明：∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形．
∴四边形ABCD是矩形．
∴∠BOC＝90°，即AC⊥BD.
∴四边形ABCD是正方形．
在菱形的基础上判定
（1）有一个角是__________的菱形是正方形．
几何语言：在菱形ABCD中，∠B＝__________，
∴四边形ABCD是正方形．
直角
90°
（2）对角线__________的菱形是正方形．
几何语言：在菱形ABCD中，__________，
∴四边形ABCD是正方形．
相等
AC＝BD
例3　如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝1， BD＝ .求证：四边形ABCD是正方形．
图3
证明：∵AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴△BCD是直角三角形，∠C＝90°.
∴四边形ABCD是正方形．
例4　如图4，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， 点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA.求证：四边形AECF是正方形．
图4
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.
又BE＝DF，∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF.
又OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．
又AC⊥BD，∴四边形AECF是菱形．
∵OE＝OA，∴OE＝OF＝OA＝OC.∴EF＝AC.
∴四边形AECF是正方形．
课堂检测
1．（2025东莞三模）在平行四边形的复习课上，小明绘制了如图5所示的知识框架图，则箭头处可添加的条件错误的是（　　）
A．①：对角线相等
B．②：对角互补
C．③：一组邻边相等
D．④：有一个角是直角
图5
B
2．如图6，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，可添加一个条件_______________________，使得菱形ABCD为正方形．（写出一个即可）
图6
AC＝BD（答案不唯一）
3．（人教八下新教材P76）如图7，在矩形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，将矩形ABCD沿DE折叠，点A的对应点F落在边CD上．求证：四边形ADFE是正方形．
图7
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°.
由折叠的性质，得∠DFE＝∠A＝90°.
∴四边形ADFE是矩形．
由折叠的性质，得AE＝EF.
∴四边形ADFE是正方形．
4．（人教八下新教材P77改编）如图8，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且AE＝BF＝CG＝DH，求证：四边形EFGH是正方形．
图8
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.
∵AE＝BF＝CG＝DH，∴BE＝CF＝DG＝AH.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）.
∴EH＝FE＝GF＝HG，∠AEH＝∠BFE.
∴四边形EFGH是菱形．
∵∠BEF＋∠BFE＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°.
∴∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是正方形．
5．（2025广州期中）如图9，在Rt△CEF中，∠C＝90°，外角∠BEF和∠DFE的平分线交于点A，过点A分别作AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D.
（1）∠EAF＝__________°.
（2）①求证：四边形ABCD是正方形；
45
图9
（2）①证明：如答图1，过点A作AG⊥EF于点G.
答图1
∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B＝∠D＝90°.
又∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形．
∵AE平分∠BEF，AF平分∠DFE，AB⊥BE，
AG⊥EF，AD⊥DF，∴AB＝AG，AD＝AG.
∴AB＝AD.∴四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求DF的长．
②解：设DF＝x.∵BE＝EC＝3，∴BC＝6.
由①，得四边形ABCD是正方形．
∴CD＝BC＝6.∴CF＝DC－DF＝6－x.
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）.∴BE＝GE＝3.
同理可得GF＝DF＝x.∴EF＝GE＋GF＝3＋x.
在Rt△CEF中，EC2＋CF2＝EF2，即32＋（6－x）2＝（3＋x）2.解得x＝2. ∴ DF的长为2.
随 堂 测(共37张PPT)
第二十一章　四边形
第二十一章　章末复习
一、特殊四边形的判定与性质
性质 判定
平行四边形 边：对边①____________． 角：对角②____________，邻角③__________． 对角线：对角线 ④__________． 边：1.（定义）两组对边分别⑤__________的四边形；
2．两组对边分别相等的四边形；
3．一组对边⑥_____________的四边形．
角：两组对角分别相等的四边形．
对角线：对角线互相⑦__________的四边形．
平行且相等
相等
互补
互相平分
平行
平行且相等
平分
性质 判定
矩形 边：对边平行且相等． 角：四个角都是⑧__________． 对角线：对角线互相平分且 ⑨__________． 角：1.（定义）有一个角是
⑩__________的平行四边形；
2．有三个角是直角的四边形．
对角线：对角线 __________的平行四边形．
直角
相等
直角
相等
性质 判定
菱形 边：对边平行且四条边都 __________． 角：对角相等，邻角互补． 对角线：对角线互相 __________，每条对角线平分一组 __________． 边：1.（定义）有一组邻边 __________的平行四边形；
2．四条边都相等的四边形．
对角线：对角线互相 __________的平行四边形．
相等
垂直平分
对角
相等
垂直
性质 判定
正方形 边：对边平行且四条边都相等． 角：四个角都是直角． 对角线：对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角． 边：有一组邻边相等的矩形．
角：有一个角是直角的菱形．
对角线：1.对角线互相垂直的矩形；
　 2.对角线相等的菱形．
二、特殊四边形之间的关系
三、其他相关概念
1．多边形的内角和公式：n边形的内角和等于 _____________；多边形的外角和等于 __________.　
2．两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离．（注：两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．）
3．三角形的中位线定理：三角形的中位线 __________于三角形的第三边，并且等于第三边的 __________.　
4．直角三角形斜边上的中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________．
（n－2）×180°
360°
平行
一半
一半
知识点1　多边形的内角和与外角和
1．（1）九边形的内角和为_________，外角和为__________；
（2）正八边形的每个内角为__________，每个外角为__________；
（3）若一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形的边数为__________．
1 260°
360°
135°
45°
6
知识点2　平行四边形的性质与判定
2．如图1，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．AB＝CD
B．AO＝CO
C．AC⊥BD
D．∠ABC＝∠ADC
图1
C
3．（2025丹东期末）图2是“自行车停放区”的标志图，其中四边形ABCD为平行四边形．若∠A＋∠C＝126°，则∠ABC的度数为（　　）
A．63°
B．67°
C．117°
D．126°
图2
C
4．（2025贵州）如图3，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC＝60°，以A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，则EC的长为（　　）
A．5
B．4
C．3
D．2
图3
D
5．如图4，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BA⊥AC，∠DAC＝45°，AC＝2，求BD的长．
图4
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCA＝∠DAC＝45°.
又BA⊥AC，∴△ABC是等腰直角三角形．
∴AB＝AC＝2.
在Rt△AOB中，根据勾股定理，得
6．如图5，将 ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接EC，DE，BD，DE交BC于点O.
（1）求证：△ABD≌△BEC；
图5
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.∴∠A＝∠EBC.
∴△ABD≌△BEC（SAS）.
（2）若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
证明：（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，即BE∥CD.
∵BE＝AB，∴BE＝CD.∴四边形BECD是平行四边形．
∵∠BOD＝∠EBC＋∠BEO，∠BOD＝2∠A，
∴∠EBC＋∠BEO＝2∠A.
由（1），得∠A＝∠EBC.∴∠BEO＝∠EBC.
∴OE＝OB.∴ED＝BC.∴四边形BECD是矩形．
知识点3　矩形、菱形、正方形的性质与判定
7．已知菱形ABCD的周长为32，则AB＝_________.
8．（2025泸州）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等
B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直
D．对角相等
8
A
9．（2025南宁期末）木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图6所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　）
A．测量是否有三个角是直角
B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等
D．测量对角线是否互相垂直
图6
A
10．如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于O.若AB＝5，AC＝8，则该菱形的面积为__________．
图7
24
11．如图8，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上．若点A的坐标是（12，13），则点B的坐标是__________．
图8
（0，8）
12．（2025深圳模拟）如图9，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为__________．
图9
13．（2025黄石期末）如图10，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝6 cm.点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1 cm/s.连接PQ，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为t s.
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形，请说明理由；
图10
解：（1）由题意，得BQ＝DP＝t cm，则AP＝CQ＝（6－t） cm.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC.
∴当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形．
∴t＝6－t.解得t＝3.
∴当t＝3时，四边形ABQP为矩形．
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形，请说明理由；
解：（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形．
在Rt△ABQ中，由勾股定理，得AQ2＝AB2＋BQ2＝9＋t2.
（3）直接写出（2）中菱形AQCP的周长和面积：周长是________cm，面积是________cm2.
15
知识点4　三角形的中点问题
14．如图11，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD的度数是（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
图11
D
15．（2025福建）某房梁如图12所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点．若AB＝AC＝8 m，则DE的长为________m．
图12
4
16．（2025中山期末）如图13，在 ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2DM，BM平分∠ABC，点E，F分别是BM，CM的中点．若EF＝3 cm，则AB的长为__________cm.
图13
4
17．（2025内江）如图14，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E，F分别是边AD，CD上的动点，连接BE，EF，点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值是____________．
图14
5
18．（2025淮南二模）如图15，将正五边形沿BF折叠，若∠1＝18°，则∠2的度数为（　　）
A．96°
B．97°
C．98°
D．99°
图15
D
19．（2025凉山州）如图16，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G.若AC＝12，BD＝16，则FG的长为____________．
图16
5
20．（2025广州期中）如图17，△ABC的周长为2 cm，以△ABC的三边中点为顶点组成△A1B1C1，再以△A1B1C1的三边中点为顶点组成△A2B2C2，……依次类推，则△AnBnCn的周长为__________．
图17
21．如图18，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为__________．
图18
12
22．如图19，在矩形ABCD中，BC＝12，CD＝5，E是BC上一点，将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，连接CF，当△CEF为直角三角形时，CE的长为__________．
图19
23．（2025中山三模）如图20，已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为CB延长线上一点，以BE为边，在直线CE上方作正方形BEFG，连接DF，取DF的中点M，连接BM.若∠FMB＝60°，则BE＝__________．
图20
24．如图21，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3 ，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
（1）求证：矩形DEFG是正方形．
图21
答图1
解：（1）如答图1，过点E分别作EM⊥BC于
点M，EN⊥CD于点N.
∴∠DNE＝∠FME＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°.
∴四边形EMCN是矩形，∠MEN＝90°.
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN.
∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.
∴∠DEN＋∠NEF＝90°，∠FEM＋∠NEF＝90°，
即∠DEN＝∠FEM.
∴△DEN≌△FEM（ASA）.∴ED＝EF.
又四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形．
（2）探究：CE＋CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
图21
解：（2）CE＋CG的值是定值．
∵四边形DEFG和四边形ABCD是正方形，
∴DE＝DG，AD＝CD，∠ADC＝∠EDG＝90°.
∴∠ADC－∠EDC＝∠EDG－∠EDC，
即∠ADE＝∠CDG.
∴△ADE≌△CDG（SAS）.∴AE＝CG.
∴CE＋CG的值是定值，定值为6.(共19张PPT)
第二十一章　四边形
第8课时　三角形的中位线
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
新知导学
探索并证明三角形的中位线定理．（几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）
课标要求
新知导学
三角形的中位线：连接三角形两边__________的线段叫作三角形的中位线． 三角形的中位线定理：三角形的中位线__________（位置关系）于三角形的第三边，并且等于第三边的__________（数量关系）． 几何语言：如右图，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥__________，DE＝__________BC.
注：1.一个三角形有三条中位线；2．三角形的中位线与中线是两个不同的概念，中线是连接三角形的顶点与其对边中点的线段． 中点
平行
一半
BC
课堂讲练
三角形的中位线定理的证明
例1　（北师八下新教材P166改编）在学习课本上三角形中位线定理的证明方法后，小明和同桌一起探讨出了另一种添加辅助线来证明此定理的方法．请你画出辅助线，并完成证明．
已知：如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．求证：DE∥BC，DE＝ BC.
图1
证明：如答图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF.
∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴AD＝BD，AE＝CE.
又∠AED＝∠CEF，∴△AED≌△CEF（SAS）.
∴AD＝CF，∠A＝∠FCE.∴AB∥CF.
∵AD＝BD，∴CF＝BD.∴四边形DBCF为平行四边形．
答图1
　你还有其他证明三角形中位线定理的方法吗？它们在构造辅助线上有什么共同之处？
三角形的中位线定理的运用
例2　如图2，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE.
（1）若BC＝4，则DE＝________；
（2）若∠C＝70°，则∠AED＝__________．
图2
2
70°
训练　1.如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是边AC，BC的中点，连接DE.
（1）若∠A＝30°，则∠CED＝__________；
（2）若△CDE的周长为6，则△ABC的周长为__________．
图3
60°
12
例3　如图4，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DE，DF.求证：四边形DFCE是平行四边形．
图4
证明：∵D，E分别是AB，BC的中点，
又DE∥AC，即DE∥CF，
∴四边形DFCE是平行四边形．
课堂检测
1．（北师八下P152改编）如图5，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DE，EF，DF.若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
图5
A
2．【生活情境】（2025北京期中）如图6，校园内有一块等边三角形的空地ABC，已知M，N分别是边AB，AC的中点，量得MN＝4 m．若想把四边形BCNM用围栏围成一个花园，则需要围栏的长是（　　）
A．16 m
B．20 m
C．24 m
D．30 m
图6
B
3．（2025广东）如图7，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝（　　）
A．20°
B．40°
C．70°
D．110°
图7
C
4．如图8，DE为△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F.若EF＝2，BC＝10，则AB的长为__________．
图8
6
5．（人教八下新教材P64改编）如图9，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点．请判断△EFG的形状，并证明．
图9
解：△EFG是等腰三角形．证明如下：
∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
又AD＝BC，∴FG＝EG.
∴△EFG是等腰三角形．
6．如图10，AC是带有滑道的铁杠，AB，CD是两段横木，E是嵌在滑道AC里的可以滑动的螺钉，BE，DE，PQ是三段橡皮筋，且P，Q分别是BE，DE的中点．当螺钉E在滑道AC里上下滑动时，下列说法正确的是（　　）
A．螺钉E滑至AC两端处时，PQ的长度最大
B．螺钉E滑至AC中点处时，PQ的长度最大
C．螺钉E从A滑动到C的过程中，PQ的长度
不断增大
D．螺钉E上下滑动时，PQ的长度始终不变
图10
D
7．（2025广州期中）如图11，在△ABC中，AB＝9 cm，AC＝ 6 cm，E是BC的中点．若AD平分∠BAC，CD⊥AD，求线段DE的长．
图11
又E为BC的中点，∴DE是△BCF的中位线．
解：如答图2，延长CD交AB于点F.
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠FAD.
∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADF＝90°.
又AD＝AD，∴△ADF≌△ADC（ASA）.
∴AF＝AC，CD＝FD.
∴BF＝AB－AF＝9－6＝3.
答图2
随 堂 测

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