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2026年人教版八年级下册21.2平行四边形自主导学案
一、知识清单
1.平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
表示方法：平行四边形用符号“ ”表示，如平行四边形ABCD，记作“ ABCD”。
2.平行四边形的性质
边：对边平行且相等。即AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC。
角：对角相等，邻角互补。即∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°等。
对角线：对角线互相平分。即OA=OC，OB=OD（O为对角线交点）。
对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。
3.平行线之间的距离
定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。
性质：若两条直线平行，则一条直线上所有点到另一条直线的距离都相等。
4.平行四边形的判定方法
从边看：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
二、例题精讲
例题1：在 ABCD中，已知AB=5，BC=8，求CD和AD的长。
分析：根据平行四边形对边相等的性质，AB与CD是对边，BC与AD是对边，直接对应相等即可。
解答：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC。
∵AB=5，BC=8，
∴CD=5，AD=8。
例题2：在 ABCD中，∠A=60°，求其余三个角的度数。
分析：利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质。∠A与∠C是对角，∠A与∠B是邻角。
解答：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=60°。
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠B=180° 60°=120°，∠D=∠B=120°。
例题3： ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=8，求OA，OB的长。
分析：平行四边形的对角线互相平分，即O是AC和BD的中点。
解答：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD。
∵AC=10，BD=8，
∴OA=5，OB=4。
例题4：直线a∥b，直线a上一点A到直线b的距离为3cm，求直线a与b之间的距离。
分析：根据平行线间距离的定义，一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，即为 平行线间的距离。
解答：直线a与b之间的距离为3cm。
例题5：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求证：四边形ABCD是平行四边形。
分析：已知两组对边分别相等，直接根据判定定理可证。
证明：连接对角线AC，在△ABC和△CDA中，
∵AB=CD，BC=DA，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
例题6：四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，求证：四边形ABCD是平行四边形。
分析：已知对角线互相平分，直接根据判定定理可证。
证明：在△AOB和△COD中，
∵OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB=CD，∠ABO=∠CDO，
∴AB∥CD。
同理可证AD=BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
例题7：在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，求AC+BD的长。
分析：△AOB的周长=AB+OA+OB，根据对角线互相平分，OA=1/2AC，OB=1/2BD，代入计算。
解答：∵△AOB的周长=15，AB=6，
∴OA+OB=15 6=9。
∵OA=1/2AC，OB=1/2BD，
∴1/2AC+1/2BD=9，
∴AC+BD=18。
例题8：在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形。
分析：先利用 ABCD的性质得到AD=BC，AD∥BC，结合BE=DF，可得AF=CE，再根据一组对边平行且相等证明。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AF=AD DF，CE=BC BE。
∵BE=DF，
∴AF=CE。
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形。
例题9：在 ABCD中，AB=10，AD=6，动点P从点A出发，沿AD边以每秒1个单位的速度向点B运动，动点Q从点C出发，沿BC边以每秒1个单位的速度向点B运动，P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
分析：四边形PQCD是平行四边形，则PD=QC，根据运动速度表示出PD，QC的长度，列方程求解。
解答：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6。AP=t，CQ=t，
∴PD=AD AP=6 t，CQ=t。
若四边形PQCD是平行四边形，则PD=QC，PD∥QC，即6 t=t，解得t=3；故当t=3时，四边形PQCD是平行四边形。
三、基础巩固
一.选择题
1.下列图形中，不属于平行四边形的是（ ）
A. 矩形 B. 菱形 C. 梯形 D. 正方形
2.在 ABCD中，∠A=50°，则∠C的度数为（ ）
A. 50° B. 130° C. 40° D. 60°
3.平行四边形的对角线（ ）
A. 相等 B. 互相垂直 C. 互相平分 D. 平分一组对角
4.在 ABCD中，AB=3，BC=5，则其周长为（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
5.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. 一组对边相等 B. 一组对角相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行
6.在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC=8，则OA的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
7.平行四边形具有而一般四边形不具有的性质是（ ）
A. 内角和为360° B. 外角和为360° C. 对角线互相平分 D. 不稳定性
8.在 ABCD中，∠A:∠B=1:2，则∠A的度数为（ ）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 45°
9.下列说法正确的是（ ）
A. 平行四边形是轴对称图形 B. 平行四边形的对角线平分一组对角
C. 平行四边形是中心对称图形 D. 平行线间的线段相等
10.在 ABCD中，AB=6，AD=4，AC⊥BC，则BD的长为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
11.以A，B，C三点为顶点画平行四边形，可画（ ）个。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12.在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的面积为3，则 ABCD的面积为（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
二.填空题
13.在 ABCD中，AB=7，则CD=______。
14.在 ABCD中，∠B=110°，则∠D=________。
15.平行四边形相邻两边之和为15，则其周长为________。
16.在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若BD=10，则OB=________。
17.直线a∥b，a上一点P到b的距离为4，则a与b之间的距离为________。
18.在 ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B=________。
19.四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，则四边形ABCD是________。
20.在平面直角坐标系中， ABCD的顶点A(1,1)，B(3,1)，C(4,3)，则点D的坐标为________。
21.在 ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，若AB=5，则BE=________。
22.在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O交AD于E，交BC于F，若AE=3，则CF=________。
三.解答题
23.在 ABCD中，∠A ∠B=40°，求各内角的度数。
24.在 ABCD中，AB=8，周长为28，求其余三边的长。
25.在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，AC=12，BD=16，求△AOB的周长。
26.已知：如图，在 ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF。求证： BE=DF。
27.如图，在 ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠EDF=60°，求∠A的度数。
28.在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，△BOC的周长为18，BC=6，求AC+BD的长。
29.如图， ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，求证：AE=CF。
30.在 ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=BF，连接EF。求证：EF与BD互相平分。
31.如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB=5，AD=8，求EF的长。
四、练习答案与解析
1.选择题
1.C解析：梯形只有一组对边平行，不是平行四边形。
2.A解析：平行四边形对角相等。
3.C解析：平行四边形对角线互相平分。
4.C解析：周长=2×(3+5)=16。
5.C解析：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
6.B解析：OA=1/2AC=4。
7.C解析：平行四边形是中心对称图形。
8.A解析：∠A+∠B=180°，∠A:∠B=1:2，∠A=60°。
9.C解析：平行四边形是中心对称图形。
10.B解析：利用勾股定理和对角线性质计算。
11.C解析：以三点为顶点可画3个平行四边形。
12.C解析：平行四边形被对角线分成的四个三角形面积相等。
二.填空题
13.7解析：对边相等。
14.110°解析：对角相等。
15.30解析：周长=2×15=30。
16.5解析：OB=1/2BD。
17.4解析：平行线间距离处处相等。
18.80°解析：∠A=∠C=100°，∠B=180° 100°=80°。
19.平行四边形解析：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
20.(2,3)解析：利用对角线互相平分或向量平移。
21.5解析：角平分线+平行线得等腰三角形。
22.3解析：利用全等三角形或对角线性质。
3.解答题
23.∠A=110°，∠B=70°，∠C=110°，∠D=70°。
解析：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A +∠B=180°（平行四边形邻角互补）。
又已知∠A-∠B=40°。
设∠B=x，则∠A=x+40°。
x+(x+40°)=180°
2x+40°=180°
2x=140°
x=70°
∴∠B=70°，∠A=70°+40°=110°。
根据平行四边形对角相等的性质：
∠C=∠A=110°，∠D=∠B=70°。
24.BC=AD=6，CD=8。
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC（对边相等）。
已知AB=8，则CD=8。
设AD=x，则BC=x。
周长=AB+BC+CD+DA=8+x+8+x=16+2x。
已知周长为28：
16+2x=28
2x=12
x=6
∴AD=BC=6。
25.22。解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线互相平分。
即AO=AC，BO=BD。
已知AC=12，BD=16，
∴AO=×12=6，
∴BO=×16=8。
在平行四边形中，AC与BD垂直，则用勾股定理得：
AB=====10。
此时△AOB的周长=AO+BO+AB=6+8+10=24。
26.证明：△ABE≌△CDF（SAS）。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，且AB∥CD。
∴∠BAE=∠DCF
在△ABE和△CDF中：
AB=CD（平行四边形对边相等）
∠BAE=∠DCF
AE=CF
∴△ABE≌△CDF（SAS）。
∴BE=DF
27.60°。解：四边形内角和为360°，
∴∠EBF=360°-90°-90°-60°=120°。
∵∠EBF即∠ABC，
∴∠ABC=120°。
在平行四边形ABCD中，邻角互补：
∠A+∠ABC=180°，
∴∠A=180°-120°=60°
28.24。解：△BOC周长=BO+OC+BC=18，BC=6，
BO+OC=12，
AC+BD=2×(BO+OC)=24。
29.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，且AB∥CD。
∴∠ABE=∠CDF（两直线平行，内错角相等）。
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°。
在△ABE和△CDF中：
∠AEB=∠CFD=90°
∠ABE=∠CDF
AB=CD
∴△ABE≌△CDF（AAS）
∴AE=CF
30.证明：证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，且AD∥BC。
已知DE=BF，
∴AD-DE=BC-BF，
即AE=CF。
又∵AD∥BC，
∴AE∥CF。
在四边形AFCE中，AE=CF且AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形。
设EF与BD相交于点O。
∵AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠BFO
在△DEO和△BFO中：
∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠BFO,DE=BF
∴△DEO≌△BFO（AAS）
∴EO=FO，DO=BO
即O是EF的中点，也是BD的中点
∴EF与BD互相平分
31.2。解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC。
又∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC,∠ABE=∠AEB
∴AB=AE
∵AB=5，∴AE=5。
同理，CF平分∠BCD，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
又∠FCB=∠FCD，
∴∠DFC=∠FCD，
∴DF=DC。
∵DC=AB=5，∴DF=5。
AD=8
AE=5，DF=5
设A在左，D在右：
E距A为5单位，F距D为5单位（即距A为8-5=3单位）。
所以F在A右3单位处，E在A右5单位处，
∴EF=5-3=2

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