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2026年人教版八年级下册21.1四边形及多边形自主导学案
一、知识清单
1.四边形
定义：由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。
内角和：四边形的内角和等于；
外角和：四边形的外角和等于；
不稳定性：四边形具有不稳定性。
2.多边形
定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
内角和公式： 边形的内角和等于 （ ）。
外角和定理：任意多边形的外角和恒等于 。
正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
二、例题精讲
例题1：在四边形中，已知， ， ，求的度数。
解：根据四边形内角和为 ，得 。
例题2：一个四边形的三个外角分别是 ， ， ，求第四个外角的度数。
解：根据四边形外角和为，第四个外角：。
例题3：从一个八边形的一个顶点出发，可以画出多少条对角线？这些对角线将八边形分割成多少个三角形？
解：从 边形一个顶点出发可画条对角线，将 边形分成个三角形。当 时，对角线数 条，三角形数 个。
例题4：已知一个多边形的内角和为，求这个多边形的边数。
解：设边数为 ，根据内角和公式 。解得， 。
例题5：一个多边形的每个外角都是 ，求这个多边形的边数。
解：利用外角和定理，边数。
例题6：求正六边形的一个内角的度数。
解：方法一：内角和 ，一个内角： 。
方法二：一个外角：，一个内角：。
例题7：一个多边形的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数。
解：设边数为。外角和恒为，内角和为 。根据题意：。解得， 。
例题8：一个多边形除了一个内角外，其余内角的和为 ，求这个多边形的边数及那个未计算的内角。
解：设边数为，未计算的内角为。则 。因为 ，所以 。
解得 ，故 ， 。
代入得 ，所以 。
例题9：一个边形，若截去一个角（不过顶点）后，形成的新多边形的内角和为 ，求原多边形的边数。
解：截去一个角（不过顶点）相当于增加一条边，即新多边形边数为 。
根据题意：，即 。
解得， 。
例题10：小明从点出发，沿着一个五边形广场的一周散步。每走到一个拐角处（外角），他都向左转。当他回到出发点时，正好转了一圈。请问这个五边形广场的形状有什么特点？
解：小明转的总角度为外角和，每次转，则边数。因为每个外角都相等，所以这是一个正五边形。
三、基础巩固
一.选择题（每小题3分，共36分）
下列图形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
从一个十边形的一个顶点出发，可以画出对角线的条数是（）
A.7 B.8 C.9 D.10
一个多边形的内角和不可能是（）
A. B. C. D.
若一个多边形的每个内角都是，则这个多边形是（）
A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形
一个多边形的边数每增加1条，它的内角和增加（ ）
A. B. C. D.
一个四边形的四个内角之比为 ，则其中最小的内角是（ ）
A. B. C. D.
若一个多边形的内角和是 ，则它的对角线共有（ ）
A.5条 B. 8条 C. 14条 D. 20条
正 边形的一个外角不可能是（ ）
A. B. C. D.
一个多边形的内角和与外角和的度数之比为 ，则这个多边形的边数是（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
将一个五边形截去一个角后，所得多边形的内角和不可能是（ ）
A. B. C. D.
在四边形 中， 与互补， ，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
若一个多边形的每一个外角都相等，且小于 ，则这个多边形的边数最少是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
二.填空题（每小题4分，共40分）
13. 一个十二边形的内角和是____.
14. 一个四边形的四个外角中，最多有_____个钝角。
15. 如果一个多边形的内角和是 ，那么这个多边形是____边形。
16. 从 边形的一个顶点出发，最多可以引出10条对角线，则______.
17. 正十五边形的每个外角是_____
18. 一个多边形的每个内角都比它相邻的外角大 ，则这个多边形的边数是______.
19. 如图，该图形的外角和是____
20. 若一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为 ，则这个多边形的边数是 ___
21. 一个六边形截去一个角后，所形成的新多边形的边数是_____.
22. 一个凸多边形的内角中，最多有_____个锐角。
三.解答题（共74分）
23.（6分）在四边形中，已知，求这个四边形各个内角的度数。
24.（6分）一个多边形的内角和为，求这个多边形的边数。
25.（8分）若两个多边形的边数之比为，内角和之比为，求这两个多边形的边 数。
26.（8分）在各个内角都相等的十二边形中，每一个内角是多少度？每一个外角是多少度？
27.（10分）一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为，求这个多边形的边数。
28.（10分）如图，求的度数。
29.（12分）将一个多边形截去一个角（不过顶点）后，形成的新的多边形的内角和是。
（1）求原多边形的边数；
（2）求原多边形的对角线总条数。
30.（14分）某学校计划在操场上修建一个花坛，形状设计为一个正多边形。工程队在施工时，每前进一段距离就要向左转。
（1）这个花坛是几边形？
（2）若这个花坛的周长为米，求每一边的长度。
（3）求这个花坛每一个内角的度数。
答案与解析
一.选择题
B（解析：四边形内角和，外角和。）
A（解析：条。）
D（解析：内角和必须是的倍数，不是。）
A（解析：外角，边数。）
B（解析：。）
A（解析：设比例为，则，，。）
A（解析：先求边数，，。对角线条数。）
D（解析：，不是整数，故不可能。）
C（解析：，解得。）
D（解析：五边形截角可能变成四边形（）、五边形（）或六边形（），不可能是七边形。）
C（解析：，四边形内角和，故，。）
C（解析：外角，则边数，故最少为。）
二.填空题
13.（。）
14.3（外角和，若4个钝角，故最多3个。）
15.十二（，。）
16.13（，。）
17.（。）
18.6（设外角为，则内角为，，，边数。）
19.（6个外角和。）
20.9（设边数，，，解得。）
21.5或6或7（截角可能减少1、不变或增加1条边。）
22.3（凸多边形外角最多3个钝角，对应内角最多3个锐角。）
三.解答题
23.解：设比例为，则，，。故，，，。
24.解：，，。
25.解：设边数为和。。解得，。
26.解：外角，内角。
27.解：，。，故，。。
28.解：利用外角和或转化为四边形，结果为。
29.解：（1）新多边形边数：，。原多边形。
（2）对角线数条。
30.解：（1）边数（正九边形）。
（2）边长米。
（3）内角。

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