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四川省绵阳市江油市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
1．（2026九上·江油期末）方程x2﹣4＝0的解为（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．4
2．（2026九上·江油期末）剪纸起源于中国，最早出现在汉代．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2026九上·江油期末）“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”属于（　　）
A．确定性事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．必然事件
4．（2026九上·江油期末） 如图，点 A，B，C 在 上，若 . 则 的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2026九上·江油期末）抛物线的顶点坐标是(　　)
A．(-3，2) B．(0，-2) C．(0，2) D．(3，2)
6．（2026九上·江油期末） 如图，菱形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 在 x 轴上，，，将菱形 OABC 绕原点顺时针旋转 至 OA'B'C' 的位置，则点 B' 的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2026九上·江油期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的最大整数值是(　　)
A．-3 B．-2 C．2 D．3
8．（2026九上·江油期末）将分别标有“传”“承”“李”“白”“文”“化”汉字的6张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余均无差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．（2026九上·江油期末） 已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（　　）
A． B． C． D．
10．（2026九上·江油期末） 已知在函数 上有点 ，点 ，则关于 ， 的大小判断正确的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
11．（2026九上·江油期末） 如图，的直径AB=8，C，D在上，且，AD与CB相交于点E，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．
12．（2026九上·江油期末） 如图，抛物线 与 x 轴交于点 A(-2， 0)，B(4， 0)，交 y 轴的正半轴于点 C，对称轴交抛物线于点 D，交 x 轴于点 E，则下列结论：①；②；③；④△ABC的面积等于 -24a，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2026九上·江油期末） 在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点 Q 的坐标为　 　．
14．（2026九上·江油期末）元旦节时，某学习小组每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则该学习小组有　 　人．
15．（2026九上·江油期末） 如图，四边形ABCD中的两条对角线AC和BD互相垂直，，当AC为　 　时，四边形ABCD的面积最大.
16．（2026九上·江油期末） 二维码在日常生活中被广泛应用，某同学将如图所示“数学学习问卷”二维码打印在纸上，恰为的正方形；该同学在计算机中利用软件进行多次随机投点模拟实验，发现点落在二维码图形黑色阴影的频率稳定在0.4左右，据此估计打印的二维码图形黑色阴影面积为　 　．
17．（2026九上·江油期末） 如图，经过等腰三边的中点D、F、G，并与两腰AB、AC分别相交于点H、E，若，则=　 　．
18．（2026九上·江油期末） 如图，正方形 ABCD 中，，M 是 CD 边上一个动点，以 CM 为直径的圆与 BM 相交于点 Q，P 为 CD 上另一个动点，连接 AP，PQ，则 的最小值是　 　．
19．（2026九上·江油期末）（1） 解方程：；
（2） 已知一元二次方程的两个根分别是方程两个根的 2 倍，求m与n的值.
20．（2026九上·江油期末）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列事件的概率：
（1） 两次取出小球的标号相同；
（2） 两次取出小球的标号的和大于4．
21．（2026九上·江油期末）在 中，，，将 绕点 A 逆时针旋转 ，得到 ，DE 交 AC 于点 F，连接 CD.
（1） 求证：；
（2） 求 的值.
22．（2026九上·江油期末） 某商场销售一种进价为 50 元/千克的水产品，经过一段时间的销售发现日销量 y (千克)与售价 x (元)有如图所示关系 (商场规定销售利润率不得超过 ：
（1） 根据图象，直接写出 y 与 x 之间的函数关系式；
（2） 要想获得每天 2400 元的销售利润，售价应定为多少？
（3） 该水产品售价定为多少时，每天获得销售利润最大？最大利润为多少？
23．（2026九上·江油期末）如图， 是 的外接圆，，，，.
（1） 求圆心 O 到 BC 的距离；
（2） 求 AD 的长.
24．（2026九上·江油期末）在中，，BD是的平分线，点O是AB上一点，⊙O经过点B，D，交AB于点E.
（1） 求证：AC是的切线；
（2） 若，，求的半径.
25．（2026九上·江油期末） 如图，抛物线 与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC. 点 P 是抛物线在第一象限上的动点，点 O 是线段 BC 上的动点.
（1） 直接写出 A， B， C 三点及抛物线顶点的坐标；
（2） 若 轴，求 PQ 的最大值；
（3） 若直线 l 与抛物线有唯一公共点 P，当直线 时，求点 P 所处位置.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：C .
【分析】利用直接开平方解方程即可．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．
故答案为：A .
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”进行逐一判断即可．
3．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：∵交通信号灯的变化是随机的，
∴经过路口时可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或其他信号，
∴该事件是随机事件．
故答案为：B .
【分析】根据随机事件的定义“在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件是随机事件”解答即可.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B .
【分析】根据圆周角定理解答即可.
5．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：B .
【分析】根据抛物线的顶点坐标为解答即可．
6．【答案】A
【知识点】点的坐标；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，过点作于点E，
根据题意可知，
∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理，得，
解得，
∴点的坐标是．
故答案为：A .
【分析】连接，作，根据菱形的性质即可得到是等边三角形，根据旋转可得，根据勾股定理求出EB'，即可得到点E的坐标．
7．【答案】C
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵方程有实数根，
∴，
∴解得，
∴的最大整数值为；
故答案为：C .
【分析】根据题意得到，求出k的取值范围，得到最大整数解即可．
8．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
传 承 李 白 文 化
传 承，传 李，传 白，传 文，传 化，传
承 传，承 李，承 白，承 文，承 化，承
李 传，李 承，李 白，李 文，李 化，李
白 传，白 承，白 李，白 文，白 化，白
文 传，文 承，文 李，文 白，文 化，文
化 传，化 承，化 李，化 白，化 文，化
共有30种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上汉字为“文”“化”的结果数为2，
∴抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为．
故答案为：B .
【分析】根据列表法得出所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，利用概率公式解答即可．
9．【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：S=πrl=3×5π=15πcm2.
故答案为：D .
【分析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl解答即可.
10．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为直线，抛物线的开口向上，
∴当时，随的增大而减小，
又∵二次函数上有点，点，，
，
故答案为：A .
【分析】得到二次函数的对称轴为直线，开口向上，然后根据二次函数的增减性解答即可．
11．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接，设交于点，
∵且，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴
∴是等边三角形，四边形是菱形
∴，，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D .
【分析】连接，得到是等边三角形，然后根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出，，利用平行得到，根据对应边成比例解答即可．
12．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线与轴交于点，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
故结论①正确，符合题意；
抛物线图象开口向下，与轴的正半轴相交，
，，
，
，
，
故结论②错误，不符合题意；
抛物线与轴交于点，
当时，，即，
，
，
，
故结论③错误，不符合题意；
抛物线与轴交于点，，
，
①②得：，
，
，
，
，
，
故结论④正确，符合题意；
综上所述，正确的结论有①④，为2个，
故答案为：B .
【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标求出对称轴直线为x=1判断①；根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置确定a，b，c的值判断②；根据x=-1时的函数值结合b=-2a判断③；根据题意用含a的式子表示点C的坐标，利用三角形的面积公式计算判断④解答即可．
13．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点Q的坐标为．
故答案为：．
【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数解答即可．
14．【答案】12
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这个小组有x个人，
由题意得：
解得（舍去），
∴这个小组有12人
故答案为：12．
【分析】设这个小组有x个人，根据“共送贺卡132张”列一元二次方程求解即可．
15．【答案】5
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设，四边形面积为，则，
则：，
，
有最大值，
当时，四边形的面积最大，
即当时，四边形面积最大，
故答案为：．
【分析】根据已知设四边形面积为，为，根据四边形的面积公式列函数关系式，利用对称轴公式计算即可．
16．【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为，
故答案为：．
【分析】根据几何概率的计算方法解答即可．
17．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；菱形的判定与性质；圆内接正多边形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵等腰中，，，
∴，，
∵点、、分别为三边的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据三角形的中位线定理和等腰三星的性质得到四边形是菱形，即可得到，，然后根据圆周角定理的推论和三角形的内角和定理解答即可．
18．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；圆-动点问题；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：
解：连接，以为一条边在右侧作正方形，如图所示：
则，
∴，
∴点Q在以为直径的圆上运动，
即点Q在上，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∴当E、P、Q、O在同一直线上时，最小，且最小值为，
∵，
∴O、C、F在同一直线上，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接，以为一条边在右侧作正方形，即可得到点Q在以为直径的圆上运动，然后根据SAS得到，即可得到AP=PE，即可得到E、P、Q、O在同一直线上时，最小，且最小值为，根据勾股定理求出EO长解答即可.
19．【答案】（1）解：
∵，，，
∴，
∴，
∴，.
（2）解：解方程得或
∵一元二次方程的两个根分别是方程两个根的2倍，
∴一元二次方程的两个根分别是-10，4，
∴根据根与系数的关系可得，，
∴，.
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】
（1）运用公式法解一元二次方程即可；
（2）解方程求出两根，然后根据根与系数的关系求出m和n的值即可．
20．【答案】（1）解：列表得：
1 2 3 4
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4)
由表可得，共有16种等可能情况，两次取出的小球的标号相同有4种，
两次取出的小球的标号相同的概率为：.
（2）解：由（1）表格可得，所有可能情况有16种，两次取出的小球标号的和大于4的有（4，1），（3，2），（4，2），（2，3），（3，3），（4，3），（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），共10种情况，
两次取出的小球的标号和大于4的概率为：.
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）先根据列表得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再利用概率公式即可求解；
（2）根据（1）中表格结果，找出符合条件的结果数，再利用概率公式即可求解．
21．【答案】（1）证明： 如图，连接BD
在中，，，
.
将绕点A逆时针旋转，得到，
，，，
是等边三角形，，
，
又，
垂直平分AB；
，
，
；
（2）解：如图，连接 CE，在 CF 上取一点 G，使得 ，同理可得 是等边三角形，
，
，
垂直平分 AC，则 ，
，
，
，
，
中，，
，
.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据旋转可得是等边三角形，进而得到垂直平分，根据三线合一得到∠ACD=15°，再利用等角对等边证明结论即可；
（2）连接，在 CF 上取一点 G，使得 ，可得是等边三角形，进而得到垂直平分，即可得到，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
22．【答案】（1）
（2）解：由题意得：，化简得：，
解得：，，
，且，
（舍去），
答：销售单价应定为70元/千克；
（3）解：设每天获得的利润为W元，由题意得，
，抛物线开口向下，
有最大值，当x=90时，，
答：销售单价为90元/千克时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：设 (为常数)将点 ， 代入
得，
解得，
∴ 与 的函数关系式为：；
【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）根据利润=（售价-进价）×销量列一元二次方程，求出x的值解答即可；
（3）设每天获得的利润为元，根据利润=（售价-进价）×销量列二次函数关系式，配方得到顶点式，求出最大值解答即可．
23．【答案】（1）解：如图所示，过点O作于点E，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
= == ；
（2）解：如图所示，连接 AO，过点 作 于点 ，则四边形OEDF是矩形，
，
，
，
，
在 中，，
在 中，，
，
.
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）过点作于点，根据圆周角定理得到∠BOC=90°，然后根据等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）连接，过点作于点，即可得到是矩形，进而得到，根据勾股定理求出OB和AF长，根据线段的和差解答即可．
24．【答案】（1）证明：如图，连接OD，
，
，
又是的平分线，即，
，
，
，
即，
，
是的半径，
是的切线.
（2）解：中，，，，
，
设的半径为r，则，，
，
，
，
，
解得：，
即半径为.
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义和等边对等角得出，根据内错角相等，两直线平行得到，即可得到，然后根据切线的判定定理解答即可；
（2）根据勾股定理求出AB长，设的半径为，然后根据平行线得到，利用对应边成比解答即可．
25．【答案】（1），，
（2）解：设直线BC的解析式为，代入B(3，0)，C(0，3)，
，
解得：，
∴直线BC的解析式为.
设，
轴，
，
，
的最大值为.
（3）解：直线，
设直线l的解析式为，
联立，
消去y得，，
直线l与抛物线有唯一公共点P，
，
解得：，
直线l的解析式为，
联立，
解得：，
的纵坐标为，
的坐标为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：（1）当时，，则，
当时，，
解得：，
∴，，
故答案为：，，；
【分析】（1）分别令，求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可；
（2）根据对顶系数法求出直线的解析式，设，则，进而得出关于t的解析式，配方得到顶点式求出最大值即可；
（3）设直线的解析式为，根据题意得到联立两解析式的方程组有两个相等的实数根，根据根的判别式求出m的值，联立两解析式求出交点坐标即可．
1 / 1四川省绵阳市江油市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
1．（2026九上·江油期末）方程x2﹣4＝0的解为（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．4
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：C .
【分析】利用直接开平方解方程即可．
2．（2026九上·江油期末）剪纸起源于中国，最早出现在汉代．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．
故答案为：A .
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”进行逐一判断即可．
3．（2026九上·江油期末）“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”属于（　　）
A．确定性事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．必然事件
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：∵交通信号灯的变化是随机的，
∴经过路口时可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或其他信号，
∴该事件是随机事件．
故答案为：B .
【分析】根据随机事件的定义“在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件是随机事件”解答即可.
4．（2026九上·江油期末） 如图，点 A，B，C 在 上，若 . 则 的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B .
【分析】根据圆周角定理解答即可.
5．（2026九上·江油期末）抛物线的顶点坐标是(　　)
A．(-3，2) B．(0，-2) C．(0，2) D．(3，2)
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：B .
【分析】根据抛物线的顶点坐标为解答即可．
6．（2026九上·江油期末） 如图，菱形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 在 x 轴上，，，将菱形 OABC 绕原点顺时针旋转 至 OA'B'C' 的位置，则点 B' 的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，过点作于点E，
根据题意可知，
∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理，得，
解得，
∴点的坐标是．
故答案为：A .
【分析】连接，作，根据菱形的性质即可得到是等边三角形，根据旋转可得，根据勾股定理求出EB'，即可得到点E的坐标．
7．（2026九上·江油期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的最大整数值是(　　)
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵方程有实数根，
∴，
∴解得，
∴的最大整数值为；
故答案为：C .
【分析】根据题意得到，求出k的取值范围，得到最大整数解即可．
8．（2026九上·江油期末）将分别标有“传”“承”“李”“白”“文”“化”汉字的6张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余均无差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
传 承 李 白 文 化
传 承，传 李，传 白，传 文，传 化，传
承 传，承 李，承 白，承 文，承 化，承
李 传，李 承，李 白，李 文，李 化，李
白 传，白 承，白 李，白 文，白 化，白
文 传，文 承，文 李，文 白，文 化，文
化 传，化 承，化 李，化 白，化 文，化
共有30种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上汉字为“文”“化”的结果数为2，
∴抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为．
故答案为：B .
【分析】根据列表法得出所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，利用概率公式解答即可．
9．（2026九上·江油期末） 已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：S=πrl=3×5π=15πcm2.
故答案为：D .
【分析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl解答即可.
10．（2026九上·江油期末） 已知在函数 上有点 ，点 ，则关于 ， 的大小判断正确的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为直线，抛物线的开口向上，
∴当时，随的增大而减小，
又∵二次函数上有点，点，，
，
故答案为：A .
【分析】得到二次函数的对称轴为直线，开口向上，然后根据二次函数的增减性解答即可．
11．（2026九上·江油期末） 如图，的直径AB=8，C，D在上，且，AD与CB相交于点E，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接，设交于点，
∵且，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴
∴是等边三角形，四边形是菱形
∴，，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D .
【分析】连接，得到是等边三角形，然后根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出，，利用平行得到，根据对应边成比例解答即可．
12．（2026九上·江油期末） 如图，抛物线 与 x 轴交于点 A(-2， 0)，B(4， 0)，交 y 轴的正半轴于点 C，对称轴交抛物线于点 D，交 x 轴于点 E，则下列结论：①；②；③；④△ABC的面积等于 -24a，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线与轴交于点，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
故结论①正确，符合题意；
抛物线图象开口向下，与轴的正半轴相交，
，，
，
，
，
故结论②错误，不符合题意；
抛物线与轴交于点，
当时，，即，
，
，
，
故结论③错误，不符合题意；
抛物线与轴交于点，，
，
①②得：，
，
，
，
，
，
故结论④正确，符合题意；
综上所述，正确的结论有①④，为2个，
故答案为：B .
【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标求出对称轴直线为x=1判断①；根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置确定a，b，c的值判断②；根据x=-1时的函数值结合b=-2a判断③；根据题意用含a的式子表示点C的坐标，利用三角形的面积公式计算判断④解答即可．
13．（2026九上·江油期末） 在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点 Q 的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点Q的坐标为．
故答案为：．
【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数解答即可．
14．（2026九上·江油期末）元旦节时，某学习小组每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则该学习小组有　 　人．
【答案】12
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这个小组有x个人，
由题意得：
解得（舍去），
∴这个小组有12人
故答案为：12．
【分析】设这个小组有x个人，根据“共送贺卡132张”列一元二次方程求解即可．
15．（2026九上·江油期末） 如图，四边形ABCD中的两条对角线AC和BD互相垂直，，当AC为　 　时，四边形ABCD的面积最大.
【答案】5
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设，四边形面积为，则，
则：，
，
有最大值，
当时，四边形的面积最大，
即当时，四边形面积最大，
故答案为：．
【分析】根据已知设四边形面积为，为，根据四边形的面积公式列函数关系式，利用对称轴公式计算即可．
16．（2026九上·江油期末） 二维码在日常生活中被广泛应用，某同学将如图所示“数学学习问卷”二维码打印在纸上，恰为的正方形；该同学在计算机中利用软件进行多次随机投点模拟实验，发现点落在二维码图形黑色阴影的频率稳定在0.4左右，据此估计打印的二维码图形黑色阴影面积为　 　．
【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为，
故答案为：．
【分析】根据几何概率的计算方法解答即可．
17．（2026九上·江油期末） 如图，经过等腰三边的中点D、F、G，并与两腰AB、AC分别相交于点H、E，若，则=　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；菱形的判定与性质；圆内接正多边形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵等腰中，，，
∴，，
∵点、、分别为三边的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据三角形的中位线定理和等腰三星的性质得到四边形是菱形，即可得到，，然后根据圆周角定理的推论和三角形的内角和定理解答即可．
18．（2026九上·江油期末） 如图，正方形 ABCD 中，，M 是 CD 边上一个动点，以 CM 为直径的圆与 BM 相交于点 Q，P 为 CD 上另一个动点，连接 AP，PQ，则 的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；圆-动点问题；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：
解：连接，以为一条边在右侧作正方形，如图所示：
则，
∴，
∴点Q在以为直径的圆上运动，
即点Q在上，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∴当E、P、Q、O在同一直线上时，最小，且最小值为，
∵，
∴O、C、F在同一直线上，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接，以为一条边在右侧作正方形，即可得到点Q在以为直径的圆上运动，然后根据SAS得到，即可得到AP=PE，即可得到E、P、Q、O在同一直线上时，最小，且最小值为，根据勾股定理求出EO长解答即可.
19．（2026九上·江油期末）（1） 解方程：；
（2） 已知一元二次方程的两个根分别是方程两个根的 2 倍，求m与n的值.
【答案】（1）解：
∵，，，
∴，
∴，
∴，.
（2）解：解方程得或
∵一元二次方程的两个根分别是方程两个根的2倍，
∴一元二次方程的两个根分别是-10，4，
∴根据根与系数的关系可得，，
∴，.
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】
（1）运用公式法解一元二次方程即可；
（2）解方程求出两根，然后根据根与系数的关系求出m和n的值即可．
20．（2026九上·江油期末）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列事件的概率：
（1） 两次取出小球的标号相同；
（2） 两次取出小球的标号的和大于4．
【答案】（1）解：列表得：
1 2 3 4
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4)
由表可得，共有16种等可能情况，两次取出的小球的标号相同有4种，
两次取出的小球的标号相同的概率为：.
（2）解：由（1）表格可得，所有可能情况有16种，两次取出的小球标号的和大于4的有（4，1），（3，2），（4，2），（2，3），（3，3），（4，3），（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），共10种情况，
两次取出的小球的标号和大于4的概率为：.
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）先根据列表得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再利用概率公式即可求解；
（2）根据（1）中表格结果，找出符合条件的结果数，再利用概率公式即可求解．
21．（2026九上·江油期末）在 中，，，将 绕点 A 逆时针旋转 ，得到 ，DE 交 AC 于点 F，连接 CD.
（1） 求证：；
（2） 求 的值.
【答案】（1）证明： 如图，连接BD
在中，，，
.
将绕点A逆时针旋转，得到，
，，，
是等边三角形，，
，
又，
垂直平分AB；
，
，
；
（2）解：如图，连接 CE，在 CF 上取一点 G，使得 ，同理可得 是等边三角形，
，
，
垂直平分 AC，则 ，
，
，
，
，
中，，
，
.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据旋转可得是等边三角形，进而得到垂直平分，根据三线合一得到∠ACD=15°，再利用等角对等边证明结论即可；
（2）连接，在 CF 上取一点 G，使得 ，可得是等边三角形，进而得到垂直平分，即可得到，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
22．（2026九上·江油期末） 某商场销售一种进价为 50 元/千克的水产品，经过一段时间的销售发现日销量 y (千克)与售价 x (元)有如图所示关系 (商场规定销售利润率不得超过 ：
（1） 根据图象，直接写出 y 与 x 之间的函数关系式；
（2） 要想获得每天 2400 元的销售利润，售价应定为多少？
（3） 该水产品售价定为多少时，每天获得销售利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）
（2）解：由题意得：，化简得：，
解得：，，
，且，
（舍去），
答：销售单价应定为70元/千克；
（3）解：设每天获得的利润为W元，由题意得，
，抛物线开口向下，
有最大值，当x=90时，，
答：销售单价为90元/千克时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：设 (为常数)将点 ， 代入
得，
解得，
∴ 与 的函数关系式为：；
【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）根据利润=（售价-进价）×销量列一元二次方程，求出x的值解答即可；
（3）设每天获得的利润为元，根据利润=（售价-进价）×销量列二次函数关系式，配方得到顶点式，求出最大值解答即可．
23．（2026九上·江油期末）如图， 是 的外接圆，，，，.
（1） 求圆心 O 到 BC 的距离；
（2） 求 AD 的长.
【答案】（1）解：如图所示，过点O作于点E，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
= == ；
（2）解：如图所示，连接 AO，过点 作 于点 ，则四边形OEDF是矩形，
，
，
，
，
在 中，，
在 中，，
，
.
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）过点作于点，根据圆周角定理得到∠BOC=90°，然后根据等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）连接，过点作于点，即可得到是矩形，进而得到，根据勾股定理求出OB和AF长，根据线段的和差解答即可．
24．（2026九上·江油期末）在中，，BD是的平分线，点O是AB上一点，⊙O经过点B，D，交AB于点E.
（1） 求证：AC是的切线；
（2） 若，，求的半径.
【答案】（1）证明：如图，连接OD，
，
，
又是的平分线，即，
，
，
，
即，
，
是的半径，
是的切线.
（2）解：中，，，，
，
设的半径为r，则，，
，
，
，
，
解得：，
即半径为.
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义和等边对等角得出，根据内错角相等，两直线平行得到，即可得到，然后根据切线的判定定理解答即可；
（2）根据勾股定理求出AB长，设的半径为，然后根据平行线得到，利用对应边成比解答即可．
25．（2026九上·江油期末） 如图，抛物线 与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC. 点 P 是抛物线在第一象限上的动点，点 O 是线段 BC 上的动点.
（1） 直接写出 A， B， C 三点及抛物线顶点的坐标；
（2） 若 轴，求 PQ 的最大值；
（3） 若直线 l 与抛物线有唯一公共点 P，当直线 时，求点 P 所处位置.
【答案】（1），，
（2）解：设直线BC的解析式为，代入B(3，0)，C(0，3)，
，
解得：，
∴直线BC的解析式为.
设，
轴，
，
，
的最大值为.
（3）解：直线，
设直线l的解析式为，
联立，
消去y得，，
直线l与抛物线有唯一公共点P，
，
解得：，
直线l的解析式为，
联立，
解得：，
的纵坐标为，
的坐标为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：（1）当时，，则，
当时，，
解得：，
∴，，
故答案为：，，；
【分析】（1）分别令，求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可；
（2）根据对顶系数法求出直线的解析式，设，则，进而得出关于t的解析式，配方得到顶点式求出最大值即可；
（3）设直线的解析式为，根据题意得到联立两解析式的方程组有两个相等的实数根，根据根的判别式求出m的值，联立两解析式求出交点坐标即可．
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