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数与式--新定义问题和规律探究题 重点考点梳理
专题练 2026届初中数学中考一轮复习备考
一、单选题
1．观察下列按一定规律排列的代数式：2，，，，，….第个代数式为（ ）
A． B． C． D．
2．观察下列式子： 则第n个式子为（ ）
A． B．
C． D．
3．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
4．按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第n个多项式是（ ）
A． B．
C． D．
5．按一定规律排列的单项式：x，，，，，，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
6．观察下列算式：，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
7．在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式中m，n，；
第2次操作后得到整式中m，n，，；
第3次操作后…
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（ ）
A． B．m C． D．
8．如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）

A． B． C． D．
9．已知且，我们定义，记为；，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；；则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（ ）
A．6037 B． C．637 D．
11．在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
12． 若定义：，则代数式的最小值为______．
13．阅读：①求几个相同因数连续相乘的运算叫做乘方，结果叫做幂．如：_____．填9．
②如果正数m的平方等于a，则m是a算术平方根，如求9的算术平方根：____．填3．
③在底数、指数、幂中，知道底数和幂，通过逆运算可以求指数．如：，____．填2；
再比如：，_____．填3．因此，我们又得到一种新运算“对数运算”：，求x，记作：．理解以上内容后计算______．
14．用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为__________（用含n的式子表示）．

15．1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为____．
16．若有a，b两个数满足关系式：，则称a，b为“共生数对”，记作．例如：当2，3满足时，则是“共生数对”．若是“共生数对”，则______．
17．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉字数字表示，如十一烷、十二烷…）等．其分子结构模型如图所示，其中黑球代表碳原子，灰球代表氢原子，甲烷有4个氢原子，乙烷有6个氢原子，丙烷有8个氢原子，．．．依此规律，十三烷的分子结构模型中氢原子的个数是__________个．
三、解答题
18．观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，
第3个等式：，第4个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明．
19．在数学活动课上，杨老师设计了一个游戏活动．如图所示的，，，分别
代表一种运算，可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序．
根据以上规则，解答下列问题：
(1)计算经过的顺序所得式子的运算结果；
(2)若经过的顺序所得的结果记为，经过的顺序所得的结果记为，发现无论取何值时，的值均为非负数，请说明理由．
20．淇淇设计了一个运算程序，如图，输入值，由上面的一条运算路线从左至右进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右进行运算得到．如：输入，得到．
(1)若输入，求m，n的值；
(2)若得到，求输入的的值及相应的的值；
(3)若得到的的值比值小，求的取值范围．
21．数学兴趣小组在探究连续正整数相加时得到如下结论：，为此，他们继续探究3的倍数的和问题，得到如下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：____________________；
(2)用含的等式表示第个等式，并验证；
(3)记第个等式的和为，数学兴趣小组发现，求的值．
22．在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动．
【思考与推理】老师提供了下列一组等式：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
第四个等式：；
…
第n个等式可写为：
老师引导同学们将这n个等式相加，做了如下推理：
整理得，
……
…
【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式．
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
第四个等式：；
……
【问题解决】
(1)请你完成【思考与推理】中省略的步骤．
(2)你能写出【类比推广】中的第5个等式：__________________________；猜想第n个等式：___________________，请你证明这个猜想．
(3)你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于的公式．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A D B A D C C B
题号 11
答案 C
1．C
【分析】把2化为，即可发现规律即可求解．
【详解】∵2=
∴，，，，，….
则第个代数式为
故选C．
【点睛】此题主要考查代数式的规律探索，解题的关键是发现代数式的变化特点．
2．B
【分析】本题考查数字规律问题，观察式子找到规律是解题的关键．
【详解】解：观察式子，
，
，
，
，
……，
第个式子为 ，
故选: B．
3．A
【分析】此题考查了与代数式有关的规律探索，观察代数式的系数和指数规律，进行解答便可．
【详解】解：∵，，，，，…，
∴代数式的系数是，的指数是，
∴第n个代数式为：，
故选：A．
4．D
【分析】本题考查数字类的变化规律、多项式，找到多项式每个项的系数与指数规律是解题的关键．观察多项式每个项的系数和指数，找到变化的规律即可解答．
【详解】解：第1个多项式为，
第2个多项式为，
第3个多项式为，
第4个多项式为，
……
依此类推，第n个多项式为．
故选：D．
5．B
【分析】本题主要考查寻找单项式的规律，包括系数符号、系数绝对值的变化规律，以及未知数的指数变化规律；先观察单项式的系数和次数的规律，得出系数的规律是，次数的规律是，再根据规律写出第n个单项式即可．
【详解】解：∵单项式的系数分别是，，，，，．．．，，
次数的规律是从1开始的连续的奇数，即1，3，5，7，9，…，，
∴第n个单项式是：，
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了数字类规律探究，通过观察发现末尾数字以2，4，8，6，这4个数字为循环，然后由即可求解．
【详解】解：因为，，，，，，，，…，
通过观察发现末尾数字以2，4，8，6，这4个数字为循环，
所以，
所以末位数字是2．
故选A．
7．D
【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有的整式之和为：，结合，从而可得答案．
【详解】解：第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后得到整式串m，n，，，；
第4次操作后得到整式串m，n，，，，；
第5次操作后得到整式串m，n，，，，，；
归纳可得：以上整式串每六次一循环，
∵，
∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等，
∴这个和为，
故选D
【点睛】本题考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律并灵活运用是解本题的关键．
8．C
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
…，
；
∴
，
故选∶C．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查了数字类规律变化问题，根据题意可得，，，每三次变换为一个循环，据此解答即可求解，掌握变化规律是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
∴，
，
∴，
，
∴，
，
∴每三次变换为一个循环，
∵，
∴，
故选：．
10．B
【分析】本题考查有理数，根据算筹记数的规则即可求解．
【详解】解：个位上的数上有斜线，
这个数是负数，
是横式，不能表示百位数，
表示千位上的数，百位上的数为0，
根据数筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为．
故选B．
11．C
【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．
【详解】解：，故说法①正确．
若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现，显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负，故说法②正确．
当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是；；；．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；；．共有7种情况；
有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；
需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．
12．/0.75
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，配方法的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
根据新定义、完全平方公式将原式变形为，即可求解．
【详解】解：由题意知，，
∵，
∴，
∴代数式的最小值为．
故答案为：．
13．5
【分析】本题主要考查幂的运算，根据材料内容进行解答即可．
【详解】解：根据题意得，，
故答案为：5．
14．/
【分析】当时，有个三角形；当时，有个三角形；当时，有个三角形；第n个图案有个三角形，每个三角形用三根计算即可．
【详解】解：当时，有个三角形；
当时，有个三角形；
当时，有个三角形；
第n个图案有个三角形，
每个三角形用三根，
故第n个图案需要火柴棍的根数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的加减的数字规律问题，熟练掌握规律的探索方法是解题的关键．
15．
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
【详解】根据题意得：展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律．
16．/
【分析】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解法，根据“共生数对”的定义得到关于x的方程，解方程即可求解．
【详解】解：因为是“共生数对”，
所以，
解得．
故答案为：
17．28
【分析】本题考查了图形类规律题，找出规律是解题的关键．
根据氢原子的个数，找到规律，即可求解．
【详解】解：甲烷有4个氢原子，，
乙烷有6个氢原子，，
丙烷有8个氢原子，
，
以此类推，则十三烷的分子结构模型中氢原子的个数：，
故答案为：28．
18．(1)
(2)，证明见解析
【分析】对于（1），根据前四个式子的规律得出第5个等式；
对于（2），根据前5个式子的规律写出第n个式子，再证明即可．
【详解】（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：，
即；
故答案为：；
（2）解：第n个等式： ；
．
19．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据题意列出运算式子，然后根据有理数的混合运算法则求解即可；
（2）依题意得到，，得到，即可得到结论．
【详解】（1）解：依题意经过的顺序所得式子的运算结果为；
（2）证明：依题意得，，，
无论取何值时，的值均为非负数．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，有理数的四则混合计算，正确理解流程图是解题的关键．
（1）仿照题意计算求解即可；
（2）根据题意可得方程，解方程求出x的值，进而求出n的值即可；
（3）分别用含x的式子表示出m、n，再根据题意建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
；
（2）解：由题意得，，解得，
∴；
（3）解：由题意得，，
；
∵得到的的值比值小，
∴，
解得．
21．(1)
(2)，证明见解析
(3)674
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
（1）仿照题意写出第5个等式即可；
（2）根据题意可得，第个等式可以表示为，再根据题中的结论即可得到结论，再证明结论即可；
（3），再根据建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为；
（2）解：根据题意可知第个等式为，证明如下：
∵，
∴
，
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴．
22．(1)详见解析
(2)，，证明见解析
(3)，见解析
【分析】本题考查了整式的混合运算，数字类规律探索，熟练掌握各知识点，理解题意是解题的关键．
（1）根据等式的性质以及完全平方公式计算即可；
（2）根据已知的前4个等式总结出第5个等式，以及第n个等式的规律，并将等式左右两边利用多项式乘多项式展开即可证明相等；
（3）先通过，将等式中的从、、、依次取到时，就可得个等式，再累加即可，
【详解】（1）解：剩余步骤为：，
∴，
∴；
（2）解：【类比推广】中的第5个等式：；猜想第n个等式：，
证明：左边，
右边，
∵左边右边，
∴原式成立；
（3）解：，
当式中的从、、、依次取到时，就可得下列个等式：
，
，
，
，
，
将这个等式的左右两边分别相加得：，
即
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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