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整式和因式分解 重点考点梳理 专题练
2026届初中数学中考一轮复习备考
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列运算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
8．下列各式中，计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列运算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
11．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则下列关于的说法正确的是（ ）
小红的思路 设，， 则． ∵， ∴． ∴的最小值为．
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最大值
二、填空题
13．已知实数a，b，满足，，则的值为______．
14．已知，则的值等于_________．
15．若，则______．
16．因式分解：________．
17．因式分解：_______．
18．因式分解：______．
19．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若定义：，则代数式的最小值为______．
20．1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为____．
三、解答题
21．先化简．再求值：，其中．
22．先化简，再求值：，其中，.
23．已知，代数式：，，．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
24．《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数．
3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181
4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29
5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35
6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122
(1)请补全上表中的勾股数．
(2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明．
(3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D D B A D D D
题号 11 12
答案 D C
1．D
【分析】本题主要考查幂的混合运算，合并同类项，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．根据同底数幂的乘除法运算法则、合并同类项以及幂的乘方运算法则进行判断即可．
【详解】解：A. ，故本选项错误，不符合题意；
，故本选项错误，不符合题意；
，故本选项错误，不符合题意；
，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了完全平方公式，积的乘方，负整数指数幂，同底数幂的除法，根据完全平方公式，积的乘方，负整数指数幂，同底数幂的除法运算法则分别计算判断即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，根据运算法则逐一进行计算即可得出答案．
【详解】解：A、，原式错误，故本选项不符合题意；
B、，原式错误，故本选项不符合题意；
C、，原式正确，故本选项符合题意；
D、，原式错误，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考查了二次根式的化简、幂的乘方、整式加减及同底数幂的除法，熟知以上运算法则是正确解答此题的关键．
根据二次根式的化简、幂的乘方、整式加减及同底数幂的除法的法则逐选项判断即可．
【详解】解：A．，此选项不正确，不符合题意；
B．，此选项不正确，不符合题意；
C．，此选项不正确，不符合题意；
D．，此选项正确，符合题意；
故选：D．
5．D
【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法、积的乘方、完全平方公式及合并同类项．因此此题可根据同底数幂的乘除法及积的乘方可进行排除选项．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除，完全平方公式，积的乘方，据此相关性质内容进行逐项计算，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：B
7．A
【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
根据同底数幂的除法运算，合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方运算的法则，需根据各运算法则逐一判断选项的正误．
【详解】解：，故A选项正确．
，故B选项错误．
，故C选项错误．
，故D选项错误．
故选：A．
8．D
【分析】本题主要考查了整式加减、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方的运算，熟知相关运算法则是正确解答此题的关键．
根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、，正确；
B、，正确；
C、，正确；
D、应为，故本选项错误．
故选：D．
9．D
【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法逐项计算即可．
【详解】A． ，故原说法不正确；
B． ，故原说法不正确；
C． ，故原说法不正确；
D． ，故正确；
故选：D．
10．D
【分析】本题考查了幂的混合运算，合并同类项，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．根据幂的混合运算法则及合并同类项法则计算，即可判断答案．
【详解】A、因为与不是同类项，不能合并同类项，所以选项A错误，不符合题意；
B、因为，所以选项B错误，不符合题意；
C、因为，所以选项C错误，不符合题意；
D、因为，所以选项D正确，符合题意．
故选：D．
11．D
【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，平方差公式，积的乘方运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法，幂的乘方，平方差公式，积的乘方运算法则判定即可求解．
【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算正确，符合题意；
故选：D ．
12．C
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据题意，设，，则，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
，进行计算，即可求解．
【详解】解：设，，
则，
∵，
∴，
即，
∴，
∴有最小值为，
故选：C．
13．42
【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
【详解】
．
故答案为：42．
【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
14．2023
【分析】把化为：代入降次，再把代入求值即可．
【详解】解：由得：，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是代数式的求值，找到整体进行降次是解题的关键．
15．3
【分析】本题考查了分式的化简求值和完全平方公式，将原式根据完全平方公式变形，再将值代入计算即可得出答案．
【详解】解∶∵，
∴
，
故答案为∶3．
16．
【分析】将整式变形含有公因式，提取即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解题的关键是找到公因式．
17．
【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
18．
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法及公式法是解题关键．
19．/0.75
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，配方法的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
根据新定义、完全平方公式将原式变形为，即可求解．
【详解】解：由题意知，，
∵，
∴，
∴代数式的最小值为．
故答案为：．
20．
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
【详解】根据题意得：展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律．
21．；
【分析】根据完全平方公式以及单项式乘以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解．
【详解】解：
当时，原式
【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．
22．，
【分析】根据完全平方公式和平方差公式展开后化简，最后代入求值即可．
【详解】
当，时，原式．
【点睛】本题考查整式混合运算的化简求值，解题的关键是根据完全平方公式和平方差公式展开．
23．(1)
(2)见解析
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：①当选择A、B时：
，
；
②当选择A、C时：
，
；
③当选择B、C时：
，
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法．
24．(1)
(2)，，，其中、、都是正整数，，证明见解析
(3)280
【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案；
（2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明；
（3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案．
【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，，
则由勾股数定义可知，
即，
，
解得或（舍去）；
故答案为：24．
（2）解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下：
，，，
，
，
，
，
；
（3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示：
设，即直角三角形中最短边为，
仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花，
，
由题意可知，最小为，
那么 ，
那么这块绿地最少需要种植株花．
【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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