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浙江省温州市2025-2026学年高一第一学期期末质量评价题库数学试题（B类）
1．（2026高一上·温州期末）已知，则（　　）
A．0或1 B．或1 C． D．1
2．（2026高一上·温州期末）下列函数与是同一函数的为（　　）
A． B． C． D．
3．（2026高一上·温州期末）已知扇形的弧长为2，面积为4，则扇形的圆心角是（　　）
A．4 B．2 C．1 D．
4．（2026高一上·温州期末）在中，下列关系一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2026高一上·温州期末）设，，，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
6．（2026高一上·温州期末）“”是“关于的不等式的解集为”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2026高一上·温州期末）函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2026高一上·温州期末）已知函数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2026高一上·温州期末）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2026高一上·温州期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（　　）
A．
B．
C．的图象向左平移个单位长度后关于原点对称
D．的图象向右平移个单位长度后关于轴对称
11．（2026高一上·温州期末）已知函数，若，则的取值可能是（　　）
A． B． C． D．
12．（2026高一上·温州期末）函数的值域为　 　.
13．（2026高一上·温州期末）已知正实数，满足，则的最小值为　 　.
14．（2026高一上·温州期末）已知函数，，则　 　.
15．（2026高一上·温州期末）设集合，集合.
（1）若，求集合；
（2）若，求实数的取值范围；
16．（2026高一上·温州期末）已知.
（1）求的值；
（2）若，，，求的值.
17．（2026高一上·温州期末）为响应温州市“打造数字乡村，助力共同富裕”的号召，某县农产品电商服务平台自2023年正式上线运营，致力于通过直播带货推广当地猕猴桃、茶叶等农产品，该平台会员人数（主要为本地农户及采购商）增长迅速，下表记录了平台成立初期的会员人数情况：
平台成立年数（2023年为第1年） 1 2 3
会员人数（单位：百人） 16 24 36
为了更好地规划物流和供应链，平台拟从以下三种函数模型中选择最合适的一种来预测未来会员的增长趋势：
①；②；③.
（1）求此函数模型的解析式；
（2）若平台计划在会员人数突破1万人时举办“温州农特产年度促销会”，问平台成立的第几年就能实现该目标？
（参考数据：，，）
18．（2026高一上·温州期末）已知函数的定义域为.
（1）求的取值范围；
（2）设.
（ⅰ）求证：函数是偶函数；
（ⅱ）解关于的不等式.
19．（2026高一上·温州期末）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若函数在上有唯一零点，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：由，则，
所以.
故答案为：B.
【分析】由题意结合元素与集合的关系，从而可得，进而得出实数a的值.
2．【答案】C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为.
对于A，因为函数的定义域为，与的定义域不同，
则与不是同一函数，故A错误；
对于B，因为函数的定义域为，与的定义域不同，
则与不是同一函数，故B错误；
对于C，因为函数的定义域为，与的定义域相同，且两者对应关系相同，
则与是同一函数，故C正确；
对于D，因为函数的定义域为，与的定义域不同，
则与不是同一函数，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据同一函数的判断方法，即定义域相同、对应关系相同，则两函数相同，从而逐项判断找出与函数是同一函数的函数.
3．【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意，扇形的弧长为2，面积为4，
设扇形的半径为，则，
解得，则扇形的圆心角是.
故答案为：D.
【分析】根据扇形的弧长公式、扇形的面积公式，从而得出圆的半径长，再利用扇形的圆心角求解公式，从而得出扇形的圆心角.
4．【答案】B
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：依题意，在中，，
所以，则.
对于A，因为，所以A错误；
对于B，因为，所以B正确；
对于C，因为，所以C错误；
对于D，因为，所以D错误.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和定理和诱导公式，从而逐项判断找出关系一定成立的选项.
5．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由题意知，，，
所以，则，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】根据幂函数的单调性比较出a，b的大小，再利用对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
6．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：若不等式的解集为，
等价于不等式的解集为，
则，解得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用不等式的解集为，则等价于不等式的解集为，可得，解不等式组，再利用充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
7．【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由，，
则，
所以，函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除选项A；
当时，，，
则，故排除选项B和选项D；选项C满足题意.
故答案为：C.
【分析】先判断函数的奇偶性，再利用奇函数和偶函数的对称性，则排除选项A；当时，，则排除选项B和选项D，从而找出函数的大致图象.
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：当时，则当时，，此时存在使得成立；
当时，当时，开口向上，对称轴为，
若，即当时，函数在上单调递增，
若，此时函数在上单调递增，
要使存在使得成立，
则，解得，则；
若，此时函数在上单调递减，
要使存在使得成立，
则，解得，
则；若，即当时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
此时存在使得成立，
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】根据函数的特征结合已知条件，再对参数进行分类讨论结合函数的单调性，从而得出实数a的取值范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由题意知，，，则，
所以，故A正确；
根据不等式性质，可得，故B正确；
因为，所以，，故C错误；
又因为，
所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据不等式的基本性质，则判断出选项A、选项B和选项C；利用作差比较大小法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为函数.
对于：由图象的最高点纵坐标为，
得，故选项A正确；
由图象可知，则周期，
由，得，
因为函数为，将点代入，得，
则，所以()，
解得，结合，得，故选项B错误；
则函数解析式为，
对于选项C：将函数向左平移个单位后，
得：，
因为是奇函数，图象关于原点对称，故选项C正确；
对于选项D：将函数向右平移个单位，
得出，
因为是偶函数，图象关于轴对称，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】通过正弦型函数的图象的最高点得出的值，则判断出选项A；利用正弦型函数的图象的两点坐标结合正弦型函数的最小正周期，从而得出的值，再代入求出的值，从而得出正弦型函数的解析式，则判断出选项B；利用正弦型函数的图象变换和函数图象的对称性，则判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】二倍角的正切公式；和差化积公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，
得，
则，
又因为，，
所以，
则，
所以或.
当时，，
所以；
当时，，
则，
解得.
故答案为：ABC.
【分析】由题意结合和差化积公式，从而可得或，再结合同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式和二倍角的正切公式，从而分类讨论得出的值.
12．【答案】
【知识点】函数的值域；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：因为是增函数且，
所以的值域为.
故答案为：.
【分析】利用指数函数的单调性和，从而得出函数的值域.
13．【答案】25
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由正实数，，且，
则，
当且仅当时，即当时等号成立，
则的最小值为25.
故答案为：25.
【分析】根据已知条件和“1”的代换以及基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
14．【答案】0
【知识点】对数的性质与运算法则；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，得，
则函数的定义域为，
因为，且，
则.
故答案为：0.
【分析】由题意结合分式不等式求解方法，从而得出x的取值范围，则得出函数的定义域，再利用对数的运算法则得出的值.
15．【答案】（1）解：若，则，
因为，
所以或，
则或.
（2）解：若，则，
又因为，，
则且，
得，
则实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）根据m的值得出集合B，再利用并集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合.
（2）根据得出，再利用集合间的包含关系，从而借助数轴得出实数m的取值范围.
（1）若，则，
因为，所以或，
则或；
（2）若，则，，，
则且，得，
则实数的取值范围为.
16．【答案】（1）解：由，
得.
（2）解：因为，，
所以，且，
由，且，
解得，
因为，
所以，
则
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）根据已知条件和同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
（2）先根据同角三角函数的基本关系式，结合已知条件得出的值，再利用同角三角函数基本关系式得出的值，结合角之间的关系和两角差的正弦公式，从而得出的值.
（1）由，则.
（2）因为，，所以，且，
由，且，解得，
而，则，
所以
.
17．【答案】（1）解：从表中数据可知，
所选函数必须满足两个条件：增函数和增长速度越来越快，
因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，
所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，
则选择模型③，
将代入，
得，
解得，
所以函数为.
（2）解：令，
则，则，
所以
则平台成立的第6年就能实现该目标.
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】（1）根据表中数据可知函数为增函数，且增长速度越来越快，则选择模型③，再代入数据列方程组可得a，k的值，从而得出此函数模型的解析式.
（2）由和指数式与对数式的互化公式以及对数的运算法则，从而得出平台成立的第6年就能实现该目标.
（1）从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快，
因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，所以选择模型③．
将代入，得，解得，
所以函数为.
（2）令，则，
则，即，
则平台成立的第6年就能实现该目标.
18．【答案】（1）解：因为的定义域为，
所以，且，
令，则，
所以恒成立，
又因为，当且仅当时，等号成立，
所以.
（2）（ⅰ）证明：由题意知，
所以，
则函数是偶函数.
（ⅱ）解：由（ⅰ）知，，
当时，，且为增函数，
因为在上单调递减，单调递增，
所以在上单调递减，
又因为函数是偶函数，
所以在上单调递增，
由，可得，
解得，
则不等式的解集为.
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据换元法和基本不等式求最值的方法，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（2）（ⅰ）利用已知条件和偶函数的定义，从而证出函数是偶函数.
（ⅱ）利用复合函数的单调性，即同增异减，再利用函数的奇偶性，从而得出不等式的解集.
（1）因为的定义域为，
即，且，
令，则，
所以恒成立，
又，当且仅当时，等号成立，
所以.
（2）（ⅰ）由题知，
，
所以，
所以函数是偶函数.
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
当时，，且为增函数，
又在上单调递减，单调递增，
所以在上单调递减，
因为是偶函数，所以在上单调递增，
由，可得，解得，
即不等式的解集为.
19．【答案】（1）解：由，
则函数的最小正周期为.
（2）解：令，
得，
则函数的单调递增区间为.
（3）解：当时，，
则，
作出函数在上的图象如下：
令，，则，
因为函数在上有唯一零点，
且函数开口向上，对称轴为，
所以函数在上有唯一零点或有唯一零点1，
则，解得，
或，则，此时只有唯一零点1，满足题意，
所以，实数的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先根据三角恒等变换化简函数为，再根据正弦型函数的最小正周期公式计算周期即可.
（2）根据换元法和正弦函数的单调性，从而判断出正弦型函数的单调性，进而得出函数的单调递增区间。
（3）先求出当时，，从而作出函数在上的图象，令，，将问题转化为函数在上有唯一零点或有唯一零点1，再结合二次函数的性质，从而得出实数a的取值范围.
（1）由，
则函数的最小正周期为.
（2）令，
得，
则函数的单调递增区间为.
（3）当时，，则，
作出函数在上的图象如下：
令，，则，
因为函数在上有唯一零点，且函数开口向上，对称轴为，
所以函数在上有唯一零点或有唯一零点1，
则，解得，
或，即，此时只有唯一零点1，满足题意.
所以的取值范围为.
1 / 1浙江省温州市2025-2026学年高一第一学期期末质量评价题库数学试题（B类）
1．（2026高一上·温州期末）已知，则（　　）
A．0或1 B．或1 C． D．1
【答案】B
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：由，则，
所以.
故答案为：B.
【分析】由题意结合元素与集合的关系，从而可得，进而得出实数a的值.
2．（2026高一上·温州期末）下列函数与是同一函数的为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为.
对于A，因为函数的定义域为，与的定义域不同，
则与不是同一函数，故A错误；
对于B，因为函数的定义域为，与的定义域不同，
则与不是同一函数，故B错误；
对于C，因为函数的定义域为，与的定义域相同，且两者对应关系相同，
则与是同一函数，故C正确；
对于D，因为函数的定义域为，与的定义域不同，
则与不是同一函数，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据同一函数的判断方法，即定义域相同、对应关系相同，则两函数相同，从而逐项判断找出与函数是同一函数的函数.
3．（2026高一上·温州期末）已知扇形的弧长为2，面积为4，则扇形的圆心角是（　　）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意，扇形的弧长为2，面积为4，
设扇形的半径为，则，
解得，则扇形的圆心角是.
故答案为：D.
【分析】根据扇形的弧长公式、扇形的面积公式，从而得出圆的半径长，再利用扇形的圆心角求解公式，从而得出扇形的圆心角.
4．（2026高一上·温州期末）在中，下列关系一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：依题意，在中，，
所以，则.
对于A，因为，所以A错误；
对于B，因为，所以B正确；
对于C，因为，所以C错误；
对于D，因为，所以D错误.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和定理和诱导公式，从而逐项判断找出关系一定成立的选项.
5．（2026高一上·温州期末）设，，，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由题意知，，，
所以，则，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】根据幂函数的单调性比较出a，b的大小，再利用对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
6．（2026高一上·温州期末）“”是“关于的不等式的解集为”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：若不等式的解集为，
等价于不等式的解集为，
则，解得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用不等式的解集为，则等价于不等式的解集为，可得，解不等式组，再利用充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
7．（2026高一上·温州期末）函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由，，
则，
所以，函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除选项A；
当时，，，
则，故排除选项B和选项D；选项C满足题意.
故答案为：C.
【分析】先判断函数的奇偶性，再利用奇函数和偶函数的对称性，则排除选项A；当时，，则排除选项B和选项D，从而找出函数的大致图象.
8．（2026高一上·温州期末）已知函数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：当时，则当时，，此时存在使得成立；
当时，当时，开口向上，对称轴为，
若，即当时，函数在上单调递增，
若，此时函数在上单调递增，
要使存在使得成立，
则，解得，则；
若，此时函数在上单调递减，
要使存在使得成立，
则，解得，
则；若，即当时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
此时存在使得成立，
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】根据函数的特征结合已知条件，再对参数进行分类讨论结合函数的单调性，从而得出实数a的取值范围.
9．（2026高一上·温州期末）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由题意知，，，则，
所以，故A正确；
根据不等式性质，可得，故B正确；
因为，所以，，故C错误；
又因为，
所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据不等式的基本性质，则判断出选项A、选项B和选项C；利用作差比较大小法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．（2026高一上·温州期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（　　）
A．
B．
C．的图象向左平移个单位长度后关于原点对称
D．的图象向右平移个单位长度后关于轴对称
【答案】A,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为函数.
对于：由图象的最高点纵坐标为，
得，故选项A正确；
由图象可知，则周期，
由，得，
因为函数为，将点代入，得，
则，所以()，
解得，结合，得，故选项B错误；
则函数解析式为，
对于选项C：将函数向左平移个单位后，
得：，
因为是奇函数，图象关于原点对称，故选项C正确；
对于选项D：将函数向右平移个单位，
得出，
因为是偶函数，图象关于轴对称，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】通过正弦型函数的图象的最高点得出的值，则判断出选项A；利用正弦型函数的图象的两点坐标结合正弦型函数的最小正周期，从而得出的值，再代入求出的值，从而得出正弦型函数的解析式，则判断出选项B；利用正弦型函数的图象变换和函数图象的对称性，则判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2026高一上·温州期末）已知函数，若，则的取值可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】二倍角的正切公式；和差化积公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，
得，
则，
又因为，，
所以，
则，
所以或.
当时，，
所以；
当时，，
则，
解得.
故答案为：ABC.
【分析】由题意结合和差化积公式，从而可得或，再结合同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式和二倍角的正切公式，从而分类讨论得出的值.
12．（2026高一上·温州期末）函数的值域为　 　.
【答案】
【知识点】函数的值域；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：因为是增函数且，
所以的值域为.
故答案为：.
【分析】利用指数函数的单调性和，从而得出函数的值域.
13．（2026高一上·温州期末）已知正实数，满足，则的最小值为　 　.
【答案】25
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由正实数，，且，
则，
当且仅当时，即当时等号成立，
则的最小值为25.
故答案为：25.
【分析】根据已知条件和“1”的代换以及基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
14．（2026高一上·温州期末）已知函数，，则　 　.
【答案】0
【知识点】对数的性质与运算法则；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，得，
则函数的定义域为，
因为，且，
则.
故答案为：0.
【分析】由题意结合分式不等式求解方法，从而得出x的取值范围，则得出函数的定义域，再利用对数的运算法则得出的值.
15．（2026高一上·温州期末）设集合，集合.
（1）若，求集合；
（2）若，求实数的取值范围；
【答案】（1）解：若，则，
因为，
所以或，
则或.
（2）解：若，则，
又因为，，
则且，
得，
则实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）根据m的值得出集合B，再利用并集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合.
（2）根据得出，再利用集合间的包含关系，从而借助数轴得出实数m的取值范围.
（1）若，则，
因为，所以或，
则或；
（2）若，则，，，
则且，得，
则实数的取值范围为.
16．（2026高一上·温州期末）已知.
（1）求的值；
（2）若，，，求的值.
【答案】（1）解：由，
得.
（2）解：因为，，
所以，且，
由，且，
解得，
因为，
所以，
则
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【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）根据已知条件和同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
（2）先根据同角三角函数的基本关系式，结合已知条件得出的值，再利用同角三角函数基本关系式得出的值，结合角之间的关系和两角差的正弦公式，从而得出的值.
（1）由，则.
（2）因为，，所以，且，
由，且，解得，
而，则，
所以
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17．（2026高一上·温州期末）为响应温州市“打造数字乡村，助力共同富裕”的号召，某县农产品电商服务平台自2023年正式上线运营，致力于通过直播带货推广当地猕猴桃、茶叶等农产品，该平台会员人数（主要为本地农户及采购商）增长迅速，下表记录了平台成立初期的会员人数情况：
平台成立年数（2023年为第1年） 1 2 3
会员人数（单位：百人） 16 24 36
为了更好地规划物流和供应链，平台拟从以下三种函数模型中选择最合适的一种来预测未来会员的增长趋势：
①；②；③.
（1）求此函数模型的解析式；
（2）若平台计划在会员人数突破1万人时举办“温州农特产年度促销会”，问平台成立的第几年就能实现该目标？
（参考数据：，，）
【答案】（1）解：从表中数据可知，
所选函数必须满足两个条件：增函数和增长速度越来越快，
因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，
所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，
则选择模型③，
将代入，
得，
解得，
所以函数为.
（2）解：令，
则，则，
所以
则平台成立的第6年就能实现该目标.
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】（1）根据表中数据可知函数为增函数，且增长速度越来越快，则选择模型③，再代入数据列方程组可得a，k的值，从而得出此函数模型的解析式.
（2）由和指数式与对数式的互化公式以及对数的运算法则，从而得出平台成立的第6年就能实现该目标.
（1）从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快，
因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，所以选择模型③．
将代入，得，解得，
所以函数为.
（2）令，则，
则，即，
则平台成立的第6年就能实现该目标.
18．（2026高一上·温州期末）已知函数的定义域为.
（1）求的取值范围；
（2）设.
（ⅰ）求证：函数是偶函数；
（ⅱ）解关于的不等式.
【答案】（1）解：因为的定义域为，
所以，且，
令，则，
所以恒成立，
又因为，当且仅当时，等号成立，
所以.
（2）（ⅰ）证明：由题意知，
所以，
则函数是偶函数.
（ⅱ）解：由（ⅰ）知，，
当时，，且为增函数，
因为在上单调递减，单调递增，
所以在上单调递减，
又因为函数是偶函数，
所以在上单调递增，
由，可得，
解得，
则不等式的解集为.
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据换元法和基本不等式求最值的方法，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（2）（ⅰ）利用已知条件和偶函数的定义，从而证出函数是偶函数.
（ⅱ）利用复合函数的单调性，即同增异减，再利用函数的奇偶性，从而得出不等式的解集.
（1）因为的定义域为，
即，且，
令，则，
所以恒成立，
又，当且仅当时，等号成立，
所以.
（2）（ⅰ）由题知，
，
所以，
所以函数是偶函数.
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
当时，，且为增函数，
又在上单调递减，单调递增，
所以在上单调递减，
因为是偶函数，所以在上单调递增，
由，可得，解得，
即不等式的解集为.
19．（2026高一上·温州期末）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若函数在上有唯一零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：由，
则函数的最小正周期为.
（2）解：令，
得，
则函数的单调递增区间为.
（3）解：当时，，
则，
作出函数在上的图象如下：
令，，则，
因为函数在上有唯一零点，
且函数开口向上，对称轴为，
所以函数在上有唯一零点或有唯一零点1，
则，解得，
或，则，此时只有唯一零点1，满足题意，
所以，实数的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先根据三角恒等变换化简函数为，再根据正弦型函数的最小正周期公式计算周期即可.
（2）根据换元法和正弦函数的单调性，从而判断出正弦型函数的单调性，进而得出函数的单调递增区间。
（3）先求出当时，，从而作出函数在上的图象，令，，将问题转化为函数在上有唯一零点或有唯一零点1，再结合二次函数的性质，从而得出实数a的取值范围.
（1）由，
则函数的最小正周期为.
（2）令，
得，
则函数的单调递增区间为.
（3）当时，，则，
作出函数在上的图象如下：
令，，则，
因为函数在上有唯一零点，且函数开口向上，对称轴为，
所以函数在上有唯一零点或有唯一零点1，
则，解得，
或，即，此时只有唯一零点1，满足题意.
所以的取值范围为.
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