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(共21张PPT)
第二十一章　四边形
第17课时　四边形及多边形(2)
知识点一：多边形的相关概念
(1)在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形
叫做多边形；
(2)多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.如图①中的
∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的五个
内角.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边
形的外角.如图②中的∠1是五边形ABCDE的一个外角；
(3)连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的
对角线.如图③中的AC、AD是五边形ABCDE的两条对
角线；
(4)正方形的各个角都相等，各条边都相等，像正方形
这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正
多边形.
1. (1)①下面的多边形的边为
；
②下面的多边形的角为
；
③画出下面多边形的全部对角线.
AB、BC、CD、DE、
EF、FA　
∠A、∠B、∠C、∠D、
∠E、∠F　
(2)写出下列正多边形的名称.
知识点二：多边形内角和公式
n边形的内角和等于(n－2)×180°.
2. 为了求得n边形的内角和，请根据下图所示，完成
下表：
多边形
的边数 3 4 5 6 … n
分成的三角形个数 1 2 3 4… n－2
多边形的内角和 180° 180°×2 4…
3
4
n－2
180°
×3
180°
×4
180°×
( n－2)
由此，我们得出：
n边形(n≥3)的内角和为 .
(n－2) 180°　
知识点三：多边形内角和公式的应用
(1)已知多边形的边数n，求该多边形的内角和；
(2)已知多边形的内角和，求多边形的边数；
(3)求正n边形的一个内角： ；
(4)已知正n边形的一个内角，求边数n.
3. (1)八边形的内角和等于 °；
(2)一个多边形的内角和为1800°，求它的边数.
解：设这个多边形的边数为n，则
(n－2) 180°＝1800°
　　　　n－2＝10
　　　　　　　n＝12
答：它的边数为12.
1080　
解：设这个多边形的边数为n，则
(n－2) 180°＝1800°
n－2＝10
n＝12
答：它的边数为12.
4. 填空：
(1)四边形的内角和等于 ；
(2)五边形的内角和等于 ；
(3)六边形的内角和等于 ；
(4)七边形的内角和等于 ；
(5)十边形的内角和等于 .
360°　
540°　
720°　
900°　
1440°　
5. 一个多边形的内角和等于1260°，求它的边数.
解：设它的边数为n，则
(n－2) 180°＝1260°
　　　　n－2＝7
　　　　　　　n＝9
答：它的边数为9.
解：设它的边数为n，则
(n－2) 180°＝1260°
n－2＝7
n＝9
答：它的边数为9.
6. (1)求正十边形的每一个内角的度数；
解： ＝144°
答：正十边形的每个内角为144°.
解： ＝144°
答：正十边形的每个内角为144°.
(2)一个正多边形的每一个内角都等于120°，求这个多边
形的边数；
解：设这个多边形的边数为n，则
120°n＝(n－2) 180°
∴n＝6
答：这个多边形的边数为6.
解：设这个多边形的边数为n，则
120°n＝(n－2) 180°
∴n＝6
答：这个多边形的边数为6.
(3)如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝
70°，点M，N分别在AB，BC上，将四边形ABCD沿
MN对折，得到△FMN. 若MF∥AD，FN∥DC， 则
∠D＝(　C　).
A. 35° B. 70°
C. 95° D. 125°
C
7. 写出图中x的值：
(1)x＝ ；　　(2)x＝ .
65　
100　
8. 一个多边形的内角和等于1080°，求它的边数.
解：设它的边数为n，则(n－2) 180＝1080
∴n＝8
答：这个多边形的边数为8.
解：设它的边数为n，则(n－2) 180＝1080
∴n＝8
答：这个多边形的边数为8.
9. 已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平
分线交于点O. 求证：∠BOC＝ (∠A＋∠D).
证明：如图，∵BO平分∠ABC，
CO平分∠BCD，∴∠ABC＝2∠1，
∠BCD＝2∠2.
又∵∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°，
∴∠A＋2∠1＋2∠2＋∠D＝360°.
∴∠1＋∠2＝ .
∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)
＝180°－
＝ (∠A＋∠D).
∴∠1＋∠2＝ .
∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)
＝180°－
＝ (∠A＋∠D).(共34张PPT)
第二十一章　四边形
第33课时　四边形单元复习课
知识一：四边形及多边形
1. (1)平行四边形的内角和为 ，外角和
为 ；
(2)十边形的内角和为 ，外角和为 .
360°　
360°　
1440°　
360°　
知识二：平行四边形的性质
　　(含三角形的中位线)
2. (1)如图， ABCD中，∠A＝52°，BC＝5 cm，则
∠B＝ °，∠C＝ °，AD＝ cm；
(1)题图
128　
52　
5　
(2)如图，已知：点O是 ABCD的对角线的交点，E是
CD的中点，AC＝48 cm，BD＝18 cm，AD＝16 cm，
那么OE＝ cm；△OBC的周长等于 cm.
(2)题图
8　
49　
知识点三：平行四边形的判定
3. (1)不能判断四边形ABCD是平行四边形的是
(　C　)；
A. AB＝CD，AD＝BC
B. AB＝CD，AB∥CD
C. AB＝CD，AD∥BC
D. AB∥CD，AD∥BC
C
(2)如图，在 ABCD中，AC、BD相交于O，E、F分
别为OB、OD上，且OE＝OF，求证：四边形AECF是
平行四边形.
证明：在 ABCD中，有OA＝OC，
又∵OE＝OF
∴四边形AECF是平行四边形
证明：在 ABCD中，有OA＝OC，
又∵OE＝OF
∴四边形AECF是平行四边形
知识点四：矩形的性质
　　(含直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
4. (1)矩形具备而平行四边形不一定具有的性质是
(　D　)；
A. 对角线互相平分 B. 邻角互补
C. 对角相等 D. 对角线相等
(2)直角三角形中，两条直角边边长分别为12和5，则斜边
中线的长是(　D　).
A. 26 B. 13 C. 30 D. 6.5
D
D
知识点五：矩形的判定
5. 下列识别图形不正确的是(　C　).
A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
B. 有三个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C
知识点六：菱形的性质
6. (1)若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的
周长为(　A　)；
A. 20 B. 16 C. 12 D. 10
(2)菱形的面积为20 cm2，一条对角线的长是5 cm，则另
一条对角线的长是 .
A
8 cm　
知识点七：菱形的判定
7. 如图，已知 ABCD，添加一个条件使平行四边形
ABCD为菱形，添加条件为
.(只写出符合要求的一个即可)
AB＝AD(或
AC⊥BD)　
知识点八：正方形的性质
8. 如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连
接EF为边的正方形EFGH的周长为(　B　).
A.
B. 2
C. ＋1
D. 2 ＋1
B
知识点九：正方形的判定
9. (1)下列命题中，正确的是(　D　)；
A. 四边相等的四边形是正方形
B. 四角相等的四边形是正方形
C. 对角线垂直的平行四边形是正方形
D. 对角线相等的菱形是正方形
(2)当∠A＝ °时，菱形ABCD是正方形；
D
90　
(3)已知矩形ABCD中，AB＝3 cm，当BC＝ cm
时，四边形ABCD是正方形.
3　
10. 如图，已知BD是矩形ABCD的对角线.
(1)尺规作图：作线段BD的垂直平分线，分别交AD、
BC于E、F，连结BE、DF. (保留作图痕迹，不写作法
和证明)：
解：(1)如图所示，直线EF为所求；
解：(1)如图所示，直线EF为所求；
(2)请判断四边形BEDF的形状，并证明你的结论.
解：(2)四边形BEDF为菱形，
证明如下：
在矩形ABCD中，有
AD∥BC∴DE∥BF，
∠DEO＝∠BFO，∠EDO＝∠FBO
∵EF垂直平分BD
∴DO＝BO，BE＝DE，BF＝DF
解：(2)四边形BEDF为菱形，
证明如下：
在矩形ABCD中，有
AD∥BC ∴DE∥BF，
∠DEO＝∠BFO，∠EDO＝∠FBO
∵EF垂直平分BD
∴DO＝BO，BE＝DE，BF＝DF
∴△DOE≌△BOF(AAS)
∴DE＝BF∴BE＝DE＝DF＝BF
∴四边形BEDF为菱形
∴△DOE≌△BOF(AAS)
∴DE＝BF
∴BE＝DE＝DF＝BF
∴四边形BEDF为菱形
11. 如图，已知在△ABC中，D、E、F分别是AB，
BC，AC的中点，连结DF、EF、BF.
(1)求证：四边形BEFD是平行四边形；
解：(1)证明：
∵D，E，F分别是AB，BC，
AC的中点，∴EF∥AB，DF∥BC.
∴四边形BEFD是平行四边形.
解：(1)证明：
∵D，E，F分别是AB，BC，
AC的中点，∴EF∥AB，DF∥BC.
∴四边形BEFD是平行四边形.
(2)若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长.
解：(2)∵∠AFB＝90°，AB＝6，D点是AB的中点，
∴DF＝DB＝ AB＝3.
∴平行四边形BEFD是菱形.
∴BE＝EF＝DF＝BD＝3.
∴四边形BEFD的周长为4DF＝12.
解：(2)∵∠AFB＝90°，AB＝6，D点是AB的中点，
∴DF＝DB＝ AB＝3.
∴平行四边形BEFD是菱形.
∴BE＝EF＝DF＝BD＝3.
∴四边形BEFD的周长为4DF＝12.
12. 如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD
的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD
上.
(1)求证：BG＝DE；
解： (1)证明：在矩形EFGH中，
EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF.
∴∠BFG＝∠DHE，
在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
∴△BGF≌△DEH(AAS)，
∴BG＝DE；
解： (1)证明：在矩形EFGH中，
EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF.
∴∠BFG＝∠DHE，
在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
∴△BGF≌△DEH(AAS)，
∴BG＝DE；
(2)若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长.
解： (2)如图，连接EG，在菱形ABCD中，
解： (2)如图，连接EG，在菱形ABCD中，
AD∥BC，AD＝BC，
∵E为AD中点，AE＝ED，
BG＝DE， ∴AE＝BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB＝EG，在矩形EFGH中，
EG＝FH＝2，AB＝2，
∴菱形周长为8.
13. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，
对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作
CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
解：(1)证明：∵AB∥DC∴∠BAC＝∠ACD
∵AC平分∠BAD∴∠BAC＝∠DAC
∴∠ACD＝∠DAC，∴CD＝AD
∵AB＝AD，∴AB＝CD，
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形
解：(1)证明：∵AB∥DC ∴∠BAC＝∠ACD
∵AC平分∠BAD ∴∠BAC＝∠DAC
∴∠ACD＝∠DAC， ∴CD＝AD
∵AB＝AD， ∴AB＝CD，
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形
(2)若AB＝ ，BD＝2，求OE的长 .
解：(2)由(1)已证四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BO＝ BD＝ ×2＝1，AC＝2AO
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
有AO＝ ＝ ＝2
∴AC＝2AO＝4
解：(2)由(1)已证四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BO＝ BD＝ ×2＝1，AC＝2AO
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
有AO＝ ＝ ＝2
∴AC＝2AO＝4
在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，点O是AC中点
∴OE＝ AC＝ ×4＝2
在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，点O是AC中点
∴OE＝ AC＝ ×4＝2(共17张PPT)
第二十一章　四边形
第24课时　平行四边形(6)
知识点一：平行四边形的性质
平行四边形的性质：
(1)边的性质：对边平行且相等；
(2)角的性质：对角相等，邻角互补；
(3)对角线的性质：对角线互相平分.
1. 如图，在 ABCD中，下列结论不正确的是(　C　).
A. AB＝CD
B. AD∥BC
C. AC＝BD
D. OB＝OD
C
知识点二：平行四边形的判定
平行四边形的判定方法：
(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平
行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
2. 如图，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形
的是(　A　).
A. AB∥CD，AD＝BC
B. AB∥CD，AB＝CD
C. ∠A＝∠C，∠B＝∠D
D. ∠A＋∠B＝180°，∠B＝∠D
A
知识点三：三角形的中位线
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并
且等于第三边的一半.
3. 如图，若E、F分别是AB、AC中点，BC＝4 cm，
∠B＝50°，则EF＝ cm，∠AEF＝ °.
2　
50　
知识点四：运用平行四边形的性质与判定、三角形中位
线定理进行几何计算与证明
4. 如图，在 ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长
线与CD的延长线相交于点F. 求证：DE是△BCF的中
位线.
证明：在 ABCD中，有
AB∥CD，AB＝CD
∴∠A＝∠EDF，∠ABE＝∠DFE
∵点E是AD中点∴AE＝DE
∴△ABE≌△DFE(AAS)
∴AB＝DF，BE＝EF
∴CD＝DF
∴点D、E分别是CF、BF的中点
∴DE是△BCF的中位线.
证明：在 ABCD中，有
AB∥CD，AB＝CD
∴∠A＝∠EDF，∠ABE＝∠DFE
∵点E是AD中点 ∴AE＝DE
∴△ABE≌△DFE(AAS)
∴AB＝DF，BE＝EF
∴CD＝DF
∴点D、E分别是CF、BF的中点
∴DE是△BCF的中位线.
5. 如图，在 ABCD中，∠A＝120°，AD＝2 cm，CD
＝3 cm，则
(1)∠C＝ °；
(2)∠B＝ °；
(3)∠D＝ °；
(4) ABCD的周长为 .
120　
60　
60　
10 cm　
6. 如图，在 ABCD中，BD为对角线，E、F分别是
AD、BD的中点，连接EF. 若EF＝3 cm，则CD的长
为 cm.
6　
7. 如图，在 ABCD中，点E为AB的中点，延长BA到
点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G. 求证：四
边形DFEC是平行四边形.
证明：∵E是AB的中点∴AE＝ AB
又∵AF＝AE∴EF＝2AE＝AB
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD AB∴EF DC
∴四边形DFEC是平行四边形.
证明：∵E是AB的中点 ∴AE＝ AB
又∵AF＝AE ∴EF＝2AE＝AB
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD AB∴EF DC
∴四边形DFEC是平行四边形.
8. 如图，在 ABCD中，AB＝5 cm，AD＝8 cm，DE
平分∠ADC，则BE＝ cm.
3　
9. 如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于
5，则 ABCD的周长等于 .
16　
10. 如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧
的等边三角形.求证：四边形ADFE为平行四边形.
证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形
∴AB＝BE＝EA，BF＝BC
∠ABE＝∠CBF＝60°
∴∠ABE－∠ABF＝∠CBF－∠ABF
即∠EBF＝∠ABC
∴△BEF≌△BAC(SAS)
∴EF＝AC
又∵△ADC为等边三角形
∴CD＝AD＝AC ∴EF＝AD
同理可证AE＝DF
∴四边形ADFD是平行四边形.
∴四边形ADFD是平行四边形.(共18张PPT)
第二十一章　四边形
第25课时　特殊的平行四边形(1)
知识点一：矩形的定义
　　有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，如图，在
ABCD中，如果∠A＝90°，那么 ABCD就是矩形.
注：矩形的定义有两点：
①四边形是平行四边形；
②有一个角是直角.
1. 在 ABCD中，∠B＝90°，EF⊥BC于F，则图中
有 个矩形.
3　
知识点二：矩形的性质
(1)性质1：矩形的四个角都是直角.
几何语言：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
(2)性质2：矩形的对角线相等.
几何语言：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD.
注：①矩形首先是一个平行四边形，因此它具有平行四
边形的所有性质，上述两条性质是它所具有的特殊性质.
②矩形的性质是证明线段相等或倍分、角相等以及线段
平行、垂直的重要依据.
③由于矩形的角都是直角，故常把其相关问题转化为直
角三角形的问题来解决.
④矩形的两条对角线将矩形分割成4个等腰三角形，所以
也常用等腰三角形的性质解决问题.
⑤矩形是轴对称图形，它一共有2条对称轴，它的边的垂
直平分线就是它的对称轴.
2. (1)如图，在矩形ABCD中，对角线相交于点O，若
AD＝6，BD＝10，则①AC＝ ；②AB＝ ；
③矩形ABCD的周长为 ；④矩形ABCD的面积
为 ；
10　
8　
28　
48　
(2)如图，在矩形ABCD中，E是AD中点，连接BC、
EC.
求证：∠ABE＝∠DCE.
证明：在矩形ABCD中，有
∠A＝∠D＝90°，AB＝DC
∵E是AD中点∴AE＝DE
∴△ABE≌△DCE(SAS)
∴∠ABE＝∠DCE.
证明：在矩形ABCD中，有
∠A＝∠D＝90°，AB＝DC
∵E是AD中点 ∴AE＝DE
∴△ABE≌△DCE(SAS)
∴∠ABE＝∠DCE.
知识点三：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的
中点，(1)若AB＝8，则CD＝ ；(2)若CD＝3，则
AB＝ .
4　
6　
4. 如图，在矩形ABCD中，AF＝CE，求证：四边形
AECF是平行四边形.
证明：在矩形ABDC中，有
AD＝BC，AB＝CD，∠D＝∠B＝90°
∵AF＝CE∴Rt△ADF≌Rt△CBE(HL)
∴DF＝BE　∴CD－DF＝AB－BE，即CF＝AE
又∵AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形
证明：在矩形ABDC中，有
AD＝BC，AB＝CD，∠D＝∠B＝90°
∵AF＝CE ∴Rt△ADF≌Rt△CBE(HL)
∴DF＝BE　∴CD－DF＝AB－BE，即CF＝AE
又∵AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形
5. 如图，四边形ABCD为矩形，∠ABD＝60°，AC＝
2.求AB、AD的长及矩形ABCD的面积.
解：在矩形ABCD中，
有BD＝AC＝2，∠BAD＝90°
又∵∠ABD＝60°∴∠ADB＝30°
∴AB＝ BD＝1
∴AD＝ ＝ ＝
∴S矩形ABCD＝AD AB＝ ×1＝
解：在矩形ABCD中，
有BD＝AC＝2，∠BAD＝90°
又∵∠ABD＝60° ∴∠ADB＝30°
∴AB＝ BD＝1
∴AD＝ ＝ ＝
∴S矩形ABCD＝AD AB＝ ×1＝
6. 如图，在△ABC中，BC＝5 cm，AC＝12 cm，AB＝
13 cm，D为AB的中点，求CD的长.
解：∵BC2＝52＝25，AC2＝122＝144，
AB2＝132＝169∴BC2＋AC2＝AB2
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°
∵D为AB的中点
∴CD＝ AB＝ ×13＝6.5 cm
解：∵BC2＝52＝25，AC2＝122＝144，
AB2＝132＝169 ∴BC2＋AC2＝AB2
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°
∵D为AB的中点
∴CD＝ AB＝ ×13＝6.5 cm
7. 在矩形ABCD中，点E、F均在AD上，且AE＝DF，
求证：BF＝CE.
证明：在矩形ABCD中，有
AB＝DC，∠A＝∠D＝90°
∵AE＝DF
∴AE＋EF＝DF＋EF
即AF＝DE
∴△ABF≌△DCE(SAS)
∴BF＝CE
证明：在矩形ABCD中，有
AB＝DC，∠A＝∠D＝90°
∵AE＝DF
∴AE＋EF＝DF＋EF
即AF＝DE
∴△ABF≌△DCE(SAS)
∴BF＝CE
8. 在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，
DF⊥AE，垂足为F.
(1)求证.DF＝AB
(1)证明：在矩形ABCD中，
有∠B＝90°，AD∥BC∴∠DAF＝∠AEB
∵DF⊥AE∴∠AFD＝∠B＝90°
又∵AE＝AD
∴△ADF≌△EAB(AAS)
∴DF＝AB
(1)证明：在矩形ABCD中，
有∠B＝90°，AD∥BC ∴∠DAF＝∠AEB
∵DF⊥AE ∴∠AFD＝∠B＝90°
又∵AE＝AD
∴△ADF≌△EAB(AAS)
∴DF＝AB
(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD.
解：(2)∵DF⊥AE，∠ADC＝90°
∴∠DAF＋∠ADF＝90°，∠FDC＋∠ADF＝90°
∴∠DAF＝∠FDC＝30° ∵AB＝4
∴DF＝AB＝4
在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，
∠DAF＝30°
∴AD＝2DF＝2×4＝8
9. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边
上的中线，且BD＝CE.
求证：(1)点D在BE的垂直平分线上；
解：(1)连接DE. ∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥AB. ∴∠ADC＝90°.
∵AE＝CE. ∴DE＝ AC＝CE＝AE.
∵BD＝CE，∴DE＝BD.
∴点D在线段BE的垂直平分线上.
解：(1)连接DE. ∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥AB. ∴∠ADC＝90°.
∵AE＝CE. ∴DE＝ AC＝CE＝AE.
∵BD＝CE，∴DE＝BD.
∴点D在线段BE的垂直平分线上.
(2)∠BEC＝3∠ABE.
解：(2)∵BD＝DE，
∴∠ADE＝2∠ABE＝2∠DEB.
∵DE＝AE，
∴∠A＝2∠ABE.
∴∠BEC＝∠ABE＋∠A＝3∠ABE.
解：(2)∵BD＝DE，
∴∠ADE＝2∠ABE＝2∠DEB.
∵DE＝AE，
∴∠A＝2∠ABE.
∴∠BEC＝∠ABE＋∠A＝3∠ABE.(共17张PPT)
第二十一章　四边形
第21课时　平行四边形(3)
知识点：平行四边形的判定方法
(1)方法1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形(用
定义判定).
平行四边形的定义是判断平行四边形的根本方法，也是
其他判定方法的基础.
(2)方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
其推理形式为：如图①
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
(3)方法3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
其推理形式为：如图①，
∵∠A＝∠C，∠B＝∠D.
∴四边形ABCD是平行四边形.
(4)方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
其推理形式为：如图②，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
(5)方法5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
其推理形式为：如图②，
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
1. (1)如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：四边形
ABCD是平行四边形；
证明：∵∠1＝∠2
∴AD∥BC∵∠3＝∠4
∴AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵∠1＝∠2
∴AD∥BC ∵∠3＝∠4
∴AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)如图，四边形ABCD中，AB＝CD，∠1＝∠2，求
证：四边形ABCD是平行四边形；
证明：∵∠1＝∠2∴AB∥CD
又∵AB＝CD
∴四边形ABDC是平行四边形
证明：∵∠1＝∠2 ∴AB∥CD
又∵AB＝CD
∴四边形ABDC是平行四边形
(3)如图，在 ABCD中，点E、F在对角线AC上，AE
＝CF，求证：四边形DEBF是平行四边形.
证明：连接BD交AC于点O，
在 ABCD中，有
OA＝OC，OB＝OD ∵AE＝CF
∴OA－AE＝OC－CF
即OE＝OF
∴四边形DEBF是平行四边形.
2. 如图，在 ABCD中，AE＝CF. 求证：四边形
DEBF是平行四边形.
证明：在 ABCD中，有
AB∥CD，AB＝CD
∴BE∥DF ∵AE＝CF
∴AB－AE＝CD－CF
即BE＝DF
∴四边形DEBF是平行四边形
3. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠1＝∠2.求
证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵∠A＝∠C，∠1＝∠2
∴∠ABD＝∠CDB
∴∠ABD＋∠2＝∠CDB＋∠1
即∠ABC＝∠CDA
又∵∠A＝∠C
∴四边形ABCD是平行四边形
4. 如图，已知AC是 ABCD的一条对角线，BM⊥AC
于点M，DN⊥AC于点N，求证：四边形BMDN是平行
四边形.
证明：∵BM⊥AC，DN⊥AC
∴∠BMC＝∠DNA＝90°，
∴BM∥DN
在 ABCD中，有BC＝AD，BC∥AD
∴∠BCM＝∠DAN
∴△BCM≌△DAN(AAS)
∴BM＝DN
∴四边形BMDN是平行四边形.
5. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E和F为对角
线AC上的两点，AE＝CF，∠ABE＝∠CDF.
求证：四边形ABCD为平行四边形.
证明：∵AB∥CD ∴∠BAC＝∠ACD
∵∠ABE＝∠CDF，AE＝CF
∴△AEB≌△CFD(AAS)
∴AB＝CD
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形.
6. 如图，B、E、C、F在一条直线上，已知
AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD.
求证：四边形ABED是平行四边形.
证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF
∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F
∵BE＝CF ∴BE＋EC＝CF＋EC，
即BC＝EF ∴△ABC≌△DEF(ASA)，
∴AB＝DE
又∵AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形.
7. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在
AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，
垂足为G、H.
(1)求证：△AGE≌△CHF；
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE.
∴∠AEG＝∠CFH.
∵AG⊥EF，CH⊥EF，
∴∠AGE＝∠CHF＝90°.
又∵AE＝CF，∴△AGE≌△CHF(AAS).
(2)连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由.
证明：(2)线段GH与AC互相平分，理由如下：
连接CG、AH. ∵△AGE≌△CHF，
∴AG＝CH.
∵AG⊥EF，CH⊥EF，
∴AG∥CH.
∴四边形AHCG是平行四边形.
∴AC、HG互相平分.(共19张PPT)
第二十一章　四边形
第18课时　四边形及多边形(3)
知识点一：多边形的外角和等于360°
(1)
∵∠1＋∠4＝180°，
∠2＋∠5＝180°，
∠3＋∠6＝180°，
∴∠4＋∠5＋∠6
＝180°×3－(∠1＋∠2＋∠3)
＝180°×3－180°
＝360°；
(2)
如(1)的方法易知
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6
＝180°×6－(6－2)×180°
＝360°，
即六边形的外角和为 360°；
(3)同样，n边形的外角和＝180°×n－(n－2)×180°＝
360°.
1. 填空：
(1)四边形的外角和为 °；
(2)五边形的外角和为 °；
(3)七边形的外角和为 °；
(4)十边形的外角和为 °；
360　
360　
360　
360　
(5)画出下图四边形的四个外角.
解：如图所示，
∠1、∠2、∠3、∠4为所求.
解：如图所示，
∠1、∠2、∠3、∠4为所求.
知识点二：运用“多边形的外角和等于360°”进行相关
计算
(1)已知一个正多边形的一个外角，求该多边形的边数；
(2)已知一个正多边形的边数，求该多边形的每一个外角.
注：①正多边形的外角和为360°，
②正多边形的每一个外角都相等，
③正n边形有n个外角.
2. (1)一个多边形的每个外角都为60°，它的边数
为 ；
(2)正十二边形的每一个外角都是 °；
(3)一个凸多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边
形的内角和是(　C　).
A. 1440° B. 1620°
C. 1800° D. 1980°
6　
30　
C
知识点三：多边形的内角和［(n－2)×180°］与多边形
的外角和(360°)的综合应用.
注：多边形的一个内角与该角的外角互补.
3. 填空：
(1)正六边形的每个外角都等于 ；每个内角都等
于 ；
(2)一个多边形的内角和等于外角和的2倍，求它的边数.
解：设它的边数为n，则
(n－2) 180°＝360°×2
　　　　　　　n＝6
答：它的边数为6.
60°　
120°　
解：设它的边数为n，则
(n－2) 180°＝360°×2
n＝6
答：它的边数为6.
4. (1)一个多边形的每个外角都为30°，它的边数
为 ；
(2)一个多边形的每个外角都为18°，它的边数
为 ；
(3)一个正十二边形的内角和是 ，外角和
是 °，每一个内角都是 °，每一个外角
都是 °；
12　
20　
1800°　
360　
150　
30　
(4)一个凸多边形的内角和与外角和之比为2∶1，则这个多
边形的边数为(　B　).
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
B
5. 求下图中x的值.
解：由题意可知：
∠1＋75°＋120°＋80°＝360°.
∴∠1＝85°
∴x°＝180°－∠1＝95°
即x＝95.
解：由题意可知：
∠1＋75°＋120°＋80°＝360°.
∴∠1＝85°
∴x°＝180°－∠1＝95°
即x＝95.
6. (1)一个多边形的每个内角都等于150°，这个多边形
的内角和等于多少？
解：(1)每个外角为180°－150°＝30°
这个多边形的边数n＝ ＝12.
故这个多边形的内角和为
(12－2)×180°＝1800°.
答：这个多边形的内角和为1800°.
解：(1)每个外角为180°－150°＝30°
这个多边形的边数n＝ ＝12.
故这个多边形的内角和为
(12－2)×180°＝1800°.
答：这个多边形的内角和为1800°.
(2)若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内
角和是等于多少？
解：(2)该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，该正多
边形的内角和为：(6－2)×180°＝720°.
解：(2)该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，该正多
边形的内角和为：(6－2)×180°＝720°.
7. 填空：
(1)一个多边形的每个内角都为144°，它的边数
为 ；
(2)一个多边形的每个内角都为108°，它的边数
为 ；
(3)一个正二十边形的每一个内角都是 °，每一个
外角都是 °；
10　
5　
162　
18　
(4)若正n边形的每个内角都等于120°，则n的值
为 .
6　
8. 如图，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG
＝69°.求∠DAB的度数.
解：如图，由题意可知：
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°
∴∠1＋138°＋98°＋69°＝360°
∴∠1＝55°
∴∠DAB＝180°－∠1＝125°.
9. 如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，
AB∥DE，且∠A＝120°，∠B＝80°，求∠C和∠D
的度数.
解：如图，延长AB，DC，交于点M.
∵AF∥CD，∠A＝120°
∴∠M＝180°－∠A＝60°.
∵∠1＋∠M＝∠2，
∴∠1＝∠2－∠M＝80°－60°＝20°.
∴∠BCD＝180°－∠1＝160°.
∵AB∥DE，
∴∠M＋∠D＝180°.
∴∠D＝180°－∠M＝180°－60°＝120°.
∵AB∥DE，
∴∠M＋∠D＝180°.
∴∠D＝180°－∠M＝180°－60°＝120°.(共26张PPT)
第二十一章　四边形
第30课时　特殊的平行四边形(6)
知识点：正方形的判定方法
(1)方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形(用定义判定)
几何语言：如图①，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形.
(2)方法②：对角线互相垂直的矩形是正方形.
几何语言：如图②，
∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，
∴矩形ABCD是正方形.
(3)方法3：有一个角是直角的菱形是正方形.
几何语言：如图①，
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝90°，
∴菱形ABCD是正方形.
(4)方法4：对角线相等的菱形是正方形.
几何语言：如图③，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD，
∴菱形ABCD是正方形.
注：①判定方法1和方法2是以矩形为基础的，判定方法3
和4是以菱形为基础的.在运用时要先证明四边形是矩形
或菱形，另外，注意它们之间的区别.
②正方形的判定方法最多，应用时要注意灵活选择.
　　在判定正方形时，要弄清是在“四边形”还是在
“平行四边形”或“菱形”或“矩形”的基础之上来求
证的.要熟悉各判定方法的联系和区别.正方形的判定可
以概括为以下五条：
(1)平行四边形＋一组邻边相等＋一个角为直角＝正方
形；
(2)矩形＋一组邻边相等＝正方形；
(3)矩形＋对角线互相垂直＝正方形；
(4)菱形＋一个角为直角＝正方形；
(5)菱形＋对角线相等＝正方形.
1. (1)已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那
么这个条件可以是(　D　)；
A. ∠D＝90° B. AB＝CD
C. AD＝BC D. BC＝CD
D
(2)在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D、E、F分
别是BC、AB、AC边上的中点，求证：四边形AEDF是
正方形；
证明：∵D、E、F分别是BC、AB、AC边上的中点
∴AE＝ AB，AF＝ AC
DE、DF都是△ABC的中位线
∴DE＝ AC，DF＝ AB
又∵AB＝AC∴AE＝DE＝DF＝AF
∴四边形AEDF是菱形
又∵∠A＝90°，
∴四边形AEDF是正方形
证明：∵D、E、F分别是BC、AB、AC边上的中点
∴AE＝ AB，AF＝ AC
DE、DF都是△ABC的中位线
∴DE＝ AC，DF＝ AB
又∵AB＝AC ∴AE＝DE＝DF＝AF
∴四边形AEDF是菱形
又∵∠A＝90°，
∴四边形AEDF是正方形
(3)如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的
中点.求证：
①EF＝FG＝GH＝EH；
证明：①在正方形ABCD中，有
∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA
∵点E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点
∴AF＝AE＝BE＝BH＝CH＝CG＝DG＝DF
∴△AEF≌△BEH≌△CHG≌△DGF(SAS)
∴EF＝FG＝GH＝EH
证明：①在正方形ABCD中，有
∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA
∵点E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点
∴AF＝AE＝BE＝BH＝CH＝CG＝DG＝DF
∴△AEF≌△BEH≌△CHG≌△DGF(SAS)
∴EF＝FG＝GH＝EH
②四边形EFGH是正方形.
证明：②由①已证EF＝FG＝GH＝EH
∴四边形EFGH是菱形
∵∠A＝90°，AF＝AE
∴∠AEF＝∠AFE＝45°
同理可得∠BEH＝∠BHE＝45°
∴∠FEH＝180°－∠AEF－∠BEH＝90°
∴四边形EFGH是正方形.
证明：②由①已证EF＝FG＝GH＝EH
∴四边形EFGH是菱形
∵∠A＝90°，AF＝AE
∴∠AEF＝∠AFE＝45°
同理可得∠BEH＝∠BHE＝45°
∴∠FEH＝180°－∠AEF－∠BEH＝90°
∴四边形EFGH是正方形.
2. 下列说法正确的有(　A　).
①四边都相等的四边形是正方形
②四个内角都相等的四边形是正方形
③有三个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正
方形
④有一个角是直角的平行四边形是正方形
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
A
3. 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是角
平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F. 求
证：四边形DECF是正方形.
证明：∵DE⊥AC，DF⊥BC
∴∠CED＝∠CFD＝90°
又∵∠ACB＝90°
∴四边形DECF是矩形
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC
∴DE＝DF∴四边形DECF是正方形.
证明：∵DE⊥AC，DF⊥BC
∴∠CED＝∠CFD＝90°
又∵∠ACB＝90°
∴四边形DECF是矩形
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC
∴DE＝DF
∴四边形DECF是正方形.
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB、
∠CBA的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于
F，
(1)求∠ADB的度数；
(1)解：∵∠C＝90°∴∠CAB＋∠CBA＝90°
∵AD、BD分别平分∠CAB、∠CBA，
∴∠BAD＝ ∠CBA，∠ABD＝ ∠CBA
∴∠BAD＋∠ABD＝ ∠CAB＋ ∠CBA＝
×90°＝45°
∴∠ADB＝180°－(∠BAD＋∠ABD)＝135°
(1)解：∵∠C＝90° ∴∠CAB＋∠CBA＝90°
∵AD、BD分别平分∠CAB、∠CBA，
∴∠BAD＝ ∠CBA，∠ABD＝ ∠CBA
∴∠BAD＋∠ABD＝ ∠CAB＋ ∠CBA
＝ ×90°＝45°
∴∠ADB＝180°－(∠BAD＋∠ABD)＝135°
(2)证明：过点D作DG⊥AB于点G
(2)证明：过点D作DG⊥AB于点G
(2)求证：四边形CEDF是正方形.
∵DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠DEC＝∠DFC＝90° ∵∠C＝90°，
∴四边形CEDF是矩形
∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DG⊥AB，
∴DF＝DG
同理可得DE＝DG， ∴DF＝DE
∴四边形CEDF是正方形.
5. 下列命题中，是真命题的是(　D　).
A. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 两条对角线相等的四边形是矩形
D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形
D
6. 如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边
上，然后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F. 你认为
四边形ABEF是什么特殊的四边形？请说出你的理由.
解：四边形ABEF是正方形，理由如下：
在矩形ABCD中，有∠BAD＝∠B＝90°
由折叠性质可知，
∠AFE＝∠B＝90°，AB＝AF
∴四边形ABEF是矩形
又∵AB＝AF
∴四边形AEBF是正方形
解：四边形ABEF是正方形，理由如下：
在矩形ABCD中，有∠BAD＝∠B＝90°
由折叠性质可知，
∠AFE＝∠B＝90°，AB＝AF
∴四边形ABEF是矩形
又∵AB＝AF
∴四边形AEBF是正方形
7. 如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E、F、G、H
分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝
CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
(1)证明：在正方形ABCD中，有
∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝DA
∵AE＝BF＝CG＝DH
∴BE＝CF＝DG＝AH
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴EH＝EF＝FG＝GH，∠AHE＝∠BEF
∴四边形EFGH是菱形，∵∠A＝90°
∴∠AEH＋∠AHE＝90°，
(1)证明：在正方形ABCD中，有
∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝DA
∵AE＝BF＝CG＝DH
∴BE＝CF＝DG＝AH
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴EH＝EF＝FG＝GH，∠AHE＝∠BEF
∴四边形EFGH是菱形， ∵∠A＝90°
∴∠AEH＋∠AHE＝90°，
∴∠AEH＋∠BEF＝90°
∴∠HEF＝180°－(∠AEH＋∠BEF)＝90°
∴四边形EFGH是正方形
∴∠AEH＋∠BEF＝90°
∴∠HEF＝180°－(∠AEH＋∠BEF)＝90°
∴四边形EFGH是正方形
(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由.
解：(2)连接BD、EG交于点O，由(1)知BE DG
∴四边形BGDE是平行四边形，
∴OB＝OD，OE＝OG
又∵点O是正方形ABCD对角线BD的中点，
即正方形ABCD的中心
∴EG必过定点，即正方形ABCD的中心O.(共20张PPT)
第二十一章　四边形
第31课时　特殊的平行四边形(7)
知识点一：矩形、菱形、正方形之间的关系
(1)矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形；
(2)正方形是特殊的矩形；
(3)正方形是特殊的菱形.
1. 已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD. 如果添
加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条
件可以是(　B　).
A. AB∥CD B. ∠A＝90°
C. AD∥CD D. ∠A＝∠C
B
知识点二：矩形、菱形、正方形的性质
边 角 对角线
矩形 对边平行 且相等 四个角 都是直角 互相平分且
相等
菱形 四边都 相等 对角相等， 邻角互补 互相平分且垂直，
平分每一组对角
正方形 四边都 相等 四个角 都是直角 互相平分、相等、
垂直、平分每一组
对角
2. (1)如图①，在正方形ABCD中，∠DAE＝30°，AE
交对角线BD于E点，那么∠BEC等于(　D　)；
A. 45° B. 60°
C. 70° D. 75°
D
(2)如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，
CD＝5，BC＝6，则AB＝ ，AC＝ ；
(3)如图③，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的
交点，AO＝4，∠BAD＝120°，则∠BAO
＝ °，AC＝ ，BD＝ ，菱形的周长
＝ ，菱形的面积＝ .
10　
8　
60　
8　
8 　
32　
32 　
知识点三：矩形、菱形、正方形的判定
3. 如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，过
B、C两点分别作AC、BD的平行线，相交于点E，求
证：四边形BOCE是矩形.
证明：∵BE∥AC，EC∥BD，
∴四边形BOCE是平行四边形
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∴∠BOC＝90°
∴平行四边形BOCE是矩形.
证明：∵BE∥AC，EC∥BD，
∴四边形BOCE是平行四边形
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∴∠BOC＝90°
∴平行四边形BOCE是矩形.
4. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个
角，把剪下部分展开后，得到的图形是(　B　).
A. 平行四边形
B. 菱形
C. 矩形
D. 正方形
B
5. 已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝1，
∠AOB＝60°，那么
BD＝ ，
AB＝ ，
BC＝ .
2　
1　
　
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC＝3， AC＝
4， M为斜边AB上一动点，过M分别作MD⊥AC于点
D，ME⊥BC于点E.
(1)求证：四边形DMEC是矩形；
解：(1)∵MD⊥AC，ME⊥CB，∠C＝90°
∴∠C＝∠MDC＝∠MEC＝90°
∴四边形DMEC是矩形；
解：(1)∵MD⊥AC，ME⊥CB，∠C＝90°
∴∠C＝∠MDC＝∠MEC＝90°
∴四边形DMEC是矩形；
(2)求线段DE的最小值.
解：(2)∵四边形DMEC是矩形
∴DE＝CM
当CM⊥AB时，CM有最小值
∵BC＝3，AC＝4，∠C＝90°
∴AB＝ ＝ ＝5
∴AC BC＝AB CM
∴CM＝ ＝ ＝
解：(2)∵四边形DMEC是矩形
∴DE＝CM
当CM⊥AB时，CM有最小值
∵BC＝3，AC＝4，∠C＝90°
∴AB＝ ＝ ＝5
∴AC BC＝AB CM
∴CM＝ ＝ ＝ ∴DE最小值＝CM＝
7. 如图，已知 ABCD的对角线AC与BD相交于点O.
下列结论中，错误的是(　D　).
A. 当AB⊥AD时， 四边形ABCD是矩形
B. 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C. 当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形
D. 当AB＝AC时， 四边形ABCD是菱形
D
8. 如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使
CE＝CA，连结AE交CD于点F，则∠E的度数是
(　D　).
A. 30°
B. 45°
C. 55°
D. 22.5°
D
9. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，
AC＝BC＝4，D是AB的中点，E、F分别是AC、BC
上的点(点E不与端点A、C重合)，且AE＝CF，连接
EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝
OD，连接DE、DF、GE、GF.
(1)求证：四边形EDFG是正方形；
(1)证明：
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB中
点
∴CD＝AD＝BD，∠A＝∠DCF＝45°
CD⊥AB　又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF(SAS)
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF
∴∠EDF＝90°
又∵点O是EF的中点，GO＝OD
(1)证明：
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB中点
∴CD＝AD＝BD，∠A＝∠DCF＝45°
CD⊥AB　又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF(SAS)
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF
∴∠EDF＝90°
又∵点O是EF的中点，GO＝OD
∴四边形EDFG是平行四边形
∴四边形EDFG是正方形
(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并
求四边形EDFG面积的最小值.
∴四边形EDFG是平行四边形
∴四边形EDFG是正方形
(2)要使四边形EDFG的面积最小，
即DE最小，此时，DE⊥AC
由(1)已证：CD＝AD.
∴AE＝CE，DE＝ AC＝ ×4＝2
∴S四边形EDFG＝DE2＝22＝4
∴当点E在AC的中点时，四边形EDFG的
面积最小，最小值为4.
(2)要使四边形EDFG的面积最小，
即DE最小，此时，DE⊥AC
由(1)已证：CD＝AD.
∴AE＝CE，DE＝ AC＝ ×4＝2
∴S四边形EDFG＝DE2＝22＝4
∴当点E在AC的中点时，四边形EDFG的
面积最小，最小值为4.(共18张PPT)
第二十一章　四边形
第22课时　平行四边形(4)
知识点一：平行四边形的判定方法
平行四边形的判定方法：
(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平
行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
1. (1)如图，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行
四边形的是(　C　)；
A. AB＝CD，BC＝AD
B. ∠A＝∠C，∠B＝∠D
C. AB∥CD，BC＝AD
D. AB∥CD，AB＝CD
C
(2)如图，在四边形ABCD中，AO＝6，BO＝4，CO＝
6，DO＝4，求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵AO＝6，CO＝6
∴AO＝CO
∵BD＝4，DO＝4
∴BO＝DO
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵AO＝6，CO＝6
∴AO＝CO
∵BD＝4，DO＝4
∴BO＝DO
∴四边形ABCD是平行四边形.
知识点二：判定四边形是平行四边形的思路
判定四边形是平行四边形的思路：
(1)从边来考虑：
(2)从角来考虑：证明两组对角分别相等；
(3)从对角线来考虑：证明两条对角线互相平分.
2. 如图，在 ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，
AC与EF相交于点O，且AO＝CO.
(1)求证：△AOF≌△COE；
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边
形，
∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE(ASA)
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE(ASA)
(2)连接AE、CF，则四边形AECF (填“是”或
“不是”)平行四边形.
(2)解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：
由(1)得：△AOF≌△COE，
∴FO＝EO，又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形.
是　
(2)解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：
由(1)得：△AOF≌△COE，
∴FO＝EO，又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形.
3. 在四边形 ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成
为平行四边形，则在下列条件中，应增加条件(　B　).
A. AB＝CD B. AD＝BC
C. AC＝BD D. ∠B＋∠A＝180°
B
4. ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上
两点，并且AE＝CF. 求证：四边形BFDE是平行四边
形.
证明：在 ABCD中，有
OA＝OC，OB＝OD
又∵AE＝CF
∴OA－AE＝OC－CF，
即OE＝OF
∴四边形BFDE是平行四边形.
证明：在 ABCD中，有
OA＝OC，OB＝OD
又∵AE＝CF
∴OA－AE＝OC－CF，
即OE＝OF
∴四边形BFDE是平行四边形.
5. (1)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＋∠D
＝180°.
求证：四边形ABCD为平行四边形；
证明：∵∠C＋∠D＝180°∴AD∥BC
又∵AB∥CD∴四边形ABCD为平行四边形
证明：∵∠C＋∠D＝180°
∴AD∥BC
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD为平行四边形
(2)如图，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠C，
AD∥BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵AD∥BC∴∠A＋∠B＝180°
∵∠A＝∠C∴∠C＋∠B＝180°
∴AB∥CD又∵AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
证明：∵AD∥BC ∴∠A＋∠B＝180°
∵∠A＝∠C ∴∠C＋∠B＝180°
∴AB∥CD 又∵AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点
O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是
(　C　).
A. AB∥DC，AD∥BC
B. AB＝DC，AD＝BC
C. AB∥DC，AD＝BC
D. OA＝OC，OB＝OD
C
7. 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点
E，F分别为AO，OC的中点.连接DE，DF，BE，
BF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵点E，F分别是AO，CO的中点，
∴OE＝ AO，OF＝ CO.
∴OE＝OF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵点E，F分别是AO，CO的中点，
∴OE＝ AO，OF＝ CO.
∴OE＝OF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
8. 如图，等边三角形ABC的边长为a，点D、E、F分
别在BC、AC、AB上，P为△ABC内一点，且
PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，那么，PD＋PE＋PF
的值为一个定值.这个定值是多少？请你说明理由.
解：PD＋PE＋PF＝a，理由如下：
延长EP、FP分别交AB、BC于点G、H
∵△ABC是等边三角形
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
∵PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC
解：PD＋PE＋PF＝a，理由如下：
延长EP、FP分别交AB、BC于点G、H
∵△ABC是等边三角形
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
∵PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC
∴∠PFG＝∠A＝60°，∠PGF＝∠B＝60°
∠PDH＝∠B＝60°，∠PHD＝∠C＝60°
四边形PDBG和四边形PECH都是平行四边形
∴∠FPG＝60°，∠DPH＝60°，
PG＝BD，PE＝CH
∴△PFG和△PDH都是等边三角形
∴PF＝PG＝BD，PD＝DH
∴PD＋PE＋PF＝DH＋CH＋BD＝BC＝a
∴∠PFG＝∠A＝60°，∠PGF＝∠B＝60°
∠PDH＝∠B＝60°，∠PHD＝∠C＝60°
四边形PDBG和四边形PECH都是平行四边形
∴∠FPG＝60°，∠DPH＝60°，
PG＝BD，PE＝CH
∴△PFG和△PDH都是等边三角形
∴PF＝PG＝BD，PD＝DH
∴PD＋PE＋PF＝DH＋CH＋BD＝BC＝a(共19张PPT)
第二十一章　四边形
第26课时　特殊的平行四边形(2)
知识点：矩形的判定方法
(1)方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形(用定义
判定).
几何语言：如图①，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠BAD＝90°，
∴ ABCD是矩形.
(2)方法2：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：如图②，
∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形.
(3)方法3：有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：如图①，
∵∠BAD＝∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
1. (1)下列命题的逆命题中，是假命题的是(　C　).
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相平分的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是矩形
D. 有一个角是直角的四边形是矩形
C
(2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，FG∥CA，
EG∥BC. 求证：四边形EGFC是矩形；
证明：∵FG∥CA，EG∥BC
∴FG∥CE，EG∥CF
∴四边形EGFC是平行四边形
∵∠C＝90°
∴四边形EGFC是矩形.
证明：∵FG∥CA，EG∥BC
∴FG∥CE，EG∥CF
∴四边形EGFC是平行四边形
∵∠C＝90°
∴四边形EGFC是矩形.
(3)如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于
点O，且∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AC＝2CO、BD＝2BO∵∠1＝∠2
∴CO＝BO
∴AC＝BD
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AC＝2CO、BD＝2BO ∵∠1＝∠2
∴CO＝BO
∴AC＝BD
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形.
2. 求证：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝
90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°
∴∠A＋∠B＝180°，
∠B＋∠C＝180°
∴AD∥BC，AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵∠A＝90°
∴四边形ABCD是矩形
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°
∴∠A＋∠B＝180°，
∠B＋∠C＝180°
∴AD∥BC，AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵∠A＝90°
∴四边形ABCD是矩形
3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E、F分别
是△ABC三边上的中点.求证：四边形CEDF是矩形.
证明：∵点D、E、F分别是△ABC三边上的中点
∴DE、DF都是△ABC的中位线
∴DE∥BC，DF∥AC
即DE∥CF，DF∥CE
∴四边形CEDF是平行四边形
又∵∠C＝90°
∴四边形CEDF是矩形.
证明：∵点D、E、F分别是△ABC三边上的中点
∴DE、DF都是△ABC的中位线
∴DE∥BC，DF∥AC
即DE∥CF，DF∥CE
∴四边形CEDF是平行四边形
又∵∠C＝90°
∴四边形CEDF是矩形.
4. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3， BC＝6， 将
边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE交BC于点F，
连接AC、BE.
(1)求证：四边形ABEC是平行四边形；
(1)证明：在 ABCD中，有
AB∥DC，AB＝DC
∴AB∥CE∵CE＝DC
∴AB＝CE
∴四边形ABEC是平行四边形；
(1)证明：在 ABCD中，有
AB∥DC，AB＝DC
∴AB∥CE ∵CE＝DC
∴AB＝CE
∴四边形ABEC是平行四边形；
(2)若AE＝AD，求四边形ABEC的周长.
(2)解：在 ABCD中，有AD＝BC
∵AE＝AD ∴AE＝BC
由(1)知四边形ABEC是平行四边形
∴四边形ABEC是矩形
∴∠BAC＝90°
∵AB＝3，BC＝6
∴AC＝ ＝3
∴四边形ABEC的周长为：(3＋3 )×2＝6＋6 .
5. 求证：两条对角线相等的平行四边形是矩形.
解：已知：如图，在 ABCD中，AC＝BD，
求证： ABCD是矩形
解：已知：如图，在 ABCD中，AC＝BD，
求证： ABCD是矩形
证明：在 ABCD中，有
AB＝DC，∠BAD＋∠CDA＝180°
又∵AC＝BD，AD＝DA
∴△ABD≌△DCA(SSS)
∴∠BAD＝∠CDA
∴∠BAD＝90°，
∴ ABCD是矩形.
6. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已
知O是AC的中点，EO＝FO，DF∥BE.
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(1)证明：∵DF∥BE∴∠DFO＝∠BEO
在△BOE和△DOF中
∴△BOE≌△DOF(ASA)；
(1)证明：∵DF∥BE ∴∠DFO＝∠BEO
在△BOE和△DOF中
∴△BOE≌△DOF(ASA)；
(2)当AC＝2OD时，证明四边形ABCD是矩形.
(2)由(1)可知△BOE≌△DOF，
∴OD＝OB　又∵O是AC中点，
∴OA＝OC∴四边形ABCD是平行四边形
∵AC＝2OD，BD＝2OD
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形.
(2)由(1)可知△BOE≌△DOF，
∴OD＝OB　又∵O是AC中点，
∴OA＝OC ∴四边形ABCD是平行四边形
∵AC＝2OD，BD＝2OD
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形.
7. 如图所示，P是 ABCD外一点，且AP⊥PC，
BP⊥DP. 求证：四边形ABCD是矩形.
证明：连接AC、BD交于点O，连接PO.
在 ABCD中，有OA＝OC，OB＝OD
∵AP⊥PC，BP⊥DP
∴AC＝2PO，BD＝2PO
∴AC＝BD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形(共22张PPT)
第二十一章　四边形
第29课时　特殊的平行四边形(5)
知识点一：正方形的定义
(1)一组邻边相等的矩形叫做正方形.
(2)如图，在矩形ABCD中，若AB＝AD，那么矩形
ABCD就是正方形.
(3)由定义可知正方形必须满足两个条件：
①它是矩形；
②它是一组邻边相等.
1. 根据正方形的定义可知，当AB＝ 时，
矩形ABCD是正方形.
AD(或BC)　
知识点二：正方形的性质
性质1：正方形的四条边都相等，四个角都是直角.
几何语言：如图①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
性质2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，
每条对角线平分一组对角.
几何语言：如图②，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD.
∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6＝∠7＝∠8＝45°.
注：①正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的
矩形，还是特殊的菱形.因此，正方形是最特殊的四边形.
②正方形是轴对称图形，它一共有4条对称轴.
2. 已知正方形ABCD，
(1)若边长为2，则对角线为 ，
周长为 ，面积为 ；
(2)若对角线为2，则边长为 ，
周长为 ，面积为 ；
(3)若面积为2，边长为 ，
对角线为 ，周长为 ；
2 　
4　
4　
　
4 　
2　
　
2　
4 　
(4)若周长为4，则对角线长为 ，
面积为 ；
(5)图中共有 个等腰直角三角形.
　
1　
8　
知识点三：运用正方形的性质进行几何计算与证明
3. 如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点.求证：
AE＝CE.
证明：在正方形ABCD中，有
AB＝BC，∠ABD＝∠CBD
又∵BE＝BE
∴△ABE≌△CBE(SAS)
∴AE＝CE
证明：在正方形ABCD中，有
AB＝BC，∠ABD＝∠CBD
又∵BE＝BE
∴△ABE≌△CBE(SAS)
∴AE＝CE
4. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　D　).
A. 四个角都是直角 B. 对角线互相平分
C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直
D
5. 填空：
(1)若正方形的边长为4 cm，则它的周长为 cm，
面积为 cm2；
(2)若正方形的对角线长是2 cm，则它的边长为
，周长为 ，它的面积是 .
16　
16　
cm　
4 cm　
2 cm2　
6. 如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是
CB的延长线上一点，且EA⊥AF. 求证：DE＝BF.
证明：在正方形ABCD中，有
AD＝AB，
∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°
∴∠ABF＝90°＝∠D，
∠DAE＋∠BAE＝90°
∵EA⊥AF
∴∠BAF＋∠BAE＝90°
∴∠DAE＝∠BAF
∴△ADE≌△ABF(ASA)
∴DE＝BF
7. 四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，
DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.
(1)求证：DE＝AF；
(2)直接写出AF、BF、EF之间的数量关系：
.
AF－BF＝EF　
证明：在正方形ABCD中，有
AD＝AB，∠BAD＝90°
∴∠DAE＋∠BAF＝90°
∵DE⊥AG，BF⊥AG
∴∠AED＝∠BFA＝90°，
∠ABF＋∠BAF＝90°
∴∠DAE＝∠ABF
∴△ADE≌△BAF(AAS)，
∴DE＝AF
证明：在正方形ABCD中，有
AD＝AB，∠BAD＝90°
∴∠DAE＋∠BAF＝90°
∵DE⊥AG，BF⊥AG
∴∠AED＝∠BFA＝90°，
∠ABF＋∠BAF＝90°
∴∠DAE＝∠ABF
∴△ADE≌△BAF(AAS)，
∴DE＝AF
8. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是(　C　).
A. 四条边相等 B. 对角线互相平分
C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直
C
9. 填空：
(1)若正方形的周长为8 cm，则它的边长
为 cm， 面积为 cm2；
(2)若正方形的面积是12 cm2，则它的边长为
cm，周长为 　8 　cm；它的对角线长是 　2 　cm.
2 　
8　
2 　
8 　
2 　
10. 如图所示，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD
上，且∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF.
证明：延长CB至点G，
使得BG＝DF，连接AG
在正方形ABCD中，AB＝AD，
∠ABC＝∠BAD＝∠D＝∠ABG＝90°
∴△ABG≌△ADF(SAS)
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF.
∵∠EAF＝45°
∴∠DAF＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF＝45°
∴∠BAG＋∠BAE＝45°，即∠EAG＝45°
∴∠EAG＝∠EAF
又∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF(SAS)，∴EG＝EF
又∵EG＝BE＋BG＝BE＋DF，
∴EF＝BE＋DF
11. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上
的点，且AE＝BF.
(1)求证：CE＝DF；
证明：在正方形ABCD中，有
AB＝BC＝CD，
∠B＝∠BCD＝90°
∵AE＝BF
∴AB－AE＝BC－BF
即BE＝CF
∴△BCE≌△CDF(SAS)
∴CE＝DF.
(2)CE与DF的位置关系是 .
CE⊥DF　(共22张PPT)
第二十一章　四边形
第19课时　平行四边形(1)
知识点一：平行四边形的定义与表示
平行四边形的定义与表示
(1)定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
(2)表示：平行四边形用“ ”表示.
如图，平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平
行四边形ABCD”.
注：①平行四边形的定义既是判定也是性质.由定义知只
要四边形中有两组对边分别平行，那么这个四边形就是
平行四边形.由定义也知平行四边形的两组对边分别平行.
②在用“ ”表示平行四边形时，应把表示顶点的字母
按顺时针或逆时针的顺序依次排列.
③符号“ ”必须与表示顶点的字母同时使用，不能单
独使用.
1. 如图，AB∥EF∥CD，AD∥BC，则图中共有
个平行四边形.请将它们表示出来.
ABCD，
ABFE，
EFCD.
3　
ABCD，
ABFE，
EFCD.
知识点二：平行四边形的性质
　　由平行四边形的定义，我们知道平行四边形的两组
对边分别平行，通过对边平行又可得到邻角互补，除此
之外，平行四边形还具有如下性质：
(1)性质1：平行四边形的对边相等.
几何语言：如图.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC.
(2)性质2：平行四边形的对角相等.
几何语言：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D.
(3)性质3：平行四边形的对角线互相平分.
几何语言：如图3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝ AC，
OB＝OD＝ BD.
2. (1)如图①，在 ABCD中，AB＝6 cm，AD＝4 cm，
则BC＝ ，CD＝ ， ABCD的周长
为 ；
4 cm　
6 cm　
20 cm　
(2)如图①，在 ABCD中，已知∠A＝60°，那么
∠B＝ °，
∠C＝ °，
∠D＝ °；
120　
60　
120　
(3)如图②，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点
O，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AO＝ cm，BO
＝ cm.
5　
3　
知识点三：运用平行四边形的性质进行几何计算与证明
3. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD
上，且BE＝DF. 求证：AE＝CF.
证明：在 ABCD中，
有AB＝CD，AB∥CD
∴∠ABE＝∠CDF
又∵BE＝DF
∴△ABE≌△CDF(SAS)
∴AE＝CF
证明：在 ABCD中，
有AB＝CD，AB∥CD
∴∠ABE＝∠CDF
又∵BE＝DF
∴△ABE≌△CDF(SAS)
∴AE＝CF
4. 求证：平行四边形对角相等，对边相等.
解：已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，
求证：∠B＝∠D， AB＝CD.
证明：连接AC
连接AC ∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥CD
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
又∵AC＝CA
∴△ABC≌△CDA(ASA)
∴∠B＝∠D，AB＝CD
5. 求证：平行四边形对角线互相平分.
解：已知：如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于
点O，
求证：OA＝OC，OB＝OD.
证明：在 ABCD中，有AB＝CD，AB∥CD
∴∠ABO＝CDO，∠BAO＝∠DCO
∴△AOB≌△COD(ASA)
∴OA＝OC，OB＝OD
在 ABCD中，有AB＝CD，AB∥CD
∴∠ABO＝CDO，∠BAO＝∠DCO
∴△AOB≌△COD(ASA)
∴OA＝OC，OB＝OD
6. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是
AD，BC的中点，求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C.
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝ AD，CF＝ BC. ∴AE＝CF.
∴△ABE≌△CDF.
∴BE＝DF.
7. (1)如图①，四边形ABCD是平行四边形，AB＝3
cm， BC＝5 cm，∠B＝70°，则：
AD＝ cm，CD＝ cm，∠D＝ °，∠A
＝ °，∠C＝ °；
(2)平行四边形的两邻边之比为2∶3，周长为30 cm，则此
平行四边形两邻边的长分别为 ；
5　
3　
70　
110　
110　
6 cm、9 cm　
(3)如图②，在 ABCD中，∠A∶∠D＝1∶2，
则∠B＝ °，∠C＝ °，
120　
60　
8. (1)如图①，点O是 ABCD的对角线的交点，AC＝
28 cm，BD＝18 cm，AD＝16 cm，那么△OBC的周长
等于 cm；
(2)如图②，在 ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10
cm，BD＝6 cm，则AD的长为 .
39　
4 cm　
9. 如图，在 ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线BE
与CE相交于点E，且点E恰好落在AD上.若AB＝2，求
ABCD的周长.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD＝AB＝2.
∴∠EBC＝∠AEB. ∵BE 平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABE. ∴∠AEB＝∠ABE.
∴AB＝AE. 同理可证 DE＝DC，
∴DE＋AE＝AD＝4.
∴C ABCD＝2×(4＋2)＝12.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD＝AB＝2.
∴∠EBC＝∠AEB. ∵BE 平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABE. ∴∠AEB＝∠ABE.
∴AB＝AE. 同理可证 DE＝DC，
∴DE＋AE＝AD＝4.
∴C ABCD＝2×(4＋2)＝12.(共19张PPT)
第二十一章　四边形
第23课时　平行四边形(5)
知识点一：三角形的中位线的定义
(1)定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中
位线.
(2)三角形的中位线与中线的区别：线段的端点不同：①
中位线是中点与中点的连线，
②中线是顶点与对边中点的连线.
1. 已知点D是AB的中点，点E是AC的中点，
则 是△ABC的中位线.
DE　
知识点二：三角形中位线定理
(1)定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且
等于第三边的一半.
(2)几何语言表示：如图，
∵D、E分别是△ABC的AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC，DE＝ BC.
注：①三角形中位线定理的特点：在同一个题设下，有
两个结论.一个结论表明位置关系，另一个结论表明数量
关系.
②三角形中位线定理的作用：在已知两边中点的条件
下，证明线段的平行关系及线段的倍分关系.
2. (1)如图，若E、F分别是AB、AC的中点，BC＝6
cm，∠B＝50°，则
①EF＝ cm；
②∠AEF＝ °；
3　
50　
(2)如图，DE是△ABC的中位线，若DE＝6，则BC
＝ .
12　
知识点三：利用三角形中位线定理进行几何计算与证明
(1)证明线段平行；
(2)证明线段的倍分关系；
(3)三角形的中位线及第三边，知其一，可求其二.
3. 如图，为了测量一口池塘的长度AB，在池塘外取点
C，再取AC和BC的中点E、F，量得EF＝18 m，求
AB的长.
解：∵点E、F分别是AC、BC的中点
∴EF是△ABC的中位线∴EF＝ AB
又∵EF＝18m
∴AB＝2EF＝36m
解：∵点E、F分别是AC、BC的中点
∴EF是△ABC的中位线
∴EF＝ AB
又∵EF＝18m
∴AB＝2EF＝36m
4. 求证：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三
边的一半.
已知：如图， D、E分别是AB、AC的中点，
求证：(1)DE∥BC；(2)DE＝ .
(提示：延长DE到F，使EF＝DE，连接CF，先证四边
形BCFD为平行四边形)
证明：延长DE到F，
使EF＝DE，连接CF.
∵D、E分别是AB、AC的中点
∴AD＝BD，AE＝CE
∵EF＝DE，∠AED＝∠CEF
∴△ADE≌△CEF(SAS)
∴AD＝CF，∠A＝∠ECF
延长DE到F，
使EF＝DE，连接CF.
∵D、E分别是AB、AC的中点
∴AD＝BD，AE＝CE
∵EF＝DE，∠AED＝∠CEF
∴△ADE≌△CEF(SAS)
∴AD＝CF，∠A＝∠ECF
∴BD＝CF，AB∥CF，即BD∥CF
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DF∥BC，即DE∥BC，DF＝BC
∵EF＝DE，
∴DE＝ ＝
∴BD＝CF，AB∥CF，即BD∥CF
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DF∥BC，即DE∥BC，DF＝BC
∵EF＝DE，
∴DE＝ ＝
5. 如图，点D、E、F分别是AB、AC、BC边上的中
点.请判断四边形CEDF的形状？并说明理由.
解：四边形CEDF是平行四边形，
理由如下：
∵点D、E、F分别是AB、AC、BC边上的中点
∴DE、DF都是△ABC的中位线
∴DE∥BC，DF∥AC
即DE∥FC，DF∥EC
∴四边形CEDF是平行四边形.
解：四边形CEDF是平行四边形，
理由如下：
∵点D、E、F分别是AB、AC、BC边上的中点
∴DE、DF都是△ABC的中位线
∴DE∥BC，DF∥AC
即DE∥FC，DF∥EC
∴四边形CEDF是平行四边形.
6. 填空：
(1)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC中点，
①若BC＝6，则DE＝ ；
②若∠C＝45°，则∠AED＝ °；
3　
45　
(2)如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、
CA的中点.若AB＝6，AC＝10，BC＝12，则△DEF的
周长为 .图中有 个平行四边形.
14　
3　
7. 如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、
BC、CD、DA的中点.请判断四边形EFGH的形状？并
说明理由.
解：四边形EFGH是平行四边形，
理由如下：
连接AC，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
∴EF、GH分别是△ABC、
解：四边形EFGH是平行四边形，理由如下：
连接AC，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
∴EF、GH分别是△ABC、
△ACD的中位线
∴EF AC，GH AC
∴EF GH
∴四边形EFGH是平行四边形.
△ACD的中位线
∴EF AC，GH AC
∴EF GH
∴四边形EFGH是平行四边形.(共19张PPT)
第二十一章　四边形
第32课时　特殊的平行四边形(8)
知识点一：中点四边形的概念
顺次连接四边形各边中点所得到的四边形叫中点四边形.
如图，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的
中点，则四边形EFGH为四边形ABCD的中点四边形.
1. 已知：如图，顺次连接四边形ABCD的各边中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：连接AC
∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
∴EF、GH分别是△ABC、△ADC的中位线
∴EF AC，GG AC∴EF GH
∴四边形EFGH是平行四边形.
证明：连接AC
∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
∴EF、GH分别是△ABC、△ADC的中位线
∴EF AC，GG AC∴EF GH
∴四边形EFGH是平行四边形.
知识点二：特殊四边形的中点四边形的特征
(1)任意四边形的中点四边形是平行四边形；
(2)矩形的中点四边形是菱形；
(3)菱形的中点四边形是矩形；
(4)正方形的中点四边形是正方形；
(5)对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；
(6)对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；
(7)对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正
方形.
2. (1)如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD各边
的中点，则四边形EFGH是(　C　)；
A. 菱形
B. 矩形
C. 正方形
D. 无法判定其形状
C
(2)如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，点E、F、
G、H分别是各边的中点.四边形EFGH是什么特殊的四
边形？请说明理由.
解：四边形EFGH是菱形，理由如下
∵点E、F、G、H分别是各边的中点
∴EF、FG、GH、HE分别是
△ABC、△CBD、△DAC、△ABD的中位线
∴EF＝ AC，FG＝ BD，GH＝ AC，HE＝ BD
又∵AC＝BD
∴EF＝FG＝GH＝HE
∴四边形EFGH是菱形.
解：四边形EFGH是菱形，理由如下
∵点E、F、G、H分别是各边的中点
∴EF、FG、GH、HE分别是
△ABC、△CBD、△DAC、△ABD的中位线
∴EF＝ AC，FG＝ BD，GH＝ AC，HE＝ BD
又∵AC＝BD
∴EF＝FG＝GH＝HE
∴四边形EFGH是菱形.
3. 如图，点E、F、G、H分别是 ABCD各边中点.四
边形EFGH是什么特殊的四边形？请说明理由.
解：四边形EFGH是平行四边形，理由如下：
连接AC
∴EF AC，GH AC
∴EF GH
∴EF AC，GH AC
∴EF GH
∴四边形EFGH是平行四边形.
∴四边形EFGH是平行四边形.
4. 如图，点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边中点.
求证：四边形EFGH是矩形.
证明：连接AC、BD，则AC⊥BD
∵点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边中点
∴EF、FG、GH、HE分别是
△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的中位线
∴EF∥AC，FG∥BD，GH∥AC，HE∥BD
∴EF∥GH，FG∥HE
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD∴∠1＝90°
又∵AC∥HG∴∠2＝∠1＝90°
又∵FG∥BD∴∠3＝∠2＝90°
∴四边形EFGH是矩形
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD ∴∠1＝90°
又∵AC∥HG ∴∠2＝∠1＝90°
又∵FG∥BD ∴∠3＝∠2＝90°
∴四边形EFGH是矩形
5. 如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩
形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是
(　C　).
A. 互相平分 B. 相等
C. 互相垂直 D. 互相垂直平分
C
6. 如图，点E、F、G、H分别是矩形ABCD各边的中
点，求证：四边形EFGH是菱形.
证明：连接AC、BD，
∵点E、F、G、H分别是矩形ABCD各边中点
∴EF、FG、GH、HE分别是△ABC、
△BCD、△CDA、△DAB的中位线
∴EF＝ AC，FG＝ BD，GH＝ AC，HE＝ BD
又∵在矩形ABCD中，AC＝BD
∴EF＝FG＝GH＝HE
∴四边形EFGH是菱形
∴EF＝FG＝GH＝HE
∴四边形EFGH是菱形
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝
30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段
AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.
(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；
(1)证明：∵∠ACB＝90°，点E是AB中点
∴CE＝AE＝BE ∵∠CAB＝30°
∴∠ACE＝∠CAB＝30°，∠ABC＝60°
∴∠BEC＝∠ACE＋∠CAB＝60°
∵△ABD是等边三角形
∴∠BAD＝∠ABD＝60°
∴∠ABC＝∠BAD，∠BEC＝∠ABD
∴BC∥DF，BD∥CF
∴四边形BCFD是平行四边形.
(2)若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积.
(2)S BCFD＝BC AC＝3×3 ＝9
解：(2)S BCFD＝BC AC＝3×3 ＝9
8. 如图，四边形ABCD中，AC＝BD，AC⊥BD，E、
F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.则四边形
EFGH是(　C　).
A. 菱形
B. 矩形
C. 正方形
D. 无法判定其形状
C(共20张PPT)
第二十一章　四边形
第28课时　特殊的平行四边形(4)
知识点：菱形的判定方法
(1)方法1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形(用定义
判定).
几何语言：如图①，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴ ABCD是菱形.
(2)方法2 ：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言：如图②，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形.
(3)方法3：四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言：如图②，
∵AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形.
注：①用方法1和方法2判定一个四边形是菱形时，一定
要先说明其为平行四边形.
②在具体的题目中，需要根据题意选用合适的方法来判
定一个四边形是菱形.
1. (1)如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，
DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E.
求证：四边形OCED是菱形；
证明：∵DE∥AC，CE∥BD
∴DE∥OC，CE∥OD
∴四边形OCED是平行四边形
又∵在矩形ABCD中，有OC＝OD
∴四边形OCED是菱形
证明：∵DE∥AC，CE∥BD
∴DE∥OC，CE∥OD
∴四边形OCED是平行四边形
又∵在矩形ABCD中，有OC＝OD
∴四边形OCED是菱形
(2)如图， ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AB
＝10，OC＝8，OD＝6.求证： ABCD是菱形；
证明：在 ABCD中，CD＝AB＝10
∵OC2＝82＝64，OD2＝62＝36
∴CD2＝102＝100
∴OC2＋OD2＝CD2
∴△COD是直角三角形，
且∠COD＝90°
∴AC⊥BD
∴ ABCD是菱形.
证明：在 ABCD中，CD＝AB＝10
∵OC2＝82＝64，OD2＝62＝36
∴CD2＝102＝100
∴OC2＋OD2＝CD2
∴△COD是直角三角形，
且∠COD＝90°
∴AC⊥BD
∴ ABCD是菱形.
(3)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点
E、F分别是边AB、AD的中点，求证：四边形AEOF是
菱形.
证明：在菱形ABCD中，
有AB＝AD，
AC⊥BD于O.
又∵点E、F分别是AB、AD的中点
∴AE＝ AB，AF＝ AD
EO＝ AB，FO＝ AD
∴AE＝EO＝FO＝AF
∴四边形AEOF是菱形.
证明：在菱形ABCD中，
有AB＝AD，
AC⊥BD于O.
又∵点E、F分别是AB、AD的中点
∴AE＝ AB，AF＝ AD
EO＝ AB，FO＝ AD
∴AE＝EO＝FO＝AF
∴四边形AEOF是菱形.
2. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中
点，AE∥BC，CE∥AD.
(1)判断四边形ADCE 的形状，并说明理由；
解：(1)∵四边形ADCE是菱形，
理由如下：
AB∥BC，CE∥AD
∴四边形ADCE是平行四边形
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
D为BC的中点，∴AD＝CD＝ BC
∴四边形ADCE是菱形
解：(1)∵四边形ADCE是菱形，
理由如下：
AB∥BC，CE∥AD
∴四边形ADCE是平行四边形
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
D为BC的中点，∴AD＝CD＝ BC
∴四边形ADCE是菱形
(2)若AB＝8，AC＝6，求四边形ADCE 的面积.
解：(2)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
AB＝8，AC＝6
S△ABC＝ AB AC＝ ×8×6＝24
∵点D是BC的中点
∴S△ADC＝ S△ABC＝ ×24＝12
∵由(1)得四边形ADCE是菱形，
∴S四边形△ADCE＝2S△ADC＝24.
3. 如图，在△ABC中，AC＝BC，点E、F分别是
AC、BC的中点，
(1)尺规作图：作∠C的平分线交AB于点D，连接DE、
DF(保留作图痕迹，不写作法)
解：(1)如图所示，射线CD为所求；
解：(1)如图所示，射线CD为所求；
(2)求证：四边形CFDE是菱形.
解：(2)∵AC＝BC，CD是∠ACB的平分线，
∴CD⊥AB　在Rt△ACD中
∵点E是AC中点
∴DE＝CE＝ AC，
同理可得DF＝CF＝ BC
又∵AC＝BC，
∴CF＝DF＝CE＝DE，
∴四边形CFDE是菱形.
又∵AC＝BC，
∴CF＝DF＝CE＝DE，
∴四边形CFDE是菱形.
4. 如图，在 ABCD中， 对角线AC的垂直平分线分别
交AD、BC于点F、E，点O为垂足，连接AE、FC.
求证：四边形AECF是菱形.
证明：在 ABCD中，有AD∥BC
∴∠FAO＝∠ECO，
∠AFO＝∠CEO
∵EF垂直平分AC
∴OA＝OC，AF＝CF，AE＝CE
∴△AOF≌△COE(AAS)
∴AF＝CE
∴AF＝CF＝AE＝CE
∴四边形AECF是菱形.
5. 如图，AE∥BF， AC平分∠BAE，且交BF于点C.
(1)作∠ABF的平分线交AE于点D (尺规作图，保留痕
迹，不写作法)；
(1)解：如图所示，射线BD为所求；
(1)解：如图所示，射线BD为所求；
(2)根据(1)中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱
形.
(2)证明：∵AE∥BF，∴∠DAC＝∠ACB.
∵AC平分∠BAE，∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠ACB＝∠BAC，∴AB＝BC.
同理可证AB＝AD，∴AD＝BC.
又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形.(共22张PPT)
第二十一章　四边形
第27课时　特殊的平行四边形(3)
知识点一：菱形的定义
　　有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.如图，在
ABCD中，若AB＝AD，那么 ABCD就是菱形.
注；①菱形是特殊的平行四边形，对于它的定义要注意
满足两个条件：
?它是平行四边形；
?它是有一组邻边相等.
②菱形的定义可以用来判定一个四边形是不是菱形.
1. 根据菱形的定义，当AB＝ 时，平行四
边形ABCD是菱形.
AD(或BC)　
知识点二：菱形的性质
(1)菱形的四条边都相等；
(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分
一组对角.
注：①菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是
它的对称轴.
②菱形被它的两条对角线分成四个全等的直角三角形，
它们的底和高都分别是两条对角线的一半.利用三角形的
面积公式可推得，菱形的面积等于它的对角线之积的一
半.即：
如右图，S菱形ABCD＝ AC BD.
2. 在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
(1)若AB＝5 cm，则AB＝ ＝ ＝
＝ cm，周长为 cm；
(2)若∠BAD＝80°，则∠BAC＝ °，
∠ABD＝ °；
BC　
CD　
DA　
5　
20　
40　
50　
(3)若AC＝8 cm，BD＝6 cm，则AB＝ cm，菱形的
周长为 cm，面积为 cm2.
5　
20　
24　
知识点三：运用菱形的性质进行几何计算与证明
3. 如图，菱形ABCD的周长为40 cm，对角线AC、BD
相交于点O，AC＝16 cm.
(1)求对角线BD的长；
解：(1)在菱形ABCD中，有
AB＝BC＝CD＝DA＝ ×40＝10 cm
AO＝ AC＝ ×16＝8 cm
BD＝2BO，AC⊥BD
∴BO＝ ＝ ＝6(cm)
∴BD＝2BO＝12 cm
(2)求菱形的面积.
解：(2)S菱形ABCD＝ AC BD＝ ×16×12＝
96(cm2)
解：(2)S菱形ABCD＝ AC BD＝ ×16×12＝96(cm2)
4. 在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
(1)若AB＝8 cm，则AB＝BC＝ ＝
＝ cm，周长为 cm；
(2)若∠ABC＝50°，则∠BAD＝ °，
∠ABD＝ °，∠BAC＝ °；
(3)若AC＝10 cm，BD＝24 cm，则该菱形的面积
为 .周长为 ；
CD　
DA　
8　
32　
130　
25　
65　
120 cm2　
52 cm　
(4)若AB＝2cm，∠ABC＝60°，则该菱形的周长
为 cm，面积为 cm2.
8　
2 　
5. 如图，点E是菱形ABCD的对角线上一点，
求证：AE＝CE.
证明：在菱形ABCD中，有
AB＝BC，∠ABD＝∠CBD
又∵BE＝BE
∴△ABE≌△CBE(SAS)
∴AE＝CE
证明：在菱形ABCD中，有
AB＝BC，∠ABD＝∠CBD
又∵BE＝BE
∴△ABE≌△CBE(SAS)
∴AE＝CE
6. 如图，四边形ABCD是菱形，边长为4 cm，对角线
AC、BD交于O，∠BAD＝60°，
(1)求对角线AC、BD的长；
解：(1)在菱形ABCD中，有
BO＝ BD，AC＝2AO，
AB＝AD＝4，AC⊥BD
∵∠BAD＝60°
∴△ABD是等边三角形
∴BD＝AB＝AD＝4(cm)
∴BO＝ BD＝2
∴AO＝ ＝ ＝2
∴AC＝2AO＝4 (cm)
(2)求菱形的面积.
解：(2)S菱形ABCD＝ AC BD＝ ×4 ×4
＝8 (cm2)
解：(2)S菱形ABCD＝ AC BD＝ ×4 ×4
＝8 (cm2)
7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点
O，
(1)若AB＝10 cm，则AB＝BC＝ ＝
＝ cm，周长为 cm；
(2)若∠ABC＝70°，则∠BAD＝ °，∠ABD
＝ °，∠BAC＝ °；
CD　
DA　
10　
40　
110　
35　
55　
(3)若AC＝6 cm，BD＝8 cm，则该菱形的面积为
；
(4)图中直角三角形有 个.
24
cm2　
4　
8. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作
DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为
(　D　).
A.
B.
C. 4
D.
D
9. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，若EF＝
，BD＝4，求菱形ABCD的周长和面积.
解：∵E、F分别是AB、BC边上的中点
∴EF是△ABC的中位线
∴AC＝2EF＝2
在菱形ABCD中，有AC⊥BD，AO＝ AC＝
BO＝ BD＝ ×4＝2，AB＝BC＝CD＝AD
∴AB＝ ＝ ＝
∴C菱形ABCD＝4× ＝4
S菱形ABCD＝ AC BD＝ ×2 ×4＝4(共19张PPT)
第二十一章　四边形
第20课时　平行四边形(2)
知识点一：平行四边形的性质
(1)边：对边相等且平行；
(2)角：对角相等，邻角互补；
(3)对角线：对角线互相平分.
AB CD，AD BC　
1. ∵四边形ABCD是平行四边形
∴(边)
(角)

(对角线)
∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°，
∠A＋∠D＝180°，∠B＋∠C＝180°，∠D＋∠C＝
180°　
OA＝OC，OB＝OD　
知识点二：运用平行四边形的性质进行几何证明
(1)证明线段相等；
(2)证明线段平行；
(3)证明角相等；
(4)证明两线段互相平分.
2. 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
过点O任作一条直线分别交AD，BC于点E，F. 求证：
OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO.
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF.
∴OE＝OF.
知识点三：两条平行线之间的距离
(1)如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另
一条直线的距离都相等，两条平行线中，一条直线上
任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之
间的距离.
(2)两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
3. 如图，在梯形ABCD中，AB＝DC，AD∥BC. 求
证：∠B＝∠C.
证明：如图，在梯形ABCD中，
AD∥BC，过点A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，
垂足分别为E，F.
∵AE，DF的长都是平行线AD，BC之间的距离，
∴AE＝DF. 又∵AB＝DC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF.
∵AE，DF的长都是平行线AD，BC之间的距离，
∴AE＝DF. 又∵AB＝DC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF.
∴∠B＝∠C.
∴∠B＝∠C.
4. 如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边
形，求图中α的度数.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＋∠C＝180°，
∴∠α＝180°－(540°－70°－140°－180°)＝30°.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＋∠C＝180°，
∴∠α＝180°－(540°－70°－140°－180°)＝30°.
5. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点
O，E，F分别是OA，OC的中点，求证：BE＝DF.
证明：连接BF，DE，如图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE＝ OA，OF＝ OC.
∴OE＝OF.
∵∠DOF＝∠BOE，
∴△DOF≌△BOE.
∴BE＝DF.
∵∠DOF＝∠BOE，
∴△DOF≌△BOE.
∴BE＝DF.
6. 如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝8，
AC⊥BC，垂足为C，求AC、OB的长及 ABCD的面
积.
解：在 ABCD中，有
BC＝AD＝8，OC＝ AC
∵AC⊥BC，AB＝10
∴AC＝ ＝ ＝6
∴OC＝ AC＝3，
S ABCD＝BC AC＝8×6＝48
∴OB＝ ＝ ＝
7. 如图，点E是 ABCD的CD边的中点，AE、BC的延
长线交于点F，CF＝3，CE＝2，
求 ABCD的周长.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F， ∠D＝∠ECF.
又∵ED＝EC，∴△ADE≌△FCE(AAS).
∴AD＝CF＝3，DE＝CE＝2.
∴DC＝4.
∴平行四边形ABCD的周长为2(AD＋DC)＝14.
8. 如图， ABCD 的对角线AC、BD相交于点O. 已知
E、F分别是OA、OC的三等分点，其中AE＞OE， CF
＞OF. 求证： BF＝DE.
证明：在 ABCD中，有
AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO
∴∠DAE＝∠BCF
∵E、F分别是OA、OC的三等分点，
AE＞OE，CF＞OF
∴AE＝ AO，CF＝ CO
∴AE＝CF
∴△ADE≌△CBF(SAS)
∴BF＝DE.
9. 如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，
AC⊥AB，AB＝2，且AO∶BO＝2∶3.
(1)求AC的长；
解：(1)∵AC⊥AB， ∴∠BAO＝90°.
∵AO:BO＝2:3， ∴设AO＝2a，BO＝3a.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO＝4a.
在Rt△BAO中，由勾股定理，
得22＋(2a)2＝(3a)2，
解得a＝ ，
∴AC＝4a＝ .
(2)AD与BC之间的距离为 .
　(共26张PPT)
第二十一章　四边形
第16课时　四边形及多边形(1)
一、本章知识框图
二、课标要求
1. 了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外
角、对角线等概念，探索并掌握多边形内角和与外角和
公式.
2. 了解四边形的不稳定性.
3. 掌握平行四边形的有关性质.
4. 掌握四边形是平行四边形的条件.
5. 掌握矩形、菱形、正方形的有关性质.
6. 掌握矩形、菱形、正方形的条件.
7. 了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理
意义(如一根均匀木棒、一块均匀的矩形木板的重心).
8. 理解三角形中位线的概念，会画出任意三角形的中位
线，掌握三角形中位线的性质.
9. 掌握矩形、菱形、正方形的轴对称性及其相关性质.
10. 掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步
有据.
11. 掌握以下公理与定理，作为计算或证明的依据：
①平行四边形的对边平行且相等，对角相等，相邻的两
个角互补，对角线互相平分；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
⑤三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的
一半；
⑥对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑦矩形的四个角都是直角，对角线相等；
⑧直角三角形中斜边上的中线等于斜边一半；
⑨有三个角是直角的四边形是矩形；
⑩一个角是直角的平行四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
菱形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每一条对
角线平分一组对角；
四边都相等的四边形是菱形；
一组邻边相等的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线相等
且互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；
有一组邻边相等的矩形是正方形.
知识点一：四边形
　　在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次
相接组成的图形叫做四边形，组成四边形的各条线段叫
做四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫做四边形
的顶点.四边形用表示它的各个顶点的字母表示，如图所
示的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形
ABCD”.连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫做四
边形的对角线.
1. 如图所示的四边形可记作四边形 .
EFMN　
知识点二：四边形的内角和
　　四边形相邻两边组成的角叫做四边形的内角，简称
四边形的角；四边形的内角和等于360°.
2. 如图，已知四边形ABCD，则∠A＋∠B＋∠C＋
∠D＝ .
360°　
知识点三：四边形的外角和
　　四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫做
四边形的外角.在四边形的每个顶点处各取一个外角，这
些外角的和叫做四边形的外角和.四边形的外角和等于
360°.
3. 如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ .
360°　
知识点四：四边形的不稳定性
　　四边形不具有稳定性.
4. 下列图形中，具有稳定性的有(　C　).
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
知识点五：四边形的不稳定性的应用
　　利用四边形的不稳定性，如伸缩门、升降机等.
5. 如图，某工厂的电动大门的门栅是活动的，它应用了
四边形的 性质.
不稳定　
6. 求出图形中x的值：
x＝ .
7. 求出图形中x的值：
x＝ .
70　
100　
8. 下列图形具有稳定性的是 (　A　).
A
9. 要使下列木架稳定，在任意两个顶点之间钉上木棍，
各至少需要钉上多少根木棍？
解：图①1条
图②2条
图③3条
10. 求出图形中x的值：
x＝ .
30　
11. 一个四边形的一组对角互补，它的另一组对角有什
么关系？
解：∵另一组对角的和为360°－180°＝180°，
∴另一组对角互补.
解：∵另一组对角的和为360°－180°＝180°，
∴另一组对角互补.
12. 你认为下列图中，具有稳定性的是(　B　).
B
13. (1)四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，
至少要再钉上 根木条；
(2)五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少
要再钉上 根木条；
(3)六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少
要再钉上 根木条；
1　
2　
3　
(4)n边形不具有稳定性，要使n边形木架不变形，至少要
再钉上 根木条.(n≥4)
(n－3)　

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