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(共23张PPT)
第二十三章　一次函数
第9课时　实际问题与一次函数
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
衔接回顾
衔接回顾
1．李强一家周末从家出发，前往某博物院参观，图1表示李强一家离家的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数关系．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求图中AB段y与x之间的函数关系式；
图1
解：（1）设AB段y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0）.
将A（1.5，90），B（2.5，170）代入，
∴AB段y与x之间的函数关系式为y＝80x－30（1.5≤x≤2.5）.
（2）求李强一家行驶多久时，离家的距离为130 km
解：（2）根据题意，得80x－30＝130.解得x＝2.
∴李强一家行驶2 h时，离家的距离为130 km.
课堂讲练
例1　（北师八上P103改编）某旅行社要印刷旅游宣传材料，有甲、乙两家印刷厂可供选择，各自的收费方式如下：
甲印刷厂：只收宣传材料印刷费，不收制版费；
乙印刷厂：既收宣传材料印刷费，又收制版费．
（制版费与印刷的数量无关）
设旅游宣传材料的印刷数量为x份，甲印
刷厂的收费为y1元，乙印刷厂的收费为y2元，
y1，y2与x之间的函数关系如图2所示．
图2
（1）分别求y1，y2关于x的函数解析式；
解：（1）设y1关于x的函数解析式为y1＝k1x（k1≠0）.
将（500，400）代入，得500k1＝400.解得k1＝0.8.
∴y1＝0.8x.
设y2关于x的函数解析式为y2＝k2x＋b（k2≠0）.
把（0，500），（500，700）代入，得
∴y2＝0.4x＋500.
（2）乙印刷厂的制版费为__________元，每份宣传材料的印刷费为__________元；
（3）结合图象分析旅行社选择哪家印刷厂比较合算？
500
0.4
解：（3）当y1＝y2时，即0.8x＝0.4x＋500.解得x＝1 250.
根据图象可知，当印刷数量小于1 250份时，选择甲印刷厂合算；
当印刷数量等于1 250份时，两个印刷厂一样合算；
当印刷数量大于1 250份时，选择乙印刷厂合算．
例2　某学校计划组织580名学生去广州起义纪念馆参观学习，经过研究，决定从当地租车公司提供的A，B两种型号客车中，租用20辆作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息．设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．
型号 载客量 租金
A 30人/辆 400元/辆
B 25人/辆 300元/辆
（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
解：（1）由题意，得y＝400x＋300（20－x）＝100x＋6 000.
根据题意，得30x＋25（20－x）≥580.解得x≥16.
∴16≤x≤20.
∴y关于x的函数解析式为y＝100x＋6 000（16≤x≤20）.
（2）要使租车总费用不超过7 900元，一共有几种租车方案？并求出最低租车费用．
解：（2）由题意，得100x＋6 000≤7 900.解得x≤19.
∴16≤x≤19.又x为正整数，∴x可取16，17，18，19.
∴共有4种租车方案．
由（1）知，y＝100x＋6 000.
∵100＞0，∴y随x的增大而增大．
∴当x＝16时，y取得最小值，此时y＝100×16＋6 000＝7 600.
答：要使租车总费用不超过7 900元，一共有4种租车方案，最低租车费用为7 600元．
　解决方案问题的一般策略：
（1）先求出不同方案的函数解析式（根据题意进行列式或利用待定系数法求解析式）；
（2）将函数问题转化为方程或不等式问题；
（3）结合自变量的取值范围进行分类讨论；
（4）利用k的正负判断函数的增减性，进而选择更符合要求的方案．
课堂检测
1．（2025汕头期末）某校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下：
方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售；
方案乙：按购买金额打9折付款．
学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球x（x≥10）盒．
（1）请直接写出两种优惠方案实际付款金额y甲（单位：元），y乙（单位：元）与购买乒乓球数量x（单位：盒）之间的函数关系式．
解：（1）y甲＝25x＋550，y乙＝22.5x＋720.
（2）若学校提供1 800元经费，选择哪个方案能购买更多乒乓球？
解：（2）当y甲＝1 800时，1 800＝25x＋550，解得x＝50.
当y乙＝1 800时，1 800＝22.5x＋720，解得x＝48.
∵50＞48，∴选择方案甲能购买更多乒乓球．
（3）根据所买乒乓球的数量，该学校采用哪种优惠方案更合算？
解：（3）①当y甲②当y甲＝y乙时，即25x＋550＝22.5x＋720.解得x＝68.
③当y甲>y乙时，即25x＋550>22.5x＋720.解得x>68.
∴当购买乒乓球的盒数小于68时，选择甲方案更合算；
当购买乒乓球的盒数等于68时，选择甲、乙方案一样合算；
当购买乒乓球的盒数大于68时，选择乙方案更合算．
2．某动物园在周年庆来临之际，推出A，B两种纪念章．已知每个A种纪念章的进价比每个B种纪念章的进价多4元；购进6个A种纪念章和购进10个B种纪念章的费用相同．A种纪念章的售价为13元/个，B种纪念章的售价为8元/个．
（1）每个A种纪念章和每个B种纪念章的进价分别是多少元？
解：（1）设每个A种纪念章的进价是x元，每个B种纪念章的进价是y元．
答：每个A种纪念章的进价是10元，每个B种纪念章的进价是6元．
（2）根据网上的预约情况，该动物园计划用不超过2 800元的资金购进A，B两种纪念章共400个，请你制订采购方案，使销售完所有纪念章后所获得的利润最大，并求出最大利润．
解：（2）设购进m个A种纪念章，则购进（400－m）个B种纪念章．
根据题意，得10m＋6（400－m）≤2 800.解得m≤100.
设销售完这400个纪念章后获得的总利润为w元，
则w＝（13－10）m＋（8－6）（400－m）＝m＋800.
∵1＞0，∴w随m的增大而增大．
∴当m＝100时，w取得最大值，w最大＝100＋800＝900.
此时400－m＝400－100＝300.
答：当购进100个A种纪念章，300个B种纪念章时，销售完所有纪念章后所获得的利润最大，最大利润是900元．
随 堂 测(共8张PPT)
第二十三章　一次函数
题型突破　与一次函数图象有关的问题
类型 一次函数图象与系数的关系
1．已知一次函数y＝kx＋b的图象如图1所示，则k，b的取值范围是（　　）
A．k＞0，b＞0
B．k＞0，b＜0
C．k＜0，b＞0
D．k＜0，b＜0
图1
B
2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x＋a（a为常数，且a≠0）的图象可能是（　　）
D
类型 与一次函数有关的规律探究问题
3．如图2，在平面直角坐标系中，直线l是函数y＝x的图象，点A1在x轴正半轴上，OA1＝1.作A1B1⊥x轴交直线l于点B1，以O为圆心，OB1长为半径画弧，交x轴正半轴于点A2，作A2B2⊥x轴交直线l于点B2，以O为圆心，OB2长为半径画弧，
交x轴正半轴于点A3，……按此作法进行
下去，则点A2 025的横坐标为__________.　
图2
21 012
4．如图3，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过A1点作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，……依次进行下去，则点A2 025
的坐标为（　　）
A．（21 012，21 013）
B．（－1 0122，1 012 2）
C．（－21 013，21 013）
D．（21 012，21 012）
图3
A
类型 与一次函数有关的动点图象问题
5．如图4，正方形ABCD的边长为4，动点P从点B出发沿折线BCDA做匀速运动，设点P的运动路程为x，△PAB的面积为y.下列图象能表示y与x之间函数关系的是（　　）
D
6．如图5①，在一个矩形纸板的一角剪掉一个小矩形，动点P从点A出发，沿路径A→B→C→D→E→F匀速运动，速度为1 cm/s， 点P到达终点F后停止运动，△APF的面积S（单位：cm2，S≠0）与点P的运动时间t（单位：s）的关系如图5②所示，点P从点E运动到点F需要的时间是（　　）
A．4 s
B．5 s
C．6 s
D．7 s
图5
C
7．如图6①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，动点P从点C沿出发沿折线CAB匀速运动到点B.设点P的运动路程为x，△PCD的面积为y，y关于x的函数图象如图6②所示，则△ABC的面积为（　　）
图6
A．9 B．12
C．16 D．32
C(共15张PPT)
第二十三章　一次函数
易错点集训
易错点1　对一次函数的概念理解不全面
例1　已知函数y＝（m＋2）x|m|－1＋3是关于x的一次函数，则 m＝________．
错解　±2
错因分析　形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数叫作一次函数，本题忽略了k≠0这一条件导致出错．
正解　2
训练　1.已知关于x的函数y＝（m－1）xm2＋n.
（1）若该函数是一次函数，则m＝________，n的取值范围为___________；
（2）若该函数是正比例函数，则m＝_______，n＝________．
－1
任意实数
－1
0
易错点2　忽略隐含条件
例2　已知直线y＝mx＋m－2不经过第二象限，则m的取值范围是__________．
错解　0＜m≤2
错因分析　题干中并未说明y＝mx＋m－2是一次函数，所以需考虑m等于0的情况．当m＝0时，直线y＝－2也不经过第二象限，符合题意．本题忽略了m＝0的情况．
正解　0≤m≤2
训练　2.已知关于x的函数y＝（m－2）x＋m＋2.
（1）若该函数图象与y轴交于正半轴，求m的取值范围；
（2）若函数图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围．
解：（1）由题意，得m＋2>0.解得m>－2.
易错点3　对一次函数与二元一次方程组的关系认识不清晰
图1
D
易错点4　考虑问题不全面，忽视分类讨论
例4　已知一次函数y＝kx＋b，当－2≤x≤1时，对应y的值为1≤y≤7，则该一次函数的解析式为__________．
错解　y＝2x＋5
错因分析　题干中没有指出k的正负，所以一次函数的增减性不确定，应该考虑k>0[将点（－2，1）和（1，7）代入]和k＜0[将点（－2，7）和（1，1）代入]两种情况．本题错误的原因是只考虑了k>0的情况．
正解　y＝2x＋5或y＝－2x＋3
训练　4.已知关于x的一次函数y＝（3－m）x＋n，若2m－n＝2，当－1≤x≤1时，函数有最大值0，求n的值．
解：①当3－m＞0，即m＜3时，y随x的增大而增大．
当x＝1时，y最大＝（3－m）＋n＝0，即－m＋n＝－3.
②当3－m＜0，即m＞3时，y随x的增大而减小．
当x＝－1时，y最大＝－（3－m）＋n＝0，即m＋n＝3.
综上所述，n的值是－4.
例5　如图2，直线y＝ x＋3与x轴交于点E，若P是直线y＝ x＋3上一点，且△POE的面积为6，求点P的坐标．
错解　令y＝0，得 x＋3＝0.解得x＝－6.∴E（－6，0）.
∴OE＝6.设P（a，b）.
S△POE＝ OE·yp＝ ×6b＝6.解得b＝2.
∵点P在直线y＝ x＋3上，
∴ a＋3＝2.解得a＝－2.
∴点P的坐标为（－2，2）.
图2
错因分析　本题错误的原因在于漏解，忽视了点P在x轴下方的情况．
正解　令y＝0，得 x＋3＝0.解得x＝－6.
∴E（－6，0）.∴OE＝6.设P（a，b）.
S△POE＝ OE·|yp|＝ ×6·|b|＝6.
∴b＝±2.∵点P在直线y＝ x＋3上，
当b＝2时， a＋3＝2.解得a＝－2.
当b＝－2时， a＋3＝－2.解得a＝－10.
∴点P的坐标为（－2，2）或（－10，－2）.
训练　5.如图3，直线l1：y＝2x与直线l2：y＝kx＋b交于 点A（1，a），直线l2与x轴交于点B（－2，0），与y轴交于点C.
（1）求直线l2的函数解析式；
图3
解：（1）将A（1，a）代入y＝2x，得a＝2.∴A（1，2）.
将A（1，2），B（－2，0）代入y＝kx＋b，
（2）若点D在直线l2上，且△OAD的面积为△BOC面积的2倍，求点D的坐标．
②当点D在点A左侧时，
①当点D在点A右侧时，(共21张PPT)
第二十三章　一次函数
第6课时　一次函数的应用（二）
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；能在实际问题中列出一次函数的表达式，并结合一次函数的图象与表达式的性质等解决简单的实际问题．（运算能力、模型观念、应用意识）
课标要求
课堂讲练
一次函数的图象问题
例1　某超市以40元/kg的价格购进一种干果，计划以60元/kg的价格进行销售．为了促销，现决定降价销售，已知这种干果的销售量y（kg）与每千克的降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其函数图象如图1所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
图1
解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
把（2，120）和（4，140）代入，
∴y关于x的函数解析式为y＝10x＋100（0＜x＜20）.
（2）当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？
解：（2）把x＝3代入y＝10x＋100，得
y＝10×3＋100＝130.
∴（60－3－40）×130＝2 210（元）.
答：当每千克干果降价3元时，超市获利2 210元．
训练　1.（北师八上P101改编）为了提高某种农作物的产量，农场通常采用喷施药物的方法控制其高度．已知该种农作物的平均高度y（单位：m）与每公顷所喷施药物的质量x（单位：kg）之间的关系如图2所示．
（1）求y与x之间的函数关系式
y＝kx＋b，并说明k的实际意义；
图2
解：（1）由图象可知，b＝1.5.
将（10，0.5）代入y＝kx＋1.5，得0.5＝10k＋1.5.
解得k＝－0.1.
∴y与x之间的函数关系式为y＝－0.1x＋1.5.
k＝－0.1表示每公顷每喷施1 kg药物，该种农作物的平均高度减少0.1 m.
（2）经验表明，该种农作物的高度在1.25 m左右时，它的产量最高，此时每公顷应喷施多少药物？
解：（2）当y＝1.25时，－0.1x＋1.5＝1.25.解得x＝2.5.
答：此时每公顷应喷施2.5 kg药物．
分段函数
例2　某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月燃气费：所用燃气如果不超过50 m3，按每立方米0.8元收费；如果超过50 m3，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用燃气气量为x m3，应交燃气费为y元．
（1）若小丽家某月用燃气气量为80 m3，则小丽家该月应交燃气费__________元．
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解：（2）当x≤50时，由题意，得y＝0.8x；
当x＞50时，由题意，得y＝0.8×50＋1.2（x－50）＝1.2x－20.
（2）试写出y与x之间的关系式．
（3）若小丽家4月份的燃气费为88元，则她家4月份所用燃气气量为多少立方米？
解：（3）∵0.8×50＝40（元），且88元＞40元，
∴小丽家4月份所用燃气气量超过50 m3.
把y＝88代入y＝1.2x－20，得1.2x－20＝88.解得x＝90.
答：小丽家4月份所用燃气气量为90 m3.
训练　2.某市为鼓励市民节约用电，采取分段收费的方法，按月用电量计算每户家庭的电费．每户家庭每月应交电费y（元）与月用电量x（度）之间的关系可以用一条折线（如图3）表示．
（1）求y关于x的函数解析式．
图3
解：（1）当0≤x≤100时，
设y关于x的函数解析式为y＝kx（k≠0）.
把（100，65）代入y＝kx，得100k＝65.
解得k＝0.65.
∴y＝0.65x（0≤x≤100）.
当x＞100时，设y关于x的函数解析式为y＝ax＋b（a≠0）.
把（100，65），（130，89）代入，
（2）当月用电量0≤x≤100时，每度电收费__________元；当月用电量x＞100时，每度电收费__________元．
（3）已知小兰家4月份缴纳电费105元，则小兰家当月的用电量是多少？
0.65
0.8
解：（3）∵105＞65，∴小兰家4月份的用电量超过了100度．
∴把y＝105代入y＝0.8x－15，得105＝0.8x－15.
解得x＝150.
答：小兰家当月的用电量是150度．
课堂检测
1．（2025广东）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y（W·h）与骑行里程x（km）之间的关系如图4.当电池剩余能量小于100 W·h时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（　　）
A．电池能量最多可充400 W·h
B．摩托车每行驶10 km消耗能
量300 W·h
C．一次性充满电后，摩托车最多行驶25 km
D．摩托车充满电后，行驶18 km将自动报警
图4
C
2．（2025天津）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家0.6 km，公园离家1.8 km.小华从家出发，先匀速步行了6 min到书店，在书店停留了12 min，之后匀速步行了12 min到公园，在公园停留25 min后，再用15 min匀速跑步返回家．下面图5中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
图5
请根据相关信息，回答下列问题：
（Ⅰ）①填表：
小华离开家的时间/min 1 6 18 50
小华离家的距离/km 0.6
0.1
0.6
1.8
②填空：小华从公园返回家的速度为__________km/min；
0.12
③当0≤x≤30时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
解：（Ⅰ）③当0≤x≤6时，y＝0.1x；
当6＜x≤18时，y＝0.6；
当18＜x≤30时，y＝0.1x－1.2.
（Ⅱ）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以 0.05 km/min的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为y1，小华的妈妈离家的距离为y2，当y1＜y2时，求x的取值范围（直接写出结果即可）．
解：（Ⅱ）x的取值范围为12＜x＜24.
随 堂 测(共33张PPT)
第二十三章　一次函数
第二十三章　章末复习
一次函数
正比例函数与一次函数
k≠0
b＝0
增大
一、二、
三
一、三
二、三、
四
一次函数
正比例函数与一次函数
（0，b）
平行
向上
向下
一次函数
一次函数
x轴
y＝k2x＋b2
知识点1　一次函数的概念
1.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（　　）
A．y＝－x
B．y＝x－1
C．y＝
D．y＝x2－2
B
2.已知关于x的函数y＝（m－2）x－m2＋4（m是常数）是正比例函数，则m＝　　　　　．
－2
知识点2　一次函数的图象与性质
3.一次函数y＝kx＋b的图象如图1所示，则下列结论正确的是（　　）
A．k＞0，b＞0
B．k＞0，b＜0
C．k＜0，b＞0
D．k＜0，b＜0
图1
D
4.对于一次函数y＝2x－1，下列结论正确的是（　　）
A．它的图象与y轴交于点（0，－1）
B．y随x的增大而减小
C．当x＞ 时，y＜0
D．它的图象经过第一、二、三象限
A
5.已知点（－2，y1），（3，y2）都在直线y＝2x上，则y1，y2的大小关系是　　　　　．
6.将直线y＝3x－2向上平移3个单位长度后，得到的直线解析式为　　　　　．
7.当直线y＝（2－3k）x＋k－2经过第二、三、四象限时，k的取值范围是　　　　　．
y1＜y2
y＝3x＋1
知识点3　待定系数法求一次函数解析式
8.若一次函数的图象与直线y＝－3x＋1平行，且经过点（－1，6），则该一次函数的解析式为　　　　 　．
y＝－3x＋3
9.已知一次函数的图象经过点A（2，－4），B（1，2）.　
（1）求该一次函数的解析式；
解：（1）设该一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
∵图象经过点A（2，－4），B（1，2），
∴该一次函数的解析式为y＝－6x＋8.
（2）如果该一次函数的图象经过点P（m，2），求m的值．
解：（2）∵该一次函数的图象经过点P（m，2），
∴－6m＋8＝2.解得m＝1.
知识点4　一次函数与方程、不等式
10.若直线y＝－2x＋b与x轴的交点为（2，0），则关于x的一元一次方程－2x＋b＝0的解为　　　　　．
x＝2
11.如图2，直线y＝2x与y＝kx＋b相交于点P（1，2），则关于x，y的二元一次方程组 的解是　　　　　，关于x的不等式kx＋b>2x的解集是　　　　　．
图2
x＜1
知识点5　一次函数的应用
12.（2025 清远期末）婴儿在1～6个月生长发育非常快，他们的体重y（单位：g）和月龄x（单位：月）之间的关系可以用y＝a＋700x来表示，其中a是婴儿出生时的体重．若某婴儿出生时的体重为3 500 g，则该婴儿3个月时的体重是（　　）
A．4 200 g
B．4 900 g
C．5 600 g
D．6 300 g
C
13.小远周末和家人一起去秦岭脚下的采摘园采摘草莓．现有甲、乙两家草莓采摘园，两家草莓的品种和品质相同，售价均为60元/kg.两家分别推出了不同的优惠方案，甲采摘园：9折优惠；乙采摘园：采摘重量（单位：kg）和价格（单位：元）之间的关系如图3所示．设小远和家人采摘草莓x kg，在甲、
乙采摘园采摘所需费用分别是y甲，y乙元．
图3
（1）请你分别写出y甲和y乙与x之间的函数关系式；
解：（1）由题意，得y甲＝0.9×60x＝54x.
当0＜x≤1时，y乙＝60.
当x＞1时，设y乙＝kx＋b（k≠0）.
∴y乙＝48x＋12.
（2）请你帮助小远分析，去哪一家采摘园采摘草莓更合算．
解：（2）当0当x>1时，①若54x＜48x＋12，即x＜2，到甲采摘园更合算；
②若54x＝48x＋12，即x＝2，到两家采摘园一样合算；
③若54x＞48x＋12，即x＞2，到乙采摘园更合算．
综上，当02时，到乙采摘园更合算．
14.函数y＝kx－k与y＝－kx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A
15.【生活情境】（2025江西）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图4所示，则获胜的同学是（　　）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
图4
A
16.如图5，O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴正半轴上，四边形OABC是菱形，已知点C的坐标为（3，4），则直线AC的函数解析式为（　　）
A．y＝2x－2
B．y＝0.5x＋2.5
C．y＝－2x＋10
D．y＝－0.5x＋5.5
图5
C
17.一辆快车从甲地匀速开往乙地，一辆慢车从乙地出发沿同一条公路匀速开往甲地．慢车先出发1 h，快车再出发．设慢车行驶的时间为t h，两车之间的距离为y km，y与t的函数关系如图6所示．下列结论：①快车出发4.4 h后两车相遇；②慢车的速度是100 km/h；③线段AB所在直线的函数解析式为
y＝200t－1 080.其中正确的有（　　）
A．①② B．②③
C．①②③ D．①③
图6
D
18.已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝2x－kx＋1图象上的两个不同的点，m＝（x1－x2）（y1－y2），则当m＜0时，k的取值范围是　　　　　．
k>2
19.在平面直角坐标系中，已知A（3，0），B（0，3），直线 y＝kx＋b（k，b为常数，且k＞0）经过点（1，0），并把△AOB分成两部分，其中靠近原点部分的面积为 ，则k的值为_________．
20.【开放性】（2025深圳）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球、足球的价格如下表：
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
（1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
解：（1）选择条件①②：
设篮球的单价为x元/个，足球的单价为y元/个．
答：篮球的单价为60元/个，足球的单价为50元/个．（答案不唯一）
（2）若该学校要购买篮球、足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？
解：（2）设该学校购买篮球m个，则购买足球（10－m）个．
∴当m＝4时，w最小，最小值为540.
答：购买4个篮球时，花费最少，最少费用是540元．
设学校购买篮球、足球的总费用为w元．
根据题意，得w＝60m＋50（10－m）＝10m＋500.
∵10＞0，∴w随m的增大而增大．
（1）求点A的坐标；
解：（1）联立两直线的解析式，
∴点A的坐标为（1，2）.
图7
解得x＝－2.∴B（－2，0）.
在y＝－2x＋4中，令y＝0，得－2x＋4＝0.
解得x＝2.∴C（2，0）.
∵2S△ACD＝S△ABC，∴S△ACD＝2.
如答图1，当点D在点A右侧时，
S△BCD＝S△ABC＋S△ACD＝6.
答图1
当点D在点A左侧时，S△BCD＝S△ABC－S△ACD＝2.(共21张PPT)
第二十三章　一次函数
第5课时　一次函数的应用（一）
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；能在实际问题中列出一次函数的表达式，并结合一次函数的图象与表达式的性质等解决简单的实际问题．（运算能力、模型观念、应用意识）
课标要求
课堂讲练
待定系数法求一次函数解析式
例1　摄氏温度和华氏温度是温度的两种表示方法，两者之间的对应关系如下表：
摄氏温度x（℃） … 0 5 10 …
华氏温度y（℉） … 32 41 50 …
已知华氏温度y是摄氏温度x的一次函数．
（1）求该一次函数的解析式；
解：（1）设该一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
把（0，32）和（10，50）代入，
∴该一次函数的解析式为y＝1.8x＋32.
（2）当华氏温度为14 ℉时，求其所对应的摄氏温度．
解：（2）把y＝14代入y＝1.8x＋32，
得14＝1.8x＋32.解得x＝－10.
∴当华氏温度为14 ℉时，其所对应的摄氏温度为－10 ℃.
训练　1.如图1，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
（1）求一摞饭碗的高度y（单位：cm）关于饭碗数x（单位：个）的函数解析式；
图1
解：（1）设该函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
∴y关于x的函数解析式为y＝1.5x＋4.5.
（2）把图中这两摞饭碗整齐地叠放成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
解：（2）当x＝4＋7＝11时，y＝1.5×11＋4.5＝21.
答：这摞饭碗的高度是21 cm.
根据实际问题中的数量关系求一次函数解析式
例2　某人工智能研发公司要购进甲、乙两种芯片共1 000片，甲种芯片每片的价格是600元，乙种芯片每片的价格是550元，经过商议后，甲种芯片每片打九折，乙种芯片每片减40元．
（1）设购买甲种芯片x片，购买甲、乙两种芯片所需的总费用为y元，求y与x之间的函数关系式；
解：（1）由题意，得y＝0.9×600x＋（550－40）（1 000－x）＝540x＋510 000－510x＝30x＋510 000.
∴y与x之间的函数关系式为y＝30x＋510 000.
（2）若购买甲、乙两种芯片所需的总费用为522 000元，求购买甲、乙两种芯片各多少片？
解：（2）将y＝522 000代入y＝30x＋510 000，
得522 000＝30x＋510 000.
解得x＝400.∴1 000－400＝600.
答：购买甲种芯片400片，购买乙种芯片600片．
课堂检测
1．某恒温棚升温过程中，温度与时间成一次函数关系．已知升温时间为2 min时，棚内温度为15 ℃，升温时间为5 min时，棚内温度为27 ℃，则棚内温度y（℃）与升温时间x（min）之间的函数关系式为______________．
y＝4x＋7
2．（2025福建）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，
是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数．
如图2，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6 cm.在其
弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5 kg时，弹簧长度为6.5 cm，
那么，当弹簧长度为6.8 cm时，所挂物体的质量为________kg.
图2
0.8
3．（2025陕西）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积y（L）与气体温度x（℃）成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表：
气体温度x（℃） … 25 30 35 …
气体体积y（L） … 596 606 616 …
（1）求y与x之间的函数关系式；
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0）.
把（25，596）和（30，606）代入，
∴y与x之间的函数关系式为y＝2x＋546.
（2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700 L时停止加热．求停止加热时的气体温度．
解：（2）当y＝700时，得2x＋546＝700.解得x＝77.
答：停止加热时的气体温度为77 ℃.
4．“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图3①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，
液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱
容器中，实验开始时圆柱容器中已有
一部分液体．
图3
（1）实验记录的圆柱体容器液面高度y（单位：cm）与时间x（单位：h）的数据如下表：
在如图3②所示的平面直角坐标系中描出表中各点，并用光滑的线连接．
时间x/h 0 1 2 3 4
圆柱体容器 液面高度y/cm 3 5 7 9 11
图3
答图1
解：（1）描点并连线如答图1所示．
（2）请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数关系式．
解：（2）∵液体匀速漏到容器中，
∴y与x之间是一次函数关系．
设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0）.
将（0，3）和（1，5）分别代入y＝kx＋b，
∴y与x之间的函数关系式为y＝2x＋3.
（3）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到15 cm时是几点？
解：（3）当y＝15时，得2x＋3＝15解得x＝6.
∴8＋6＝14.
答：当圆柱体容器液面高度达到15 cm时是14：00.
随 堂 测(共20张PPT)
第二十三章　一次函数
第4课时　待定系数法求一次函数解析式
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
新知导学
会运用待定系数法确定一次函数的表达式．（运算能力、几何直观、推理能力、模型观念）
课标要求
新知导学
1.待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的__________，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法．
2．运用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤：
①设：设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）；
②代：把图象上两点的坐标分别代入解析式，得到关于k，b的二元一次方程组；
③解：解方程组，求出k，b的值；
④回代：将求出的k，b的值代入y＝kx＋b，即可确定一次函数的解析式．
　注：当题中k，b只有一个未知时，只需把图象上一点的坐标代入，得到关于k（或b）的一元一次方程并求解即可确定k（或b）的值．
系数
课堂讲练
待定系数法求一次函数解析式
例1　若直线y＝kx经过点（2，4），则k＝__________.
训练　1.若直线y＝x＋b经过点（3，－1），则该直线的函数解析式为__________．
2
y＝x－4
例2　（2023广东）已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点（0，1）与点（2，5），求该一次函数的表达式．
解：将点（0，1）与点（2，5）代入y＝kx＋b，
∴该一次函数的表达式为y＝2x＋1.
训练　2.已知y是x的一次函数，当x＝1时，y＝3；当x＝－2时，y＝6.
（1）求该一次函数的解析式；
（2）当x＝3时，求对应y的值．
解：（1）设该一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
∴该一次函数的解析式为y＝－x＋4.
（2）当x＝3时，y＝－3＋4＝1.
例3　已知直线y＝kx＋b与直线y＝x＋4平行，且经过点（1，2），求k与b的值．
解：∵直线y＝kx＋b与直线y＝x＋4平行，∴k＝1.
将点（1，2）代入y＝x＋b，得2＝1＋b.
解得b＝1.∴k＝1，b＝1.
训练　3.已知直线l经过点（－3，2），且与直线y＝－2x－5平行，求直线l的函数解析式．
解：设直线l的函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
∵直线l与直线y＝－2x－5平行，∴k＝－2.
将点（－3，2）代入y＝－2x＋b，
得2＝－2×（－3）＋b.解得b＝－4.
∴直线l的函数解析式为y＝－2x－4.
课堂检测
1．已知函数y＝－2x＋b，当x＝4时，y＝0，则b的值是（　　）
A．－8
B．－2
C．8
D．2
C
2．如图1，在平面直角坐标系中，直线l的函数解析式为（　　）
A．y＝3x＋3
B．y＝3x－3
C．y＝－3x＋3
D．y＝－3x－3
图1
A
3．一次函数的图象经过点A（－2，－1），且与直线y＝2x－1平行，则此一次函数的解析式为______________．
y＝2x＋3
4．已知y是x的一次函数，下表给出了x和y的部分对应值．
x －1 1 2
y －5 m 1
该一次函数的解析式是______________，m的值为_________．
y＝2x－3
－1
5．判断A（1，3），B（－2，0），C（－4，－2）三点是否在同一条直线上，并说明理由．
解：A，B，C三点在同一条直线上．理由如下：
设A（1，3），B（－2，0）两点所在直线的函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
∴A，B两点所在直线的函数解析式为y＝x＋2.
当x＝－4时，y＝－4＋2＝－2.
∴点C在直线AB上，即A，B，C三点在同一条直线上．
6．已知y和x－2成正比例，且当x＝3时，y＝－4，则y与x之间的函数关系式为______________.　
y＝－4x＋8
7．如图2，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，4），（3，0），则直线AC的函数解析式为______________．
图2
8．如图3，已知直线l：y＝kx＋b与x轴、y轴分别交于A，B两点，且OA＝2OB＝8，P是直线l上一点．
（1）求直线l的函数解析式；
图3
解：（1）∵OA＝2OB＝8，∴A（8，0），B（0，4）.
把点A（8，0），B（0，4）代入y＝kx＋b，
（2）若点C的坐标为（6，0），连接OP和CP，当点P的横坐标为2时，求△COP的面积．
解：（2）∵P是直线l上一点，点P的横坐标为2，
∵C（6，0），∴OC＝6.
随 堂 测(共12张PPT)
第二十三章　一次函数
中考新考向——教材母题变式
例1　（人教八下新教材P141）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4 min内只进水不出水，在随后的8 min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图1所示．
图1
（1）当0≤x≤4时，求y关于x的函数解析式；
解：（1）当0≤x≤4时，设y关于x的函数解析式为y＝k1x（k1≠0）.
把（4，20）代入，得4k1＝20.解得k1＝5.
∴当0≤x≤4时，y关于x的函数解析式为y＝5x.
（2）当4解：（2）当4＜x≤12时，设y关于x的函数解析式为y＝k2x＋b（k2≠0）.
（3）每分钟进水、出水各多少升？
解：（3）进水速度为20÷4＝5（L/min）.
出水速度为（12×5－30）÷（12－4）＝3.75（L/min）.
答：每分钟进水5 L，出水3.75 L．
变式1　现有甲、乙两个容器，每个容器都装有进水管和出水管，甲容器原来没有水，乙容器原来有一定的水量．首先打开甲容器的进水管注水，第10分钟同时打开甲、乙两容器的出水管排水，第15分钟关闭甲容器的进水管，直到甲、乙两容器水排完．
甲、乙两容器中的水量y1，y2（单
位：L）与时间x（从甲容器注水开始
计时，单位：min）的函数关系如图2
所示．请结合图象信息，解答下列问题：
图2
（1）甲容器进水管的注水速度是　　　　L/min；乙容器出水管的排水速度是　　　　L/min；
（2）求甲容器出水管的排水速度及AB段对应的函数解析式；
60
40
解：（2）设甲容器出水管的排水速度为a L/min.
由题意，得600＋5×60－（20－10）a＝0.
解得a＝90.
∴甲容器出水管的排水速度为90 L/min.
设AB段对应的函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
由k的实际意义，得k＝60－90＝－30.
把点A（10，600）代入y＝－30x＋b，得600＝－30×10＋b.
解得b＝900.
∴AB段对应的函数解析式为y＝－30x＋900.
（3）当x＝　　　　　　　min时，两容器中的水量差为180 L.
例2　（人教八下新教材P142改编）A城有肥料200 t，B城有肥料300 t，现要把这些肥料全部运往C，D两乡，从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为20元/t和25元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/t和24元/t.现C乡需要肥料240 t，D乡需要肥料 260 t．设A城运往C乡的
肥料为x t，A，B两城运
往C乡肥料的总运费为y1，
运往D乡肥料的总运费为y2.
图3
（1）写出y1关于x的函数解析式以及y2关于x的函数解析式．
解：（1）根据题意，得y1＝20x＋15（240－x）＝5x＋3 600 （0≤x≤200），
y2＝25（200－x）＋24（x＋60）＝－x＋6 440（0≤x≤200）.
（2）怎样调度可使总运费最少？并求出最少的总运费．
解：（2）设总运费为w元．
根据题意，得w＝5x＋3 600＋（－x＋6 440）＝4x＋10 040 （0≤x≤200）.
∵4＞0，∴w随x的增大而增大．
∴当x＝0时，w最小＝10 040.
∴从A城运往C乡0 t，运往D乡200 t；从B城运往C乡240 t，运往D乡60 t，此时总运费最少，最少的总运费是10 040元．
（3）由于从B城到D乡开辟了一条新的公路，使B城到D乡的运输费每吨减少了a（4＜a≤8）元，怎样调度才能使总运费最少？最少总运费是多少？（用含a的式子表示）
解：（3）根据题意，得改善后的总运费为w＝20x＋15（240－x）＋25（200－x）＋（24－a）（x＋60）＝（4－a）x＋10 040－60a（0≤x≤200）.
∵4＜a≤8，∴4－a＜0.∴w随x的增大而减小．
∴当x＝200时，w最小＝10 840－260a.
∴从A城运往C乡200 t，运往D乡0 t；从B城运往C乡40 t，运往D乡260 t，此时总运费最少，最少的总运费是（10 840－260a）元．(共28张PPT)
第二十三章　一次函数
第3课时　一次函数的图象与性质
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
能画一次函数的图象，根据图象和表达式y＝kx＋b（k≠0）探索并理解k＞0和k＜0时图象的变化情况．（运算能力、几何直观、推理能力、模型观念）
课标要求
课堂讲练
一次函数的图象与性质
例1　在如图1所示的平面直角坐标系
中，分别画出一次函数y＝2x，y＝2x＋2，
y＝2x－2的图象．（1）列表：
x －1 0 1
y＝2x
y＝2x＋2
y＝2x－2
解：（1）补全表格如表所示．
－2
0
2
0
2
4
－4
－2
0
图1
（2）描点、连线：
图1
答图1
解：（2）描点、连线，画函数的图象如答图1所示．
（3）观察发现：
①这三个函数的解析式中k＝__________，图象都是一条__________，它们的位置关系是__________.
②在一次函数y＝2x＋2中，b＝________，其图象可以由直线 y＝2x向________（填“上”或“下”）平移________个单位长度得到；
在一次函数y＝2x－2中，b＝__________，其图象可以由直线 y＝2x向________（填“上”或“下”）平移________个单位长度得到．
2
直线
平行
2
上
2
－2
下
2
训练　1.在如图2所示的平面直角坐标系中，分别画出一次函数y＝－x，y＝－x＋3，y＝－x－3的图象．
（1）列表：
x －1 0 1
y＝－x
y＝－x＋3
y＝－x－3
图2
1
0
－1
4
3
2
－2
－3
－4
（2）描点、连线：
图2
答图2
解：（2）描点、连线，画函数的图象如答图2所示．
（3）观察发现：
①这三个函数的解析式中k＝__________，图象都是一条__________，它们的位置关系是__________.
②在一次函数y＝－x＋3中，b＝__________，其图象可以由直线y＝－x向__________（填“上”或“下”）平移__________个单位长度得到；
在一次函数y＝－x－3中，b＝__________，其图象可以由直线 y＝－x向__________（填“上”或“下”）平移__________个单位长度得到．
－1
直线
平行
3
上
3
－3
下
3
　1.一次函数y＝kx＋b的图象可以由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到．当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移（上加下减）.
2.直线的位置关系：k，b均相同 两直线重合；k相同，b不 同 两直线平行；k不同 两直线相交．
一次函数与坐标轴的交点坐标
例2　在平面直角坐标系中画出函数
y＝2x－1和y＝－0.5x＋1的图象如图3所示．
（1）函数y＝2x－1的图象与x轴的交点
坐标为____________，与y轴的交点坐标为
____________，经过第____________象限，
y随x的增大而__________．
（2）函数y＝－0.5x＋1的图象与x轴的交点坐标为_________，与y轴的交点坐标为__________，经过第____________象限，y随x的增大而__________．
图3
（0，－1）
一、三、四
增大
（2，0）
（0，1）
一、二、四
减小
k k＞0 k＜0
b b＞0 b＜0 b＞0 b＜0
大致图象
经过的象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限
增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
课堂检测
C
2．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象不经过的象限为（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D
3．已知点（－3，y1），（1，y2）在直线y＝3x＋b上，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2
B．y1＜y2
C．y1≥y2
D．y1＝y2
B
4．关于一次函数y＝－2x＋3，下列说法不正确的是（　　）
A．y随x的增大而减小
B．当－3≤x≤0时，y的最大值为6
C．函数图象与y轴的交点坐标为（0，3）
D．函数图象经过第一、二、四象限
B
5．（1）直线y＝5x－1和直线y＝－5x＋2的位置关系是__________；
（2）直线y＝x＋3和直线y＝x－2的位置关系是__________；
（3）若直线y＝－7x＋5和直线y＝kx－1平行，则k＝__________．
相交
平行
－7
6．【开放性】（2025深圳二模）请写出一个同时满足“①y随x的增大而增大；②函数图象与y轴交于负半轴”两个条件的一次函数解析式：_______________________．
y＝x－1（答案不唯一）
7．已知一次函数y＝（k－3）x－2k＋4.
（1）若该函数的函数值y随x的增大而减小，求k的取值范围；
解：（1）∵函数值y随x的增大而减小，
∴k－3＜0.解得k＜3.
（2）若该函数的图象经过原点，求k的值；
解：（2）∵该函数的图象经过原点（0，0），
∴（k－3）×0－2k＋4＝0.解得k＝2.
（3）若该函数的图象不经过第二象限，求k的取值范围．
8．若直线y＝3x－2经过点（m，n），则代数式6m－2n的值是（　　）
A．2
B．－2
C．4
D．－4
C
9．（2025东莞模拟）如图4，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的图象分别为直线m和直线n，下列结论正确的是（　　）
A．k1k2＜0
B．b1b2＞0
C．k1＋k2＜0
D．b1－b2＜0
图4
C
10．已知一次函数y＝kx＋3，当－3≤x≤4时，y的最大值是 ，则－3≤x≤4时，y的最小值是__________．
11．【分类讨论】如图5，直线y＝ x＋3与x轴、y轴分别交于 点E，F，P是直线上一点．
（1）点E的坐标为__________，点F的坐标为__________；
（2）此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为__________；
图5
（－6，0）
（0，3）
9
（3）连接OP，若△POE的面积为6，求点P的坐标．
解：（3）由（1）可知OE＝6.
设点P的坐标为（x1，y1）.
∴|y1|＝2，即y1＝±2.
当y1＝2时，x1＝－2；当y1＝－2时，x1＝－10.
∴点P的坐标为（－2，2）或（－10，－2）.
随 堂 测(共19张PPT)
第二十三章　一次函数
微专题　一次函数与几何综合
一次函数与面积问题的常见解题思路：
1．求动点坐标时，可根据动点所在的不同位置设参．
动点位置 设动点坐标
x轴 （m，0）
y轴 （0，m）
直线y＝kx＋b （m，km＋b）
直线x＝a （a，m）
直线y＝b （m，b）
2.求三角形的面积．
①当三角形至少有一边在坐标轴上或与坐标轴平行时．
图4
图5
图4：S△ABC＝ |yC|·|xB－xA|.
图5：S△ABC＝ |yA－yB|·|xC－xA|.
②当三角形的三边都不与坐标轴平行时，采用和差法．
图6　　　　　　图7
思路1（铅锤法）：
图6：S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝ |yA－yB|·|xC|.
图7：S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝ |xA－xB|·|yC|.
例1　如图1，直线l1：y＝kx＋b与x轴、y轴分别交于点A，B，OA＝4，OB＝3.
（1）点A的坐标为__________，点B的坐标为__________，直线l1的函数解析式为_____________.　
图1
（－4，0）
（0，3）
（2）如图2，若直线l2：y＝－ x与直线l1交于点P，则点P的坐标为__________，△AOP的面积为__________．
图2
（3）在（2）的条件下，若点M是第一象限内直线l1上的一个动点，S△OPM＝4，求点M的坐标．
根据题意，得S△OPM＝S△OPB＋S△OMB＝4，
（4）如图3，若N是直线l3：y＝－ x＋1上一动点，直线l3分别交x轴、直线l1于点C，D，当S△AOB＝2S△ADN时，求点N的坐标．
图3
思考：若改为“当S△ADN＝S△BON时，求点N的坐标”，该如何解答？
思路2：延长AB（或延长BA）.
图8：S△AOB＝S△AOE－S△BOE＝ |xE|·|yA－yB|.
图8
3.已知面积或面积关系求点坐标：设点坐标，根据题干给出的面积或面积关系建立方程，解方程求得点坐标．
注：线段长是正值，但坐标有正有负，因此在将线段长度转化为点坐标时，一般要用到分类讨论思想．
4．常见的最值模型：
①点到直线的最短距离（垂线段最短）
已知点A和直线l，在直线l上找一点P，使得线段AP的值最小．
②“将军饮马模型”
已知点A，B和直线l，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小
两点在直线的异侧
两点在直线的同侧
5.等腰三角形的存在性问题：
解决等腰三角形的存在性问题时，若等腰三角形的腰和底不确定，常需要进行分类讨论．　
（5）①若G是直线l1上一动点，则线段OG的最小值是__________；
②如图9，已知点Q（4，a）在直线l1上，在x轴上找一点R，使BR＋QR的值最小，并求出点R的坐标．
图9
答图1
∴Q（4，6）.
如答图1，作点B关于x轴的对称点B′，连接B′Q，
交x轴于点R，连接BR.
由轴对称的性质，得B′（0，－3），B′R＝BR，此时BR＋QR的值最小．
设直线B′Q的函数解析式为y＝ax＋c（a≠0）.
（6）在x轴上是否存在一点E，使得△ABE为等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
答图2
如答图2，分三种情况：
①当AB＝AE时，点E可能在x负半轴上，
也可能在x轴正半轴上．OE1＝AE1－OA＝1，
OE2＝AE2＋OA＝9，
∴E1（1，0），E2（－9，0）.
②当BA＝BE时，点E与点A关于y轴对称．∴E3（4，0）.
③当EA＝EB时，点E在线段AB的垂直平分线上．
设点E4的坐标为（e，0），则AE4＝BE4＝4＋e.
在Rt△OBE4中，由勾股定理，得OE24＋OB2＝BE24，
即e2＋32＝（4＋e）2.(共14张PPT)
第二十三章　一次函数
中考新题型——综合实践与探究（生活情境）
1.综合与实践
【问题情境】小亮同学阅读了教材中的《第二十三章 一次函数》的数学活动1，决定探究水龙头关闭不严造成漏水的问题．为了调查漏水量与漏水时间之间的关系，小亮进行了以下的实验与研究．
图1
【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器（如图1），每5 min记录一次容器中的水量，得到如下表所示的一组数据．
时间t/min 0 5 10 15 20 …
盛水量w/mL 5 20 35 50 65 …
图1
【问题探究】
（1）请根据表中信息在如图2所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出w关于t的函数图象，根据图象发
现容器内盛水量w（mL）与滴水时间t（min）
符合学习过的　　　　　函数关系（填“正比
例”或“一次”）．
一次
解：（1）画出函数图象如答图1所示．
图2
答图1
（2）求w关于t的函数解析式．
解：（2）设w关于t的函数解析式为w＝kt＋b（k≠0）.
将点（0，5），（5，20）代入，
∴w关于t的函数解析式为w＝3t＋5.
【问题解决】
（3）请你估算小亮在第50 min测量时，容器的盛水量是多少毫升？
解：（3）当t＝50时，w＝3×50＋5＝155.
答：小亮在第50 min测量时，容器的盛水量是155 mL.
（4）一个人一天大约饮用1 600 mL水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天？
解：（4）由解析式可知，每分钟的漏水量为3 mL.
∴水龙头一个月的漏水量为3×60×24×30＝129 600（mL）.
129 600÷1 600＝81（天）.
答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用81天．
2.（2025珠海一模）综合与实践
【主题】“潮汐车道”设计
【背景素材】某跨海大桥为东西走向，双向共有四条车道，在上下班高峰期经常拥堵，交通部门统计了不同时段双向车流量（辆/分钟），发现时间和汽车流量的变化规律满足一次函数关系，计划通过“潮汐车道”（如图3所示，大流量方向的汽车可在该路段借用相邻的对向一条机动车道通行）
动态调整车道方向以缓解拥堵．
图3
【原始数据】
时间x（时） 8 11 14 17 20
y1自东向西车流量（辆/分钟） 200 320 440 560 680
y2自西向东车流量（辆/分钟） 500 440 380 320 260
【实践操作】
步骤1：建立车流量模型．根据原始数据，分别表示y1与x，y2与x之间的函数关系；
步骤2：交通流量分析．计算8时至20时每小时的车辆总流量 y总＝y1＋y2，定义大流量方向车流量ym；
步骤3：潮汐车道方案设计．根据分析结果，划分需要启用“潮汐车道”的具体时段和方式．
【实践探索】
（1）分别求出y1与x，y2与x之间的函数解析式；
解：（1）设y1＝k1x＋b1（k1≠0）．
将（8，200），（11，320）分别代入y1＝k1x＋b1，
∴y1＝40x－120.
设y2＝k2x＋b2（k2≠0）．
将（8，500），（11，440）分别代入y2＝k2x＋b2，
∴y2＝－20x＋660.
（2）查阅资料可知，当ym≥ y总时需要启用“潮汐车道”以改善交通情况．请写出该路段从8时至20时如何设置“潮汐车道”通行方式以缓解交通拥堵（在何时间段借用何方向机动车道通行），并说明理由．
解：（2）8时到9时，借用自东向西车道通行；18时到20时，借用自西向东车道通行．理由如下：
y总＝y1＋y2＝40x－120－20x＋660＝20x＋540.
又8≤x≤20，∴18≤x≤20.
解得x≤9.又8≤x≤20，∴8≤x≤9.
∴8时到9时，借用自东向西车道通行；18时到20时，借用自西向东车道通行．(共20张PPT)
第二十三章　一次函数
第7课时　一次函数与方程、不等式（一）
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
理解函数与对应的方程、不等式的关系．（运算能力、几何直观、模型观念）
课标要求
课堂讲练
一次函数与一元一次方程
例1　一次函数y＝ax＋b的图象如图1所示．
（1）一次函数y＝ax＋b的图象与x轴的交点坐标为__________，关于x的方程ax＋b＝0的解是__________；
（2）关于x的方程ax＋b＝2的解是________，关于x的方程ax＋b＝－1的解是__________．
图1
（－2，0）
x＝－2
x＝2
x＝－4
训练　1.若直线y＝ax＋b与x轴交于点（1，0），则关于x的方程ax＋b＝0的解为__________．
2．已知关于x的方程3x＋b＝0的解是x＝－3，则一次函数 y＝3x＋b的图象与x轴的交点坐标是__________．
x＝1
（－3，0）
3．如图2，直线y＝kx＋b经过点（1，4）和点（3，1），则关于x的方程kx＋b＝1的解是__________．
图2
x＝3
　1.从“数”的角度，解一元一次方程ax＋b＝0，就是求一次函数y＝ax＋b中函数值y＝0时，自变量x的值；2.从“形”的角度，一元一次方程ax＋b＝0的解就是直线y＝ax＋b与x轴交点的横坐标．
一次函数与一元一次不等式
例2　一次函数y＝ax－b的图象如图3所示．
（1）当x________时，y＜0；当x________时，y＝0；当x________时，y＞0.
（2）关于x的不等式ax－b≥－1的
解集为__________.　
（3）当0＜x＜4时，y的取值范围是
_____________．
图3
＜2
＝2
＞2
x≥0
－1＜y＜1
训练　4.一次函数y＝kx＋b的图象如图4所示．
（1）关于x的不等式kx＋b≥0的解集为____________；
（2）关于x的不等式kx＋b＜－3的解集为____________；
（3）若－4＜y≤0，则x的取值范围是____________．
图4
x≤－2
－2≤x<0
　1.从“数”的角度，解一元一次不等式ax＋b＞0或ax＋b＜0，就是求一次函数y＝ax＋b的函数值y＞0或y＜0时自变量x的取值范围；2.从“形”的角度，一元一次不等式ax＋b＞0或ax＋b＜0的解集就是一次函数y＝ax＋b的图象位于x轴上方或下方的部分对应的x的取值范围．
课堂检测
1．一次函数y＝kx－b的图象如图5所示，则关于x的方程kx－ b＝0的解是（　　）
A．（1，0）
B．（0，－1）
C．x＝1
D．x＝－1
图5
C
2．如图6，函数y＝kx＋b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA＝4，OB＝2，则关于x的不等式kx＋b≥2的解集为（　　）
A．x≤0
B．x≤4
C．x≥0
D．x≥4
图6
A
3．对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），x与y的部分对应值如下表所示，则关于x的方程kx＋b＝0的解为__________．
x －2 －1 0 1 2
y 9 6 3 0 －3
x＝1
4.若关于x的方程kx＋b＝3的解是x＝－2，则直线y＝kx＋b一定经过点__________．
5．一次函数y＝kx－b的图象如图7所示，则关于x的不等式kx＋2＞b的解集为________．
（－2，3）
图7
x＜4
6．【易错】直线y＝kx＋b过点A（－1，2），B（－2，0），则0≤kx＋b＜2的解集为______________．
－2≤x<－1
7．（2024广东）已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx＋b的图象大致是（　　）
B
8．如图8，直线l：y＝－2x＋b与坐标轴交于A，B两点，点A的坐标是（0，4）.
（1）求直线l的函数解析式．
图8
解：（1）将点A（0，4）.代入y＝－2x＋b，得b＝4.
∴直线l的函数解析式为y＝－2x＋4.
图8
（2）点B的坐标为__________，关于x的不等式－2x＋b＜0的解集为__________．
（3）若点P在第一象限，且△ABP是等腰直角三角形， ∠ABP＝90°，求点P的坐标．
答图1
（2，0）
x＞2
解：（3）如答图1，过点P作PC⊥x轴于点C.
∴∠PCB＝90°.∴∠CBP＋∠BPC＝90°.
∵△ABP是等腰直角三角形，∠ABP＝90°，
∴AB＝BP，∠CBP＋∠ABO＝90°.
∴∠ABO＝∠BPC.
∴△ABO≌△BPC（AAS）.
∴PC＝BO＝2，BC＝AO＝4.
∴OC＝OB＋BC＝2＋4＝6.
∴点P的坐标为（6，2）.
随 堂 测(共26张PPT)
第二十三章　一次函数
第1课时　一次函数的概念
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
能根据简单实际问题中的已知条件确定一次函数的表达式．（推理能力、模型观念、应用意识）
课标要求
课堂讲练
一次函数的概念
一般地，形如______________（k，b是常数，k≠__________）的函数，叫作一次函数．特别地，当b＝0时，y＝kx＋b即y＝__________，形如y＝__________（k是常数，k≠__________）的函数，叫作正比例函数，其中__________叫作比例系数．
y＝kx＋b
0
kx
kx
0
k
①②④
②
②⑤
①②⑤
例2　已知关于x的函数y＝（a＋1）x＋a.
（1）当a__________时，该函数是一次函数；
（2）当a__________时，该函数是正比例函数．
≠－1
＝0
训练　2.已知关于x的函数y＝（m＋2）x＋m2－4.
（1）若该函数是一次函数，则m的取值范围是__________；
（2）若该函数是正比例函数，则m＝________.
m≠－2
2
1.一次函数y＝kx＋b的特征：①k≠0；②自变量的次数为1；③常数项为任意实数．
2.正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．
实际问题与一次函数
例3　鹤山红茶的上市时间约为每年四、五月份．茶农将炒制好的茶叶销往省外某地，某快递公司的收费标准为：物品不超过3 kg需付13元，之后每增加1 kg需增加邮寄费1.5元．
（1）邮寄红茶的费用y（单位：元）与质量x（单位：kg） （x＞3）之间的函数关系式为_____________；　
（2）若要将5 kg茶叶寄往外地，求茶农需要支付的邮寄费．
y＝1.5x＋8.5
解：（2）把x＝5代入y＝1.5x＋8.5，得y＝1.5×5＋8.5＝16.
答：茶农需要支付的邮寄费为16元．
训练　3.学校的图书室有360本图书可以借给八（2）班的同学阅读，规定每人借6本．
（1）求剩下的图书数量y（单位：本）和八（2）班的借书人数x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
解：（1）根据题意，得y＝360－6x，即y＝－6x＋360.
∵0≤6x≤360，∴0≤x≤60.
∴剩下的图书数量y和八（2）班的借书人数x之间的函数关系式为y＝－6x＋360（0≤x≤60）.
（2）若八（2）班的借书人数为50，则图书室还剩下多少本图书？
解：（2）当x＝50时，y＝－6×50＋360＝60.
答：图书室还剩下60本图书．
（3）若图书室还剩下72本图书，则八（2）班有多少人借书？
解：（3）当y＝72时，则72＝－6x＋360.解得x＝48.
答：八（2）班有48人借书．
课堂检测
1．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（　　）
A．y＝2x2＋1
B．y＝－4x
C．y＝3x－1
D．y＝
C
2．（1）若关于x的函数y＝（2－k）x是正比例函数，则k的取值范围是__________．
（2）若关于x的函数y＝（m－2）xm2－3＋m是一次函数，则 m＝__________．
k≠2
－2
3．（人教八下新教材P116改编）用函数解析式表示下列问题中y与x的关系：
（1）某种饮料每瓶的售价为3元，购买该种饮料的费用y（单位：元）与购买数量x（单位：瓶）之间的关系．
（2）已知某地区的海拔高度每上升1 km，温度下降约6 ℃.某时刻测得该地区地面温度为20 ℃.设此时高出地面x km处的温度为y ℃.
解：（1）y＝3x.
（2）y＝20－6x.
（3）等腰三角形的周长是20，底边长y与腰长x之间的关系（写出自变量的取值范围）．
解：（3）y＝－2x＋20（5＜x＜10）.
4．（人教八下新教材P116改编）已知y与x之间成正比例关系，且当x＝－1时，y＝3.
（1）求y与x之间的函数关系式；
解：（1）由题意，设y＝kx（k≠0）.
把x＝－1，y＝3代入y＝kx，得3＝－k.解得k＝－3.
∴y与x之间的函数关系式为y＝－3x.
（2）当x＝2时，求y的值；
（3）当y＝9时，求x的值．
解：（2）把x＝2代入y＝－3x，得y＝－3×2＝－6.
（3）把y＝9代入y＝－3x，得9＝－3x.解得x＝－3.
5．一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2 m/s.
（1）求小球的速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数解析式，并判断其是否为一次函数，是否为正比例函数；
解：（1）小球的速度v关于时间t的函数解析式为v＝2t.它是一次函数，也是正比例函数．
（2）求第2.5 s时小球的速度；
解：（2）把t＝2.5代入v＝2t，得v＝5.
∴第2.5 s时小球的速度为5 m/s.
（3）开始多久后，小球的速度v超过10 m/s
解：（3）当v＝2t＞10时，解得t＞5.
∴开始5 s后，小球速度v超过10 m/s.
6．已知点A（4，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x＋ y＝6，O为坐标原点，设△OPA面积为S.
（1）求S关于x的函数解析式及x的取值范围．
解：（1）∵x＋y＝6，∴y＝6－x.
∵点P在第一象限，∴x>0，y＝6－x>0.∴0∵A（4，0），∴OA＝4.
（2）当S＝6时，求点P的坐标．
解：（2）当S＝6时，－2x＋12＝6.解得x＝3.
∴y＝6－x＝3.
∴点P的坐标为（3，3）.
（3）△OPA的面积能大于12吗？请说明理由．
解：（3）不能．理由如下：
∵S＝－2x＋12，x>0，∴－2x<0.
∴－2x＋12<12.
∴△OPA的面积不能大于12.
随 堂 测(共19张PPT)
第二十三章　一次函数
第2课时　正比例函数的图象与性质
课堂讲练
随 堂 测
课堂检测
能画正比例函数的图象，根据图象和表达式y＝kx（k≠0）探索并理解k＞0和k＜0时图象的变化情况．（运算能力、几何直观、推理能力、模型观念）
课标要求
课堂讲练
正比例函数的图象与性质
例1　在如图1所示的平面直角坐标系中分别画出正比例函数 y＝x，y＝2x的图象．
图1
答图1
解：画出函数的图象如答图1所示．
训练　1.在如图2所示的平面直角坐标系中分别画出正比例函数y＝－ x，y＝－2x的图象．
图2
答图2
解：画出函数的图象如答图2所示．
　正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是一条经过__________的__________．
原点
直线
k k＞0 k＜0
大致图象
经过的象限 第__________象限 第__________象限
增减性 从左到右________，y随x的增大而________ 从左到右________，y随x的增大而________
注：|k|越大，图象越陡（即越靠近y轴）．
一、三
二、四
上升
增大
下降
减小
拓展　因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数 y＝kx（k≠0）的图象．一般地，取原点和（1，k）（k是常数，k≠0）这两点即可确定正比例函数y＝kx（k≠0）的图象．
例2　已知正比例函数y＝kx的图象经过点（1，2）.
（1）k＝__________；
（2）该函数的图象经过第__________象限，从左到右__________，即y随x的增大而__________；　
（3）若点（x1，y1），（x2，y2）在此函数的图象上，且x12
一、三
上升
增大
<
训练　2.已知正比例函数y＝－ ，则下列结论中正确的是（　　）
A．图象是一条射线
B．图象经过点（－5，－1）
C．y随x的增大而减小
D．图象经过第一、三象限
C
课堂检测
1．点A（1，m）在函数y＝2x的图象上，则m的值是（　　）
A．1
B．2
C．
D．0
B
2．正比例函数y＝－ x的图象大致是（　　）
D
3．已知点（2，y1），（5，y2）在直线y＝－3x上，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2
B．y1＜y2
C．y1＝y2
D．无法判断
A
4．若正比例函数y＝kx的图象经过点（－2，1），则它一定也经过（　　）
A．（1，－2）
B．（－1，2）
C．（－2，－1）
D．（2，－1）
D
5．已知关于x的正比例函数y＝（k－2）x.
（1）若该函数的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是__________；
（2）若该函数的图象经过第一、三象限，则点（2－k，k－2）在第__________象限．
k<2
二
6．【推理能力】如图3，三个正比例函数的图象分别对应解析式：①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx.将a，b，c从大到小排列并用“>”连接，下列选项中正确的是（　　）
A．a>b>c
B．b>c>a
C．c>b>a
D．b>a>c
图3
D
7．当自变量x＝__________时，正比例函数y＝（n＋2）xn的函数值为3.
8．如图4，已知正方形OABC的顶点B在直线y＝－2x上，点A在第一象限，且点A的纵坐标为3，则点B的坐标为____________．
1
图4
（－2，4）
9．已知正比例函数y＝kx的图象经过点A（4，3）.
（1）请直接在图5中画出该函数的图象，并求k的值；
（2）若点B（a，y1），C（a＋2，y2）
在该函数的图象上，则y1__________y2；
（填“>”“<”或“＝”）
图5
答图3
解：（1）画出该函数的图象如答图3所示．
∵正比例函数y＝kx的图象经过点（4，3），
＜
（3）当－8≤x≤6时，求y的取值范围．
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第二十三章　一次函数
第8课时　一次函数与方程、不等式（二）
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体会一次函数与二元一次方程的关系．（运算能力、几何直观、模型观念、应用意识）
课标要求
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一次函数与二元一次方程（组）
例1　如图1，一次函数y＝3x－1和y＝－x＋3
的图象交于点A（1，2）.
（1）二元一次方程3x－y＝1对应的一次函数
解析式为______________，二元一次方程x＋y＝3
对应的一次函数的解析式为________________；
（2）方程组 的解是____________．
图1
y＝3x－1
y＝－x＋3
2.求直线y＝4x－5和y＝－2x＋7的交点坐标．
∴直线y＝4x－5和y＝－2x＋7的交点坐标为（2，3）.
例2　如图2，已知一次函数y1＝mx＋n和y2＝kx＋b的图象交于点（1，3）.
（1）当x________时，y1＝y2；
（2）当x________时，y1＞y2；
（3）当x________时，y1＜y2.
图2
＝1
＞1
＜1
训练　3.如图3，函数y1＝ax＋b和y2＝kx的图象交于点P.
（1）关于x的方程ax＋b＝kx的解为__________；
（2）关于x的不等式ax＋b＞kx的解集为__________；
（3）关于x的不等式ax＋b＜kx的解集为__________.　
图3
x＝－4
x＜－4
x>－4
思考：如何从“数”或“形”的角度理解一次函数与二元一次方程（组）的关系？
一次函数与方程、不等式的实际应用
例3　A，B两地相距300 km，甲、乙两人分别开车沿同一路线从A地出发前往B地，甲比乙早1小时出发．图4是甲、乙两人的行驶路程随行驶时间变化的图象．设甲的行驶路程为y甲 km，乙的行驶路程为y乙 km，行驶时间为x h.
图4
（1）分别求出y甲，y乙关于x的函数解析式；
解：（1）设y甲＝k1x（k1≠0）.
将（5，300）代入，得300＝5k1.解得k1＝60.
∴y甲关于x的函数解析式为y甲＝60x.
设y乙＝k2x＋b（k2≠0）.将（1，0）和（4，300）代入，
∴y乙关于x的函数解析式为y乙＝100x－100.
（2）甲出发多长时间后两人相遇，此时两人的行驶路程是多少？
解：（2）联立（1）中的两个函数解析式，
∴甲出发2.5 h后两人相遇，此时两人的行驶路程是150 km.
思考：在乙出发多长时间后，甲 、乙相距50 km？
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1．下列直线中，直线上的每个点的坐标都是二元一次方程2x－3y＝6的解的是（　　）
D
3．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴车前往某地进行研学活动．大巴车出发1 h后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知轿车出发2 h后追上大巴车，此时两车与学校相距150 km.如图5，OA，BA分别表示大巴车、轿车离开学校的路程s（单位：km）与大巴车行驶的时间t（单位：h）之间的函数关系．
（1）分别求OA，BA所在直线的函数解析式；
图5
解：（1）由题意，得A（3，150）.设OA所在直线的函数解析式为s＝kt（k≠0）.
将A（3，150）代入上式，得150＝3k.解得k＝50.
∴OA所在直线的函数解析式为s＝50t.
设BA所在直线的函数解析式为s＝at＋b（a≠0）.
将A（3，150），B（1，0）代入，
∴AB所在直线的函数解析式为s＝75t－75.
（2）求轿车出发多长时间后，轿车与大巴车首次相距5 km.
解：（2）由题意，得50t－（75t－75）＝5.解得t＝2.8.
∵轿车比大巴车晚出发1小时，∴2.8－1＝1.8.
答：轿车出发1.8 h后，轿车与大巴车首次相距5 km.
A．相交
B．平行
C．重合
D．不能确定
B
5．（2025汕头期末）如图6，直线l1：y＝－x＋4与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线l2：y＝kx＋b与y轴交于点C（0，1），与直线l1交于点D.
（1）填空：
①线段AB的长度为__________；
图6
（2）结合图象直接写出kx＋b＞－x＋4＞0的解集．
解：（2）kx＋b＞－x＋4＞0的解集为1＜x＜4.
（3）求△BCD的面积．
解：（3）由题意，得B（0，4），D（1，3）.
又C（0，1），∴BC＝4－1＝3.
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