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(共24张PPT)
第三部分　综合运用专题篇(能力提升)
专题34　几何操作(1)
1. 平移操作
如图，在△ABC中，AB＝AC. 将△ABC沿着BC方向
平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交
于点O. 求证：△OEC为等腰三角形.
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵△ABC平移得到△DEF，
∴AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，
∴∠ACB＝∠DEC，
∴OE＝OC，即△OEC为等腰三角形.
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵△ABC平移得到△DEF，
∴AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，
∴∠ACB＝∠DEC，
∴OE＝OC，即△OEC为等腰三角形.
2. 摆放操作
如图，剪两张对边平行的线条，随意交叉叠放在一起，
重合的部分构成了一个四边形.转动其中一张纸条，线段
AD和BC的长度有什么关系？为什么？
解：AD＝BC，理由如下：
∵AD∥BC，CD∥AB
∴四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC.
解：AD＝BC，理由如下：
∵AD∥BC，CD∥AB
∴四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC.
3. 折叠操作
如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F
处，AB＝6，BC＝10，求EC的长.
解：∵BC＝AD＝AF＝10，AB＝6.
∴BF＝8，∴CF＝2，设DE＝EF＝x，
则CE＝6－x，
在△CEF中，(6－x)2＋22＝x2，
∴x＝ ，∴CE＝6－ ＝ .
4. 如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD＝
30°，AD＝1.将△BCD沿射线BD方向平移到
△B′C′D′的位置，使B′为BD中点，连接AB′、C′D、
AD′、BC′，如图②.
(1)求证：四边形AB′C′D是菱形；
(1)证明：在矩形ABCD中，有AD＝BC，
AD∥BC，∠BAD＝90°，∴∠ADB＝∠CBD，
(1)证明：在矩形ABCD中，有AD＝BC，
AD∥BC，∠BAD＝90°，∴∠ADB＝∠CBD，
由平移性质可知：AD＝BC＝B′C′，
∠ADB＝∠CBD＝∠C′B′D′，
∴AD∥B′C′∴四边形AB′C′D是平行四边形
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，
∠ABD＝30°，B′是BD中点
∴AD＝ BD，AB′＝ BD，∴AD＝AB′
∴四边形AB′C′D是菱形.
(2)四边形ABC′D′的周长为 .
4 　
5. 如图，两张等宽的纸条叉叠放在一起，重合部分构成
的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？
解：四边形ABCD是菱形，理由如下：
过点D作DM⊥BC于M，DN⊥AB于N
由题意可知DM＝DN，
易证四边形ABCD是平行四边形.
可证△AND≌△CMD.
∴AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形.
6. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在BC
上，将矩形沿 AE折叠，使点B落在AC上的点F处，求
AE的长.
解：AB＝AF＝6，BC＝8，
∴AC＝10，CF＝4.
设BE＝EF＝x.则CE＝8－x，
在Rt△EFC中，x2＋42＝(8－x)2，
∴x＝3，∴AE＝ ＝3 .
解：AB＝AF＝6，BC＝8，
∴AC＝10，CF＝4.
设BE＝EF＝x.则CE＝8－x，
在Rt△EFC中，x2＋42＝(8－x)2，
∴x＝3，∴AE＝ ＝3 .
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC. 将△ABC沿着BC方
向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相
交于点O. 连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，
四边形AECD为矩形，并说明理由.
解：当E为BC的中点时，四边形AECD
是矩形，理由如下：
∵AB＝AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，BE＝EC，
∵△ABC平移得到△DEF，
∴BE∥AD，BE＝AD，
∴AD∥EC，AD＝EC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AE⊥BC，∴四边形AECD是矩形.
8. 如图，将矩形ABCD沿BD折叠，使点C落在点E处，
BE交AD于点F，连接AE.
(1)求证：BF＝DF；
解：(1)证：∠ADB＝∠CBD＝∠EBD即可；
解：(1)证：∠ADB＝∠CBD＝∠EBD即可；
(2)求证：AE∥BD；
解：(2)证明：∵BE＝BC＝AD，BF＝DF.
∴AF＝EF，
∴∠AEB＝∠EAF＝∠DBE，
∴AE∥BD；
解：(2)证明：∵BE＝BC＝AD，BF＝DF.
∴AF＝EF，
∴∠AEB＝∠EAF＝∠DBE，
∴AE∥BD；
(3)若AB＝4，BC＝8，求S△BFD.
解：(3)设DF＝BF＝x，则AF＝8－x，
在△ABF中，42＋(8－x)2＝x2，
∴x＝5，∴S△BFD＝ DF AB＝ ×5×4＝10.
解：(3)设DF＝BF＝x，则AF＝8－x，
在△ABF中，42＋(8－x)2＝x2，
∴x＝5，∴S△BFD＝ DF AB＝ ×5×4＝10.
9. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD
上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM，
MN、AB的延长线交于点Q，DM＝1，求ND的长.
解：易证∠DMA＝∠MAQ＝∠AMQ，
AN＝AD＝1，MQ＝AQ，
设NQ＝x，则AQ＝MQ＝1＋x，
在Rt△ANQ中，
得AQ2＝AN2＋NQ2，
∴(x＋1)2＝32＋x2，
解得x＝4，∴NQ＝4.
解：易证∠DMA＝∠MAQ＝∠AMQ，
AN＝AD＝1，MQ＝AQ，
设NQ＝x，则AQ＝MQ＝1＋x，
在Rt△ANQ中，
得AQ2＝AN2＋NQ2，
∴(x＋1)2＝32＋x2，
解得x＝4，∴NQ＝4.
10. 如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD＝
30°，AD＝1.将△BCD沿射线BD方向平移到
△B′C′D′的位置，使B′为BD中点，连接AB′、C′D、
AD′、BC′，如图②.四边形ABC′D′的周长为 .
4 　
11. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸
片沿 EF折叠，使点C与点A 重合.
(1)求证：AE＝AF；
解：(1)证∠AFE＝∠FEC＝∠AEF即可；
解：(1)证∠AFE＝∠FEC＝∠AEF即可；
(2)求S△AEF；
解：(2)设BE＝x，
则CE＝8－x＝AE，
在△ABE中，42＋x2＝(8－x)2，
∴x＝3，∴AE＝5＝AF，
∴S△AEF＝ AF AB＝ ×5×4＝10；
解：(2)设BE＝x，
则CE＝8－x＝AE，
在△ABE中，42＋x2＝(8－x)2，
∴x＝3，∴AE＝5＝AF，
∴S△AEF＝ AF AB＝ ×5×4＝10；
(3)求 EF 的长.
解：(3)过点是作FM⊥BC于点M，则BM＝AF＝5，
解：(3)过点是作FM⊥BC于点M，则BM＝AF＝5，
∴EM＝2，∴EF＝ ＝2 .
12. 如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线
MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于
点N，连接BM、DN.
(1)求证：四边形BMDN是菱形；
解：(1)证△MOD≌△NOB，
OM＝ON即可；
解：(1)证△MOD≌△NOB，
OM＝ON即可；
(2)若AB＝8，AD＝16，求MD的长.
解：(2)设BM＝DM＝x，
则AM＝16－x，
∴82＋(16－x)2＝x2，
∴x＝10，
∴MD＝10.
解：(2)设BM＝DM＝x，
则AM＝16－x，
∴82＋(16－x)2＝x2，
∴x＝10，
∴MD＝10.(共17张PPT)
第三部分　综合运用专题篇(能力提升)
专题38　经典几何模型——Rt△中的等积式
1. 如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，
AC＝4，BC＝3.
(1)求CD的长；
解：(1)在Rt△ABC中，AB＝ ＝5，
∵S△ABC＝ AC BC＝ AB CD
∴AC BC＝AB CD
∴CD＝
(2)求AD的长.
解：(2)在Rt△ACD中，由勾股定理得
AD＝ ＝ .
解：(2)在Rt△ACD中，由勾股定理得
AD＝ ＝ .
2. 如图，已知直线y＝－ x＋3分别与x、y轴交于点A
和B.
(1)求点A、B的坐标；
解：(1)令y＝0，有－ x＋3＝0，
解得x＝4，∴A(4，0)　令x＝0，
有y＝－ ×0＋3＝3∴B(0，3)
解：(1)令y＝0，有－ x＋3＝0，
解得x＝4，∴A(4，0)　令x＝0，
有y＝－ ×0＋3＝3∴B(0，3)
(2)求原点O到直线AB的距离.
解：(2)过点O作OD⊥AB于点D，
解：(2)过点O作OD⊥AB于点D，
则OD是原点O到直线AB的距离
由(1)知：A(4，0)，B(0，3) ∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝ ＝ ＝5
∵S△AOB＝ AB OD＝ OA OB，
∴ ×5OD＝ ×4×3，解得：OD＝
∴原点O到直线AB的距离为 .
3. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD
上，BE与CF交于点G. 若BC＝4，DE＝AF＝1，求
GF的长.
解：正方形ABCD中，∵BC＝4，
∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵AF＝DE＝1，∴DF＝CE＝3，∴BE＝CF＝5，
∴△BCE≌△CDF(SAS)，∴∠CBE＝∠DCF，
∵∠CBE＋∠CEB＝∠DCF＋∠CEB＝90°＝∠CGE，
∴ BE CG＝ BC EC ∴CG＝ ，
∴GF＝CF－CG＝5－ ＝ .
4. 在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E是BC的中
点，求点E到AC的距离.
解：过E点作EF⊥AC于F
由题意得AC＝2
AC EF＝ S矩形ABCD
∴ ×2 EF＝ ×2×4
∴EF＝
5. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC
＝4，点D为斜边BC上的一个动点，过D分别作
DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，连接MN，求线
段MN的最小值.
解：连接AD，如图所示：
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠AMD＝∠AND＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴四边形AMDN是矩形；
∴MN＝AD，
解：连接AD，如图所示：
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠AMD＝∠AND＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴四边形AMDN是矩形；
∴MN＝AD，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝5，
当AD⊥BC时，AD最短，此时
S△ABC＝ BC AD＝ AB AC，
∴AD＝ ＝ ，
∴线段MN的最小值为 .
当AD⊥BC时，AD最短，此时
S△ABC＝ BC AD＝ AB AC，
∴AD＝ ＝ ，
∴线段MN的最小值为 .
6. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在
AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，
GH⊥BF于H，求GH的长.
解：易证△ADF≌△BAE，易证AG⊥BE
由勾股定理易求AF＝BE＝ ，BF＝
由等积法易求AG＝
BG＝ ，∴GF＝
再由等积法求得GH＝ ＝
7. 矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P为AD上一动
点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，求PE＋PF的值.
解：连接PO. 由题意得AC＝10，AO＝DO＝5
由S△AOD＝S△APO＋S△DPO
得 ×6×8＝ ×5 PE＋ ×5 PF
∴PE＋PF＝
8. 如图，在长方形ABCD中，点E是AD的中点，将
△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于
点F，若BE＝6，EF＝4，求AD的长.
解：易证△EGF≌△EDF，
易知∠BEF＝90°
∴EF BE＝EG BF，BF＝2
∴EG＝
∴AD＝2EG＝ .
解：易证△EGF≌△EDF，
易知∠BEF＝90°
∴EF BE＝EG BF，BF＝2
∴EG＝
∴AD＝2EG＝ .(共15张PPT)
第三部分　综合运用专题篇(能力提升)
专题36　一次函数与定点定直线
1. 直线过定点
(1)直线y＝kx一定经过点 ；若一次函数的图象
经过原点，那么该一次函数的解析式可设为
；
(0，0)　
y＝
kx　
(2)直线y＝kx＋1一定经过点 ；若一次函数的
图象经过点(0，1)，那么该一次函数的解析式可设为
.
(3)直线y＝kx－2一定经过点 ；若一次函数
的图象经过点(0，－2)，那么该一次函数的解析式可设
为 .
(0，1)　
y
＝kx＋1　
(0，－2)　
y＝kx－2　
2. 利用含参数的坐标判断它在定直线上.
(1)点(a，a)一定在直线 上；
(2)点(a，－a)一定在直线 上；
(3)点(a，a＋2)一定在直线 上；
y＝x　
y＝－x　
y＝x＋2　
(4)点(a，2)一定在直线 上；
(5)点(a，0)一定在 上；
(6)点(0，a)一定在 上.
y＝2　
x轴　
y轴　
3. (1)直线y＝kx－2k＋3一定经过点 ；
若一次函数的图象经过点(2，3)，该一次函数的解析式可
设为 ；
(2)直线y＝kx＋3k－4一定经过点 ；若一
次函数的图象经过点(－3，－4)，该一次函数的解析式可
设为 ；
(2，3)　
y＝kx－2k＋3　
(－3，－4)　
y＝kx＋3k－4　
(3)直线y＝kx＋k一定经过点 ；
若一次函数的图象经过点(－1，0)，该一次函数的解析式
可设为
(－1，0)　
y＝kx＋k　
4. (1)点P(a，－3)一定在直线 上；
(2)点P(a，a－2)一定在直线 上；
(3)点P(a＋1，2a－3)一定在直线 上；
(4)点P 一定在直线 　y＝ x＋3　上.
y＝－3　
y＝x－2　
y＝2x－5　
y＝ x＋3　
5. 已知一次函数y＝kx－k＋2.
(1)其图象过定点 ；
(2)直线y＝kx－k＋2和直线y＝2x的交点是
；
(3)若0＜k＜2，不等式kx－k＋2≤2x的解集
是 ；
(4)当x＝2时，y＜0，则k的取值范围是
(1，2)　
(1，2)　
x≥1　
k＜－2　
(5)已知点A(2，3)，B(5，－2)，若该一次函数的图象与
线段AB有交点，则k的取值范围是
.
－1＜k＜1且k≠0　
6. 如图，A(4，0)，B(0，4)，点P在AB上运动，
△OPQ为等腰直角三角形，∠OPQ＝90°.求证：点Q
在某一确定的直线上.
证明：lAB∶y＝－x＋4，
设P(a，－a＋4)，
构造K型全等可得Q(4，－2a＋4)，
∴点Q在直线x＝4上.
证明：lAB∶y＝－x＋4，
设P(a，－a＋4)，
构造K型全等可得Q(4，－2a＋4)，
∴点Q在直线x＝4上.
7. 过P(0，－3)的直线与两坐标轴围成的三角形面积为
6，求该直线的解析式.
解：设直线的解析式为y＝kx－3，
直线与x轴交于点Q. 则 PO QO＝6
∴QO＝4 ∴Q点坐标为(4，0)或(－4，0)
∴4k－3＝0或－4k－3＝0
∴k＝ 或k＝－
∴y＝ x－3或y＝－ x－3.
8. 如图，直线y＝2x＋4交x轴于点A，交y轴于点B，
C(1，0)，P为直线AB上一点，将线段PC绕点C顺时针
旋转90°得CQ.
(1)若点P的横坐标为－1，则点Q的坐标为
；
(2)若点P的横坐标为m，用含m的式子表示点Q的坐标
为 ；
(3，2)　
(2m＋5，1－m)　
(3)当点P在直线AB上运动时，点Q总在直线l上运动，
求直线l的解析式.
解：(3)∵Q(2m＋5，1－m)，
∴设x＝2m＋5，y＝1－m，
则m＝ ，∴y＝1－
＝－ x＋ ，
∴点Q总在定直线l∶y＝－ x＋ 上运动.
解：(3)∵Q(2m＋5，1－m)，
∴设x＝2m＋5，y＝1－m，
则m＝ ，
∴y＝1－ ＝－ x＋ ，
∴点Q总在定直线l∶y＝－ x＋ 上运动.(共19张PPT)
第三部分　综合运用专题篇(能力提升)
专题39　经典几何模型——三角形的中位线
模型条件：如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC
的中点
模型结论：DE∥BC，DE＝ BC
1. (1)如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中
点，若BC＝6，∠A＝60°，∠B＝50°，则DE的长
为 ，∠AED的度数是 .
(2)如图，在△MBN中，BM＝6，BN＝7，MN＝10，
点A、C、D分别是MB、NB、MN的中点，则四边形
ABCD的周长是 ；若∠M＝40°，∠N＝30°，
则∠ADC＝ .
3　
70°　
13　
110°　
2. 如图，点D、E、F、G分别是AB、OB、OC、AC
的中点，求证：四边形DEFG是平行四边形.
证明：连接BC，证DG BC，EF BC，
∴DG EF，
∴四边形DEFG是平行四边形.
3. 如图， ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，
且DE＝CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为
N，求证：MN BC.
证明：连接EF，∵DE CF，∴AE BF，
∴四边形DEFC和四边形ABFE都是平行四边形，
∴BM＝EM，CN＝EN，
∴MN是△EBC的中位线
∴MN BC.
∴四边形DEFC和四边形ABFE都是平行四边形，
∴BM＝EM，CN＝EN，
∴MN是△EBC的中位线
∴MN BC.
4. 如图，D是△ABC内的一点，BD⊥CD，AD＝7，
BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD，
CD、AC的中点，求四边形EFGH的周长.
解：∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
∴EH＝FG＝ BC＝ ＝ ，
EF＝GH＝ AD，
∴四边形EFGH的周长＝EH＋GH＋FG＋EF
＝AD＋BC＝7＋5＝12，
∴四边形EFGH的周长为12.
5. 如图，在△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形
ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、N.
求证：MQ＝QN.
证明：连接CE、BG交于点O
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形
∴AB＝AE，AG＝AC，
∠EAB＝∠GAC＝90°
∴∠EAB＋∠BAC＝∠GAC＋∠BAC
证明：连接CE、BG交于点O
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形
∴AB＝AE，AG＝AC，
∠EAB＝∠GAC＝90°
∴∠EAB＋∠BAC＝∠GAC＋∠BAC
即∠EAC＝∠GAB
∴△AEC≌△ABG，
∴CE＝BG
∵点M、Q、N分别是BE、BC、CG的中点
∴MQ、QN分别是△BCE、△CBG的中位线
∴MQ＝ CE，QN＝ BG，
∴MQ＝QN
即∠EAC＝∠GAB
∴△AEC≌△ABG，
∴CE＝BG
∵点M、Q、N分别是BE、BC、CG的中点
∴MQ、QN分别是△BCE、△CBG的中位线
∴MQ＝ CE，QN＝ BG，
∴MQ＝QN
6. 如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为
边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、
N分别是DC、DF的中点，连接MN. 若AB＝7，BE＝
5，求MN的长.
解：连接CF， 正方形ABCD和正方形BEFG中，
AB＝7，BE＝5，∴GF＝GB＝5，BC＝7，
∠G＝90°∴GC＝GB＋BC＝5＋7＝12，
∴CF＝ ＝ ＝13.
∵M、N分别是DC、DF的中点，
∴MN是△DFC的中位线
解：连接CF， 正方形ABCD和正方形BEFG中，
AB＝7，BE＝5，∴GF＝GB＝5，BC＝7，
∠G＝90°∴GC＝GB＋BC＝5＋7＝12，
∴CF＝ ＝ ＝13.
∵M、N分别是DC、DF的中点，
∴MN是△DFC的中位线
∴MN＝ CE＝ .
7. 如图，分别以△ABC的边AB、AC同时向外作等腰直
角三角形，其中AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD
＝90°.
(1)连接BD、CE，判断BD与CE的数量与位置关系；
解：(1)BD＝CE，BD⊥CE，
证△BAD≌△EAC(SAS)；
解：(1)BD＝CE，BD⊥CE，
证△BAD≌△EAC(SAS)；
(2)点G为BC的中点，点F为BE的中点，点H为CD的中
点.探究GF与GH的数量关系及位置关系，并说明理由.
解：(2)GF＝GH且GF⊥GH.
连接BD、CE，则FG、GH分别
为△BCE和△BCD的中位线：
解：(2)GF＝GH且GF⊥GH.
连接BD、CE，则FG、GH分别
为△BCE和△BCD的中位线：
∴FG∥CE且FG＝ CE，
GH∥BD且GH＝ BD，
由(1)已证：BD＝CE且BD⊥CE，
∴GF＝GH且GF⊥GH.
8. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为
AB、CD的中点，求证：EF＝ (AD＋BC).
证明：连接AF并延长交BC的延长线于G，
∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠G，∠D＝∠FCG.
又∵C是CD的中点，
∴DF＝CF，∴△ADF≌△GCF
∴AD＝CG，AF＝GF
又∵E为AB的中点
证明：连接AF并延长交BC的延长线于G，
∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠G，∠D＝∠FCG.
又∵C是CD的中点，
∴DF＝CF，∴△ADF≌△GCF
∴AD＝CG，AF＝GF
又∵E为AB的中点
∴EF是△ABG的中位线，
∴EF＝ BG＝ (BC＋CG)＝ (AD＋BC)(共21张PPT)
第三部分　综合运用专题篇(能力提升)
专题41　经典几何模型——a＝12b
1. 等腰三角形的“三线合一”
已知△ABC中，AB＝AC.
(1)若AD⊥BC，则BD＝ ；
(2)若AD平分∠BAC，则BD＝ .
BC　
BC　
2. 三角形的中位线
在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，则
DE＝ BC.
　
3. 在Rt△中，斜边上的中线等于斜边的一半，30°角所
对的直角边等于斜边的一半
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)若D是AB的中点，则CD＝ AB；
(2)若∠A＝30°，则BC＝ AB.
　
　
4. 平行四边形的对角线
在 ABCD中，AC、BD交于O点，则AO＝
AC，BO＝ BD.
　
　
5. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝
90°，连接BD，DB＝DC. 求证：AD＝ BC.
证明：过点D作DM⊥BC于点M，
易证矩形ABMD，∴AD＝BM
∵DB＝DC，∴BM＝ BC，
∴AD＝ BC.
证明：过点D作DM⊥BC于点M，
易证矩形ABMD，∴AD＝BM
∵DB＝DC，∴BM＝ BC，
∴AD＝ BC.
6. 如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点
E，点F是BC的中点.BE的延长线交AC于点D，求
证：EF＝ CD.
证明：∵AE⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE＋∠ABE＝90°，
∠DAE＋∠ADE＝90°，
∵∠BAE＝∠DAE，∴∠ABE＝∠ADE，
∴AB＝AD，∵AE⊥BD，∴BE＝DE，
∵BF＝FC，∴EF＝ CD.
证明：∵AE⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE＋∠ABE＝90°，
∠DAE＋∠ADE＝90°，
∵∠BAE＝∠DAE，∴∠ABE＝∠ADE，
∴AB＝AD，∵AE⊥BD，∴BE＝DE，
∵BF＝FC，∴EF＝ CD.
7. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝
90°，E为CD的中点，∠BAE＝60°.求证：△ABE是
等边三角形.
证明：延长AE交BC的延长线于点N，
易证△ADE≌△NCE，∴AE＝NE.
∵∠ABC＝90°∴BE＝AE，
又∵∠BAE＝60°
∴△ABE是等边三角形.
证明：延长AE交BC的延长线于点N，
易证△ADE≌△NCE，∴AE＝NE.
∵∠ABC＝90°，∴BE＝AE，
又∵∠BAE＝60°
∴△ABE是等边三角形.
8. 如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点
E、F分别是线段AO、BO的中点，若AC＋BD＝24
cm，△OAB的周长是18 cm，则EF＝ cm.
3　
9. (1)如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、
BC、CA的中点，AH是边BC上的高.
求证：①四边形ADEF是平行四边形；
②∠DHF＝∠DEF；
证明：(1)略；
证明：(1)略；
(2)证∠DHA＝∠DAH，
∠AHF＝∠FAH，
∴∠DHF＝∠DAF＝∠DEF.
(2)证∠DHA＝∠DAH，
∠AHF＝∠FAH，
∴∠DHF＝∠DAF＝∠DEF.
(2)如图，在四边形ABED中，AD∥BE，∠B＝90°，
M 是BE上的一点，且AD＝2BM，F为DE的中点，连
接AE、MF. 求证：MF＝ AE.
证明：取AD的中点N，连接MN，
延长NF、ME交于点G.
易证四边形ABMN为矩形，
∴NM⊥BE，易证△NDF≌△GEF，
∴EG＝ND＝AN，NF＝FG.
证明：取AD的中点N，连接MN，
延长NF、ME交于点G.
易证四边形ABMN为矩形，
∴NM⊥BE，易证△NDF≌△GEF，
∴EG＝ND＝AN，NF＝FG.
又∵AN∥EG，
∴四边形ANGE为平行四边形，
∴AE∥NG，AE＝NG，
∴MF＝ NG＝ AE.
又∵AN∥EG，
∴四边形ANGE为平行四边形，
∴AE∥NG，AE＝NG，
∴MF＝ NG＝ AE.
10. 如图，点O为正方形ABCD的对角线的交点，AE平
分∠ABC交BC于E，交OB于点F.
求证：FO＝ CE(多种方法).
证法一：延长AF至M，使FM＝AF，
易证CM＝2OF，再只证CE＝CM即可.
证法一：延长AF至M，使FM＝AF，
易证CM＝2OF，再只证CE＝CM即可.
证法二：取CE的中点M，连OM，
故可先证BE＝BF，BO＝BM，再证EM＝OF即可.
备用图
证法二：取CE的中点M，连OM，
故可先证BE＝BF，BO＝BM，再证EM＝OF即可.
证法三：取AE的中点M，构造CE＝2OM，
再证OM＝OF即可.
备用图
证法四：过C作CM∥AE交OD于M，
易证OM＝OF，再只证CE＝FM即可，
故可先证BE＝BF，BC＝BM.
证法三：取AE的中点M，构造CE＝2OM，
再证OM＝OF即可.
证法四：过C作CM∥AE交OD于M，
易证OM＝OF，再只证CE＝FM即可，
故可先证BE＝BF，BC＝BM.
备用图
证法五：过F作FM⊥AB于M，
过E作EN⊥AC于N，则FO＝FM，EN＝EB，
易证BE＝BF，
∴CE＝ EN＝ EB＝ BF
＝ FM＝2FM＝2OF.
备用图
证法五：过F作FM⊥AB于M，
过E作EN⊥AC于N，则FO＝FM，EN＝EB，
易证BE＝BF，
∴CE＝ EN＝ EB＝ BF
＝ FM＝2FM＝2OF.(共14张PPT)
第三部分　综合运用专题篇(能力提升)
专题33　动点问题(与一次函数有关)
1. 已知：如图所示正方形ABCD的边长为6，P是BC边
上一动点，设BP＝x，则三角形APB的面积y与x的函数
解析式为 ，其自变量x的取值范围是
.
y＝3x　
0＜
x≤6　
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿
折线BCD从点B开始运动到点D，使运动的路程为x，
△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大
致是(　D　).
D
3. 如图，点P是菱形ABCD边上的动点，它从点A出发
沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积
为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为
(　A　).
A
4. 如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿
N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路
程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如
图②，则当x＝9时，点R应运动到(　D　).
A. M处
B. N处
C. P处
D. Q处
D
5. 如图，点A(1，3)，点B是x轴上的一个动点.
(1)求直线OA的解析式；
解：(1)设直线OA的解析式为y＝kx，
则1 k＝3，解得k＝3
∴直线OA的解析式为y＝3x
解：(1)设直线OA的解析式为y＝kx，
则1 k＝3，解得k＝3
∴直线OA的解析式为y＝3x
(2)若△AOB的面积为6，求直线AB的解析式.
解：(2)∵S△AOB＝6，∴ OB 3＝6解得OB＝
4，
∴B(4，0)或(－4，0)
设直线AB的解析式为y＝mx＋n，
则 ，解得
解：(2)∵S△AOB＝6，∴ OB 3＝6，解得OB＝4，
∴B(4，0)或(－4，0)
设直线AB的解析式为y＝mx＋n，
则 ，解得
或 ，解得
∴直线AB的解析式为y＝－x＋4或y＝ x＋ .
或 ，解得
∴直线AB的解析式为y＝－x＋4或y＝ x＋ .
6. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，
点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C. 设P点
经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大
致反映y与x函数关系的是(　C　).
C
7. 在坐轴右侧有一动点P(x，y)满足x＋y＝8.点C(6，
0)，若△POC的面积为6.求P点的坐标.
解：设P点坐标为(a，8－a)，
由题意得 OC ＝6
∴ ＝2，∴a＝6或10
∴P(6，2)或P(10，－2)为所求.
8. 如图，动点P以2 cm/s的速度沿图所示的边框从B—
C—D—E—F—A的路径运动，记△ABP的面积为
S(cm2)，S与运动时间t(s)的关系如图所示，若AB＝6
cm，请回答下列问题：
(1)图①中BC＝ cm，CD＝ cm，
DE＝ cm；
(2)图①中边框所围成图形的面积为 cm2；
解：(2)60.∵AB＝6，CD＝4，∴EF＝2.图形面积可看作
两个长方形面积之和：6×8＋6×2＝60(cm2)；
8　
4　
6　
60　
解：(2)60. ∵AB＝6，CD＝4，∴EF＝2. 图形面积可
看作两个长方形面积之和：6×8＋6×2＝60(cm2)；
(3)图②中m＝ ，n＝ ；
解：(3)24，17.∵△ABP的面积为24(cm2)，∴m＝24；
∵BC＋CD＋DE＋EF＋AF＝34，∴n＝34× ＝17；
24　
17　
解：(3)24，17. ∵△ABP的面积为24(cm2)，∴m＝24；
∵BC＋CD＋DE＋EF＋AF＝34，∴n＝34× ＝17；
(4)分别求出当点P在线段BC和DE上运动时S与t的关系
式，并写出t的取值范围.
解：(4)当点P在BC上运动时，0＜t≤4，
S＝ ×6×2t＝6t；
当点P在DE上运动时，6＜t≤9，
S＝ ×6×(2t－4)＝6t－12.
解：(4)当点P在BC上运动时，0＜t≤4，
S＝ ×6×2t＝6t；
当点P在DE上运动时，6＜t≤9，
S＝ ×6×(2t－4)＝6t－12.(共20张PPT)
第三部分　综合运用专题篇(能力提升)
专题44　经典几何模型——正方形中的十字型
模型的条件与结论：
　　如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC上
一点.
　　①若AE＝BF，则AF＝DE，AF⊥DE；
　　②若AF＝DE，则AF⊥DE，AE＝BF；
　　③若AF⊥DE，则AF＝DE，AE＝BF.
1. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD
上，BE与CF交于点G，若BC＝4，DE＝AF＝1，则
GF的长为 .
　
2. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD
上，BE、AF交于点O，且AE＝DF. 求证：
(1)BE＝AF；
(1)∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°
又∵AE＝DF，∴△EAB≌△FDA
∴BE＝AF
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°
又∵AE＝DF，∴△EAB≌△FDA
∴BE＝AF
(2)BE⊥AF.
证明：
(2)∵△EAB≌△FDA，
∴∠AEB＝∠DFA
又∵∠DAF＋∠DFA＝90°，
∴∠DAF＋∠AEB＝90°
∴∠AOE＝90°，∴BE⊥AF.
证明：
(2)∵△EAB≌△FDA，
∴∠AEB＝∠DFA
又∵∠DAF＋∠DFA＝90°，
∴∠DAF＋∠AEB＝90°
∴∠AOE＝90°，∴BE⊥AF.
3. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在
AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H
为BF的中点，连接GH，则GH的长为 .
　
4. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上
一点，EG⊥AF于点H，交CD于点G，
求证：BE＋BF＝CG.
证明：过B点作BM∥EG
又∵AB∥CD，
∴四边形BEGM是平行四边形，
∴BE＝GM∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABF＝∠BCM＝90°
又∵∠BAF＋∠AFB＝90°，
证明：过B点作BM∥EG
又∵AB∥CD，
∴四边形BEGM是平行四边形，
∴BE＝GM，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABF＝∠BCM＝90°
又∵∠BAF＋∠AFB＝90°，
∠MBC＋∠AFB＝90°
∴∠BAF＝∠MBC，
∴△ABF≌△BCM，
∴BF＝MC
∴BE＋BF＝GM＋MC＝CG.
∠MBC＋∠AFB＝90°
∴∠BAF＝∠MBC，
∴△ABF≌△BCM，
∴BF＝MC
∴BE＋BF＝GM＋MC＝CG.
5. (1)如图①，在正方形ABCD中，E、F、G分别是
CD、BC、AD上一点，BE⊥GF于点M，M是BE的中
点，求证：GF＝2CM.
(1)证明：过点A作AH⊥BE交BC于点H，
易证四边形AHFG是平行四边形，
△ABH≌△BCE，
∴AH＝BE＝GF. ∵BM＝EM，
∴BE＝2CM，∴GF＝2CM.
(1)证明：过点A作AH⊥BE交BC于点H，
易证四边形AHFG是平行四边形，
△ABH≌△BCE，
∴AH＝BE＝GF. ∵BM＝EM，
∴BE＝2CM，∴GF＝2CM.
(2)如图②，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的
中点，BG⊥AE于点G，求CG的长.
(2)过点C作CH⊥BG于点H，
(2)过点C作CH⊥BG于点H，
易证△ABG≌△BCH，
∴CH＝BG，AG＝BH，易求
BG＝ ＝ ，
∴AG＝ ＝ ＝BH，
∴GH＝BH－BG＝ ，
∴GH＝BG＝CH，
∴△CHG是等腰直角三角形，
易证△ABG≌△BCH，
∴CH＝BG，AG＝BH，易求
BG＝ ＝ ，
∴AG＝ ＝ ＝BH，
∴GH＝BH－BG＝ ，
∴GH＝BG＝CH，
∴△CHG是等腰直角三角形，∴CG＝ CH＝ × ＝ .
6. 已知E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的
点，AF、DE相交于点G，当E、F分别为边BC、CD
的中点时，有：①AF＝DE；②AF⊥DE成立.
试探究下列问题：
(1)如图①，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中
点，且CE＝DF，上述结论①、②是否仍然成立？(请直
接回答“成立”或“不成立”)，不需要证明)
解：(1)上述结论①、②仍然成立
解：(1)上述结论①、②仍然成立
(2)如图②，若点E、F分别在CB的延长线和DC的延长
线上，且CE＝DF，此时，上述结论①、②是否仍然
成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明
理由；
解：(2)上述结论①、②仍然成立，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形
∴AD＝DC＝CB，∠ADC＝∠DCB＝90°
∵CE＝DF，∴△ADF≌△ECD，
∴AF＝DE，∠DAF＝∠CDE
∵∠ADE＋∠CDE＝90°
∴∠ADE＋∠DAF＝90°，
∴∠AGD＝90°，∴AF⊥DE
解：(2)上述结论①、②仍然成立，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形
∴AD＝DC＝CB，∠ADC＝∠DCB＝90°
∵CE＝DF，∴△ADF≌△ECD，
∴AF＝DE，∠DAF＝∠CDE
∵∠ADE＋∠CDE＝90°
∴∠ADE＋∠DAF＝90°，
∴∠AGD＝90°，∴AF⊥DE
(3)如图③，在(2)的基础上，连接AE和EF，若点M、
N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请判断
四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，
并证明你的结论.
解：(3)四边形MNPQ是正方形，证明如下：
∵点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，
∴MQ、PN、MN、PQ分别是△ADE、△FDE、
△EAF、△DAF的中位线，
∴MQ∥DE且MQ＝ DE；PN∥DE且PN＝ DE；
MN∥AF且MN＝ AF；PQ∥AF且PQ＝ AF
∵AF＝DE，∴MN＝NP＝PQ＝QM
∴四边形MNPQ是菱形
解：(3)四边形MNPQ是正方形，证明如下：
∵点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，
∴MQ、PN、MN、PQ分别是△ADE、△FDE、
△EAF、△DAF的中位线，
∴MQ∥DE且MQ＝ DE；PN∥DE且PN＝ DE；
MN∥AF且MN＝ AF；PQ∥AF且PQ＝ AF
∵AF＝DE，∴MN＝NP＝PQ＝QM
∴四边形MNPQ是菱形
又∵AF⊥DE，∴∠MQP＝90°
∴四边形MNPQ是正方形.
又∵AF⊥DE，∴∠MQP＝90°
∴四边形MNPQ是正方形.(共18张PPT)
第三部分　综合运用专题篇(能力提升)
专题45　经典几何模型——含60°角的菱形
1. (1)菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则
S菱形ABCD＝ ；
8 　
(2)如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AE⊥BC于点
E，AF⊥CD于点F，若AB＝2，则S四边形AECF
＝ .
　
2. 已知菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E、F
分别为AB、AD上的点，且BE＝AF，求证：
(1)△ECF为等边三角形；
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∠BAD＝120°，
∴∠B＝∠BAC＝∠CAF＝60°，
∴AC＝BC，又∵BE＝AF，
∴△BEC≌△AFC，
∴FC＝EC，∠FCA＝∠ECB，
∴∠ECF＝∠ACB＝60°，
∴△ECF为等边三角形；
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∠BAD＝120°，
∴∠B＝∠BAC＝∠CAF＝60°，
∴AC＝BC，又∵BE＝AF，
∴△BEC≌△AFC，
∴FC＝EC，∠FCA＝∠ECB，
∴∠ECF＝∠ACB＝60°，
∴△ECF为等边三角形；
(2)∠AGE＝∠AFC.
证明：(2)∵∠AGE＝∠DAC＋∠AFG＝60°＋
∠AFC＝∠EFC＋∠AFG＝60°＋∠AFG，
∴∠AGE＝∠AFC.
证明：(2)∵∠AGE＝∠DAC＋∠AFG＝60°＋∠AFG，
∠AFC＝∠EFC＋∠AFG＝60°＋∠AFG，
∴∠AGE＝∠AFC.
3. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将
菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形
AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长
是 .
－1　
4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点
在原点O处，且∠AOC＝60°，A点的坐标是 ，
求直线AC的表达式.
解：延长BC交x轴于点D，则BD⊥OD，
∵A(0，4)，∴OA＝4
在菱形OABC中，有OC＝OA＝4
∵∠AOC＝60°，∴∠COD＝30°
解：延长BC交x轴于点D，则BD⊥OD，
∵A(0，4)，∴OA＝4
在菱形OABC中，有OC＝OA＝4
∵∠AOC＝60°，∴∠COD＝30°
∴CD＝ OC＝2
OD＝ ＝ ＝2
∴C(2 ，2)
设直线AC的表达式为y＝kx＋b，
依题意得 ，解得
∴CD＝ OC＝2
OD＝ ＝ ＝2
∴C(2 ，2)
设直线AC的表达式为y＝kx＋b，
依题意得 ，解得
∴直线AC的表达式为y＝－ x＋4.
5. 已知菱形ABCD中，∠B＝60°，E、F分别为射线
BC和CD上一点，∠EAF＝60°.
(1)如图①，若点E、F分别为BC、CD的中点，直接写
出BE、DF、AB之间的数量关系式；
解：(1)BE＋DF＝AB；
解：(1)BE＋DF＝AB；
(2)如图②，若点E、F分别为边BC、CD上任一点，探
究BE、DF、AB之间的数量关系式；
解：(2)连接AC，则△ABC为等边三角形，
证△AEC≌△AFD，∴CE＝DF，
∴BE＋DF＝BE＋CE＝BC＝AB；
解：(2)连接AC，则△ABC为等边三角形，
证△AEC≌△AFD，∴CE＝DF，
∴BE＋DF＝BE＋CE＝BC＝AB；
(3)如图③，若点E、F分别在BC、CD的延长线上，探
究BE、DF、AB之间的数量关系式.
解：(3)连接AC，证∠CAE＝∠DAF，
∵∠EAF＝∠ECF＝60°，
∴∠E＝∠F，
∴△ACE≌△ADF，
∴CE＝DF，
∴BE－DF＝BE－CE＝BC＝AB.
解：(3)连接AC，证∠CAE＝∠DAF，
∵∠EAF＝∠ECF＝60°，
∴∠E＝∠F，
∴△ACE≌△ADF，
∴CE＝DF，
∴BE－DF＝BE－CE＝BC＝AB.
6. 如图①，菱形ABCD中，∠A＝60°，O为BD的中
点.
(1)若点E在AD上，点F在AB的延长线上，且∠EOF＝
120°，求证：AE＋BF＝ AB；
证明：(1)过点O作OM∥AB交AD于点M，
证明：(1)过点O作OM∥AB交AD于点M，
易证：OM＝DM＝OD＝OB，
又∵∠MOB＝∠EOF＝120°
∴∠MOE＝∠BOF，
∵∠OME＝∠OBF＝120°
∴△OME≌△OBF，
∴EM＝BF，
∴AE＋BF＝AE＋EM＝AM＝ AB.
易证：OM＝DM＝OD＝OB，
又∵∠MOB＝∠EOF＝120°
∴∠MOE＝∠BOF，
∵∠OME＝∠OBF＝120°
∴△OME≌△OBF，
∴EM＝BF，
∴AE＋BF＝AE＋EM＝AM＝ AB.
(2)如图②，若E、F分别在DA、AB的延长线上，
∠EOF＝120°，试探究AE、BF、AB之间的数量关
系式.
证明：(2)过点O作OM∥AB交AD于点M，
易证△OME≌△OBF，∴EM＝BF，
∴BF－AE＝ME－AE＝AM＝ AB.
证明：(2)过点O作OM∥AB交AD于点M，
易证△OME≌△OBF，∴EM＝BF，
∴BF－AE＝ME－AE＝AM＝ AB.(共19张PPT)
第三部分　综合运用专题篇(能力提升)
专题37　类比探究
1. (1)如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上
任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F.
求证：DE＝BF＋EF；
证明：
证明：
(1)在正方形ABCD中，
有AB＝AD，∠BAD＝90°
∴∠BAF＋∠DAE＝90°
∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG
∴∠AFB＝∠DEA＝90°
∴∠ADE＋∠DAE＝90°
∴∠BAF＝∠ADE，∴△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE，BF＝AE
又∵AF＝AE＋EF，∴DE＝BF＋EF
(2)在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点
E、F是AP上的两点，连接DE、BF，使得∠AED＝
∠ABC，∠ABF＝∠BPF.
求证：DE＝BF＋EF.
证明：(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC，∴∠BPF＝∠DAE.
在△ABP和△DAE中，又∵∠ABC＝∠AED，
∴∠BAF＝∠ADE.
∵∠ABF＝∠BPF且∠BPF＝∠DAE，
∴∠ABF＝∠DAE，又∵AB＝DA，
∴△ABF≌△DAE(ASA)；
∴BF＝AE，AF＝DE，
∵AF＝AE＋EF，∴DE＝BF＋EF.
2. (1)如图①，正方形ABCD中，点E、F分别在边
BC、CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝
BE，连接EF、AG. 求证：EF＝FG；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝AD，∠B＝∠ADG＝90°
又∵DG＝BE，∴△ABE≌△ADG
∴∠BAE＝∠GAD，AE＝AG ∵∠EAF＝45°，
∠BAD＝90°∴∠BAE＋∠DAF＝45°
∴∠GAD＋∠DAF＝45°，即∠GAF＝45°
∴∠GAF＝∠EAF＝45° 又∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF＝FG.
(2)如图②，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，
AB＝AC，点M、N在边BC上，且∠MAN＝45°，若
BM＝1，CN＝3，求MN的长.
(2)解：如图②，过点A作AG⊥AM，
使AG＝AM，连接NG、CG，
则∠GAC＋∠CAM＝90° ∵∠BAC＝90°
∴∠BAM＋∠CAM＝90°
∴∠BAM＝∠GAC 又∵AB＝AC，
∴△BAM≌∠GAC ∴CG＝BM＝1，∠B＝∠ACG
∵∠MAN＝45°，AG⊥AM
∴∠GAN＝45°＝∠MAN
又∵AN＝AN，∴△MAN≌△GAN，∴MN＝NG
∵∠GCN＝∠BCA＋∠ACG＝∠BCA＋∠B＝90°
∴BC⊥CG
在Rt△GCN中，有NG＝ ＝
∴MN＝NG＝ .
3. 已知正方形 ABCD中，O为AC的中点，P为射线 AC
上一点，E为射线 BC上一点，且PD⊥PE.
(1)如图①，点P在线段AO上.
①求证：PD＝PE；
②求证：BE＝ AP；
③求证：CD＋CE＝ CP；
④求证：PC－PA＝ CE.
证明：(1)①连接PB，易证
△PCB≌△PCD，
证明：(1)①连接PB，易证
△PCB≌△PCD，
∴PD＝PB. 易证∠PDC＝∠PBC＝∠PEB，
∴PB＝PE；∴PD＝PE
②过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，
易证PG＝BF＝EF，
∴BE＝2PG＝2× AP＝ AP；
③延长CD至点M，使DM＝CE，连接PM.
易证△PEC≌△PDM，△PCM为等腰直角三角形，
∴CD＋CE＝CM＝ CP；
④过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，
由①知PG＝AG＝BF＝EF，
又∴PA＝ PG＝ EF，
∴PC－PA＝ (CF－EF)＝ CE.
(2)如图②，点P在线段OC上，下列结论：①PD＝PE，
②BE＝ AP，③CD－CE＝ CP，④PA－PC＝
CE. 其中正确的有 .(填序号)
①②③④　
证明：提示：(2)①同(1)中①的方法类似；
②同(1)中②的方法类似；
③在CD上截取DM＝CE，
证△PCM是等腰直角三角形即可；
④∵PA＝ PG＝ BF＝ EF，PC＝ CF
∴PA－PC＝ (EF－CF)＝ CE.
4. 已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P为射线AC上
一点，E为射线BC上一点，且PD＝PE.
(1)如图①，点P在线段AC上.
①求证：∠DPE＝60°；
∴PD＝PB＝PE，∴∠PDC＝∠PBC＝∠E，
∴∠DPE＝∠DCE＝60°；
证明：(1)①连接PB，易证△PCB≌△PCD，
∴PD＝PB＝PE，∴∠PDC＝∠PBC＝∠E，
∴∠DPE＝∠DCE＝60°；
②求证：AP＝CE；
证明：(1)②过点P作PF∥BE交AB于点F，
证明：(1)②过点P作PF∥BE交AB于点F，
易证△PCE≌△BFP，
∴CE＝PF，易证△APF为等边三角形
∴AP＝CE；
③求证：CP＋CE＝CD；
证明：(1)③CP＋CE＝CP＋AP＝AC＝CD；
(2)在图②中，点P在AC的延长线上，(1)中的三个结论是
否仍都成立？请说明理由.
解：(2)①②成立，
③不成立，应为CP＋CD＝CE，理由都同(1)类似.(共23张PPT)
第三部分　综合运用专题篇(能力提升)
专题31　阅读理解
1. (1)我们赋予“※”一个实际含义，规定a※b＝
＋ ，则2※4＝ 　 　.
　
(2)已知两直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
若l1∥l2，则有k1＝k2.
若k1＝k2，则有l1∥l2
若l1⊥l2，则有k1 k2＝－1.
若k1 k2＝－1，则有l1⊥l2
①应用：已知y＝2x＋1与y＝kx－1平行，则
k＝ ；
2　
②应用：已知y＝2x＋1与y＝kx－1垂直，则
k＝ ；
－ 　
③直线经过A(2，3)，且与y＝－ x＋3平行，求该直线
解析式；
③解：设该直线解析式为y＝kx＋b，
依题意得 ，解得
∴该直线解析式为y＝－ x＋
④直线经过A(2，3)，且与y＝－ x＋3垂直，求该直线
解析式.
④解：设该直线解析式为y＝mx＋n，
依题意得 ，解得
∴该直线解析式为y＝3x－3.
④解：设该直线解析式为y＝mx＋n，
依题意得 ，解得
∴该直线解析式为y＝3x－3.
2. (1)
n 2 3 4 5 …
a 22－1 32－1 42－1 52－1 …
b 4 6 8 10 …
c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 …
①请你分别探究a、b、c与n之间的关系，并用含n(n＞
1)的式子表示；
a＝ ，b＝ ，c＝ ；
n2－1　
2n　
n2＋1　
②猜想以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请
证明你的结论.
解：②∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，
c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形.
解：②∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，
c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形.
(2)阅读理解题：
在平面直角坐标系xOy中，点P 到直线
Ax＋By＋C＝0 的距离公式为：
d＝ ，
例如，求点P 到直线4x＋3y－3＝0的距离.
解：由直线4x＋3y－3＝0知：A＝4，B＝3，C＝－3
所以P 到直线4x＋3y－3＝0的距离为：
d＝ ＝2
根据以上材料，解决下列问题：
①求点P1 到直线3x－4y－5＝0的距离；
解：①由直线3x－4y－5＝0知：A＝3，B＝－4，C＝
－5
∴点P1(0，0)到直线3x－4y－5＝0的距离为：
d＝ ＝1
解：①由直线3x－4y－5＝0知：A＝3，
B＝－4，C＝－5
∴点P1(0，0)到直线3x－4y－5＝0的距离为：
d＝ ＝1
②若点P2 到直线x＋y＋C＝0的距离为 ，求实
数C的值.
解：②依题意得： ＝
∴ ＝2，C＋1＝±2，∴C1＝－3，C2＝1
∴实数C的值为－3或1.
解：②依题意得： ＝
∴ ＝2，C＋1＝±2，∴C1＝－3，C2＝1
∴实数C的值为－3或1.
3. 材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形
叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边
叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.
梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行于两
底，并且等于两底和的一半.
如图①：在梯形ABCD中，AD∥BC.
∵E、F是AB、CD的中点，
∴EF∥AD∥BC，EF＝ (AD＋BC).
材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必
平分第三边.
如图②：在△ABC中，
∵E是AB的中点，EF∥BC
∴F是AC的中点
请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题：
如图③，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，
E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC＝30°.
(1)求证：EF＝AC；
(1)证明：∵AD∥BC
∴∠ADO＝∠DBC＝30°
∴在Rt△AOD和Rt△BOC中
OA＝ AD，OC＝ BC
∴AC＝OA＋OC＝ (AD＋BC)
∵EF＝ (AD＋BC)，∴AC＝EF
(1)证明：∵AD∥BC
∴∠ADO＝∠DBC＝30°
∴在Rt△AOD和Rt△BOC中
OA＝ AD，OC＝ BC
∴AC＝OA＋OC＝ (AD＋BC)
∵EF＝ (AD＋BC)，∴AC＝EF
(2)若OD＝3 ，OC＝5，求MN的长.
(2)解：∵AD∥BC
∴∠ADO＝∠DBC＝30°
∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，
OA＝ AD，OC＝ BC
∵OD＝3 ，OC＝5，∴OA＝3
∵AD∥EF，∴∠ADO＝∠OMN＝30°
∴ON＝ MN
∵EF∥BC，E是AB中点
∴AN＝ AC＝ (OA＋OC)＝4
∴ON＝AN－OA＝4－3＝1，∴MN＝2ON＝2
∵EF∥BC，E是AB中点
∴AN＝ AC＝ (OA＋OC)＝4
∴ON＝AN－OA＝4－3＝1，∴MN＝2ON＝2
4. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角
形”.例如图①，图②，图③中，AF、BE是△ABC的
中线，AF⊥BE，垂足为P. 像△ABC这样的三角形均
为“中垂三角形”.设BC＝a，AC＝b，AB＝c.
(1)特例探索：
①如图①，当∠ABE＝45°，c＝2 时，
a＝ 　2 　，b＝ 　2 　；
2 　
2 　
②如图②，当∠ABE＝30°，c＝4时，
a＝ 　2 　，b＝ 　2 　；
2 　
2 　
(2)归纳证明：
请你观察(1)中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间
的关系，用等式表示出来，并利用图③证明你发现的
关系式.
(2)解：猜想：a2＋b2＝5c2
连接EF，设AP＝m，BP＝n，
则c2＝AB2＝m2＋n2
∵EF∥AB，EF＝ AB
∴PE＝ BP＝ n，PF＝ AP＝ m，
∴AE2＝m2＋ n2，BF2＝n2＋ m2
∴b2＝AC2＝4AE2＝4m2＋n2
(2)解：猜想：a2＋b2＝5c2
连接EF，设AP＝m，BP＝n，
则c2＝AB2＝m2＋n2
∵EF∥AB，EF＝ AB
∴PE＝ BP＝ n，PF＝ AP＝ m，
∴AE2＝m2＋ n2，BF2＝n2＋ m2
∴b2＝AC2＝4AE2＝4m2＋n2
a2＝BC2＝4BF2＝4n2＋m2
∴a2＋b2＝5(m2＋n2)＝5c2
a2＝BC2＝4BF2＝4n2＋m2
∴a2＋b2＝5(m2＋n2)＝5c2(共26张PPT)
第三部分　综合运用专题篇(能力提升)
专题43　经典几何模型——一线三垂直
1. (1)如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF
都是直角且点E、A、B三点共线，AB＝4，则阴影部分
的面积是 ；
8　
(2)已知正方形AFDC、CEGH、FBMN如图所示，其面
积分别为a、2、3.则a＝ ；
5　
(3)如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是
坐标原点，点E的坐标为 ，则点G的坐标为
，点F的坐标为 .
(－
3，2) 　
(－1，5) 　
2. 如图，线段AB＝8，射线BG⊥AB，P为射线BG上
一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在
AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，
直线CE与线段AB相交于点F(点F与点A、B不重合).
(1)求证：△AEP≌△CEP；
解：(1)证明：∵四边形APCD正方形，
∴DP平分∠APC，PC＝PA，
∴∠APD＝∠CPD＝45°，
又∵PE＝PE
∴△AEP≌△CEP(SAS)；
解：(1)证明：∵四边形APCD正方形，
∴DP平分∠APC，PC＝PA，
∴∠APD＝∠CPD＝45°，
又∵PE＝PE
∴△AEP≌△CEP(SAS)；
(2)判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
解：(2)CF⊥AB，理由如下：
∵△AEP≌△CEP，
∴∠EAP＝∠ECP，
∵∠EAP＝∠BAP，
∴∠FCP＝∠BAP，
∵∠FCP＋∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP，
解：(2)CF⊥AB，理由如下：
∵△AEP≌△CEP，
∴∠EAP＝∠ECP，
∵∠EAP＝∠BAP，
∴∠FCP＝∠BAP，
∵∠FCP＋∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP，
∴∠PAB＋∠AMF＝90°，
∴∠AFM＝90°，
∴CF⊥AB；
∴∠PAB＋∠AMF＝90°，
∴∠AFM＝90°，
∴CF⊥AB；
(3)求△AEF的周长.
解：(3)过点C作CN⊥PB.
解：(3)过点C作CN⊥PB.
∵CF⊥AB，BG⊥AB，
∴FC∥BN，∠CNP＝∠PBA＝90°
∴∠CPN＝∠PCF＝∠EAP＝∠PAB，
又AP＝CP，
∴△PCN≌△APB(AAS)，
∴CN＝PB＝BF，PN＝AB，
∵△AEP≌△CEP，
∴AE＝CE，
∴C△AEF＝AE＋EF＋AF
∵CF⊥AB，BG⊥AB，
∴FC∥BN，∠CNP＝∠PBA＝90°
∴∠CPN＝∠PCF＝∠EAP＝∠PAB，
又AP＝CP，
∴△PCN≌△APB(AAS)，
∴CN＝PB＝BF，PN＝AB，
∵△AEP≌△CEP，
∴AE＝CE，
∴C△AEF＝AE＋EF＋AF
＝CE＋EF＋AF
＝BN＋AF
＝PN＋PB＋AF
＝AB＋BF＋AF
＝2AB
＝16.
＝CE＋EF＋AF
＝BN＋AF
＝PN＋PB＋AF
＝AB＋BF＋AF
＝2AB
＝16.
3. 如图①，四边形ABCD是正方形.
(1)若点E是BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形
外角的平分线CF于点F. 求证：AE＝EF；
(1)在BA上截取BM＝BE
易知∠AME＝∠ECF＝135°，
AM＝EC，∠MAE＝∠FEC
从而△AME≌△ECF，
即可证AF＝EF.
(1)在BA上截取BM＝BE
易知∠AME＝∠ECF＝135°，
AM＝EC，∠MAE＝∠FEC
从而△AME≌△ECF，
即可证AF＝EF.
(2)如图②，若点E不是BC的中点，其他条件不变，则
AE＝EF是否仍成立？试说明理由；
(2)依然成立，理由如下：
在BA上截取BM＝BE
方法同(1)可证
△AME≌△ECF.
即可证得AE＝EF.
(2)依然成立，理由如下：
在BA上截取BM＝BE
方法同(1)可证
△AME≌△ECF.
即可证得AE＝EF.
(3)如图③，若点E在BC的延长线上，其他条件不变，试
探究AE与EF之间的数量关系；
(3)AE＝EF，理由如下：
在射线BA上截取BM＝BE.
∴AM＝CE，∠M＝∠FCE＝45°，
∠MAE＝∠CEF
∴△AME≌△ECF.
∴AE＝EF.
(3)AE＝EF，理由如下：
在射线BA上截取BM＝BE.
∴AM＝CE，∠M＝∠FCE＝45°，
∠MAE＝∠CEF
∴△AME≌△ECF.
∴AE＝EF.
(4)如图④，若四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，点
E是BC边上一点，∠AEF＝60°，且EF交直线CD于
点F，求证：AE＝EF.
证明：
(4)在BA上截取BM＝BE
易知△BEM是等边三角形.
∴∠AME＝∠C＝120°，AM＝EC
由∠B＋∠BAE＝∠AEC＝∠AEF＋∠FEC，
∠B＝∠AEF＝60°得∠BAE＝∠FEC
∴△AME≌∠FEC，∴AE＝EF.
(4)在BA上截取BM＝BE
易知△BEM是等边三角形.
∴∠AME＝∠C＝120°，AM＝EC
由∠B＋∠BAE＝∠AEC＝∠AEF＋∠FEC，
∠B＝∠AEF＝60°，得∠BAE＝∠FEC
∴△AME≌∠FEC，∴AE＝EF.
4. 如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点(与D、
C不重合)，连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得
到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作
GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH. 显然AE
是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线.仔细观察，
请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180°的角
平分线)，并说明理由.
解：过点H作HN⊥BM于N，则∠HNC＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝BC，
∠D＝∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠DCM＝90°，
解：过点H作HN⊥BM于N，则∠HNC＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝BC，
∠D＝∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠DCM＝90°，
①∵将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，
∴△ADE≌△AFE，
∴∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，AD＝AF，∠DAE＝
∠FAE，∴AF＝AB，又∵AG＝AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，
∴∠BAG＝∠FAG，∠AGB＝∠AGF，
∴AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线；
①∵将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，
∴△ADE≌△AFE，
∴∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，AD＝AF，∠DAE＝∠FAE，
∴AF＝AB，又∵AG＝AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，
∴∠BAG＝∠FAG，∠AGB＝∠AGF，
∴AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线；
②由①知，∠DAE＝∠FAE，∠BAG＝∠FAG，
又∵∠BAD＝90°，
∴∠GAF＋∠EAF＝ ×90°＝45°，
即∠GAH＝45°，
∵GH⊥AG，∴∠GHA＝90°－∠GAH＝45°，
∴△AGH为等腰直角三角形，∴AG＝GH，
∵∠AGB＋∠BAG＝90°，
∠AGB＋∠HGN＝90°，
②由①知，∠DAE＝∠FAE，∠BAG＝∠FAG，
又∵∠BAD＝90°，
∴∠GAF＋∠EAF＝ ×90°＝45°，
即∠GAH＝45°，
∵GH⊥AG，∴∠GHA＝90°－∠GAH＝45°，
∴△AGH为等腰直角三角形，∴AG＝GH，
∵∠AGB＋∠BAG＝90°，
∠AGB＋∠HGN＝90°，
∴∠BAG＝∠NGH，
又∵∠B＝∠HNG＝90°，AG＝GH，
∴△ABG≌△GNH(AAS)，
∴BG＝NH，AB＝GN，∴BC＝GN，
∵BC－CG＝GN－CG，
∴BG＝CN，∴CN＝NH，
∴∠NCH＝∠NHC＝ ×90°＝45°，
∵∠DCM＝90°，
∴∠BAG＝∠NGH，
又∵∠B＝∠HNG＝90°，AG＝GH，
∴△ABG≌△GNH(AAS)，
∴BG＝NH，AB＝GN，∴BC＝GN，
∵BC－CG＝GN－CG，
∴BG＝CN，∴CN＝NH，
∴∠NCH＝∠NHC＝ ×90°＝45°，
∵∠DCM＝90°，
∴∠DCH＝∠DCM－∠NCH＝45°，
∴∠DCH＝∠NCH，
∴CH是∠DCN的平分线；
∴∠DCH＝∠DCM－∠NCH＝45°，
∴∠DCH＝∠NCH，
∴CH是∠DCN的平分线；
③∵∠AGB＋∠HGN＝90°，
∠AGF＋∠EGH＝90°，
由①知，∠AGB＝∠AGF，
∴∠HGN＝∠EGH，
∴GH是∠EGM的平分线；
综上所述，AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分
线，CH是∠DCN的平分线，GH是∠EGM的平分线.
③∵∠AGB＋∠HGN＝90°，
∠AGF＋∠EGH＝90°，
由①知，∠AGB＝∠AGF，
∴∠HGN＝∠EGH，
∴GH是∠EGM的平分线；
综上所述，AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分
线，CH是∠DCN的平分线，GH是∠EGM的平分线.(共20张PPT)
第三部分　综合运用专题篇(能力提升)
专题40　经典几何模型——Rt△斜边上的中线
模型条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB
的中点.
模型结论：AD＝BD＝CD，CD＝ AB
1. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，
AC＝2，BC＝4，则CD＝ .
　
2. 已知：△ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上的
高，D是BC的中点，DM⊥EF. 求证：FM＝EM.
证明：连接DE、DF
∵BE、CF分别是AC、AB边上的高
∴∠BEC＝∠CFB＝90°
∵点D是BC的中点
∴在Rt△BCE中，DE＝ BC
在Rt△BCF中，DF＝ BC
∴DE＝DF
又∵DM⊥EF，∴FM＝EM.
在Rt△BCF中，DF＝ BC
∴DE＝DF
又∵DM⊥EF，∴FM＝EM.
3. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝
90°，E是CD的中点，求证：AE＝BE.
证明：延长AE、BC交于点F，
易证△ADE≌△FCE.
∴AE＝EF＝BE.
证明：延长AE、BC交于点F，
易证△ADE≌△FCE.
∴AE＝EF＝BE.
4. 如图，一根长度固定的木棍AB斜靠在地面(OM)垂直
的墙(ON)上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下下
滑，B端随之沿地面向右滑行，在此滑动过程中，点P到
点O的距离(　A　).
A. 不变
B. 变小
C. 变大
D. 无法判断
A
5. 如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝
3∠BCD，E是AB的中点.
(1)求∠A的度数；
解：(1)证∠BCD＝∠A，∴∠A＋3∠A＝90°，
∴∠A＝22.5°；
解：(1)证∠BCD＝∠A，∴∠A＋3∠A＝90°，
∴∠A＝22.5°；
(2)求证：CE＝ DE.
解：(2)易证CE＝AE＝BE，∴∠CED＝2∠A＝45°，
∴CE＝ DE.
解：(2)易证CE＝AE＝BE，∴∠CED＝2∠A＝45°，
∴CE＝ DE.
6. 如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，
∠DBC＝60°，E是AB的中点，EM⊥DC于M，EM
＝1，求AB、CD的长.
解：连接CE、DE，
证DE＝ AB，CE＝ AB
∴DE＝CE＝EB
证∠DEA＝2∠DBE，∠AEC＝2∠EBC，
∴∠DEC＝2∠DBC＝120°，∴∠DCE＝30°
∵EM＝1，∴CE＝2，CM＝ ，∴CD＝2 ，
∵AB＝2CE＝4.
7. 如图，在 ABCD中，点F为边AD的中点，过点C作
AB的垂线交AB于点E. 求证：EF＝FC.
证明：延长BA、CF交于点G，
在 ABCD中，有AB∥CD
∴∠GAF＝∠D，∠G＝∠DCF
∵点F是AD中点，∴AF＝DF
证明：延长BA、CF交于点G，
在 ABCD中，有AB∥CD
∴∠GAF＝∠D，∠G＝∠DCF
∵点F是AD中点，∴AF＝DF
∴△AGF≌△DCF，
∴GF＝CF＝ CG
∵CE⊥AB，∴∠CEG＝90°
∴EF＝ CG，∴EF＝FC
∴△AGF≌△DCF，
∴GF＝CF＝ CG
∵CE⊥AB，∴∠CEG＝90°
∴EF＝ CG，∴EF＝FC
8. 如图，在五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝
90°，∠BAC＝∠EAD，点F为CD的中点，求证：BF
＝EF.
证明：分别取AC、AD的中点M、N，
连接BM、MF、EN、NF，
∵∠ABC＝∠AED＝90°
∴BM＝AM＝ AC，EN＝AN＝ AD
∴∠BAC＝∠ABM，∠EAD＝∠AEN
∴∠BMC＝2∠BAC，∠END＝2∠EAD
∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BMC＝∠END
∵点F、M、N分别是CD、AC、AD的中点
∴FM和FN都是△ACD的中位线
∴FM＝ AD，FM∥AD，FN＝ AC，FN∥AC
∴FM＝EN，FN＝BM，
∠CMF＝∠CAD，∠DNF＝∠CAD
∴∠CMF＝∠DNF
∴∠BMC＝2∠BAC，∠END＝2∠EAD
∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BMC＝∠END
∵点F、M、N分别是CD、AC、AD的中点
∴FM和FN都是△ACD的中位线
∴FM＝ AD，FM∥AD，FN＝ AC，FN∥AC
∴FM＝EN，FN＝BM，
∠CMF＝∠CAD，∠DNF＝∠CAD
∴∠CMF＝∠DNF
∴∠BMC＋∠CMF＝∠END＋∠DNF
即∠BMF＝∠ENF
∴△BMF≌△ENF，∴BF＝EF
∴∠BMC＋∠CMF＝∠END＋∠DNF
即∠BMF＝∠ENF
∴△BMF≌△ENF，∴BF＝EF
9. 如图，在正方形ABCD中，F是AB中点，连接CF，
作DE⊥CF交BC于点E，交CF于点M. 求证：MA＝
AD.
证明：延长DA、CF交于点G，
∵四边形ABCD是正方形
∴AD BC，∠GAF＝∠B＝90°
∵四边形ABCD是正方形
∴AD BC，∠GAF＝∠B＝90°
∴∠G＝∠BCF
∵点F是AB中点，∴AF＝BF
∴△AFG≌△BFC，
∴△AFG≌△BFC，
∴AG＝BC，∴AD＝AG＝ DG
∵DE⊥CF，∴∠DMG＝90°
∴MA＝ DG，∴MA＝AD
∴AG＝BC，∴AD＝AG＝ DG
∵DE⊥CF，∴∠DMG＝90°
∴MA＝ DG，∴MA＝AD
10. 如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E
在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC. 若
∠ABC＝∠BEF＝60°，PC＝1，求PG的长.
解：延长GP交DC于点H
∵P是DF的中点，∴FP＝DP
∵四边形ABCD、BEFG都是菱形
∴DC∥AE，GF∥AE，DC＝BC，GF＝GB
∴DC∥GF，∴∠GFP＝∠HDP，∠PGF＝∠PHD
∴△GFP≌△HDP，∴GP＝HP，GF＝HD
∴GB＝HD，∴BC－GB＝DC－HD，即CG＝CH
∴CP⊥GH，∠PCG＝∠PCH＝ ∠DCB
∵∠ABC＝60°，∴∠DCB＝120°
∴∠PCG＝ ∠DCB＝60°，∴∠CGP＝30°
∴在Rt△CPG中，有CG＝2PC＝2×1＝2
∴PG＝ ＝ ＝ .(共21张PPT)
第三部分　综合运用专题篇(能力提升)
专题42　经典几何模型——a＝2b
1. 等腰直角三角形
在Rt△ABC中，BC＝a，AB＝AC＝b，∠A＝90°.求
证：a＝ b.
证明：∵∠A＝90°
AB＝AC＝b，BC＝a
∴AB2＋AC2＝BC2
即b2＋b2＝a2
∴a＝ b
证明：∵∠A＝90°
AB＝AC＝b，BC＝a
∴AB2＋AC2＝BC2
即b2＋b2＝a2
∴a＝ b
2. 在正方形中的等腰直角三角形
在正方形ABCD中，AC、BD交于点O，E是OD上的一
点，且BE＝BA.
(1)求证：∠OAE＝∠DAE；
证明：(1)易证∠BAE＝∠BEA＝67.5°
∴∠OAE＝∠DAE＝22.5°
证明：(1)易证∠BAE＝∠BEA＝67.5°
∴∠OAE＝∠DAE＝22.5°
(2)求证：DE＝ OE.
证明：(2)过E点作EM⊥AD于M，
易证DE＝ ME，ME＝OE
∴DE＝ OE.
证明：(2)过E点作EM⊥AD于M，
易证DE＝ ME，ME＝OE
∴DE＝ OE.
3. 如图，已知∠BCD＝∠BAD＝90°，CB＝CD. 点E
在AB的延长线上，且BE＝AD. 求证：AB＋AD＝
AC.
证明：易证△CBE≌△CDA，
△ACE为等腰直角三角形，
∴AB＋AD＝AE＝ AC.
证明：易证△CBE≌△CDA，
△ACE为等腰直角三角形，
∴AB＋AD＝AE＝ AC.
4. 如图，在正方形ABCD中，E为AC上一点，F为CD
上一点，且ED＝EF.
(1)求证：DE＝EB；
(2)求证：∠EBC＝∠EFD；
(3)求证：BF＝ DE.
证明：连接BE
易证：△CBE≌△CDE，
∴EB＝ED＝EF，
∠EBC＝∠EDC＝∠EFD，
∵∠EFD＋∠CFE＝180°
∴∠EBC＋∠CFE＝180°
∴∠BEF＋∠BCD＝180°，
∴∠BEF＝90°，
∴BF＝ FE＝ DE.
证明：连接BE，易证：△CBE≌△CDE，
∴EB＝ED＝EF，
∠EBC＝∠EDC＝∠EFD，
∵∠EFD＋∠CFE＝180°
∴∠EBC＋∠CFE＝180°
∴∠BEF＋∠BCD＝180°，
∴∠BEF＝90°，
∴BF＝ FE＝ DE.
5. (1)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
点D为BC的中点，若点E、F分别在AB、AC上，且
AE＝CF，连接DE、EF，求证：EF＝ DE.
证明：连接DA、DF，
则△ADE≌△CDF，
证△DEF为等腰直角三角形即可.
证明：连接DA、DF，
则△ADE≌△CDF，
证△DEF为等腰直角三角形即可.
(2)如图，点E为正方形ABCD的边AD上一点，F在DC
的延长线上，且CF＝AE.
①求证：∠BEF＝45°；
证明：①连接BF，证△ABE≌△CBF，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠BEF＝45°
证明：①连接BF，证△ABE≌△CBF，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠BEF＝45°
②求证：EF＝ BE.
证明：②由①可知EF＝ BE.
证明：②由①可知EF＝ BE.
6. 如图，在正方形ABCD中，E在AB上，F在BC的延
长线上，且AE＝CF，点P是EF的中点，求证：BE＝
PC.
证明：在BC上截取CM＝CF，
∵AE＝CF，∴CM＝AE，
∵AB＝BC，∴BE＝BM
∴EM＝ BE∴BE＝ EM，
又∵PE＝PF，CM＝CF，
∴EM＝2PC，
∴BE＝ 2PC＝ PC.
证明：在BC上截取CM＝CF，
∵AE＝CF，∴CM＝AE，
∵AB＝BC，∴BE＝BM
∴EM＝ BE，∴BE＝ EM，
又∵PE＝PF，CM＝CF，
∴EM＝2PC，
∴BE＝ 2PC＝ PC.
7. 在四边形ABCD中，已知∠BCD，∠BAD＝90°，
CB＝CD.
(1)如图①，求证：AB＋AD＝ AC；
证明：(1)延长AB至点E，使BE＝AD，
△CBE≌△CDA，
△ACE为等腰直角三角形，
∴AB＋AD－AE＝ AC.
证明：(1)延长AB至点E，使BE＝AD，
△CBE≌△CDA，
△ACE为等腰直角三角形，
∴AB＋AD－AE＝ AC.
(2)如图②，求证：AB－AD＝ AC.
证明：(2)在AB上截取BE＝AD，
△CBE≌△CDA，
∴AB－AD＝AE＝ AC.
证明：(2)在AB上截取BE＝AD，
△CBE≌△CDA，
∴AB－AD＝AE＝ AC.
8. 如图，在正方形ABCD中，E为BD上一点，F为AD
上一点，且EC＝EF，FG⊥BD于G.
(1)求证：EF⊥EC；
证明：(1)连接AE.
易证△DAE≌△DCE，
AE＝CE＝EF
∴∠EAF＝∠EFA＝∠ECD.
∴∠FEC＋∠ADC＝180°，
∴EF⊥EC；
证明：(1)连接AE.
易证△DAE≌△DCE，
AE＝CE＝EF
∴∠EAF＝∠EFA＝∠ECD.
∴∠FEC＋∠ADC＝180°，
∴EF⊥EC；
(2)求证：CD＝ EG.
证明：(2)过点C作CH⊥BD于点H，
易证△EGF≌△CHE，
∴EG＝CH
∴CD＝ CH＝ EG.
证明：(2)过点C作CH⊥BD于点H，
易证△EGF≌△CHE，
∴EG＝CH
∴CD＝ CH＝ EG.(共24张PPT)
第三部分　综合运用专题篇(能力提升)
专题32　动点问题(与几何图形有关)
1. 已知AB＝4 cm，点P由A点向B点以1 cm/s移动，到
B点后停止.
(1)1秒后AP＝ ，PB＝ ；
(2) 秒后，P为AB的中点；
(3)设t秒后， AP＝ ， PB＝ .(用含
t的代数式填空)
1 cm　
3 cm　
2　
t cm　
(4－t) cm　
2. 在矩形ABCD中，AD＝8 cm，AB＝3 cm，动点P从
点A开始沿边AD向点D以1 cm/s的速度运动，运动至点
D停止， 秒后，PB＝PC.
4　
3. (1)在矩形ABCD中，AD＝9 cm，AB＝3 cm，动点P
从点B开始沿边BC向点C以1 cm/s的速度运动(运动至点
C停止)，同时，动点Q从点D出发沿边DA向点A以1
cm/s的速度运动(运动至点A停止)， 秒后，四边形
APCQ是菱形.
4　
(2)在直角梯形ABCD中， AD∥BC，∠B＝90°， AD＝
12 cm，AB＝3 cm，CD＝5 cm，动点P从点A开始沿边
AD向点D以1 cm/s的速度运动至点D停止，动点Q从点
C同时出发沿边CB向点B以3 cm/s 的速度运动至点B停
止，如图，得四边形PQCD、ABQP，设运动时间为
x(单位：s).
①当x＝ 时，四边形PQCD是平行四边形；
②当x＝ 时，四边形ABQP是矩形.
3　
4　
4. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，点
P是边BC上的动点，设PC＝x.
(1)当x＝3时，PA＝ ；
(2)若△APC的面积为y，则y与x的函数关系式为
.
5　
y＝
2x(0＜x≤8)　
5. 在矩形ABCD中，AB＝4 cm，∠ACB＝30°.动点P
从A出发沿AC向点C以1 cm/s的速度运动，经 秒
后，BP最小，最小值是 .
2　
2 　
6. 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，
∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P沿线段AB从点A向
点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t.
(1)求AD的长；
解：(1)过点C作CE⊥AB于点E，
解：(1)过点C作CE⊥AB于点E，
∵∠B＝60°，∴∠1＝30°
∴BE＝ BC＝ ×4＝2
∴CE＝ ＝ ＝2
∵AB∥CD，AD⊥AB，CE⊥AB
∴∠ADC＝∠A＝∠CEA＝90°
∴四边形ADCE是矩形
∴AD＝CE＝2
(2)点P在运动过程中，t为何值时，四边形APCD是矩
形？
解：(2)由(1)知，当点P运动到点E位置时，四边形
APCD是矩形，∴1 t＝AE
∴t＝AE＝AB－BE＝10－2＝8
∴当t＝8时，四边形APCD是矩形
解：(2)由(1)知，当点P运动到点E位置时，四边形
APCD是矩形，∴1 t＝AE
∴t＝AE＝AB－BE＝10－2＝8
∴当t＝8时，四边形APCD是矩形
(3)点P在运动过程中，t为何值时，四边形DPBC是平行
四边形？
解：(3)由(2)知DC＝AE＝AB－BE＝8
∵四边形DPBC是平行四边形，∴DC＝PB
∴8＝AB－AP，8＝10－t，t＝2
∴当t＝2时，四边形DPBC是平行四边形.
解：(3)由(2)知DC＝AE＝AB－BE＝8
∵四边形DPBC是平行四边形，∴DC＝PB
∴8＝AB－AP，8＝10－t，t＝2
∴当t＝2时，四边形DPBC是平行四边形.
7. 如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3 ，
AD＝3，点M、N分别为线段BC、AB上的动点(含端
点，但点M不与点B重合)，点E、F分别为DM、MN的
中点，则EF长度的最大值为 .
3　
8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，动点P从
点A出发，沿AB以每秒1个单位的速度向终点B运动，
动点Q从点C出发，沿CD以每秒2个单位的速度向终点
D运动，设点Q的运动时间为t(s).
(1)若P、Q两点同时出发，当四边形APQD是矩形时，
求t的值；
解：(1)∵四边形ABCD是矩形
∴∠D＝∠A＝90°，DC＝AB＝ 8，
AD＝BC＝4，DC∥AB，当点Q运动t(s)时，
AP＝t，CQ＝2t，则DQ＝8－2t，
当四边形APQD是矩形时，则DQ＝AP，如图
即t＝8－2t，解得t＝ (s)；
(2)若点P先出发2.5 s，随后点Q再出发，是否存在，使
得四边形APCQ为菱形，若存在，请求出t的值；若不存
在，请说明理由.
解：(2)当点Q运动t(s)时，AP＝t＋25，
CQ＝2t，如右图. 当AP＝CQ时，
即t＋2.5＝2t，解得：t＝ (s)
此时AP＝5，CQ＝5，BP＝AB－AP＝3
∴四边形APCQ为平行四边形
∴CP＝ ＝5，AP＝CQ＝CP，
又∵AP＝CP，∴四边形APCQ为菱形
故存在t＝ (s)，使四边形APCQ为菱形.
9. 已知点A(3，1)、B(－1，3)，在x轴上有一动点P. 若
要使PA＋PB最小，求P点坐标及PA＋PB的最小值.
解：作点B关于x轴的对称点B′，
连接B′A交x轴于点P此时PA＋PB最小.
∵B(－1，3)，∴B′(－1，－3)
设直线AB′的解析式为y＝kx＋b，
解：作点B关于x轴的对称点B′，
连接B′A交x轴于点P此时PA＋PB最小.
∵B(－1，3)，∴B′(－1，－3)
设直线AB′的解析式为y＝kx＋b，
则 ，解得
∴y＝x－2当y＝0时，有x－2＝0，解得x＝2
∴P(2，0)
∴PA＋PB＝PA＋PB′＝AB′
＝ ＝4
10. 如图， ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，BC＝6，
点P是 ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移
动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，试求
出y与x的函数关系式.
解：①当点P在边AD上时，即0＜x＜6时，
解：①当点P在边AD上时，即0＜x＜6时，
如图①，过点B作BE⊥DA交DA延长线于点E.
∵∠ABC＝60°，∴∠ABE＝30°
∴AE＝ AB＝ ×4＝2
BE＝ ＝2
∴y＝ AP BE＝ x 2 ＝ x，(0＜x＜6)
②当点P在边DC上时，即6≤x≤10时，
如图②，过点C作CF⊥AB于点F.
∵∠ABC＝60°，∴∠BCF＝30°
∴BF＝ BC＝ ×6＝3
∴CF＝ ＝3
∴y＝ AB CF＝ ×4×3 ＝6 ，
(6≤x≤10)
②当点P在边DC上时，即6≤x≤10时，
如图②，过点C作CF⊥AB于点F.
∵∠ABC＝60°，∴∠BCF＝30°
∴BF＝ BC＝ ×6＝3
∴CF＝ ＝3
∴y＝ AB CF＝ ×4×3 ＝6 ，
(6≤x≤10)
③当点P在边BC上时，即10＜x＜16时，
如图③
过点A作AG⊥BC于点G，
∵∠ABC＝60°，∴∠BAG＝30°
∴BG＝ AB＝ ×4＝2
AG＝ ＝2
∴y＝ BP AG＝ (16－x) 2
＝16 － x，(10＜x＜16)
③当点P在边BC上时，即10＜x＜16时，如图③
过点A作AG⊥BC于点G，
∵∠ABC＝60°，∴∠BAG＝30°
∴BG＝ AB＝ ×4＝2
AG＝ ＝2
∴y＝ BP AG＝ (16－x) 2
＝16 － x，(10＜x＜16)
综上所述：y＝ .
综上所述：y＝ .(共21张PPT)
第三部分　综合运用专题篇(能力提升)
专题35　几何操作(2)
1. 剪纸
(1)如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一
个角.要得到一个正方形，剪口与折痕应成多少度角？
解：剪口与折痕应成45°角.
解：剪口与折痕应成45°角.
(2)如图，将一长方形纸片沿着虚线剪成两个全等的梯形
纸片.根据图中标示长度与角度，求梯形纸片中较短的底
边长度为 .
6　
2. 旋转
(1)如图将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中
点A′与A是对应点，点B′与B是对应点，点B′落在边
AC上，连接A′B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝
2，则A′B的长为 ；
　
(2)如图，用硬纸板剪一个平行四边形，作出它的对角线
的交点O，用大头针把一根平放在平行四边形上的直细
木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动
细木条，使它随意留在任意位置.观察几次拔动结果，你
发现了什么？证明你的发现.
解：发现：①MO＝NO，
②S四边形AMNB＝S四边形CNMD
证明：略
(可证△AOM≌△CON)
解：发现：①MO＝NO，
②S四边形AMNB＝S四边形CNMD
证明：略
(可证△AOM≌△CON)
3. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角
形，将这四个直角三角形分别拼成如图②、图③所示的
正方形，则图①中菱形的面积为 .
设图①中小直角三角形的两直角边长
分别为a、b (a＞b)，
12
则由图②和图③列得方程组 ，
∴ ，
∴菱形的面积S＝4× ab＝4× ×3×2＝12.
故填12.
设图①中小直角三角形的两直角边长
分别为a、b (a＞b)，
4. (1)将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋
转到FECG的位置(如图)，使得点D落在对角线CF上，
EF与AD相交于点H，则HD＝ ；(结果保留
根号)
－1
(2)如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小
路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，你
有多少种方法？并与你的同学交流一下.
解：有无数种方法
设AC与BD交于点O，
只要过O点作两条互相垂直的直线即可
(可证△AOE≌△BOH≌△COF≌△DOG)
解：有无数种方法
设AC与BD交于点O，
只要过O点作两条互相垂直的直线即可
(可证△AOE≌△BOH≌△COF≌△DOG)
5. 如图，将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪
成两个三角形.用这两个三角形你能拼成多少种平行四边
形？试一试，分别求出它们的对角线的长.
解：有三种情形，如图所示.
图①：AC＝BD＝m
图②：AC＝h，BD＝
图③：BD＝n，AC＝
解：有三种情形，如图所示.
图①：AC＝BD＝m
图②：AC＝h，BD＝
图③：BD＝n，AC＝
6. (1)如图①，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方
形ABCD的中心，点C、D分别在OE和OF上，现将
△OEF绕点O逆时针旋转，连接AF、DE(如图②).在图
②中猜想AF与DE的数量关系，并证明你的结论.
解：(1)AF＝DE，理由如下：
如图②，∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOD＝∠COD＝90°，OA＝OD，
∵∠DOF＝∠COE，∴∠AOF＝∠DOE，
∵△OEF为等腰直角三角形，∴OF＝OE，
∴△AOF≌△DOE(SAS)，∴AF＝DE.
解：(1)AF＝DE，理由如下：
如图②，∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOD＝∠COD＝90°，OA＝OD，
∵∠DOF＝∠COE，∴∠AOF＝∠DOE，
∵△OEF为等腰直角三角形，∴OF＝OE，
∴△AOF≌△DOE(SAS)，∴AF＝DE.
(2)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是
正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长
相等.无论正方形A1B1C1O绕点O怎样旋转，两个正方形
重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 .想一想，
这是为什么？
解：(2)证明：略(可证△AEO≌△BPO，从而得
S四边形OEBP＝S△AOB＝ S正方形)
7. 将两个等腰直角三角板如图摆放并旋转三角板
AEF(以A为旋转中心).AB、AC分别交EF于M、N.
(1)α＋β＝ °；
45　
(2)若EM＝4，FN＝3，求MN的长.
解：(2)将△AEM绕A点逆时针旋转90°
得△AFD，连接DF、DN
∴∠1＝∠α，AM＝AD，DF＝EM
∠E＝∠AFD＝45°
易知∠DFN＝90°，△AMN≌△ADN.
解：(2)将△AEM绕A点逆时针旋转90°
得△AFD，连接DF、DN
∴∠1＝∠α，AM＝AD，DF＝EM
∠E＝∠AFD＝45°
易知∠DFN＝90°，△AMN≌△ADN.
∴DN2＝DF2＋FN2，MN＝DN
∴MN2＝EM2＋FN2＝42＋32＝25，∴MN＝5.
8. 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
△ACB的顶点在△ECD的斜边DE上.
求证：AE2＋AD2＝2AC2.(提示：连接BD)
证明：连接BD，
易证∠1＝∠2. 又∵AC＝BC，EC＝DC.
∴△AEC≌△DBC，∴∠3＝∠E，
又∵∠4＋∠E＝90°∴∠3＋∠4＝90°
∴DB2＋AD2＝AB2
又∵AB2＝AC2＋BC2＝2AC2
DB＝AE
∴AE2＋AD2＝2AC2.(共19张PPT)
第三部分　综合运用专题篇(能力提升)
专题30　折叠问题
1. 折叠三角形
如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC＝6，AB＝
10，∠ACB＝90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，
使点A与点C重合，求四边形DBCE的周长.
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
∴AC＝ ＝ ＝8
由折叠性质可知，AE＝CE＝ AC＝4
AD＝CD，∠DCE＝∠A
∴∠BCD＝90°－∠DCE
又∵∠B＝90°－∠A，∴∠B＝∠BCD
∴BD＝CD＝AD＝ AB＝ ×10＝5
∴DE为△ABC的中位线
∴DE＝ BC＝ ×6＝3
∴C四边形DBCE＝BD＋DE＋CE＋BC
＝5＋3＋4＋6
＝18
2. 折叠矩形(正方形)
如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线
BD上的A′处.若∠A′BC＝24°，则∠A′EB等于
(　C　)
A. 66° B. 60°
C. 57° D. 48°
C
3. 如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重
合，折痕分别为DE、FG，得到∠AGE＝30°，若AE
＝EG＝2 厘米，求△ABC的边BC的长.
解：∵AE＝EG＝2 厘米，∠AGE＝30°
∴∠EAG＝∠AGE＝30°
∴∠AEB＝∠AGE＋∠EAG＝60°
解：∵AE＝EG＝2 厘米，∠AGE＝30°
∴∠EAG＝∠AGE＝30°
∴∠AEB＝∠AGE＋∠EAG＝60°
由折叠性质可知：AG＝CG，AE＝BE
∴△AEB是等边三角形
∴∠B＝∠BAE＝60°，
AB＝BE＝AE＝EG＝2 厘米
∴∠BAG＝90°，BG＝BE＋EG＝4 厘米
∴CG＝AG＝＝ ＝6厘米
∴BC＝BG＋CG＝4 ＋6(厘米)
4. 如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，先
将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落
在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与
BC相交于点G，求△GCF的周长.
解：由折叠的性质可知∠A＝45°，AD＝DF，
∴FC＝2，∠AFC＝45°，
∴CG＝2，
∴FG＝2 ，
∴△GCF的周长为4＋2 .
解：由折叠的性质可知∠A＝45°，AD＝DF，
∴FC＝2，∠AFC＝45°，
∴CG＝2，
∴FG＝2 ，
∴△GCF的周长为4＋2 .
5. 如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝
90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕
为MN，求BN的长.
解：∵D是BC的中点，BC＝6，∴BD＝ BC＝3
设BN＝x，则ND＝AN＝9－x.
∵∠B＝90°，∴NB2＋DB2＝ND2
即32＋x2＝(9－x)2，解得x＝4
∴BN＝4.
6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在
DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上
的点F处，求EC的长.
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，
顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，∵BF＝ ＝4，
∴CF＝BC－BF＝5－4＝1，
设EC＝x，则EF＝DE＝3－x
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，
顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，∵BF＝ ＝4，
∴CF＝BC－BF＝5－4＝1，
设EC＝x，则EF＝DE＝3－x
在Rt△ECF中，∵EC2＋FC2＝EF2，
∴x2＋12＝(3－x)2，解得x＝ ，
∴EC＝ .
在Rt△ECF中，∵EC2＋FC2＝EF2，
∴x2＋12＝(3－x)2，解得x＝ ，
∴EC＝ .
7. 如图，在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，点D为边
AB的中点，连接CD，过点A作AE⊥CD于点E，将
△ACE沿直线AC翻折到△ACE′的位置.若CE′∥AB，
求AE的长.
解：如图，作CH⊥AB于H.
解：如图，作CH⊥AB于H.
由翻折可知：∠AE′C＝∠AEC＝90°，
∠ACE＝∠ACE′，∵CE′∥AB，
∴∠ACE′＝∠CAD，
∴∠ACE＝∠CAD，∴DC＝DA，
∵AD＝DB，∴DC＝DA＝DB，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝ ＝5，
∵ AB CH＝ AC BC，∴CH＝ ，
∵∠AEC＝∠CHA＝90°，
∠ACE＝∠CAH，AC＝CA
∴△ACE≌△CAH，∴AE＝CH＝ .
∵∠AEC＝∠CHA＝90°，
∠ACE＝∠CAH，AC＝CA
∴△ACE≌△CAH，∴AE＝CH＝ .
8. 如图，将矩形ABCD(纸片)折叠，使点B与AD边上的
点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH
为折痕，已知∠1＝67.5°，∠2＝75°，EF＝ ＋1.
求BC的长.
解：过点K作KM⊥BC于点M，如图所示
解：过点K作KM⊥BC于点M，如图所示
由翻折性质可知：
∠BEK＝2∠1＝135°，∠CFK＝2∠2＝150°，
BE＝EK，CF＝FK，∴∠3＝45°，∠4＝30°
设KM＝x，则EM＝KM＝x，FK＝2KM＝2x
FM＝ ＝ x
∵EF＝ ＋1，即EM＋FM＝ ＋1
∴x＋ x＝ ＋1，解得x＝1
∴KM＝1，EM＝1，FK＝2
∴BE＝EK＝ ＝ ，CF＝FK＝2
∴BC＝BE＋EF＋CF
＝ ＋ ＋1＋2＝3＋ ＋

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