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(共23张PPT)
第一部分　基础技能专题篇(夯实三基)
专题1　二次根式的计算
1. 二次根式的乘除法
(1)下列运算中错误的是(　A　)；
A. ＋ ＝ B. × ＝
C. ÷ ＝2 D. (－ )2＝3
A
(2)计算(写成最简结果)：
① × ＝ 　 　；
② × ＝ ；
　
6　
③ ＝ 　2 　.
2 　
2. 二次根式的加减法
(1)计算 3 － 的结果是 　 　；
(2)计算：4 ＋ － ＋4 ＝ 　7 ＋2 　.
　
7 ＋2 　
3. 二次根式的混合运算
(1)计算： (3 ＋1)(3 －1)＝ ；
(2)计算：(－ )÷ ；
解：原式＝(4 －3 )÷
＝ ÷
＝1
17　
解：原式＝(4 －3 )÷
＝ ÷
＝1
(3)计算：(2 －1)2－(＋2)(2 －1).
解：原式＝12－4 ＋1－(6－ ＋4 －2)
＝12－4 ＋1－6＋ －4 ＋2
＝9－7
解：原式＝12－4 ＋1－(6－ ＋4 －2)
＝12－4 ＋1－6＋ －4 ＋2
＝9－7
4. 计算：
(1) × ；
解：原式＝5
(2) × ；
解：原式＝3
解：原式＝5
解：原式＝3
(3)3 ÷2 ；
解：原式＝
(4) (x＞0，y＞0).
解：原式＝x
解：原式＝
解：原式＝x
5. 计算：
(1) － ＋ ；
原式＝3 －2 ＋
＝ ；
原式＝3 －2 ＋
＝ ；
(2) ＋6 .
解： 原式＝2 ＋3
＝5 .
解： 原式＝2 ＋3
＝5 .
6. 计算：
(1)(＋5 )× ；
解：原式＝ 6＋10
(2)2(＋ )－3(－ )；
解：原式＝ 2 ＋2 －3 ＋9
＝11 －
解：原式＝ 6＋10
解：原式＝ 2 ＋2 －3 ＋9
＝11 －
(3) ÷ .
解：原式＝ ＋
＝ ＋
＝ .
解：原式＝ ＋
＝ ＋
＝ .
7. 计算：
(1) － ＋ (结果保留根号)；
解：原式＝3 －2 ＋
＝2
解：原式＝3 －2 ＋
＝2
(2)6 － .
解：原式＝6× －4
＝2 －4
＝－2
解：原式＝6× －4
＝2 －4
＝－2
8. 计算：
(1)(＋ )(－ )；
解：原式＝()2－()2
＝21－3
＝18
解：原式＝()2－()2
＝21－3
＝18
(2)(2 － )2.
解：原式＝(2 )2－2×2 × ＋()2
＝20－4 ＋2
＝22－4 .
解：原式＝(2 )2－2×2 × ＋()2
＝20－4 ＋2
＝22－4 .
9. 计算：
(1)－1× ÷6 ＋(－3)0；
解：原式＝ ×4 ÷6 ＋1
＝ ＋1
＝
解：原式＝ ×4 ÷6 ＋1
＝ ＋1
＝
(2)－12026＋－2－ －2× .
解：原式＝－1＋4－(－ ＋2)－
＝－1＋4＋ －2－
＝1
解：原式＝－1＋4－(－ ＋2)－
＝－1＋4＋ －2－
＝1
10. 计算：
(1) ＋ － × ；
解：原式＝2 ＋3 －6
＝－
解：原式＝2 ＋3 －6
＝－
(2)(＋ )× －4 .
解：原式＝ × ＋ × －4×
＝4 ＋2 －2
＝4
解：原式＝ × ＋ × －4×
＝4 ＋2 －2
＝4
11. 已知：x＝2－ ，y＝2＋ ，
求x2＋y2－3xy的值.
解：∵x＝2－ ，y＝2＋
∴原式＝(x－y)2－xy
＝［2－ －(2＋ )］2－(2－ )×(2＋ )
＝(－2 )2－(4－2)
＝8－2
＝6
解：∵x＝2－ ，y＝2＋
∴原式＝(x－y)2－xy
＝［2－ －(2＋ )］2－(2－ )×(2＋ )
＝(－2 )2－(4－2)
＝8－2
＝6
12. (1)计算：－1×(－ )0＋ － ；
解：原式＝3×1＋3 －
＝3＋2
(2)化简求值：
－a2 ＋6a ，其中a＝5.
解：原式＝2a －a ＋3a ＝4a
当a＝5时，
原式＝4×5× ＝20
解：原式＝2a －a ＋3a ＝4a
当a＝5时，
原式＝4×5× ＝20(共22张PPT)
第一部分　基础技能专题篇(夯实三基)
专题8　特殊的平行四边形的性质
1. 矩形的性质
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC、BD相交
于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长
为 .
3 　
2. 菱形的性质
(1)菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10，则S菱形ABCD
＝ ；
(2)菱形不具备的性质是(　B　)
A. 四条边都相等 B. 对角线一定相等
C. 是轴对称图形 D. 是中心对称图形
40　
B
3. 正方形的性质
(1)将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边
形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝
90°时，如图①，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图
②，AC＝(　A　).
A. B. 2 C. D. 2
A
(2)如图③，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且
BP＝BC，则∠ACP＝ .
22.5°　
4. 已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、
CD边上，BE＝DF，连接CE、AF. 求证：AF＝CE.
证明：在矩形ABCD中，有AD＝BC，
∠D＝∠B＝90°∵BE＝DF
∴△ADF≌△CBE∴AF＝CE
证明：在矩形ABCD中，有AD＝BC，
∠D＝∠B＝90°，∵BE＝DF
∴△ADF≌△CBE，∴AF＝CE
5. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是
(　D　).
A. 10 B. 8 C. 6 D. 5
D
6. 如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝
BF，EF与BC交于点G.
(1)求证：AE＝CF；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝CB，∠ABC＝90°
∴∠ABE＋∠EBC＝90°∵BE⊥BF
∴∠CBF＋∠EBC＝90°∴∠ABE＝∠CBF
又∵BE＝BF∴△ABE≌△CBF，∴AF＝CF
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝CB，∠ABC＝90°
∴∠ABE＋∠EBC＝90°，∵BE⊥BF
∴∠CBF＋∠EBC＝90°，∴∠ABE＝∠CBF
又∵BE＝BF，∴△ABE≌△CBF，∴AF＝CF
(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小.
(2)∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝35°
∵BE⊥BF，BE＝BF∴∠BEF＝∠BFE＝45°
∴∠EGC＝∠EBC＋∠BEF＝35°＋45°＝80°
解：(2)∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝35°
∵BE⊥BF，BE＝BF，∴∠BEF＝∠BFE＝45°
∴∠EGC＝∠EBC＋∠BEF＝35°＋45°＝80°
7. 如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8，0)，
点C的坐标为(0，4)，把矩形OABC沿OB折叠，点C落
在点D处，BD交OA于E.
(1)求证：△ODE≌△BAE；
(1)证明：∵四边形OABC是矩形
∴OC＝AB，∠OCB＝∠OAB＝90°
由折叠性质可知：OD＝OC，∠D＝∠OCB
∴OD＝AB，∠D＝∠OAB
又∵∠OED＝∠BEA，∴△ODE≌△BAE
(2)求点E的坐标.
解：(2)∵A(8，0)，C(0，4)，∴OA＝8，AB＝OC＝4
设OE＝x，则AE＝OA－OE＝8－x
由(1)已证△ODE≌△BAE，∴BE＝OE＝x.
在Rt△ABE中，有AE2＋AB2＝BE2
∴(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，∴E(5，0).
8. 如图，若菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(3，
0)、(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是
.
(－5，
4)　
9. 如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的
边AB、AD上，连接BF、DF.
(1)求证：BF＝DF；
(1)证明：在正方形ABCD中，有AB＝AD
在正方形AEFG中，有∠AEF＝∠AGF＝90°，
AE＝AG＝EF＝FG
∴∠BEF＝∠DGF＝90°，
AB－AE＝AD－AG，即BE＝DG
∴∠BEF≌△DGF，∴BF＝DF
(2)连接CF，请直接写出BE∶CF的值(不必写出计算过
程).
(2)BE∶CF＝
解：(2)BE∶CF＝
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形
ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，求折痕EF的长.
解：设BE＝x，则AE＝CE＝16－x
在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2
∴82＋x2＝(16－x)2，解得x＝6，
∴AE＝16－6＝10
由折叠性质可知，∠AEF＝∠CEF
在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE，∴AF＝AE＝10
过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形
∴EH＝AB＝8，AH＝BE＝6
∴FH＝AF－AH＝10－6＝4
在Rt△EFH中，有EF＝
＝ ＝4 .
11. 如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在AB、AD
上，BE＝DF，连接AC、EF，求证：AC⊥EF.
证明：∵AB＝AD，BE＝DF，∴AE＝AF，
又∵∠BAC＝∠DAC，
∴AC⊥EF.
证明：∵AB＝AD，BE＝DF，∴AE＝AF，
又∵∠BAC＝∠DAC，
∴AC⊥EF.
12. 如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，F为CD
上一点，∠EBC＝∠BEF.
(1)求证：BE平分∠AEF；
解：(1)证明：∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，
∵∠EBC＝∠BEF，∴∠AEB＝∠BEF，
∴BE平分∠AEF；
解：(1)证明：∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，
∵∠EBC＝∠BEF，∴∠AEB＝∠BEF，
∴BE平分∠AEF；
(2)求证：AE＋CF＝EF；
解：(2)证明：过点B作BH⊥EF于点H，连接BF.
解：(2)证明：过点B作BH⊥EF于点H，连接BF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝∠BHE＝90°，
∵BE平分∠AEF，∴BH＝BA＝BC，
∴Rt△HBE≌Rt△ABE(HL)，∴AE＝EH，
同理Rt△BFH≌Rt△BFC(HL)，
∴CF＝FH，∴AE＋CF＝EH＋FH＝EF；
(3)若E为AD 的中点，求 的值.
解：(3)∵E为AD的中点，∴设AE＝DE＝1，CF＝x，
则AD＝CD＝2，DF＝2－x，
由(1)是EF＝AE＋CF＝1＋x，
在Rt△DEF中，由勾股定理得DE2＋DF2＝EF2，
∴12＋(2－x)2＝(1＋x)2，解之得x＝ ，
∴CF＝ ，DF＝ ，∴ ＝2.
解：(3)∵E为AD的中点，∴设AE＝DE＝1，CF＝x，
则AD＝CD＝2，DF＝2－x，
由(1)是EF＝AE＋CF＝1＋x，
在Rt△DEF中，由勾股定理得DE2＋DF2＝EF2，
∴12＋(2－x)2＝(1＋x)2，解之得x＝ ，
∴CF＝ ，DF＝ ，∴ ＝2.(共20张PPT)
第一部分　基础技能专题篇(夯实三基)
专题16　与一次函数有关的面积问题
1. 直线与两坐标轴围成的三角形面积
直线y＝x－4与x轴交于点A，与y轴于交点B.
(1)写出A、B两点坐标；
解：(1)A(4，0)，B(0，－4)
解：(1)A(4，0)，B(0，－4)
(2)求△AOB的面积.
解：(2)S△AOB＝ AO BO
＝ ×4×4
＝8.
解：(2)S△AOB＝ AO BO
＝ ×4×4
＝8.
2. 两直线与一条坐标轴围成的三角形面积.
直线y＝2x与直线y＝－x＋6交于点A，直线y＝－x＋6
与x轴交于点B，求△AOB的面积.
解：由题意可知B(6，0)
解得 ，
∴A(2，4)
过A点作AD⊥BD于D，
解：由题意可知B(6，0)
，解得 ，
∴A(2，4)
过A点作AD⊥BD于D，
∴AD＝4
∴S△AOB＝ BO AD＝ ×6×4＝12.
3. 如图，已知直线y＝kx＋4与坐标轴围成的△AOB的
面积为12，求k的值.
解：由题意得 AO OB＝12，AO＝4
∴BO＝6
∴将B(－6，0)代入y＝kx＋4得k＝ .
解：由题意得 AO OB＝12，AO＝4
∴BO＝6
∴将B(－6，0)代入y＝kx＋4得k＝ .
4. 如图，直线y＝－2x＋4与y＝－ x＋m交于点P(n，
－4).
(1)求m、n的值；
解：(1)将P(n，－4)代入y＝－2x＋4得n＝4.
将P(4，－4)代入y＝－ x＋m得m＝－2
解：(1)将P(n，－4)代入y＝－2x＋4得n＝4.
将P(4，－4)代入y＝－ x＋m得m＝－2
(2)求△ABP的面积.
解：(2)由题意及(1)得
AO＝4，BO＝2，过P点作PC⊥y轴于C
∴S△ABP＝ AB PC＝ ×(4＋2)×4＝12
解：(2)由题意及(1)得
AO＝4，BO＝2，过P点作PC⊥y轴于C
∴S△ABP＝ AB PC＝ ×(4＋2)×4＝12
5. 如图，已知过点B(1，0)的直线l1与直线l2：y＝2x＋4
相交于点P(－1，a).
(1)求直线l1的解析式；
解：(1)∵点P(－1，a)在直线l2：y＝2x＋4上，
∴2×(－1)＋4＝a，即a＝2，
则P的坐标为(－1，2)，
设直线l1的解析式为：
y＝kx＋b(k≠0)，
y＝kx＋b(k≠0)，则 ，解得 ，
∴l1的解析式为：y＝－x＋1.
则 ，解得 ，
∴l1的解析式为：y＝－x＋1.
(2)求四边形PAOC的面积.
解：(2)∵直线l1与y轴相交于点C，
∴C的坐标为(0，1)，
又∵直线l2与x轴相交于点A，
∴A点的坐标为(－2，0)，
则AB＝3，而S四边形PAOC＝S△PAB－S△BOC，
∴S四边形PAOC＝ ×3×2－ ×1×1＝ .
6. 已知直线y＝－ x＋3如图所示.
(1)求A、B的坐标；
解：(1)令x＝0得y＝3
令y＝0，得x＝6∴A(0，3)，B(6，0)
解：(1)令x＝0得y＝3
令y＝0，得x＝6，∴A(0，3)，B(6，0)
解：(2)S△ABO＝ ×6×3＝9
由题意知C(－3，0)设M点的坐标为(a，a＋3)
①点M在线段AC上时：
∵S△ABM＝S△ABC－S△MBC
∴9＝ ×9×3－ ×9×(a＋3)
∴a＝－2，M1(－2，1)
(2)点M是直线y＝x＋3上的一点，若S△ABM＝S△ABO，
求M点的坐标.
∵S△ABM＝S△MBC－S△ABC
∴9＝ ×9×(a＋3)－ ×9×3
∴a＝2，M2(2，5)
综上所述，M点的坐标为：(－2，1)或(2，5)
∵S△ABM＝S△MBC－S△ABC
∴9＝ ×9×(a＋3)－ ×9×3
∴a＝2，M2(2，5)
综上所述，M点的坐标为：(－2，1)或(2，5)
②点M在第一象限的直线AC上时：
7. 如图，点A、B、C、D在坐标轴上，点C(－1，0)，
D(0，2)，B(0，－3)，直线AB与CD交于点E(m，－2).
(1)求直线AB、CD的解析式；
解：(1)设直线AB、CD的解析式分别为
y＝kx＋b，y＝ax＋c
则 ，∴ ，
∴yCD＝2x＋2∴2m＋2＝－2，∴m＝－2，
解：(1)设直线AB、CD的解析式分别为
y＝kx＋b，y＝ax＋c
则 ，∴ ，
∴yCD＝2x＋2∴2m＋2＝－2，∴m＝－2，
∴E(－2，－2)∴ ，∴ ，
∴yAB＝－ x－3
∴E(－2，－2)，∴ ，∴ ，
∴yAB＝－ x－3
(2)求△BCE的面积.
解：(2)S△BCE＝S△BED－S△BCD
＝ ×5×2－ ×5×1＝ .
解：(2)S△BCE＝S△BED－S△BCD
＝ ×5×2－ ×5×1＝ .
8. 如图，直线y＝－x＋b与直线y＝kx交于点B(3，
1)，点C(0，－4).
(1)求k与b的值；
解：(1)由题意得 ，∴
解：(1)由题意得 ，
∴
(2)若CD∥BO交AB于D，求点D的坐标；
解：(2)设直线CD的解析式为y＝mx＋n
∴ ，∴y＝ x－4
由 ，得 ，
∴D(6，－2)
解：(2)设直线CD的解析式为y＝mx＋n
∴ ，∴y＝ x－4
由 ，得 ，
∴D(6，－2)
(3)连接CB，求△BCD的面积.
解：(3)S△BCD＝S△ADC－S△ABC
＝ ×8×6－ ×8×3
＝12
解：(3)S△BCD＝S△ADC－S△ABC
＝ ×8×6－ ×8×3
＝12(共22张PPT)
第一部分　基础技能专题篇(夯实三基)
专题7　平行四边形的性质与判定
1. 平行四边形的性质
(1)如图， ABCD中，下列说法一定正确的是(　C　)；
A. AC＝BD
B. AC⊥BD
C. AB＝CD
D. AB＝BC
C
(2)在平行四边形ABCD中，∠A＝100°，AD＝3 cm，
CD＝2 cm，则∠C＝ °，∠B＝ °，平
行四边形的周长为 .
100　
80　
10 cm　
2. 平行四边形的判定
已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC
上，且AE＝CF. 求证：四边形BEDF是平行四边形.
证明：连接BD交AC于点O
在 ABCD中，有OA＝OC，OB＝OD
∵AE＝CF∴OA－AE＝OC－CF即OE＝OF
∴四边形BEDF是平行四边形.
证明：连接BD交AC于点O
在 ABCD中，有OA＝OC，OB＝OD
∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF
∴四边形BEDF是平行四边形.
3. (1)如图，在 ABCD中，AB＝10， AD＝6，
AC⊥BC，则BD＝ ；
4 　
(2)如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，
若AD＝6，AC＋BD＝16，则△BOC的周长为 .
14　
4. 如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，M、N
分别是AD、BC的中点，BC＝2CD.
(1)求证：四边形MNCD是平行四边形；
证明：(1)在 ABCD中，有AD∥BC，AD＝BC
∴DM∥CN，∵M、N分别是AD、BC的中点
∴DM＝ AD，CN＝ BC，∴DM＝CN
∴四边形MNCD是平行四边形
(2)求证：BD＝ MN.
证明：(2)连接DN
证明：(2)连接DN
由(1)已证：四边形MNCD是平行四边形
∴MN＝DC，∵N是BC的中点，∴BC＝2CN
∵BC＝2CD，∴CD＝CN
又∵∠C＝60°，∴△CDN是等边三角形
∴DN＝CN＝BN，∠DNC＝60°
∴∠DBN＝∠BDN＝ ∠DNC＝30°
∴∠BDC＝90°
∴BD＝
＝ CD＝ MN
＝ CD＝ MN
＝
5. 如图， 点E是 ABCD的CD边的中点，AE、BC的
延长线交于点F，CF＝5，CE＝3，求 ABCD的周长.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF.
∵点E是CD的中点，∴ED＝EC.
∴△ADE≌△FCE(AAS).
∴AD＝CF＝5，DE＝CE＝3∴DC＝6，
∴平行四边形ABCD的周长为2(AD＋DC)＝22.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF.
∵点E是CD的中点，∴ED＝EC.
∴△ADE≌△FCE(AAS).
∴AD＝CF＝5，DE＝CE＝3，∴DC＝6，
∴平行四边形ABCD的周长为2(AD＋DC)＝22.
6. 如图，BD是 ABCD的对角线，AE⊥BD于点E，
CF⊥BD于点F，求证：四边形AECF为平行四边形.
证明：(方法一)证△ABE≌△CDF，
∴AE CF，∴四边形AECF为平行四边形.
(方法二)证△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，∴BF＝DE，∴△ABF≌△CDE.
∴∠AFB＝∠DEC，∴AF∥CE.
∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形.
(方法三)连接AC交BD于点O.
证明：(方法一)证△ABE≌△CDF，
∴AE CF，∴四边形AECF为平行四边形.
(方法二)证△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，∴BF＝DE，∴△ABF≌△CDE.
∴∠AFB＝∠DEC，∴AF∥CE.
∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形.
(方法三)连接AC交BD于点O.
∵AO＝CO，∴△AOE≌△COF.
∴OE＝OF∴四边形 AECF为平行四边形.
∵AO＝CO，∴△AOE≌△COF.
∴OE＝OF，∴四边形 AECF为平行四边形.
7. 如图， ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C
两点作AE⊥BD、CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长
AE、CF分别交CD、AB于M、N.
(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；
解：(1)证明：易证AM∥CN
而CM∥AN. 得证；
解：(1)证明：易证AM∥CN
而CM∥AN. 得证；
(2)已知DE＝12，FN＝5，求BN的边.
解：(2)易证△DAE≌△BCF，
得BF＝DE＝12
而FN＝5，∠NFB＝90°，
由勾股定理得BN＝13.
解：(2)易证△DAE≌△BCF，
得BF＝DE＝12
而FN＝5，∠NFB＝90°，
由勾股定理得BN＝13.
8. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB的延长线
上，且EC∥BD，求证：BE＝AB.
证明：在 ABCD中，AB CD
∴BE∥CD∵EC∥BD
∴四边形BECD是平行四边形
∴BE＝CD，　又∵AB＝CD，∴BE＝AB.
证明：在 ABCD中，AB CD
∴BE∥CD，∵EC∥BD
∴四边形BECD是平行四边形
∴BE＝CD，又∵AB＝CD，∴BE＝AB.
9. 如图，在 ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、
BC、CD、DA上的点，且AE＝CG，BF＝DH，求
证：EG与FH互相平分.
证明：连接GH、HE、EF、FG，
证△AHE≌△CFG，△DHG≌△BFE.
∴HE＝FG，HG＝EF，
∴四边形HEFG为平行四边形，
∴EG与FH互相平分.
证明：连接GH、HE、EF、FG，
证△AHE≌△CFG，△DHG≌△BFE.
∴HE＝FG，HG＝EF，
∴四边形HEFG为平行四边形，
∴EG与FH互相平分.
10. 如图，点O是 ABCD对角线AC的中点，过点O的
直线ME、NF交边于M、E、N、F，求证：MN綊
EF.
证明：连接MF、NE，证△AOM≌△COE，
△AOF≌△CON，∴OM＝OE，OF＝ON.
∴四边形MNEF为平行四边形，∴MN EF.
证明：连接MF、NE，证△AOM≌△COE，
△AOF≌△CON，∴OM＝OE，OF＝ON.
∴四边形MNEF为平行四边形，∴MN EF.(共16张PPT)
第一部分　基础技能专题篇(夯实三基)
专题19　一次函数的应用(方案设计)
1. 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品，已
知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品
和4个B奖品共需210元.
(1)求A、B两种奖品的单价；
解：(1)设A、B两种奖品的单价分别为x元、y元，由题
意得 ，∴
答：A、B两种奖品的单价分别为30元、15元；
解：(1)设A、B两种奖品的单价分别为x元、y元，由题
意得 ，∴
答：A、B两种奖品的单价分别为30元、15元；
(2)学校准备购买A、B两种奖品共30个，且A奖品的数
量不少于B奖品数量的 ，请设计出最省钱的购买方案，
并说明理由.
解：(2)方案：购买A种奖品8个，B种奖品22个.
理由如下：
设学校准备购买A种奖品m个，
则B种奖品购买(30－m)个，依题意得m≥ (30－m)，
解得m≥7.5，且m为整数；
w＝30m＋15(30－m)＝15m＋450，
因为w随m的增大而增大，故当m＝8时，购买A、B两
种类品所需的钱数最少，此时购买A种奖品8个，B种
奖品22个.
2. 有A、B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比
B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾
少发1800度电.
(1)求焚烧1吨垃圾，A和B各发多少度电？
解：(1)设焚烧1吨垃圾，A发电厂发电a度，B发电厂发
电b度，
依题意得 解之得
答：焚烧1吨垃圾，A发电厂发电300度，B发电厂发电
260度.
解：(1)设焚烧1吨垃圾，A发电厂发电a度，
B发电厂发电b度，
依题意得 解之得
答：焚烧1吨垃圾，A发电厂发电300度，
B发电厂发电260度.
(2)A、B两个发电厂共焚烧90吨垃圾，A焚烧的垃圾不
多于B焚烧的垃圾的两倍，求A厂和B厂总发电量的最
大值.
解：(2)设A发电厂焚烧x吨垃圾，
则B发电厂焚烧(90－x)吨，总发电量为y度，
则y＝300x＋260(90－x)＝40x＋23400，
∵x≤2(90－x)，
∴x≤60.
∵40＞0
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝60时，y取最大值为25800.
答：A、B发电厂发电总量最大是25800度.
3. 我市荸荠喜获丰收，某生产基地收获荸荠40吨.经市
场调查，可采用批发、零售、加工销售三种销售方式，
这三种销售方式每吨荸荠的利润如下表：
销售方式 批发 零售 加工销售
利润(百元/吨) 12 22 30
设按计划全部售出后的总利润为y百元，其中批发量为x
吨，且加工销售量为15吨.
(1)求y与x之间的函数关系式；
解：(1)依题意可知零售量为(25－x)吨，
则y＝12x＋22(25－x)＋30×15，
∴y＝－10x＋1000；
解：(1)依题意可知零售量为(25－x)吨，
则y＝12x＋22(25－x)＋30×15，
∴y＝－10x＋1000；
(2)若零售量不超过批发量的4倍，求该生产基地按计划全
部售完后获得的最大利润.
解：(2)依题意得 ，解得5≤x≤25.
∵k＝－10＜0，∴y随x的增大而减小.
∴当x＝5，y有最大值，且最大值为950百元.
解：(2)依题意得 ，解得5≤x≤25.
∵k＝－10＜0，∴y随x的增大而减小.
∴当x＝5，y有最大值，且最大值为950百元.
4. 某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的
文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考
虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y(个)与甲品
牌文具盒的数量x(个)之间的函数关系如图所示.当购进
的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品
牌文具盒共需7200元.
(1)根据图象，求y与x之间的函数关系式；
解：(1)y与x之间的函数关系式为
y＝－x＋300；
(2)求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；
解：(2)∵y＝－x＋300，∴当x＝120时，y＝180.
设甲品牌进货单价是a元，
则乙品牌的进货单价是2a元，
依题意得120a＋180×2a＝7200，解得a＝15，
∴乙品牌的进货单价是30元.
答：甲、乙两种品牌的文具盒进货单价分别为15元、30
元；
解：(2)∵y＝－x＋300，∴当x＝120时，y＝180.
设甲品牌进货单价是a元，
则乙品牌的进货单价是2a元，
依题意得120a＋180×2a＝7200，解得a＝15，
∴乙品牌的进货单价是30元.
答：甲、乙两种品牌的文具盒进货单价分别为15元、30
元.
(3)若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每
销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，
超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品
牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不
低于1795元，问该超市有几种进货方案？哪种方案能使
获利最大？最大获利为多少元？
解：(3)设甲品牌进货m个，
则乙品牌的进货(－m＋300)个，
依题意得
解得180≤m≤181，∵m为整数，∴m＝180，181.
∴共有两种进货方案：
方案1：甲品牌进货180个，则乙品牌进货120个；
方案2：甲品牌进货181个，则乙品牌进货119个；
设两种品牌的文具盒全部售出后获得的利润为W元，
依题意得W＝4m＋9(－m＋300)＝－5m＋2700，
∴当m＝180时，W最大＝1800元.(共21张PPT)
第一部分　基础技能专题篇(夯实三基)
专题17　一次函数的应用(分段函数)
1. 一辆汽车在行驶过程中，路程y(千米)与时间x(小时)
之间的函数关系如图所示，当0≤x≤1时，y关于x的函
数解析式为y＝60x，那么当1≤x≤2时，y关于x的函数
解析式为 .
y＝100x－40　
2. 已知某市2025年企业用水量x(吨)与该月应交的水费
y(元)之间的函数关系如图.
(1)求y关于x的函数关系式；
解：(1)当0≤x≤50时，
设y关于x的函数关系式为y＝kx，
依题意得50k＝200，解得k＝4
∴当0≤x≤50时，y＝4x；
当x＞50时，设y关于x的函数关系式为y＝mx＋n，
依题意得 ，解得
∴当x＞50时，y＝6x－100
∴y关于x的函数关系式为：
y＝
依题意得 ，解得
∴当x＞50时，y＝6x－100
∴y关于x的函数关系式为：
y＝
(2)若某企业2025年10月份的水费为620元，求该企业2025
年10月份的用水量.
解：(2)依题意得：6x－100＝620解得x＝120
答：该企业2025年10月份的用水量为120吨.
解：(2)依题意得：6x－100＝620，解得x＝120
答：该企业2025年10月份的用水量为120吨.
3. 如图所示中的折线ABC为甲地向乙地打长途电话需付
的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系，则通
话8分钟应付电话费 元.
4.5　
4. 如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩
余电量y(千瓦时)关于已行驶路程x(千米)的函数图象.
(1)根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽
车已行驶的路程.当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽
车能行驶的路程；
解：(1)由图象可知，蓄电池剩余电量为
35千瓦时时汽车已行驶了150千米.
1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：
＝6千米；
解：(1)由图象可知，蓄电池剩余电量为
35千瓦时时汽车已行驶了150千米.
1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：
＝6千米；
(2)当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算
当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量.
解：(2)设当150 ≤x≤200时，
y关于x的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
依题意得
，
解得 ，∴y＝－0.5x＋110，
当x＝180时，y＝－0.5×180＋110＝20，
答：当150≤x≤200时，函数表达式为y＝－0.5x＋
110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20
千瓦时.
答：当150≤x≤200时，函数表达式为y＝－0.5x＋
110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20
千瓦时.
5. “黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买
2 kg以上的种子，超过2 kg部分的种子的价格打8折.
(1)根据题意，填写下表：
购买种子的数量/kg 1.5 2 3.5 4 …
付款金额/元 7.5 10 16 18 …
10
18
(2)设购买种子数量为x kg，付款金额为y元，求y关于x
的函数解析式；
解：(2)依题意得当0≤x≤2时，y＝5x
当x＞2时，y＝5×2＋5×0.8(x－2)＝4x＋2
∴y关于x的函数解析式为：
y＝
解：(2)依题意得，当0≤x≤2时，y＝5x
当x＞2时，y＝5×2＋5×0.8(x－2)＝4x＋2
∴y关于x的函数解析式为：
y＝
(3)若小张一次购买该种子花费了30元，求他购买种子的
数量.
(3)∵30＞5×2＝10，∴4x＋2＝30
解得：x＝7
答：他购买种子的数量为7 kg.
解：(3)∵30＞5×2＝10，∴4x＋2＝30
解得：x＝7
答：他购买种子的数量为7 kg.
6. 如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现
以一定的速度往水槽中注水，28 s时注满水槽.水槽内
水面的高度y(cm)与注水时间x(s)之间的函数图象如图
②所示.
(1)正方体的棱长为 cm；
10　
(2)求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值
范围；
解：(2)设线段AB对应的函数解析式为y＝kx＋b，
依题意得 ，解得
∴y＝ x＋ ，(12≤x≤28)
(3)如果将正方体铁块取出，又经过t(s)恰好将此水槽注
满，直接写出t的值.
解：(3)因为28－12＝16(s)
所以没有立方体时，水面上升10 cm所用时间为16秒.
因为前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快
了4秒.
所以将正方体铁块取出，经过4秒恰好将此水槽注满.
解：(3)因为28－12＝16(s)
所以没有立方体时，水面上升10 cm所用时间为16秒.
因为前12秒由于立方体的存在，
导致水面上升速度加快了4秒.
所以将正方体铁块取出，
经过4秒恰好将此水槽注满.
7. 某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5
千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千
克，则超过5千克部分的种子价格打8折.设一次购买量为
x千克，付款金额为y元.
(1)求y关于x的函数解析式；
解：(1)根据题意，得①当0≤x≤5时，y＝20x；
②当x＞5时，y＝20×5＋20×0.8(x－5)＝16x＋20；
解：(1)根据题意，得①当0≤x≤5时，y＝20x；
②当x＞5时，y＝20×5＋20×0.8(x－5)＝16x＋20；
(2)某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？
解：(2)把x＝30代入y＝16x＋20，
得y＝16×30＋20＝500；
∴一次购买玉米种子30千克，需付款500元.
解：(2)把x＝30代入y＝16x＋20，
得y＝16×30＋20＝500；
∴一次购买玉米种子30千克，需付款500元.
8. 某市出租车计费方法如图所示，x(km)表示行驶里
程，y(元)表示车费，请根据图象回答下面的问题：
(1)出租车的起步价是 元；
8　
(2)当x＞3时，求y关于x的函数关系式；
解：(2)设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b，
依题意得： ，解得
∴x＞3时，y关于x的函数关系式为y＝2x＋2；
解：(2)设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b，
依题意得： ，解得
∴x＞3时，y关于x的函数关系式为y＝2x＋2；
(3)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客
乘车的里程.
解：(3)依题意得2x＋2＝32
解得x＝15
解：(3)依题意得2x＋2＝32
解得x＝15
答：这位乘客乘车的里程为15 km.(共21张PPT)
第一部分　基础技能专题篇(夯实三基)
专题9　特殊平行四边形的判定
1. 矩形的判定
(1)有 个角是直角的四边形是矩形；
(2)有 个角是直角的平行四边形是矩形；
(3)对角线 的平行四边形是矩形.
三　
一　
相等　
2. 菱形的判定
(1)有 边相等的四边形是菱形；
(2)有一组 边相等的平行四边形是菱形；
(3)对角线 的平行四边形是菱形.
四条　
邻　
互相垂直　
3. 正方形的判定
(1)有一组 边相等的矩形是正方形；
(2)有 个角是直角的菱形是正方形.
邻　
一　
4. 如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射
线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E、F，连接
BE、CF.
(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的
条件是 ，并证明；
HE＝HF　
(1)证明：∵H是BC的中点，∴BH＝CH
又∵HE＝HF，∠BHF＝∠CHF
∴△BEH≌△CFH
(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形
BFCE是矩形，请说明理由.
解：(2)当BH＝EH时，四边形BFCE是矩形，
理由如下：
由(1)已证△BEH≌△CFH
∴BE＝CF，∠EBH＝∠FCH，∴BE∥CF
∴四边形BFCE是平行四边形
∴BC＝2BH，EF＝2EH
∵BH＝EH，∴BC＝EF，∴四边形BFCE是矩形
5. 如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是
AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连
接AE. 求证：四边形AEBD是菱形.
证明：在 ABCD中，有AD∥BC∴AD∥EB
∴∠DAF＝∠EBF，∠ADF＝∠BEF
∵点F是AB的中点，∴AF＝BF
∴△ADF≌△BEF，∴AD＝EB
∴四边形AEBD是平行四边形
∵BD＝DA，∴四边形AEBD是菱形.
证明：在 ABCD中，有AD∥BC，∴AD∥EB
∴∠DAF＝∠EBF，∠ADF＝∠BEF
∵点F是AB的中点，∴AF＝BF
∴△ADF≌△BEF，∴AD＝EB
∴四边形AEBD是平行四边形
∵BD＝DA，∴四边形AEBD是菱形.
6. 如图，在正方形ABCD中，AC、BD交于点O，
DE∥AC，CE∥BD. 求证：四边形OCED是正方形.
证明：由正方形性质可知OC＝OD，OC⊥CD，
故再只证四边形OCED为平行四边形即可.
证明：由正方形性质可知OC＝OD，OC⊥CD，
故再只证四边形OCED为平行四边形即可.
7. 如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点B
作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作
DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN、EM.
则下列结论：
①DN＝BM； ②EM∥FN；
③AE＝FC； ④当AO＝AD时，
四边形DEBF是菱形.
其中，正确结论的个数是(　D　)
D
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中
点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线
于点F，连接CF.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，∴AE＝DE
又∵∠AEF＝∠BED，
∴△AEF≌△DEB；
(2)求证：四边形ADCF是菱形.
证明：(2)由(1)知，△AEF≌△DEB，∴AF＝BD，
又∵BD＝CD，∴AF＝CD，且AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝ BC＝CD，
∴四边形ADCF是菱形.
证明：(2)由(1)知，△AEF≌△DEB，∴AF＝BD，
又∵BD＝CD，∴AF＝CD，且AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝ BC＝CD，
∴四边形ADCF是菱形.
9. 如图，在四边形ABEC中，∠ACB＝90°，
CE∥AB，D为AB边上一点，DE⊥BC于点F，连接
CD.
(1)求证：CE＝AD；
解：(1)证明：∵DE⊥BC，
∴∠DBF＝90°，∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB. ∴AC∥DE
∵CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
(2)若D为AB的中点，则∠A＝ °时，四边形
BECD是正方形.
45　
10. 已知：如图， ABCD中，O是CD的中点，连接
AO并延长，交BC的延长线于点E.
(1)求证：△AOD≌△EOC；
(1)证明：在 ABCD中，有AB∥BC
∴∠DAO＝∠E，∠D＝∠ECO
∵O是CD中点，∴OD＝OC
∴△AOD≌△EOC
(2)连接AC、DE，当∠B＝∠AEB＝ °时，四边
形ACED是正方形？请说明理由.
45　
解：(2)由(1)已证△AOD≌△EOC
∴OA＝OE，OD＝OC，AD＝CE
∴四边形ACED是平行四边形
在 ABCD中，有AD＝BC，∴BC＝CE
∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°
∴AC⊥BE，AC＝ BE＝CE，∴∠ACE＝90°
∴四边形ACED是正方形.
11. 如图， 矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对
角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点
E、F，DE＝DF.
(1)求证：四边形DEBF是菱形；
解：(1)证明：易证△DOF≌△BOE(ASA)，
∴DF＝BE，　又∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DE＝DF， BEDF是菱形；
解：(1)证明：易证△DOF≌△BOE(ASA)，
∴DF＝BE，又∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DE＝DF， BEDF是菱形；
(2)若AB＝8，AD＝6，求EF的长.
解：(2)由(1)知：四边形DEBF是菱形，
∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，
设AE＝x，则DE＝BE＝8－x，
∵AE2＋AD2＝DE2，∴x2＋62＝(8－x)2，x＝ ，
∴BE＝DE＝8－ ＝ ，
解：(2)由(1)知：四边形DEBF是菱形，
∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，
设AE＝x，则DE＝BE＝8－x，
∵AE2＋AD2＝DE2，∴x2＋62＝(8－x)2，x＝ ，
∴BE＝DE＝8－ ＝ ，
∵BD＝10，S菱形DEBF＝ BD EF＝BE AD
∴ ×10×EF＝ ×6，∴EF＝ .
∵BD＝10，S菱形DEBF＝ BD EF＝BE AD
∴ ×10×EF＝ ×6，∴EF＝ .
12. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
分别延长OA、OC到点E、F，使AE＝CF，依次连接
B、F、D、E各点.
(1)求证：△BAE≌△BCF；
解：(1)证明：在菱形ABCD中，BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，∴∠BAE＝∠BCF，
又∵AE＝CF，∴△BAE≌△BCF(SAS).
(2)若∠ABC＝44°，则当∠EBA＝ °时，四边形
BFDE是正方形. S).
23　(共14张PPT)
第一部分　基础技能专题篇(夯实三基)
专题3　巧用二次根式的非负性解题
1. 利用二次根式的被开方数为非负数
(在 中a≥0)求字母的取值范围.
(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围
是(　C　)；
A. x＞3 B. x＜3
C. x≥3 D. x≠3
(2)若二次根式 有意义，取x的取值范围是
.
C
x≥－
4　
2. 利用二次根式的结果为非负数进行化简
(≥0， ＝ )
(1)二次根式 的值是(　B　)；
A. 9 B. 3 C. －3 D. 3或－3
B
(2)若实数a、b满足 ＋ ＝0，求a＋b的值.
解：∵ ＋ ＝0
∴a＋1＝0，b－2＝0
∴a＝－1，b＝2
∴a＋b＝－1＋2＝1
解：∵ ＋ ＝0
∴a＋1＝0，b－2＝0
∴a＝－1，b＝2
∴a＋b＝－1＋2＝1
3. (1)使得代数式 有意义的x的取值范围是
；
(2)代数式 有意义，则x的取值范围是 　x≤ 　.
x＞
3　
x≤ 　
4. (1)若 ＋ ＝0，则xy的值为(　A　)；
A. 12 B. 8 C. 2 D. －6
(2)已知x＝2－ ，化简： .
解：∵x＝2－ ∴x－2＝－
∴原式＝ ＝
＝ ＝
A
解：∵x＝2－ ，∴x－2＝－
∴原式＝
＝
＝
＝
5. (1)式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围
是(　C　)；
A. x＞0 B. x≥－1
C. x≥1 D. x≤1
(2)二次根式 有意义时，x应满足的条件是
；
C
x＞
8　
(3)要使式子 有意义，则a的取值范围为
；
(4)要使式子 有意义，则a的取值范围是
.
a≥－2且a≠－1　
a≥3　
6. 若y＝ －2，求(x＋y)y的值.
解：依题意得 解得x＝4
∴y＝ －2＝－2
∴(x＋y)y＝(4－2)－2＝2－2＝ .
解：依题意得 解得x＝4
∴y＝ －2＝－2
∴(x＋y)y＝(4－2)－2＝2－2＝ .
7. 若a＞2，化简： － ＝ .
－1
8. 实数a在数轴上的位置如图，
化简： ＋ .
解：如图可知：a－1＜0，a＋2＞0
∴原式＝ ＋
＝－a＋1＋a＋2
＝3
解：如图可知：a－1＜0，a＋2＞0
∴原式＝ ＋
＝－a＋1＋a＋2
＝3
9. (1)二次根式 有意义，则实数x的取值范围
是 ；
(2)若 ＝1－m，则m的取值范围
为 ；
x≥4　
m≤1　
(3)若代数式 ＋ 在实数范围内有意义，求
x的取值范围.
解：依题意得 解得x≥2
∴x的取值范围为x≥2.
解：依题意得 解得x≥2
∴x的取值范围为x≥2.
10. 若 ＋ ＝a＋3，求a的值.
解：由题意可知：a－1≥0
∴ －(1－a)＝a＋3，
∴ ＝4.∴a＝17.
11. 当x＜0时，化简： ＝ 　－ 　.
解：由题意可知：a－1≥0
∴ －(1－a)＝a＋3，
∴ ＝4. ∴a＝17.
－ 　
12. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：
－ ＋ .
解：由题意得：1＜a＜2，b＜－2
∴a＋2＞0，b－2＜0，a＋b＜0
∴原式＝ － ＋
＝(a＋2)－(－b＋2)＋(－a－b)
＝a＋2＋b－2－a－b
＝0
解：由题意得：1＜a＜2，b＜－2
∴a＋2＞0，b－2＜0，a＋b＜0
∴原式＝ － ＋
＝(a＋2)－(－b＋2)＋(－a－b)
＝a＋2＋b－2－a－b
＝0(共18张PPT)
第一部分　基础技能专题篇(夯实三基)
专题12　求一次函数的解析式(1)
1. 知一点，求一次函数的解析式
(1)已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝8，则这个函数
关系式为 ；
(2)如图，直线l是一次函数y＝kx＋b的图象，则k
＝ ，b＝ ；
y＝4x　
　
1　
(3)已知一次函数y＝2x＋b过点(1，3)，则b＝ .
1　
2. 知两点，求一次函数的解析式
已知一次函数的图象经过点(3，5)和点(－2，－5)，求这
个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b，
则 解得
∴这个一次函数的解析式为y＝2x－1.
解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b，
则 解得
∴这个一次函数的解析式为y＝2x－1.
3. 知平移，求一次函数的解析式
将函数y＝－3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，
所得图象对应的函数关系式为(　A　).
A. y＝－3x＋2 B. y＝－3x－2
C. y＝－3(x＋2) D. y＝－3(x－2)
A
4. 知轴对称，求一次函数的解析式
已知直线y＝3x－6与直线l关于y轴对称，则直线l的解
析式为 .
y＝－3x－6　
5. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中
心与原点重合，顶点A的坐标为(－1，1)，顶点B在第一
象限.若点B在直线y＝kx＋3上，则k的值为 .
－2　
6. 设一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过A(1，3)、
B(0，－2)两点，试求k、b的值.
解：依题意得 ，解得
7. 将一次函数y＝3x－1的图象沿y轴向上平移3个单位
后，得到的图象对应的函数关系式为 .
8. 已知直线y＝3x－6与直线l关于x轴对称，则直线l的
解析式为 .
解：依题意得 ，解得
y＝3x＋2　
y＝－3x＋6　
9. 已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(3，－3)，且与
x轴交于点 .
(1)求这个一次函数的解析式；
解：(1)依题意得 解得
∴函数解析式为y＝－ x＋1；
解：(1)依题意得 解得
∴函数解析式为y＝－ x＋1；
(2)求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.
解：(2)∵直线y＝－ x＋1与x轴交于A ，
与y轴交于B(0，1)，∴S△AOB＝ × ×1＝ .
解：(2)∵直线y＝－ x＋1与x轴交于A ，
与y轴交于B(0，1)，∴S△AOB＝ × ×1＝ .
10. 下表中，y是x的一次函数.
x －2 1 2 4 5
y 6 －3 －6 －12 －15
求该函数的表达式，并补全表格.
解：设该函数的表达式为y＝kx＋b，依题意得
，解得
∴该函数的表达式为y＝－3x.
4
－6
解：设该函数的表达式为y＝kx＋b，依题意得
，解得
∴该函数的表达式为y＝－3x.
11. 如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x
的图象相交于点B，求这个一次函数的解析式.
解：当x＝1时，有y＝2×1＝2∴B(1，2)
设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b，
则 ，解得
∴这个一次函数的解析式为y＝－x＋3.
解：当x＝1时，有y＝2×1＝2，∴B(1，2)
设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b，
则 ，解得
∴这个一次函数的解析式为y＝－x＋3.
12. 已知三点A(3，1)，B(0，－2)，C(4，2).
(1)求直线AB的解析式；
解：(1)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
依题意得： ，解得
∴直线AB的解析式为y＝x－2；
解：(1)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
依题意得： ，解得
∴直线AB的解析式为y＝x－2；
(2)求证：A、B、C三点在同一直线上.
解：(2)证明：∵当x＝4时，y＝2，
∴点C(4，2)在直线AB上，即A、B、C在同一条直线上.
解：(2)证明：∵当x＝4时，y＝2，
∴点C(4，2)在直线AB上，即A、B、C在同一条直线上.
13. 如图，点A(1，3).
(1)求直线OA的解析式；
解：(1)设直线OA的解析式为y＝kx，
则1 k＝3，解得k＝3
∴直线OA的解析式为y＝3x；
解：(1)设直线OA的解析式为y＝kx，
则1 k＝3，解得k＝3
∴直线OA的解析式为y＝3x；
(2)在x轴正半轴上有一点B，若△AOB的面积为6，求直
线AB的解析式.
解：(2)∵S△AOB＝6∴ OB 3＝6解得OB＝4
∴B(4，0)设直线AB的解析式为y＝mx＋n，
解：(2)∵S△AOB＝6，∴ OB 3＝6，解得OB＝4
∴B(4，0)，设直线AB的解析式为y＝mx＋n，
则 ，解得
∴直线AB的解析式为y＝－x＋4.
14. 已知函数y＝(m－1)x＋m＋2.
(1)若函数图象经过原点，求m的值；
解：(1)依题意得：m＋2＝0，解得m＝－2
(2)若函数图象在y轴的交点与原点O的距离为2，求m
的值；
解：(2)依题意得： ＝2，解得m＝0或m＝－4
(3)若函数的图象平行直线y＝3x－3，求m的值.
解：(3)依题意得：m－1＝3，解得m＝4.
解：(1)依题意得：m＋2＝0，解得m＝－2
解：(2)依题意得： ＝2，解得m＝0或m＝－4
解：(3)依题意得：m－1＝3，解得m＝4.(共13张PPT)
第一部分　基础技能专题篇(夯实三基)
专题15　函数图象信息
1. 爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分
钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走15分钟
回到家中，下面图象中表示爷爷离家的距离y(米)与爷爷
离开公园的时间x(分)之间的函数关系是(　B　).
B
2. 李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱
剩余油量y(升)与行驶里程x(千米)之间的函数关系如图所
示，那么到达乙地时间油箱剩余油量是 升.
2　
3. A、B两地相距10千米，上午9：00甲骑电动车从A地
出发到B地，9：10乙开车从B地出发到A地，甲、乙两
人距A地的距离y(千米)与甲所用的时间x(分)之间的关系
如图所示，则乙到达A地的时间为 .
9：20　
4. 已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中
的信息反映的过程是林茂从家跑步去体育场，在体育场
锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家，图中
x表示时间，y表示林茂离家的距离.依据图中的信息，
下列说法错误的是(　C　).
C
A. 体育场离林茂家2.5 km
B. 体育场离文具店1 km
C. 林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50 m/min
D. 林茂从文具店回家的平均速度是60 m/min
5. 电力公司为增强人员节约用电意识，采取用户每月用
电量分段计费的方法收费，每月的电费y(元)与用电量
x(度)之间的函数关系如图所示，小明家二、三月份的电
费分别为39.6元和24元，则三月份比二月份节约用
电 度.
22　
6. A、B两地相距100 km，甲乙两人骑车同时分别从
A、B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶，甲乙两
人离A地的距离s(千米)与骑车时间t(小时)满足的函数关
系图象如图所示.当甲乙两人相遇时，乙距离A
地 km.
　
7. 第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比
赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，
这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可
以赢，结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可
以体现这次比赛过程的是(　B　).
B
8. 如图，某电信公司提供了A、B两种方案的移动通信
费用y(元)与通话时间x(元)之间的关系，下列结论：
①若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元；
②若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元；
③若通信费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多；
④若两种方案通信费用相差10元，则通话时间是145分或
185分.
其中正确的序号是： .
①②③　
9. 小亮家与姥姥家相距24 km，小亮8：00从家出发，骑
自行车去姥姥家.妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线
去姥姥家.在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程
s(km)与时间t(时)的函数图象如图所示.根据图象得到下
面的结论，其中错误的是 (　D　).
A. 小亮骑自行车的平均速度是12 km/h
B. 妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家
D
C. 妈妈在距家12 km处追上小亮
D. 9：30妈妈追上小亮
10. 快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车
同时出发并且在同一条公路上匀速行驶.图中折线表示
快、慢两车之间的路程y(km)与它们的行驶时间x(h)之间
的函数关系.则
(1)相遇后慢车停留了 h，快车停留了 h，
此时两车距离为 km；
(2)慢车的速度为 km/h，则快车的速度
为 km/h；
(3)图中a＝ ；
0.5　
1.6　
88　
80
100
340
(4)先到达目的地的是慢车还是快车？
解：(4)当t＝5 h时，
S慢＝80×(5－0.5)＝360(km)
S快＝100×(5－1.6)＝340(km)
∴先到达目的地的是慢车.
解：(4)当t＝5 h时，
S慢＝80×(5－0.5)＝360(km)
S快＝100×(5－1.6)＝340(km)
∴先到达目的地的是慢车.(共20张PPT)
第一部分　基础技能专题篇(夯实三基)
专题6　勾股定理的逆定理的应用
1. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(　B　).
A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5
C. 2，3，4 D. 1， ，3
B
2. 如图，每个小正方形的边长均为1，A、B、C是小正
方形的顶点.
(1)求线段AB的长度；
解：(1)如图，在Rt△ABD中，AD＝1，BD＝3
∴AB＝ ＝ ＝
∴线段AB长为 ；
解：(1)如图，在Rt△ABD中，AD＝1，BD＝3
∴AB＝ ＝ ＝
∴线段AB长为 ；
(2)试判断△ABC的形状，并说明理由.
解：(2)△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
连接AC，由题意：AB2＝12＋32＝10
解：(2)△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
连接AC，由题意：AB2＝12＋32＝10
AC2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5
∴AC2＋BC2＝AB2
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°
又∵AC＝BC＝
∴△ABC是等腰直角三角形
3. 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的
点，且AB＝4，CE＝1，F为CD的中点，连接AF、
AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
解：△AEF是直角三角形，理由如下：
在正方形ABCD中，有∠B＝∠C＝∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝AD＝4，∵CE＝1
∴BE＝BC－CE＝4－1＝3
∵F为CD的中点，∴CF＝DF＝ CD＝2
在Rt△ABE中，有AE2＝AB2＋BE2＝42＋32＝25
在Rt△ADF中，有AF2＝AD2＋DF2＝42＋22＝20
在Rt△CEF中，有EF2＝CE2＋CF2＝5
∴AF2＋EF2＝AE2，∴△AEF是直角三角形.
4. 下列各线段的长，能构成直角三角形的是(　B　).
A. 9，16，25 B. 5，12，13
C. ， ， D. ， ，
B
5. 如图所示的一块地，已知AD＝4 m，CD＝3 m，
AD⊥DC，AB＝13 m，BC＝12 m，求这块地的面积.
解：连接AC∵AD⊥DC，AD＝4 m，CD＝3 m
∴AC＝ ＝5 m
∵AB＝13 m，BC＝12 m
∴AC2＋BC2＝AB2
∴△ABC是Rt△，且∠ACB＝90°
∴S＝S△ABC－S△ACD＝ BC AC－ AD CD
解：连接AC∵AD⊥DC，AD＝4 m，CD＝3 m
∴AC＝ ＝5 m
∵AB＝13 m，BC＝12 m
∴AC2＋BC2＝AB2
∴△ABC是Rt△，且∠ACB＝90°
∴S＝S△ABC－S△ACD＝ BC AC－ AD CD
＝ ×12×5－ ×4×3＝24(cm2)
＝ ×12×5－ ×4×3＝24(cm2)
6. 如图，在四边形ABCD中，AD＝1，AB＝BC＝2，
CD＝3，AD⊥AB，求四边形ABCD的面积.
解：连接BD，∵AD⊥AB，
∴BD＝ ＝ ＝ ，
∵BC＝2，CD＝3，∴BD2＋BC2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ADB＋S△BCD＝ ＋ ＝ ＋1.
7. 下列各组数中的三个数，可作为三边长构成直角三角
形的是(　C　).
A. 1，2，2 B. 6，6，6
C. ， ， D. ， ，
C
8. 如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东
60°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方
向以每小时15海里速度前进，2小时后甲船到M岛，乙船
到P岛，两岛相距34海里，你能知道乙船沿哪个方向航
行吗？
解：依题意得BM＝8×2＝16海里
BP＝15×2＝30海里
PM＝34海里
∴BM2＋BP2＝PM2
∴△BPM是Rt△，且∠PBM＝90°
∵甲船沿北偏东60°方向航行
∴乙船沿南偏东30°方向航行
解：依题意得BM＝8×2＝16海里
BP＝15×2＝30海里
PM＝34海里
∴BM2＋BP2＝PM2
∴△BPM是Rt△，且∠PBM＝90°
∵甲船沿北偏东60°方向航行
∴乙船沿南偏东30°方向航行
9. 如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、
BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的
位置.若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数.
解：连接EE′由旋转性质可知：
BE′＝BE＝2，CE′＝AE＝1
∠EBE′＝90°∴∠BE′E＝45°，
EE′＝ ＝2
∵CE′＝1，CE＝3
解：连接EE′，由旋转性质可知：
BE′＝BE＝2，CE′＝AE＝1
∠EBE′＝90°，∴∠BE′E＝45°，
EE′＝ ＝2
∵CE′＝1，CE＝3
∴EE′2＋CE′2＝CE2
∴△CEE′是Rt△，且∠CE′E＝90°
∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠CE′E＝45°＋90°
＝135°
10. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、
b、c，下列命题中的假．命．题．是(　A　).
A. 若a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
B. 若a2＝(b＋c)(b－c)，则△ABC是直角三角形
C. 若a∶b∶c＝3∶4∶5，则∠C＝90°
D. 若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则△ABC是直角三角形
A
11. 如图，在钝角△ABC中，∠A为钝角，边AB、AC
的垂直平分线分别交BC于点D、E，且BD2＋CE2＝
DE2.
(1)求∠BAC的度数；
解：(1)连接DA、EA.
解：(1)连接DA、EA.
∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E.
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵BD2＋CE2＝DE2，∴AD2＋AE2＝DE2，
∴∠DAE＝90°，∴2∠B＋2∠C＋90°＝180°，
∴∠B＋∠C＝45°，∴∠BAC＝135°
∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E.
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵BD2＋CE2＝DE2，∴AD2＋AE2＝DE2，
∴∠DAE＝90°，∴2∠B＋2∠C＋90°＝180°，
∴∠B＋∠C＝45°，∴∠BAC＝135°
(2)若AB＝6，AC＝4，求S△ABC.
解：(2)过点C作CF⊥AB于点F，
解：(2)过点C作CF⊥AB于点F，
∵∠BAC＝135°，∴∠FAC＝45°，
∴CF＝ AC＝2 .
∴S△ABC＝ AB CF＝6 .
∵∠BAC＝135°，∴∠FAC＝45°，
∴CF＝ AC＝2 .
∴S△ABC＝ AB CF＝6 .
12. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC边上的中
线AD＝5，求BC的长.
解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE.
易证△ABD≌△ECD，∴∠1＝∠E
由题意得：AE2＝CE2＋AC2.
∴∠ACE＝90°，∴∠E＋∠2＝90°
∴∠1＋∠2＝90°，∴∠CAB＝90°，
∴BC＝10.(共18张PPT)
第一部分　基础技能专题篇(夯实三基)
专题2　与二次根式相关的化简求值
1. 先化简待求式，再求值.
先化简，再求值： (x＋3)，其中x＝ .
解：原式＝ (x＋3)＝ (x＋3)
＝
当x＝ 时
原式＝ ＝－1
解：原式＝ (x＋3)＝ (x＋3)
＝
当x＝ 时
原式＝ ＝－1
2. 先化简已知条件，再求值.
若 ＋(y＋6)2＝0，求 的值.
解：由题意得 ，解得
∴ ＝ ＝ ＝2
解：由题意得 ，解得
∴ ＝ ＝ ＝2
3. 巧用乘法公式求值.
已知x＝2＋ ，y＝2－ ，求x2－y2的值.
解：原式＝(x＋y)(x－y)
＝［(2＋ )＋(2－ )］×［(2＋ )－(2－ )］
＝4×2
＝8
解：原式＝(x＋y)(x－y)
＝［(2＋ )＋(2－ )］×［(2＋ )－(2－ )］
＝4×2
＝8
4. 巧用整体思想求值.
已知x＝2＋ ，求x2－4x＋4的值.
解：原式＝(x－2)2
＝(2＋ －2)2
＝3
解：原式＝(x－2)2
＝(2＋ －2)2
＝3
5. 先化简，再求值：
(a＋ )(a－ )－a(a－2)，其中a＝ ＋ .
解：原式＝a2－5－a2＋2a＝2a－5
当a＝ ＋ 时
原式＝2×(＋ )－5＝2 ＋1－5＝2 －4
解：原式＝a2－5－a2＋2a＝2a－5
当a＝ ＋ 时
原式＝2×(＋ )－5＝2 ＋1－5＝2 －4
6. 若 与 互为相反数，求x＋y的
值.
解：由题意得 ＋ ＝0
∴ 解得
∴x＋y＝27.
解：由题意得 ＋ ＝0
∴ 解得
∴x＋y＝27.
7. 已知a＝1＋ ，b＝1－ ，求 － 的值.
解：原式＝ ＝
＝
＝
＝4
解：原式＝ ＝
＝
＝
＝4
8. 已知a＝3＋2 ，b＝3－2 ，求a2b－ab2的值.
解：原式＝ab(a－b)
＝(3＋2 )×(3－2 )×［(3＋2 )－(3－2 )］
＝1×4
＝4 .
解：原式＝ab(a－b)
＝(3＋2 )×(3－2 )×［(3＋2 )－(3－2 )］
＝1×4
＝4 .
9. 先化简，再求值： － ，
其中a＝ ＋ ，b＝ － .
解：原式＝ ＝ ＝
当a＝ ＋ ，b＝ － 时
原式＝ ＝ ＝
解：原式＝ ＝ ＝
当a＝ ＋ ，b＝ － 时
原式＝ ＝ ＝
10. 已知y＝ ＋ ＋3，求x－y的值.
解：由题意得 ，
解得x＝2
∴y＝0＋0＋3＝3
∴x－y＝2－3＝－1
解：由题意得 ，
解得x＝2
∴y＝0＋0＋3＝3
∴x－y＝2－3＝－1
11. 已知m＝2－ ，求 的值.
解：原式＝ ＝
＝ ＝ ＝ .
解：原式＝
＝
＝
＝
＝
12. 已知a＝3＋2 ，b＝3－2 ，求下列代数式的
值：
(1)a2b＋ab2；
解：由题意得ab＝(3＋2 )×(3－2 )＝9－8＝1，
a＋b＝3＋2 ＋3－2 ＝6
(1)原式＝ab(a＋b)＝1×6＝6
解：由题意得ab＝(3＋2 )×(3－2 )＝9－8＝1，
a＋b＝3＋2 ＋3－2 ＝6
(1)原式＝ab(a＋b)＝1×6＝6
(2)a2＋3ab＋b2.
解：由题意得ab＝(3＋2 )×(3－2 )＝9－8＝1，
a＋b＝3＋2 ＋3－2 ＝6
(2)原式＝(a＋b)2＋ab＝62＋1＝37
解：由题意得ab＝(3＋2 )×(3－2 )＝9－8＝1，
a＋b＝3＋2 ＋3－2 ＝6
(2)原式＝(a＋b)2＋ab＝62＋1＝37
13. 先化简，再求值：
÷ ，其中x＝ ＋1.
解：原式＝ ÷ ＝ ＝ .
当x＝ ＋1时，
原式＝ ＝ .
解：原式＝ ÷ ＝ ＝ .
当x＝ ＋1时，
原式＝ ＝ .
14. 当a取何值时， ＋9的值最小？最小值是多
少？
解：∵ ≥0∴ ＋9≥9
当3a－6＝0，即a＝2时
＋9的最小值为9.
解：∵ ≥0，∴ ＋9≥9
当3a－6＝0，即a＝2时
＋9的最小值为9.
15. 已知x＝2－ ，求代数式(7＋4 )x2＋(2＋ )x
的值.
解：∵x＝2－
∴x2＝(2－ )2＝7－4
∴原式＝(7＋4 )×(7－4 )＋(2＋ )×(2－ )
＝1＋1
＝2
解：∵x＝2－
∴x2＝(2－ )2＝7－4
∴原式＝(7＋4 )×(7－4 )＋(2＋ )×(2－ )
＝1＋1
＝2
16. 已知x＝ ＋ ，y＝ － ，求4x2－2xy＋4y2
的值.
解：由题意得x＋y＝2 ，xy＝1，
∴原式＝4(x2＋y2)－2xy＝4［(x＋y)2－2xy］－2xy
＝4(x＋y)2－10xy＝4×(2 )2－10×1＝38
解：由题意得x＋y＝2 ，xy＝1，
∴原式＝4(x2＋y2)－2xy
＝4(x＋y)2－10xy
＝4［(x＋y)2－2xy］－2xy
＝4×(2 )2－10×1
＝38(共19张PPT)
第一部分　基础技能专题篇(夯实三基)
专题14　一次函数与方程(组)、不等式
1. 求直线与坐标轴的交点
直线y＝x－2与x轴的交点为 ，与y轴的交点
为 .
2. 求两直线的交点
求直线y＝x＋1与y＝－2x＋4的交点坐标为 .
(2，0)　
(0，－2)　
(1，2)　
3. 利用一次函数的增减性比较两函数值的大小
已知点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y＝－2x＋1图
象上的两点，则a与b的大小关系是(　A　).
A. a＞b B. a＝b
C. a＜b D. 以上都不对
A
4. 利用一次函数的图象解一元一次不等式问题
如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A、B两点，则kx
＋b＞0的解集是(　C　).
C
A. x＞0
B. x＞3
C. x＞－3
D. －3＜x＜2
5. 一次函数y＝2x＋4图象与y轴交点的坐标是(　B　).
A. (0，－4) B. (0，4)
C. (2，0) D. (－2，0)
6. 以方程组 的解为坐标的点(x，y)在
第 象限.
B
二　
7. 在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝2x＋1的图象
经过P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点，若x1＜x2，则y1
y2.(填“＞”、“＜”或“＝”)
8. 已知一次函数y＝－x＋m的图象经过点M(2，1).
(1)该函数的表达式为 ；
(2)当2＜x＜4时，则y的取值范围为 ；
(3)当－2≤y≤2时，则x的取值范围为 .
＜　
y＝－x＋3　
－1＜y＜1　
1≤x≤5　
9. 直线y＝4x＋b经过点(4，－3)，也经过点(　C　).
A. (－3，4) B. (3，4)
C. (3，－7) D. (－3，－4)
C
10. 如图，直线y＝－ x＋4与x轴、y轴分别交于A、B
两点，则△AOB的面积为 .
6　
11. 已知一次函数y＝kx－6的图象如图所示.
(1)求k的值；
解：(1)∵一次函数y＝kx－6的图象过点(4，0)，
∴4k－6＝0，∴k＝ ；
解：(1)∵一次函数y＝kx－6的图象过点(4，0)，
∴4k－6＝0，∴k＝ ；
(2)在图中的坐标系中画出一次函数y＝－3x＋3的图象
(要求：先列表，再描点，最后连线)；
解：(2)
解：(2)
x 0 1
y 3 0
(3)根据图象写出关于x的方程kx－6＝－3x＋3的解.
解：(3)x＝2.
解：(3)x＝2.
12. 已知一次函数y1＝kx＋2(k为常数，k≠0)和y2＝x－
3的图象如图所示.
(1)求k的值；
解：(1)当x＝1时，y2＝x－3＝－2，
把(1，－2)代入y1＝kx＋2得k＋2＝－2，
解得k＝－4，
解：(1)当x＝1时，y2＝x－3＝－2，
把(1，－2)代入y1＝kx＋2得k＋2＝－2，
解得k＝－4，
(2)若y1＞y2，结合图象，直接写出x的取值范围.
解：(2)x＜1
解：(2)x＜1
13. 直线y＝3x＋2沿y轴向下平移5个单位，则
平移后直线与y轴的交点坐标为 ，
与x轴的交点坐标为 .
(0，－3)　
(1，0)　
14. 直线y＝2x与y＝－x＋k的交点在第三象限，求k的
取值范围.
解：依题意得 ，解得
∵交点在第三象限，∴ ，解得k＜0.
15. 在同一平面直角坐标系内画一次函数y1＝－x＋4和
y2＝2x－5的图象，根据图象求：
(1)方程－x＋4＝2x－5的解；
解：(1)如图，
解：(1)如图，
∵一次函数y1＝－x＋4和y2＝2x－5的图象
相交于点(3，1)，
∴方程－x＋4＝2x－5的解为x＝3；
(2)当x取何值时，y1＞y2？当x取何值时，y1＞0且y2＜
0？
解：(2)由图可知，当x＜3时，y1＞y2；
当x＜ 时，y1＞0且y2＜0.
16. 画出函数y＝2x＋2的图象，利用图象写出：
(1)不等式2x＋2≥0的解集；
解：(1)x≥－1；
解：(1)x≥－1；
(2)当y≤4时，x的取值范围；
解：(2)x≤1；
解：(2)x≤1；
(3)－4≤y≤4时，x的取值范围.
解：(3)－3≤x≤1.(共21张PPT)
第一部分　基础技能专题篇(夯实三基)
专题5　运用勾股定理进行相关计算(特殊角Rt△)
1. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2.
(1)当∠A＝30°，则BC＝ ，AC＝ ；
(2)当∠A＝45°，则BC＝ 　 　，AC＝ 　 　.
1　
　
　
　
2. 如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＝75°，AC
＝4，求AB的长.
解：过点A作AD⊥BC于点D.
∵∠B＝45°，∠BAC＝75°
∴∠BAD＝45°，∠DAC＝30°，
∴CD＝ AC＝ ×4＝2，
AD＝ ＝ ＝2 .
∵∠B＝∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝2 ，
∴AB＝ ＝ ＝2 .
∵∠B＝∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝2 ，
∴AB＝ ＝ ＝2 .
3. 如图，在△ABC中，∠C＝120°，∠B＝30°，AB
＝2 ，求AC的长.
解：过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
∵∠B＝30°，∴AD＝ AB＝ ，
BD＝ ＝ ＝3，
∵∠ACB＝120°，
∴∠DAC＝∠ACB－∠ADC＝30°
在Rt△ACD中，设CD＝x，则AC＝2x，
∴()2＋x2＝(2x)2，∴CD＝x＝1，
∴AC＝2CD＝2.
∴∠DAC＝∠ACB－∠ADC＝30°
在Rt△ACD中，设CD＝x，则AC＝2x，
∴()2＋x2＝(2x)2，∴CD＝x＝1，
∴AC＝2CD＝2.
4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CM⊥AB于点
M.
(1)若AC＝6，BC＝8，求CM的长；
解：(1)AB＝10，CM＝ ＝ ；
解：(1)AB＝10，CM＝ ＝ ；
(2)若AM＝2，CM＝4，求BM的长.
解：(2)AC2＝AM2＋CM2＝20，
BM2＝BC2－CM2＝AB2－AC2－CM2
＝(2＋BM)2－20－16.
∴BM＝8.
解：(2)AC2＝AM2＋CM2＝20，
BM2＝BC2－CM2＝AB2－AC2－CM2
＝(2＋BM)2－20－16.
∴BM＝8.
5. 如图，在△ABC中，AC＝4 ，∠C＝45°，∠B＝
30°，求BC的长.
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠C＝45°，∴AD＝CD，
在Rt△ACD中，AD2＋CD2＝AC2＝32.
∴AD＝CD＝4，在Rt△ABD中，∠B＝30°，
∴BA＝2AD＝8，BD＝ ＝4 ，
∴BC＝CD＋BD＝4＋4 .
6. 如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠B＝135°，AB
＝2 ，求AC和BC的长.
解：过点A作AD⊥CB的延长线于点D，
∠ABD＝180°－∠BAC＝45°，∴AD＝BD＝2，
在Rt△ACD中，∠C＝30°，∴AC＝2AD＝4，
CD＝ ＝2 ，
BC＝CD－BD＝2 －2.
7. 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，
CD⊥AB于D，求CD的长.
解： ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4
∴∠B＝60°，BC＝ AB＝2∵CD⊥AB
∴∠BCD＝30°∴BD＝ BC＝ ×2＝1
∴CD＝ ＝ ＝
解： ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4
∴∠B＝60°，BC＝ AB＝2，∵CD⊥AB
∴∠BCD＝30°，∴BD＝ BC＝ ×2＝1
∴CD＝ ＝ ＝
8. 如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝8，∠A＝30°，
则△ABC的面积是 .
16　
9. 如图，某船向正东方向航行，在A处望见某岛C在北
偏东60°方向上，继续向东航行6海里到达B点，此时岛
C在北偏东30°方向上，若岛C周围4海里内有暗礁，若
该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由.(参考
数据： ≈1.732)
解：无危险，理由如下：
过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，
可求BC＝AB＝6，CD＝3 ＞4，
∴该船继续向东航行，无触礁危险.
解：无危险，理由如下：
过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，
可求BC＝AB＝6，CD＝3 ＞4，
∴该船继续向东航行，无触礁危险.
10. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝
8，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，求OM
及△OMP的面积.
解：过点P作PH⊥OB于点H
∵∠AOB＝60°，∴∠OPH＝30°
∴OH＝ OP＝ ×8＝4
∴PH＝ ＝ ＝4
∵PM＝PN，PH⊥MN，MN＝2
∴MH＝ MN＝1∴OM＝OH－MH＝4－1＝3
∴S△OMP＝ OM PH＝ ×3×4 ＝6 .
∵PM＝PN，PH⊥MN，MN＝2
∴MH＝ MN＝1，∴OM＝OH－MH＝4－1＝3
∴S△OMP＝ OM PH＝ ×3×4 ＝6 .
11. 如图，△ABC中，AC＝2，∠B＝45°，∠BAC＝
75°，求BC的长.
解：过A点作AD⊥BC于D
∵∠B＝45°，∴∠1＝45°
又∵∠BAC＝75°，∴∠2＝30°
∴CD＝ AC＝ ×2＝1
由勾股定理得AD＝ ＝ ＝
∵∠1＝∠B＝45°，∴BD＝AD＝
∴BC＝BD＋CD＝ ＋1
∵∠1＝∠B＝45°，∴BD＝AD＝
∴BC＝BD＋CD＝ ＋1
12. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分
∠CAB交BC于点D，AD＝4，∠B＝30°，求S△ABD.
解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°
∴∠CAB＝60°∵AD平分∠CAB，
∴∠1＝∠2＝30°　又∵AD＝4，∴CD＝2，
∴AC＝2 ，∵∠B＝∠2＝30°，∴BD＝AD＝4
∴S△ABD＝ BD AC＝ ×4×2 ＝4
解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°
∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，
∴∠1＝∠2＝30°　又∵AD＝4，∴CD＝2，
∴AC＝2 ，∵∠B＝∠2＝30°，∴BD＝AD＝4
∴S△ABD＝ BD AC＝ ×4×2 ＝4(共21张PPT)
第一部分　基础技能专题篇(夯实三基)
专题18　一次函数的应用(选择方案)
1. 收费方式的选择
某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为
x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数
关系如图所示，解答下列问题：
(1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数解析
式；
解：(1)设y甲＝kx，把(5，100)代入得100＝5k，
解得k＝20，∴y甲＝20x；
设y乙＝k1x＋b1，把(0，100)和(20，300)分别代入
得 ，解得 ，
∴y乙＝10x＋100；
(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.
解：(2)y乙＝10x＋100与y甲＝20x联立，
解得B(10，200)，
∴当0＜x＜10时，y甲＋y乙，即选择甲种消费卡合算；
当x＝10时，y甲＜y乙，即选择两种消费卡同样合算；
当x＞10时，y甲＞y乙，即选择乙种消费卡合算.
2. 租车方案的选择
有甲、乙两种客车，1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客
量分别为45人和30人，现某学校组织330 名师生集体外
出活动，拟租用甲、乙两种客车共8辆，一次将全部师生
送到指定地点.若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙
种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，
并求出最低费用.
解：设租用甲种客车x辆，租车费用为y元，
依题意得y＝400x＋280(8－x)＝120x＋2240.
由45x＋30(8－x)≥330，解得x≥6.
∵120＞0，∴y随x的增大而增大，
∴当x为最小值6时，y的值最小.即租用甲种客车6辆，乙
种客车2辆，费用最低，
此时，最低费用y＝120×6＋2240＝2960(元).
解：设租用甲种客车x辆，租车费用为y元，
依题意得，y＝400x＋280(8－x)＝120x＋2240.
由45x＋30(8－x)≥330，解得x≥6.
∵120＞0，∴y随x的增大而增大，
∴当x为最小值6时，y的值最小.即租用甲种客车6辆，乙
种客车2辆，费用最低，
此时，最低费用y＝120×6＋2240＝2960(元).
3. 有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总
载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量
为105人.
(1)请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多
少人？
解：(1)设1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为a
人、b人，依题意得 ，
解得
答：1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和
30人.
解：(1)设1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量
分别为a人、b人，依题意得 ，
解得
答：1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和
30人.
(2)某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两
种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点.若每辆甲
种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，
请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用.
解：(2)设租用甲种客车x辆，租车费用为y元，
根据题意，得y＝400x＋280(6－x)＝120x＋1680.
由45x＋30(6－x)≥240，解得x≥4.
∵120＞0，∴y随x的增大而增大，
∴当x为最小值4时，y值最小.
即租用甲种客车4辆，乙种客车2辆，费用最低， 此时，
最低费用y＝120×4＋1680＝2160(元).
解：(2)设租用甲种客车x辆，租车费用为y元，
根据题意，得y＝400x＋280(6－x)＝120x＋1680.
由45x＋30(6－x)≥240，解得x≥4.
∵120＞0，∴y随x的增大而增大，
∴当x为最小值4时，y值最小.
即租用甲种客车4辆，乙种客车2辆，费用最低， 此时，
最低费用y＝120×4＋1680＝2160(元).
4. “五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计
划第二天租用新能源汽车自驾出游，获得如下信息：
甲公司：按日收取固定租金80元，另外再按租车时间
计算；
乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的
租金是30元.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1
元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别写出y1、y2关
于x的函数解析式：
答： ；
(2)当租车时间为4小时，应选择 公司，
当租车时间x满足 时，应选择甲公司.
y1＝15x＋80，y2＝30x　
乙　
x＞5 　
5. (1)为庆祝商场正式营业，商场推出了两种购物方案.
方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方
案二：如交纳300元会费成为该商场会员，则所有商品价
格可获九折优惠.
①以x(元)表示商品价格，y(元)表示支出金额，分别写出
两种购物方案中y关于x的函数解析式；
②若某人计划在商场购买价格为5880元的电视机一台，
请分析选择哪种方案更省钱？
解：①方案一：y＝0.95x
方案二：y＝300＋0.9x
②当x＝5880时，
方案一：y＝0.95×5880＝5586(元)
方案二：y＝300＋0.9×5880＝5592(元)
∵5586＜5592
∴选择方案一更省钱.
解：①方案一：y＝0.95x
方案二：y＝300＋0.9x
②当x＝5880时，
方案一：y＝0.95×5880＝5586(元)
方案二：y＝300＋0.9×5880＝5592(元)
∵5586＜5592
∴选择方案一更省钱.
(2)某市某乡A、B两村盛产柑橘，A村有柑橘300吨，B
村有柑橘200吨，现将这些柑橘运到C、D两个冷藏仓
库，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A
村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元；从B村
运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元.设从A村
运往C仓库的柑橘重量为x吨，总运费为y元.
①完成下表；
②求y与x之间的函数关系式；
③怎样调运总运费最小？
乙地 运地 C D 总计
A x 300－x 300
B 240－x x－40 200
总计 240 260 500
解：①如上表；
300－x
240－x
x－40
解：①如上表；
②y＝20x＋25×(300－x)＋15×(240－x)＋18×(x－
40)，
即y＝－2x＋10380；
③y＝－2x＋10380(40≤x≤240)，由一次函数的性质可
知，当x＝240时，y最小，y的最小值是－2×240＋
10380＝9900元，故从A村运往C仓库240吨，运往D仓库
60吨，且B村200吨全部运往D仓库，总费用最小，最小
运费是9900元.
②y＝20x＋25×(300－x)＋15×(240－x)＋18×(x－40)，
即y＝－2x＋10380；
③y＝－2x＋10380(40≤x≤240)，由一次函数的性质可
知，当x＝240时，y最小，y的最小值是－2×240＋
10380＝9900元，故从A村运往C仓库240吨，运往D仓库
60吨，且B村200吨全部运往D仓库，总费用最小，最小
运费是9900元.
6. 某服装品牌专柜招聘销售人员，提供了如下两种月工
资方案：
方案一：没有底薪，每售出一件商品提成15元；
方案二：底薪2000元，售出的前100件商品没有提成，超
过100件的部分，每售出一件商品提成10元.
设销售人员每月售出x件，方案一、方案二中销售人员
的月工资分别为y1、y2(单位：元).
(1)分别写出y1、y2关于x的函数关系式，并写出x的取值
范围；
解：(1)由题意可得：y1＝15x(x≥0，且x为整数)
y2＝
(2)若销售人员小王某月的销售量为150件时，他应该选择
哪种方案，才能使月工资更高？请说明理由；
解：(2)当x＝150时，y1＝15×50＝2250，
y2＝10×150＋1000＝2500∵2250＜2500，
∴他应选择方案二，才能使月工资更高.
解：(2)当x＝150时，y1＝15×50＝2250，
y2＝10×150＋1000＝2500，∵2250＜2500，
∴他应选择方案二，才能使月工资更高.
(3)根据每月销售量情况，销售人员小王应如何选择方
案，才能使月工资更高？
解：(3)∵0≤x≤100，15x≤2000恒成立，
∴当0≤x≤100，选择方案二，
当x＞100时，令15x＝10x＋1000，解得x＝200
①当0≤x＜200，y1＜y2，选择方案二；
②当x＝200，y1＝y2，选择两种方案均可；
③当x＞200，y1＞y2，选择方案一.
解：(3)∵0≤x≤100，15x≤2000恒成立，
∴当0≤x≤100，选择方案二，
当x＞100时，令15x＝10x＋1000，解得x＝200
①当0≤x＜200，y1＜y2，选择方案二；
②当x＝200，y1＝y2，选择两种方案均可；
③当x＞200，y1＞y2，选择方案一.(共17张PPT)
第一部分　基础技能专题篇(夯实三基)
专题4　运用勾股定理进行相关计算(一般Rt△)
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)若a＝3，b＝4，则c＝ ；
(2)若b＝5，c＝13，则a＝ ；
(3)若a＝ ，b＝2，则c＝ .
5　
12　
3　
2. 如图，点E在正方形ABCD内，若∠AEB＝90°，
AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积为 .
76　
3. 如图，某学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避
开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”(如图中
的实线).其实他们仅仅少走了 m，却踩伤了花草.
4　
4. 如图，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4
km，又往北走1.5 km，遇到障碍后又往西走2 km，再转
向北走到4.5 km处往东一拐，仅走0.5 km就找到宝藏.
则登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是 km.
6.5　
5. 等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，则
BC边上的高AD＝ cm.
8　
6. 如图，阴影部分是一个半圆，则这个半圆的面积
是 .(结果保留π)
　
7. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在
“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹
高一丈，竹折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译
成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝
90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长.如果设AC
＝x，则可列方程为 .
x2＋32＝(10－x)2　
8. 如图，已知∠B＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝
3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是 .
10　
9. 如图，在四边形ABCD中，CD⊥AD，AD＝CD＝
3，∠BAD＝135°，AB＝6，求BC的长.
解：连接AC，
解：连接AC，
∵CD⊥AD，AD＝CD＝3
∴AC＝3 ，∠1＝45°
又∵∠BAD＝135°，∴∠2＝90°
∴BC＝ ＝ ＝3
10. 如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为
(　B　).
A. 12 cm2
B. 25 cm2
C. 144 cm2
D. 169 cm2
B
11. 如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙角 1.5
m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙角 m.
2　
12. 如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕
点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在
CD上，且DE＝EF，则AB的长为 .
3 　
13. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝
60°，∠ADC＝150°，CD＝3，求BC的长.
解：连接BD∵AB＝AD，∠A＝60°
解：连接BD，∵AB＝AD，∠A＝60°
∴△ABD是等边三角形
∴∠1＝60°，DB＝AB＝AD＝4
又∵∠ADC＝150°，∴∠2＝90°
又∵CD＝3
∴BC＝ ＝ ＝5
14. 如图，带阴影的长方形的面积是 cm2.
45　
15. 如图，△AOB是等腰三角形，OA＝OB，点B在x
轴的正半轴上，点A的坐标是(1，1)，则点B的坐标
是 .
(，0)　
16. 如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1
＝ ；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝ ；
又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继
续作下去，得OP2020＝ .
　(共22张PPT)
第一部分　基础技能专题篇(夯实三基)
专题13　求一次函数的解析式(2)
1. “点＋平行”型
一次函数y＝kx＋b的图象与直线y＝2x平行，且经过点
(－3，2)，求一次函数的解析式.
解：依题意得： ，解得 ，
∴y＝2x＋8
解：依题意得： ，解得 ，
∴y＝2x＋8
2. “点＋面积”型
如图，已知直线y＝kx＋6与坐标轴围成的△AOB的面积
为12，求k的值.
解：由题意可知 AO OB＝12，AO＝6
∴BO＝4∴将B(－4，0)代入y＝kx＋6
得k＝ .
解：由题意可知 AO OB＝12，AO＝6
∴BO＝4
∴将B(－4，0)代入y＝kx＋6得k＝ .
3. “点＋特殊角”型
如图，直线AB经过点A(0，4)，且与x轴夹角为45°，
求直线AB的解析式.
解：由题意知∠PBO＝45°，A(0，4)
∴BO＝AO＝4，B(－4，0)
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
依题意得： ，解得 ，
∴y＝x＋4
解：由题意知∠PBO＝45°，A(0，4)
∴BO＝AO＝4，B(－4，0)
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
依题意得： ，解得 ，
∴y＝x＋4
4. “点＋垂直”型
如图所示，直线AB的解析式为y＝－x＋2，直线
AC⊥AB于A点，求直线AC的解析式.
解：易知AO＝BO＝2
由AC⊥AB得∠CAO＝45°
∴AO＝CO＝2
易求直线AC的解析式为y＝x＋2
解：易知AO＝BO＝2
由AC⊥AB得∠CAO＝45°
∴AO＝CO＝2
易求直线AC的解析式为y＝x＋2
5. 求与直线y＝2x－3平行且过点A(1，4)的直线解析式.
解：设直线的解析式为y＝kx＋b，
依题意得： ，解得
∴y＝2x＋2
解：设直线的解析式为y＝kx＋b，
依题意得： ，解得
∴y＝2x＋2
6. 已知一次函数的图象经过点(0，－3)，且与两坐标轴
围成的三角形面积为6，求一次函数的解析式.
解：由题意可知OC＝3　S△AOC＝S△BOC＝6
∴OA＝OB＝4∴A(－4，0)，B(4，0)
∴过A、C两点的直线为y＝－ x－3
过B、C两点的直线为y＝ x－3.
∴一次函数的解析式为y＝－ x－3或y＝ x－3.
解：由题意可知OC＝3　S△AOC＝S△BOC＝6
∴OA＝OB＝4，∴A(－4，0)，B(4，0)
∴过A、C两点的直线为y＝－ x－3
过B、C两点的直线为y＝ x－3.
∴一次函数的解析式为y＝－ x－3或y＝ x－3.
7. 如图，直线AB经过点P(1，4)，且与x轴夹角为
45°，求直线AB的解析式.
解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
由题意得∠PBO＝45°　PC＝BC＝4，OC＝1.
∴B(－3，0)，∴ ，∴ ，
∴y＝x＋3
解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
由题意得∠PBO＝45°　PC＝BC＝4，OC＝1.
∴B(－3，0)，∴ ，∴ ，
∴y＝x＋3
8. 如图，OA＝4，∠ABO＝30°，OC⊥AB于C. 求直
线OC的解析式.
解：由AO＝4，∠ABO＝30°
得AB＝8，BO＝4 ，CO＝2 ，
∴C(，3)
∴易求直线OC的解析式为y＝ x.
解：由AO＝4，∠ABO＝30°
得AB＝8，BO＝4 ，CO＝2 ，
∴C(，3)
∴易求直线OC的解析式为y＝ x.
9. 如图，直线y＝kx＋b分别交x轴、y轴于A、B两
点，∠BAO＝60°，A点坐标为(－2，0)，M是AB的中
点，将△AOM沿OM翻折，点A落在点C处.
(1)点B、C的坐标，分别为 ；
(0，2 )，(1， )　
(2)求直线BC的解析式.
解：(2)设直线BC的解析式为y＝kx＋b
由(1)得 ∴
∴y＝－ x＋2
解：(2)设直线BC的解析式为y＝kx＋b
由(1)得 ， ∴
∴y＝－ x＋2
10. 如图，在 ABCD中，A(－1，0)，B(3，0)，D(0，
3)，AC、BD交于点O′.
(1)求点O′的坐标；
解：(1)方法一：过点O′作O′E⊥x轴于点E，
过点C作CF⊥x轴于点F，
过点O′作O′G⊥CF于点G，
解：(1)方法一：过点O′作O′E⊥x轴于点E，
过点C作CF⊥x轴于点F，
过点O′作O′G⊥CF于点G，
证△AEO′≌△O′GC，∴AE＝O′G＝EF，
O′E＝CG＝CF，∴O′ .
方法二：先求直线AC、BD的解析式，
再解方程组求交点O′的坐标.
(2)若直线y＝kx－1将 ABCD的面积分成两等份，求k
的值.
解：(2)方法一：由题意，知直线y＝kx－1必过点O′，
∴k＝ .
方法二：设过(0，－1)的直线y＝kx－1交AB于点M，
交CD于点N，令y＝0得x＝ ，
∴M ，令y＝3得x＝ ，
∴AM＝ ＋1，DN＝ ，
∵S ABCD＝4×3＝12.∴S四边形AMND＝6，
∴ 3 ＝6，∴k＝ .
∴M ，令y＝3得x＝ ，
∴AM＝ ＋1，DN＝ ，
∵S ABCD＝4×3＝12. ∴S四边形AMND＝6，
∴ 3 ＝6，∴k＝ .
11. 如图，点A(3，m)是正比例函数y＝ x的图象上的
点，AB⊥x轴于点B，直线y＝kx平分∠AOB，求k的
值.
解：设直线y＝kx交AB于点E，
过点E作EF⊥AO于点F，
则OB＝OF＝3，AB＝4，OA＝5，
∴AF＝2，设BE＝EF＝a，∴a2＋22＝(4－a)2，
解：设直线y＝kx交AB于点E，
过点E作EF⊥AO于点F，
则OB＝OF＝3，AB＝4，OA＝5，
∴AF＝2，设BE＝EF＝a，∴a2＋22＝(4－a)2，
∴a＝ ，∴E ，∴k＝ .
12. 如图，直线y＝2x＋4交x轴于点A，交y轴于点B，
直线BC⊥AB于点B，交x轴于C点，求直线BC的解析
式.
解：设CO＝x，易知OA＝2，BO＝4
在Rt△BOC与Rt△BAC中，
BC2＝BO2＋CO2. BC2＝AC2－AB2，
∴42＋x2＝(x＋2)2－(2 )2，∴x＝8，
设BC直线的解析式为y＝kx＋b，
∴ ，∴ ，
∴y＝－ x＋4.
法二：设直线BC的解析式为(共20张PPT)
第一部分　基础技能专题篇(夯实三基)
专题20　数据分析
1. 平均数
数据－1、0、1、2、3的平均数是(　C　).
A. －1 B. 0 C. 1 D. 5
2. 中位数、众数
已知一组数据：3、4、6、7、8、8，下列说法正确的是
(　B　).
A. 众数是2 B. 众数是8
C. 中位数是6 D. 中位数是7
C
B
3. 方差
数据0、1、2、3、4的方差是(　C　).
A. 0 B. C. 2 D. 4
C
4. 用样本估计总体
某养鸡场有2500只鸡准备对外出售.从中随机抽取了一部
分鸡，根据它们的质量(单位：kg)，绘制出如下的统计
图根据相关信息.
估计这2500只鸡中，质量为2.0 kg的约有 只.
200　
5. 近年来，A市民用汽车拥有量持续增长，2021年至
2024年该市民用汽车拥有量(单位：万辆)依次为11，13，
15，19，x.若这五个数的平均数为16，则x＝ .
22　
6. 某校对部分参加夏令营的中学生的年龄(单位：岁)进
行统计，结果如下表：
年龄 13 14 15 16 17
人数 1 2 2 3 1
则这些学生年龄的众数和中位数分别是(　A　).
A. 16，15 B. 16，14
C. 15，15 D. 14，15
A
7. 已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数
据的方差分别为 、 ，则 (填
“＞”“＝”“＜”).
＞　
8. 某校九年级有560名学生参加了市教育局举行的读书
活动，现随机调查了70名学生读书的数量，根据所得数
据绘制了如图的条形统计图，请估计该校九年级学生在
此次读书活动中共读书 本.
2040　
9. 为了调查某一路口某时段的汽车流量，记录了15天同
一时段通过该路口的汽车辆数，其中有2天是142辆，2天
是145辆，6天是156辆，5天是157辆，那么这15天在该时
段通过该路口的汽车平均辆数为(　C　).
A. 146 B. 150 C. 153 D. 600
C
10. 小明在九年级上学期的数学成绩如下表所示：
测验类别 平时 期中考试 期末考试
单元 1 单元 2 单元 3 单元 4 单元 5 成绩 88 70 98 86 88 90 85
(1)计算小明该学期的平时平均成绩；
解：(1)平时＝(88＋70＋98＋86＋88)÷5＝86(分)
答：小明该学期的平均成绩为86分.
(2)如果学期的总评成绩是根据下图所示的权重计算，请
计算出小明该学期的总评成绩.
答：小明该学期的总评成绩为86.6分.
解：(2)总评＝86×10％＋90×30％＋85×60％＝86.6(分)
答：小明该学期的总评成绩为86.6分.
11. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同
条件下各射击10次，射击的成绩如图所示.根据图中信
息，回答下列问题：
(1)甲的平均数是 ，乙的中位数是 ；
8　
8　
(2)甲、乙成绩的方差分别为 .从
方差的大小可以看出， 运动员的射击成绩更稳定.
＝1.6， ＝1.2　
乙　
12. 某班有50名学生，平均身高为166 cm，其中20名女
生的平均身高为163 cm，求30名男生的平均身高.
解：设30名男生的平均身高为x cm，
依题意得163×20＋30x＝166×50解得x＝168
答：30名男生的平均身高为168 cm.
解：设30名男生的平均身高为x cm，
依题意得163×20＋30x＝166×50，解得x＝168
答：30名男生的平均身高为168 cm.
13. 某校为选拔一名选手参加“美丽邵阳，我为家乡做
代言”主题演讲比赛，经研究，按图所示的项目和权数
对选拔赛参赛选手进行考评(因排版原因统计图不完整).
下表是李明、张华在选拔赛中的得分情况：
选手 服装 普通话 主题 演讲技巧
李明 85 70 80 85
张华 90 75 75 80
结合以上信息，根据你所学的知识，帮助学校在李明、
张华两人中选择一人参加“美丽邵阳，我为家乡做代
言”主题演讲比赛，并说明理由.
解：李明得分为：85×10％＋70×20％＋80×30％＋
85×40％＝80.5
张华得分为：90×10％＋75×20％＋75×30％＋80×40
％＝78.5
∵80.5＞78.5，∴李明的演讲成绩好.
故选择李明参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演
讲比赛.
解：李明得分为：85×10％＋70×20％＋80×30％＋
85×40％＝80.5
张华得分为：90×10％＋75×20％＋75×30％＋
80×40％＝78.5
∵80.5＞78.5，∴李明的演讲成绩好.
故选择李明参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演
讲比赛.
14. 经市场调查，某种优质西瓜质量为(5±0.25)kg的最
为畅销.为了控制西瓜的质量，农科所采用A、B两种种
植技术进行试验.现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽
取20个，记录它们的质量(单位：kg)并进行统计，结果
如下表：
注：若质量为(5±0.25)kg的为优等品.
项目 优等品数量/个 平均数 方差
A 16 4.990 0.103
B 10 4.975 0.093
请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对A、B两
种技术作出评价；从市场销售的角度看，你认为推广哪
种种植技术好？
解：从优等品质量的角度看，因A技术种植的西瓜优等
品数量较多，所以A技术较好.
从平均数的角度看，因A技术种植的西瓜质量的平均数
更接近5 kg，所以A技术较好..
从方差角度看，因B技术种植的西瓜质量的方差更小，
所以B技术种植的西瓜质量略更为整齐；
从事物销售角度看，因优等品更畅销，A技术种植的西
瓜优等品数量更多，且平均质量较接近5 kg，因而更适
合推广A种技术.
解：从优等品质量的角度看，因A技术种植的西瓜优等
品数量较多，所以A技术较好.
从平均数的角度看，因A技术种植的西瓜质量的平均数
更接近5 kg，所以A技术较好.
从方差角度看，因B技术种植的西瓜质量的方差更小，
所以B技术种植的西瓜质量略更为整齐；
从事物销售角度看，因优等品更畅销，A技术种植的西
瓜优等品数量更多，且平均质量较接近5 kg，因而更适
合推广A种技术.(共15张PPT)
第一部分　基础技能专题篇(夯实三基)
专题11　一次函数的图象与性质
1. 函数自变量的取值范围
函数y＝ 中自变量x的取值范围是(　B　).
A. x＞1 B. x≥1
C. x＜1 D. x≤1
B
2. 一次函数y＝kx＋b的图象与k、b的符号
已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则k，b的符
号是(　D　).
D
A. k＞0，b＞0
B. k＞0，b＜0
C. k＜0，b＞0
D. k＜0，b＜0
3. 一次函数y＝kx＋b的增减性
若一次函数y＝(m－3)x＋5的函数值y随x的增大而增
大，则(　C　).
A. m＞0 B. m＜0
C. m＞3 D. m＜3
C
4. 画一次函数y＝kx＋b的图象
画一次函数y＝x－2的图象.
解：
x 0 2
y －2 0
解：
5. 函数y＝ 中，自变量x的取值范围是(　D　).
A. x≠0 B. x＜1
C. x＞1 D. x≠1
6. 若一次函数y＝ax＋b图象经过第一、二、四象限，
则下列不等式一定成立的是(　D　).
A. a＋b＜0 B. a－b＞0
C. ab＞0 D. ＜0
D
D
7. 正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随着x的增大而减
小，则一次函数y＝x＋k的图象大致是(　A　).
A
8. 画出一次函数y＝－ x＋3的图象.
解：
x 0 6
y 3 0
解：
9. (1)函数y＝x2＋2x＋1中自变量x的取值范围是
；
(2)购买一支钢笔12元，购买该钢笔的费用y(元)与购买该
钢笔的支数x(支)的函数解析式为 ，其自变
量x的取值范围是 .
全体
实数　
y＝12x　
x为自然数　
10. 已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3.
(1)若这个函数的图象经过原点，求m的值；
解：(1)依题意得：m－3＝0，解得m＝3
(2)y随x的增大而增大，求m的取值范围；
解：(2)依题意得：2m＋1＞0，解得m＞－
(3)若这个函数的图象不经过第二象限，求m的取值范围.
解：(3)依题意得： ，解得－ ＜m≤3
解：(1)依题意得：m－3＝0，解得m＝3
解：(2)依题意得：2m＋1＞0，解得m＞－
解：(3)依题意得： ，解得－ ＜m≤3
11. 在同一坐标系中，作出函数y＝－2x与y＝ x＋1的
图象.
解：
x 0 －2
y＝－2x 0 4
y＝ x＋1 1 0
解：
12. (1)函数y＝ 中自变量x的取值范围是(　A　)；
A. x≥－2且x≠1 B. x≥－2
C. x≠1 D. －2≤x＜1
(2)已知等腰三角形的周长为16，底边长为y，一腰长为
x，则y与x的函数关系式为 ，自变量x的
取值范围为 .
A
y＝16－2x　
4＜x＜8　
13. (1)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是正比例函数y＝－x图象
上的两点，则下列判断正确的是(　C　)；
A. y1＞y2
B. y1＞y2
C. 当x1＜x2时，y1＞y2
D. 当x1＜x2时，y1＜y2
C
(2)正比例函数y＝mx的图象经过点A(m，4)，且y随x增
大而减小，则m的值为 ；
(3)当直线y＝(2－2k)x＋k－4经过第二、三、四象限
时，则k的取值范围是 .
－2　
1＜k＜4　
14. 画出函数y＝－x＋3的图象，并利用图象回答：
(1)当x＝－1时，y等于 ；
(2)当y＝－1时，x等于 ；
(3)方程－x＋3＝0的解是 ；
4　
4　
x＝3　
(4)图象与两坐标轴围成的三角形的面积为 .
　
x 0 3
y 3 0
解：(共22张PPT)
第一部分　基础技能专题篇(夯实三基)
专题10　中点问题
1. 三角形的中位线
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
D、E、F分别为AB、AC、AD的中点，若BC＝2，则
EF的长度为(　B　).
B
A. B. 1
C. D.
2. 直角三角形斜边上的中线
如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中
点，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则CD的长为 cm.
5　
3. 中点四边形
(1)顺次连接任意四边形四边中点所形成的四边形是
；
(2)顺次连接平行四边形四边中点所形成的四边形是
；
(3)顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是 ；
(4)顺次连接菱形四边中点所形成的四边形是 ；
(5)顺次连接正方形四边中点所形成的四边形是
.
平
行四边形　
平
行四边形　
菱形　
矩形　
正方
形　
4. 如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交
点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于F，
EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为(　B　).
A. S B. S
C. S D. S
B
5. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG
上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，则CH的长
为 .
　
6. 四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AD、
AB、BC、CD的中点.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(1)∵点E、F、G、H分别是AD、
AB、BC、CD中点
∴EF、FG、GH、HE分别是
△ABD、△ABC、△CBD、△DAC的中位线
∴EF BD，FG AC，GH BD，HE AC，
∴EF GH，∴四边形EFGH是平行四边形
(2)若AC⊥BD，求证：四边形EFGH是矩形；
(2)由(1)知EF∥BD，HE∥AC，
四边形EFGH是平行四边形
又∵AC⊥BD，∴EF⊥HE，∴∠FEH＝90°
∴四边形EFGH是矩形
(2)由(1)知EF∥BD，HE∥AC，
四边形EFGH是平行四边形
又∵AC⊥BD，∴EF⊥HE，∴∠FEH＝90°
∴四边形EFGH是矩形
(3)若AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形.
证明：
证明：
(3)由(1)知EF＝ BD，HF＝ AC，
四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC＝BD，∴EF＝HF，
∴四边形EFGH是菱形.
7. 如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、
AC的中点，延长BC至点F，使CF＝ BC，连接CD和
EF.
(1)求证：DE＝CF；
(1)证明：∵D、E分别为AB、AC中点
∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，
即DE∥CF
DE＝ BC，∵CF＝ BC，∴DE＝CF
(2)求EF的长.
(2)由(1)已证DE∥CF，DE＝CF
∴四边形DEFC是平行四边形
∴EF＝CD，∵△ABC是等边三角形，AB＝BC＝2，
D是AB的中点
∴CD⊥AB，BD＝ AB＝1
∴CD＝ ＝ ＝
∴EF＝ .
8. 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D
作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连
接AF、CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE＋
∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3.求证：
(1)DE＝ BC；
证明：(1)∵CD为斜边AB的中线，
∠ACB＝90°，∴AD＝CD，又
∵DE⊥AC，
∴AE＝CE，∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC；
证明：(1)∵CD为斜边AB的中线，
∠ACB＝90°，∴AD＝CD，
又∵DE⊥AC，
∴AE＝CE，∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC；
(2)四边形DBCF是平行四边形；
证明：(2)∵EF＝DE，∴DE＝ BC，∴DF＝BC，
∵DE⊥AC，∠ACB＝90°，
∴DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形；
证明：(2)∵EF＝DE，∴DE＝ BC，∴DF＝BC，
∵DE⊥AC，∠ACB＝90°，
∴DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形；
(3)EF＝EG.
证明：(3)∵四边形DBCF是平行四边形
∴CF∥BD，CF＝BD，
∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB的中线，
∴CD＝ AB＝BD，
∴CF＝CD，∴∠CFE＝∠CDE，
∵∠CDE＋∠EGC＝180°，
证明：(3)∵四边形DBCF是平行四边形，∴CF∥BD，
CF＝BD，∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB的中线，
∴CD＝ AB＝BD，
∴CF＝CD，∴∠CFE＝∠CDE，
∵∠CDE＋∠EGC＝180°，
∠EGF＋∠EGC＝180°，∴∠CDE＝∠EGF，
∴∠CFE＝∠EGF，∴EF＝EG
9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是
AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝ BC，连接
DM、DN、MN. 若AB＝6，求DN的长.
解：连接CM，∵∠ACB＝90°，
点M是AB中点∴CM＝ AB＝ ×6＝3
∵点M、N分别是AB、AC中点
∴MN是△ABC的中位线
解：连接CM，∵∠ACB＝90°，
点M是AB中点，∴CM＝ AB＝ ×6＝3
∵点M、N分别是AB、AC中点
∴MN是△ABC的中位线
∴MN∥BC，MN＝ BC，∴MN∥CD
∵CD＝ BC，∴MN＝CD
∴四边形MNDC是平行四边形
∴DN＝CM＝3
10. 如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H 分别是
AD、BC、BD、AC的中点.
(1)请判断四边形EGFH的形状？并说明理由；
解：(1)四边形EGFH是平行四边形，
理由如下：
∵点E、F、G、H分别是AD、BC、
BD、AC的中点
∴EG、HF分别是△ABD、△ABC的中位线
∴EG AB，HF AB，∴EF HF，
∴四边形EGFH是平行四边形.
(2)若要四边形EGFH是菱形，四边形ABCD应满足什么
条件？请说明理由.
解：(2)若要四边形EGFH是菱形，
四边形ABCD应满足AB＝DC，理由如下：
由(1)知：四边形EGFH是平行四边形，EG＝ AB
∵点E、H分别是AD、AC中点，
∴EH是△ACD的中位线，∴EH＝ DC，
∵AB＝DC，∴EG＝EH，
∴四边形EGFH是菱形.

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