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2026年中考数学模拟试卷
一、选择题（每题3分，30分）
1.数a的相反数为﹣2023，则a的值为（　　）
A．2023 B．﹣2023
C．- D．
2.木星的赤道半径约为71490000米，将71490000用科学记数法表示为（ ）
A．7.149×107 B．71.49×106
C．7149×105 D．0.7149×105
3.唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，是盛行于唐代的一种低温釉陶器，釉彩多以黄、绿、白三色为主，所以人们习惯称之为“唐三彩”．如图，这是河南巩义窑烧制的唐三彩，关于其三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图和左视图的形状相同 B．主视图和俯视图的形状相同
C．左视图和俯视图的形状相同 D．三种视图的形状都不相同
4.下列计算正确的有(　　)
①(－a＋1)(a＋1)＝1－a2；②(－a2)3＋a2·a3＝0；③6a3b÷2ab＝3a2；④3a·2a2－a3＝6.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.光的逆向反射又称再归放射，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜．夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回，其原理如图所示，若∠1＝41°，则∠2的度数为(　　)
A．41° B．49° C．51° D．59°
6.
一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3的根的情况是(　　)
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
7.圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是（　　）
A． B．
C． D．
8.一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔45海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为（　　）(参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ )
A．27海里 B．50海里
C．75海里 D．15 海里
9.如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为(　　)
A. 4π－8 B. 2π C. 4π D. 8π－8
10.如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，动点P从点B出发，沿B→C→D方向运动，运动至点D停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则△BCD的周长是(　　)
A. 6＋ B. 5＋
C. 4＋ D. 3＋
二、填空题（每题3分，15分）
11.若 在实数范围内有意义，写出一个满足条件的正整数x的值： ．
12.不等式组 的整数解的和是 ．
13.写出一个开口向上的二次函数表达式 ．
14.如图，在菱形ABCD中，点B、C在x轴上，点A的坐标为(0，2 )，分别以点A、B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点E、F，直线EF恰好经过点D，则点B的坐标为 ．
15.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，将正方形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若AB＝ ，则线段AE的长为______．
三、解答题（8题，75分）
16.（10分）（1）计算： ；
（2）化简： ．
17.（9分）河南省教育厅通知从2025年起，学校每天需开设一节体育课，确保学生每天两小时体育活动．为了解其中跳绳训练活动的效果，某校体育组随机跟踪了本学期八年级20位男生跳绳成绩(一分钟跳绳180个为满分)，并制成了跳绳成绩统计表和跳绳满分率统计图．
跳绳成绩统计表：
平均数/个 众数/个 中位数/个 方差
2月 145.6 143 142 30.2
3月 156.2 156 153 25.7
4月 163 160 161 18.4
5月 175 180 169 17.9
请根据图表中的信息，解答下列问题：
(1)小明某月跳绳150个，他说他比一半男生的跳绳成绩都高，请你判断他在几月份说的？
(2)从多角度分析每月跳绳训练活动的效果；
(3)通过分析折线统计图，体育教师发现满分率逐步提高，按照此趋势发展下去，预计6月的满分率大约为多少？
18.（9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，以AC边上一点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O与AB、BC分别相切于点A、点D，并与AC边相交于另一点F，在优弧AD上求作一点E，使得四边形ABDE为菱形；
小文的作法如下： ①以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交BA，BD于点M，点N； ②分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧交于点P； ③连接BP，并延长交 ⊙O于点E，连接AE，DE，即四边形ABDE为所求作的菱形．
(1)证明：四边形ABDE为菱形；
(2)若AB＝6，求△ABE的周长．
19.（9分）请阅读以下材料，并完成相应任务.
问题背景：如图①，矩形OABC的边AB，BC分别与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点D，E. 小红的探究：如图②，过点D作DF⊥y轴于点F，过点E作EG⊥x轴于点G.根据反比例函数中|k|的几何意义，可得CE·EG=AD·DF，又EG=AB，DF=BC，∴CE·AB=AD·BC，∴ ＝ . 小明说：“如图③，连接DE，AC，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到DE∥AC.”
(1)小明的结论正确吗 若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由.
(2)如图④，直线MN分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点D，E.求证：EM=DN.
(3)如图⑤，矩形OABC的边AB，BC分别与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点D，E.连接OD，OE，DE.若点D为AB的中点，则S△ODE=______(用含k的代数式表示).
20.（9分）如图，三角形ABC内接于⊙O， 连接BO并延长交⊙O于点D，连接AO，AD，CD．
（1）求证：
（2）猜想OA与CD的位置关系，并说明理由．
21.（9分）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y(克)随时间x(分钟)变化的数据(0≤x≤20)，并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．
(1)从y＝ax＋21(a≠0)，y＝ (k≠0)，y＝－0.04x2＋bx＋c中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下y随x变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
(2)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
22.（10分）
综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合.
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60 cm，起跳点与落地点的距离为160 cm.
数学建模：如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O 与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
(1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变.
(2)如图①,若仿青蛙机器人从点O正上方的点 P处起跳，落地点为Q，点P 的坐标为(0，75)，点Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长；
(3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3 cm，才能安全通过.如图②，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC=∠BCD=90°, AB=57 cm, BC=40 cm, CD=48 cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80 cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度(平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内).
23.（10分）在等腰直角△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC 上任意一点，连接AD. 将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90°得线段ED, 连接BE.
【尝试发现】
(1)如图①，当点D 在线段BC 上时，线段BE 与CD的数量关系为________；
【类比探究】
(2)当点D 在线段BC 的延长线上时，先在图②中补全图形，再探究线段BE 与CD 的数量关系并证明；
【联系拓广】
(3)若AC＝BC＝1，CD＝2，请直接写出sin∠ECD的值．
答案
一、选择题
1.A
【详解】∵数a的相反数为﹣2023，∴a＝2023．
2.A
3.A
4.B　
【详解】①(－a＋1)(a＋1)＝(1－a)(1＋a)＝1－a2，故①正确；②(－a2)3＋a2·a3＝－a6＋a5≠0，故②错误；③6a3b÷2ab＝(6÷2)a3－1＝3a2，故③正确；④3a·2a2－a3＝6a3－a3＝5a3≠6，故④错误．综上所述，正确的个数有2个．
5.B
【详解】如答案图，由光的反射定律得∠3＝∠1＝41°，∠2＝∠4，∴∠ABD＝180°－∠1－∠3＝98°，∵AB∥DC，∴∠BDC＋∠ABD＝180°，∴∠BDC＝82°，∴∠2 (180°－82°)＝49°．
答案图
6.
A　
【详解】
将一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3转化为一般式为x2－2x－4＝0，∵b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－4)＝20＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．
7.B
【详解】将4位数学家的画像分别记为A、B、C、D，列表如下：
A B C D
A — （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） — （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） — （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） —
由表格可知共有12种等可能的结果，其中至少有一幅是中国数学家的结果有（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（D，A），（D，B）共10种，∴至少有一幅是中国数学家的概率是 ．
8.C
【详解】如图所示标注字母，根据题意得，∠CAP＝∠EPA＝60°，∠CAB＝30°，PA＝45海里，∴∠PAB＝90°，∠APB＝180°-67°﹣60°＝53°，∴∠B＝180°﹣90°-53°＝37°，在Rt△PAB中，sin∠B ，PB （海里），∴此时与灯塔P的距离约为75海里．
9.A　
【详解】∵∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∵OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴S阴影＝S扇形BOC－S△OBC＝ － ×42＝4π－8.
10.B　
【详解】∵AB∥CD，∴设△ABP边AB上的高为h，∵S△ABP＝ AB·h，当动点P沿BC边上运动时，h＝BP＝x，∴S△ABP＝ AB·x，对应图象为0＜x＜2部分，由图象可知：点P在BC边上运动的路程为BC＝2－0＝2；当点P沿CD边上运动时，h＝BC，S△ABP＝ AB·BC为定值，对应图象2＜x＜5部分，由图象可知，点P在CD运动路程为CD＝5－2＝3.如解图，连接BD，∵在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠DCB＝90°，BD＝ ＝ ＝ .∴C△BCD＝BC＋CD＋DB＝2＋3＋ ＝5＋ .
解图
二、填空题
11.0(答案不唯一)
【详解】∵ 在实数范围内有意义，∴3－x≥0，∴x≤3，∴x可以为0(答案不唯一、所填的数不大于3均正确)．
12.5
【详解】 ，由①得：x＞﹣2，由②得：x≤3，∴﹣2＜x≤3，∴不等式组的整数解为﹣1，0，1，2，3，所有整数解的和为﹣1+0+1+2+3＝5．
13.y＝x2(答案不唯一)
【详解】∵开口向上的二次函数的二次项系数是正数，∴满足题意的二次函数表达式可以为y＝x2．
14.
【详解】如解图，由题可知，EF垂直平分AB，设EF交AB于点G，则AG＝ AB，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∴AG＝ AD，∴∠ADG＝30°，∠DAB＝60°.∵AD∥BC，∴∠ABO＝60°，∴OB＝ ＝ ＝2，∴点B的坐标为(2，0).
解图
15. 或
【详解】∵M为AD的三等分点，∴ ＝ 或 ＝ ，∵四边形ABCD为正方形，AB＝ ，∴∠EAM＝90°，AD＝AB＝ ，∴AM＝ 或AM＝5.由折叠的性质可得BE＝ME，设AE＝x，则EM＝ －x.①当AM＝ 时，x2＋( )2＝( －x)2，解得x＝ .②当AM＝5时，x2＋52＝( －x)2，解得x＝ .综上所述，线段AE的长度为 或 .
三、解答题
16.解：（1）原式
=
；
（2）原式
．
17.解：(1)从表中可知，2月份的中位数是142，
150＞142，
∴小明在2月份说的；
(2)本次跳绳训练活动的效果明显，理由如下：
从平均数和满分率看，平均数和满分率逐月增加，从中位数看，跳绳个数逐月增加，从众数看，跳绳的个数越来越大，从方差看，方差越来越小(答案不唯一，合理即可)；
(3)从折线统计图可知，满分率逐步提高，2月份大约是20%，3月份大约是25%，4月份大约是35%，5月份大约是40%，按照此趋势发展下去，预计6月满分率大约为45%(答案不唯一，合理即可)．
18.(1)证明：如答案图，连接OD，
∵⊙O与AB、BC分别相切于点A、点D，∴∠OAB＝∠ODB＝90°，
又∵根据小文的作图步骤可得BE是∠ABD的平分线，∴BE经过点O，
又∵∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABE＝30°，∠AOB＝60°，
∴∠AEB＝ ∠AOB＝30°，∴∠AEB＝∠ABE＝30°，∴AB＝AE，同理可得BD＝DE，
又∵AB＝BD，∴AB＝AE＝DE＝BD，
∴四边形ABDE为菱形；
答案图
(2)由(1)知四边形ABDE为菱形，
∵AB＝6，∴AE＝AB＝6，
在Rt△ABO中，
∵∠ABE＝30°，∴AO＝ ×6＝2 ，BO＝ ＝4 ，
∴△ABE的周长为AB＋AE＋BO＋OE＝6＋6＋2 ＋4 ＝12＋6 .
19.（1）解：正确.
证明：由 = ，可得 = .
又∠B=∠B，∴△BED~△BCA，
∴∠BED=∠BCA，∴DE//AC.
（2）证明：如解图①，过点E作x轴的平行线，交y轴于点F，过点D作y轴的平行线，交x轴于点G，连接FG，则ED//FG.又MF//DG，EF//CN，
∴四边形MFGD和四边形FENG都是平行四边形，
∴DM=FG=EN，
∴EM=DN.
解图①
（3）解： k.
【解法提示】如解图②，连接AC，OB，则DE//AC.又BD=AD，∴BE=CE，∴S△OBE：=：S△OCE：=： k，S△OBD=S△OAD= ：k，S△BDE= S△OCE= k，∴S△ODE=S△OBE+S△OBD-S△BDE= k×2- k= k.
解图②
20.（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
由圆周角定理得∠ACB＝∠ADB，
∴∠ABC＝∠ADB；
（2）解：OA∥CD，理由如下，
如答案图，延长AO交BC于点E，
∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，
∴∠BAO＝∠CAO，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO，
∴∠ABO＝∠CAO，
由圆周角定理得∠ABO＝∠ACD，
∴∠CAO＝∠ACD，
∴OA∥CD．
答案图
21.(1)解：由题图知，场景A选择函数模型y＝－0.04x2＋bx＋c，将点(10，16)和点(20，3)的坐标代入，
得 解得
∴场景A下的函数表达式为y＝－0.04x2－0.1x＋21.
场景B选择函数模型y＝ax＋21(a≠0)，
将点(5，16)的坐标代入，得16＝5a＋21，解得a＝－1，
∴场景B下的函数表达式为y＝－x＋21.
(2)由题图知，场景A下，当该化学试剂发挥作用的最低质量为3克时，时间为20分钟．
在场景B下，令y＝－x＋21＝3，得x＝18.即场景B下该化学试剂发挥作用的时间最长为18分钟，
∴该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长．
22.解:(1) 顶点N的坐标为(80, 60).
设抛物线的函数表达式为 y=a(x-80)2+60（a≠0），
由题意得, 点M的坐标为(160, 0)，将点M的坐标(160, 0)代入 y=a(x-80)2+60，
得 0=a(160-80)2+60,
解得 a=- ，
∴ 抛物线的函数表达式为y=- (x-80)2+60；
(2)由题意得，过点P的抛物线是由(1)中的抛物线沿直线l向上平移得到的，顶点坐标为(80,135)，
∴其表达式为y=- (x-80)2+135.
当y=0时,- (x-80)2+135=0,
解得x1=200,x2=-40(不符合题意，舍去),
∴点Q的坐标为(200,0),
∴起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm；
(3) 6 cm.
【解法提示】∵当x=80时，y=- (x-80)2+60=60=57+3，∴仿青蛙机器人一定能安全通过AB正上方.设该平台的高度为k cm，由题意，设新的函数表达式为y=- (x-80)2+60+k，由题意得，仿青蛙机器人经过CD正上方3 cm处，即抛物线经过点(80+40，48+3)，即点(120，51)，∴把(120，51)代入y=- (x-80)2+60+k，得51=- ×(120-80)2+60+k，解得k=6，故该平台的高度为6 cm.
23.解：(1)BE＝ CD；
(2)补全图形如解图①，BE＝ CD；
证明：如解图①，过点E作EF⊥BC于点F，∴∠DFE＝∠BFE＝∠ACD＝90°，
∵∠ADE＝90°，∴∠DAC＋∠ADC＝∠EDF＋∠ADC＝90°，∴∠EDF＝∠DAC，
又∵DE＝DA，∴△DEF≌△ADC(AAS)，∴EF＝CD，DF＝AC＝BC，∴DF－CF＝BC－CF，
∴CD＝BF，∴EF＝BF，∴△BEF为等腰直角三角形，∴BE＝ EF＝ CD；
解图①
(3)sin∠ECD的值为 或 .
【解法提示】①如解图②，当点D在BC延长线上时，由(2)知△DEF≌△ADC，∴CD＝EF，AC＝DF＝BC，∴DF＋CF＝BC＋CF，∴CD＝BF，∴BF＝EF，∵AC＝BC＝1，CD＝2，∴CF＝1，EF＝CD＝2，在Rt△EFC中CE＝ ，∴sin∠ECD＝ ＝ ＝ ；②当点D在CB延长线上时，如解图③，∵AC＝BC＝1，CD＝2，∴AD＝ED＝ ，过点E作EF⊥CB交CB延长线于点F，同理(2)得△EDF≌△DAC，∴DF＝AC＝1，EF＝CD＝2，在Rt△EFC中，∵CF＝CD＋DF＝3，EF＝2，∴CE＝ ＝ ，∴sin∠ECD＝ ＝ ＝ .
解图
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