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湖南省长沙市明德天心中学 2025年九年级数学模拟试题
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项)
1．（2025·天心模拟）中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵“正”和“负”相对，
∴若零上记作，则零下记作．
故答案为：．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，另一个为负，结合题意即可求解.
2．（2025·天心模拟）学校积极倡导及时关教室灯、投影仪、水龙头，适量用纸，适量点餐，节俭事微却能聚沙成塔，光盘事小也能水滴石穿．据统计，我国每年仅餐饮浪费的食物蛋白就达到8000000吨，倒掉了约2亿人一年的口粮．数据“8000000”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：8000000=，
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
3．（2025·天心模拟）下列图形中，与是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：根据同位角的定义，可得D选项中，与在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故是同位角，
而A选项中，与是两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角，
B选项中，与是两条直线被第三条直线所截形成的内错角，
C选项中，与是对顶角．
故答案为：D．
【分析】根据同位角的定义“两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角”逐项判断解题．
4．（2025·天心模拟）如图是一个等边三角形连接各边中点形成的图形，则它是下列哪种几何体的表面展开图（　　）
A．正方体 B．三棱柱 C．三棱锥 D．圆锥
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：一个等边三角形连接各边中点形成的图形是三棱锥的表面展开图.
故答案为：C.
【分析】根据几何体的表面展开图的意义求解．
5．（2025·天心模拟）正八边形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正八边形的内角和为，
故答案为：D．
【分析】根据多边形的内角和公式：计算即可求解．
6．（2025·天心模拟）将一次函数的图象向下平移m个单位长度，使其成为正比例函数，则m的值为（　　）
A． B． C．3 D．5
【答案】C
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移3个单位长度，
∴可以得到正比例函数的图象，
∴m的值为．
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的图象平移规律求解．
7．（2025·天心模拟）在某校“人工智能与人类未来”的演讲比赛中，前6名同学的成绩（分）依次为：98、96、96、96、95、93，这组数据的众数、中位数依次为（　　）
A．98、93 B．96、96 C．96、95 D．95，96
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将各数从大到小排列后得：98、96、96、96、95、93，其中96出现次数最多，众数为96，处于中间的两个数为96、96，中位数为．
故答案为：B．
【分析】根据中位数，众数的定义求解．
8．（2025·天心模拟）如图，都是上的点，若，则（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；邻补角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由邻补角性质可求得∠BOC的度数，由弧弦圆心角的关系定理可得∠COD=∠BOD=∠BOC，然后由角的和差∠AOD=∠AOC+∠COD计算即可求解．
9．（2025·天心模拟）如图，中，、交于点O，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点E，交于点F，连接，若，的周长为14，则的长为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由已知条件可知EF是AC的垂直平分线，所以EA=EC，
∵△BCE 的周长为14，
∴BC+CE+EB=14，
∴BC+EA+EB=14，
即BC+AB=14，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC=AB，BC=AD=6，
∴DC=14-BC=14-6=8，
故答案为：B．
【分析】由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得EA=EC，再根据三角形BCE的周长等于三角形三边之和可求得AB的长，然后根据平行四边形的对边相等可求解 ．
10．（2025·天心模拟）酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有4瓶溶液标签缺失，已知其分别为(盐酸)， (硫酸)， (钠碱)， (钾碱)， 若从中任取2瓶混合， 则会发生中和反应的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意可得列表如下：
　
　
　
　
　
共有12种等可能的结果，其中会发生中和反应的结果有8种，
∴会发生中和反应的概率为.
故答案为：D.
【分析】先列表，再求出所有等可能结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式可得出答案．
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025·天心模拟）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为　 　公里．（用含x的代数式表示）
【答案】
【知识点】代数式的概念
【解析】【解答】解：由题意得他离健康跑终点的路程为公里，
故答案为：
【分析】根据题意列出代数式即可求解。
12．（2025·天心模拟）若，则　 　.
【答案】0
【知识点】解一元一次不等式组；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，
∴，解得：，
∴，
∴.
故答案为0．
【分析】根据算术平方根的非负性列出不等式组求解，再求出y，然后求出xy．
13．（2025·天心模拟）某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为95分、85分、90分，综合成绩笔试占40%，试讲占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为　 　分．
【答案】90
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：该名教师的综合成绩为（分），
故答案为：90．
【分析】根据加权平均数公式计算即可求解．
14．（2025·天心模拟）如图，将绕点逆时针旋转至，若，则点旋转到点所经过的路径长为　 　.
【答案】
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点逆时针旋转至，，
∴，，
∴点旋转到点所经过的路径长，
故答案为：．
【分析】先根据旋转的性质得到：，，再根据弧长公式计算．
15．（2025·天心模拟）如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数的图象经过点B，则k的值是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵点A的坐标是（2，0），
∴AO=2，
∵△ABO是等边三角形，
∴OB=OA=2，
过点B作BC垂直OA于C，
∴OC=1，
∴BC=，
∴点B的坐标是
把代入，得
故答案为：．
【分析】由点A的坐标可得OA=2，根据等边三角形的三边相等得OB=OA=2；过点B作BC垂直OA于C，由等腰三角形的三线合一得出OC=1，然后利用勾股定理算出BC的长，从而可得点B的坐标，最后将点B的坐标代入可求出k的值.
16．（2025·天心模拟）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，..，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上(如图)，这五张卡片分别记为，，，，，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大.下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是　 　(填，，，，)
卡片编号
两数的和
【答案】
【知识点】等式的基本性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：设，，，，卡片上对应的数分别为，，，，，
则，，，，，
，得，所以，
，得，所以，
，得，所以，
，得，所以，
，得，所以，
所以，且，
所以卡片上的数最大，
故答案为：．
【分析】由题意得到关于的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论．
三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025·天心模拟）计算：
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据特殊角的三角函数值、立方根、二次根式化简、有理数的乘方化简，最后计算加减法．
18．（2025·天心模拟）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式
；
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将分式的化简，再代值求解．
19．（2025·天心模拟）某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在景区内沿山体向上修建步行道和观光索道， 经过测量知：米，米， 步行道的坡度 ，观光索道与水平线的夹角为求山顶点C到地面的距离的长.(图中所有点都在同一平面内，， 参考数据： ，最后结果精确到1米)
【答案】解：过点作于点，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵步行道的坡度，观光索道与水平线的夹角为
∴，
∴，
∵，
∴，
解得米，
∴米，
∵
∴（米）
∴（米）．
答：山顶点C到地面的距离的长为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】先证明四边形是矩形，再根据矩形的性质，证得，求出BH，再求DF，求出，即可得到答案．
20．（2025·天心模拟）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）直接写出本次调查的学生总人数______；
（2）补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（4）该校共有学生人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？
【答案】（1）
（2）在线听课的学生有：（人），
补全的条形统计图如下图所示；
（3）扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是：，
即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是48°；
（4）（人），
答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有800人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查的学生总人数：，
故答案为：；
【分析】
（1）观察扇形图和条形图，用已知数据的学生人数除以其所占百分比即可求得本次调查的学生总人数；
（2）根据样本容量等于各小组频数之和可用总人数减去其它在线学习方式人数即得出在线听课学生人数，即可补全统计图；
（3）求出在线讨论学生所占的百分比，再乘以即可求解；
（4）求出在线阅读学生所占的百分比，再乘以该校总人数即可求解．
21．（2025·天心模拟）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，．
（1）求证：；
（2）若，， 求的长
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
，
∴，，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先证明，，然后根据，再结合已知条件可得结论；
（2）根据，，得出，根据得出，，最后根据和差间的关系，得出答案即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
，
∴，，
∴．
22．（2025·天心模拟）如图，某小区进行项目改造：在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮，如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边；
（1）求通道的宽是多少m
（2）如果通道造价为40元/，草坪造价为100元/，只考虑通道和草坪的造价，不考虑人工等其他费用的前提下，完成该项目需要多少钱
【答案】（1）解：设通道的宽为，由题意得：
，
解得：；
答：通道的宽是．
（2）解：由（1）得：，
∴草坪的面积为，通道面积为，
∴（元）；
答：完成该项目需要20880元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设通道的宽为，由题意根据，可列方程求解；
（2）先求AM和AN，再得出通道和草坪面积，进而问题可求解．
（1）解：设通道的宽为，由题意得：
，
解得：；
答：通道的宽是．
（2）解：由（1）得：，
∴草坪的面积为，通道面积为，
∴（元）；
答：完成该项目需要20880元．
23．（2025·天心模拟）如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接．
（1）求证： 四边形是菱形．
（2）过点作，垂足为点，若，，求四边形的面积．
【答案】（1）解：，
，，
平分，平分，
，，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
四边形的面积为．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质得出，，再根据角平分线的定义得出，，然后求出，，再根据等腰三角形的判定得出，，然后根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，即可得出答案；
（2）先求出的长，进而即可求出菱形的面积．
（1）解：，
，，
平分，平分，
，，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
四边形的面积为．
24．（2025·天心模拟）定义：象限内到两坐标轴距离相等的点，我们称为“等距点”.比如：，，都是“等距点”.
（1）求反比例函数.图象上的“等距点”坐标；
（2） A、B是一次函数图象上的“等距点”，O为坐标原点，若的面积为3，求一次函数的解析式；
（3）二次函数(a、b、c为常数，) 的图象经过点且其图象上有且仅有三个“等距点”，它们的横坐标依次记为求的值或取值范围.
【答案】（1）解：∵反比例函数.图象在第一象限，
∴设“等距点”的坐标为，
∴，
解得：或（舍去），
∴反比例函数.图象上的“等距点”坐标为；
（2）解：设，，则：
，，
解得：，，
∴，，
当时，，
解得：，
∴直线与x轴交点C的坐标为，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：或；
（3）解：∵二次函数(a、b、c为常数，) 的图象经过点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴二次函数解析式为：，
当“等距点”的坐标横纵坐标相同时，，
∴，
，
当“等距点”的坐标横纵坐标互为相反数时，，
∴，
，
∵，
∴，
∵二次函数图象上有且仅有三个“等距点”，
∴，，
∴，
∴，
∴方程的解为：
或，
方程的解为：
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
当时，，即，
此时，，
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，；
当时，，，，只存在两个“等距点”，不符合题意；
当时，，即，
此时，，
，
∴当时，；
综上分析可知：当时，；当时，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）先根据反比例函数解析式得出，求出或（舍去），即可得出答案；
（2）先根据函数解析式得出，，求出，，再求出直线与x轴交点C的坐标为，然后根据，求出m的值即可得出答案．
（3）先根据二次函数 的图象经过点，求出，，再根据二次函数图象上有且仅有三个“等距点”，得出，，然后求出或，比较大小得出，分三种情况：当时，当时，当时，确定、，再进行求解即可．
（1）解：∵反比例函数.图象在第一象限，
∴设“等距点”的坐标为，
∴，
解得：或（舍去），
∴反比例函数.图象上的“等距点”坐标为；
（2）解：设，，则：
，，
解得：，，
∴，，
把代入得：，
解得：，
∴直线与x轴交点C的坐标为，
即，
解得：，
∴一次函数解析式为：或；
（3）解：∵二次函数(a、b、c为常数，) 的图象经过点，
∴，
即，
∵，
∴，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴二次函数解析式为：，
当“等距点”的坐标横纵坐标相同时，，
整理得：，
此时，
当“等距点”的坐标横纵坐标互为相反数时，，
整理得：，
此时，
∵，
∴，
∵二次函数图象上有且仅有三个“等距点”，
∴，，
∴，
∴，
∴方程的解为：
或，
方程的解为：
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
当时，，即，
此时，，
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，；
当时，，，，只存在两个“等距点”，不符合题意；
当时，，即，
此时，，
，
∴当时，；
综上分析可知：当时，；当时，．
1 / 1湖南省长沙市明德天心中学 2025年九年级数学模拟试题
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项)
1．（2025·天心模拟）中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·天心模拟）学校积极倡导及时关教室灯、投影仪、水龙头，适量用纸，适量点餐，节俭事微却能聚沙成塔，光盘事小也能水滴石穿．据统计，我国每年仅餐饮浪费的食物蛋白就达到8000000吨，倒掉了约2亿人一年的口粮．数据“8000000”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·天心模拟）下列图形中，与是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·天心模拟）如图是一个等边三角形连接各边中点形成的图形，则它是下列哪种几何体的表面展开图（　　）
A．正方体 B．三棱柱 C．三棱锥 D．圆锥
5．（2025·天心模拟）正八边形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·天心模拟）将一次函数的图象向下平移m个单位长度，使其成为正比例函数，则m的值为（　　）
A． B． C．3 D．5
7．（2025·天心模拟）在某校“人工智能与人类未来”的演讲比赛中，前6名同学的成绩（分）依次为：98、96、96、96、95、93，这组数据的众数、中位数依次为（　　）
A．98、93 B．96、96 C．96、95 D．95，96
8．（2025·天心模拟）如图，都是上的点，若，则（　　）．
A． B． C． D．
9．（2025·天心模拟）如图，中，、交于点O，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点E，交于点F，连接，若，的周长为14，则的长为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．
10．（2025·天心模拟）酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有4瓶溶液标签缺失，已知其分别为(盐酸)， (硫酸)， (钠碱)， (钾碱)， 若从中任取2瓶混合， 则会发生中和反应的概率为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025·天心模拟）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为　 　公里．（用含x的代数式表示）
12．（2025·天心模拟）若，则　 　.
13．（2025·天心模拟）某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为95分、85分、90分，综合成绩笔试占40%，试讲占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为　 　分．
14．（2025·天心模拟）如图，将绕点逆时针旋转至，若，则点旋转到点所经过的路径长为　 　.
15．（2025·天心模拟）如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数的图象经过点B，则k的值是　 　．
16．（2025·天心模拟）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，..，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上(如图)，这五张卡片分别记为，，，，，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大.下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是　 　(填，，，，)
卡片编号
两数的和
三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025·天心模拟）计算：
18．（2025·天心模拟）先化简，再求值：，其中.
19．（2025·天心模拟）某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在景区内沿山体向上修建步行道和观光索道， 经过测量知：米，米， 步行道的坡度 ，观光索道与水平线的夹角为求山顶点C到地面的距离的长.(图中所有点都在同一平面内，， 参考数据： ，最后结果精确到1米)
20．（2025·天心模拟）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）直接写出本次调查的学生总人数______；
（2）补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（4）该校共有学生人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？
21．（2025·天心模拟）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，．
（1）求证：；
（2）若，， 求的长
22．（2025·天心模拟）如图，某小区进行项目改造：在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮，如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边；
（1）求通道的宽是多少m
（2）如果通道造价为40元/，草坪造价为100元/，只考虑通道和草坪的造价，不考虑人工等其他费用的前提下，完成该项目需要多少钱
23．（2025·天心模拟）如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接．
（1）求证： 四边形是菱形．
（2）过点作，垂足为点，若，，求四边形的面积．
24．（2025·天心模拟）定义：象限内到两坐标轴距离相等的点，我们称为“等距点”.比如：，，都是“等距点”.
（1）求反比例函数.图象上的“等距点”坐标；
（2） A、B是一次函数图象上的“等距点”，O为坐标原点，若的面积为3，求一次函数的解析式；
（3）二次函数(a、b、c为常数，) 的图象经过点且其图象上有且仅有三个“等距点”，它们的横坐标依次记为求的值或取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵“正”和“负”相对，
∴若零上记作，则零下记作．
故答案为：．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，另一个为负，结合题意即可求解.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：8000000=，
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
3．【答案】D
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：根据同位角的定义，可得D选项中，与在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故是同位角，
而A选项中，与是两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角，
B选项中，与是两条直线被第三条直线所截形成的内错角，
C选项中，与是对顶角．
故答案为：D．
【分析】根据同位角的定义“两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角”逐项判断解题．
4．【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：一个等边三角形连接各边中点形成的图形是三棱锥的表面展开图.
故答案为：C.
【分析】根据几何体的表面展开图的意义求解．
5．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正八边形的内角和为，
故答案为：D．
【分析】根据多边形的内角和公式：计算即可求解．
6．【答案】C
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移3个单位长度，
∴可以得到正比例函数的图象，
∴m的值为．
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的图象平移规律求解．
7．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将各数从大到小排列后得：98、96、96、96、95、93，其中96出现次数最多，众数为96，处于中间的两个数为96、96，中位数为．
故答案为：B．
【分析】根据中位数，众数的定义求解．
8．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；邻补角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由邻补角性质可求得∠BOC的度数，由弧弦圆心角的关系定理可得∠COD=∠BOD=∠BOC，然后由角的和差∠AOD=∠AOC+∠COD计算即可求解．
9．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由已知条件可知EF是AC的垂直平分线，所以EA=EC，
∵△BCE 的周长为14，
∴BC+CE+EB=14，
∴BC+EA+EB=14，
即BC+AB=14，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC=AB，BC=AD=6，
∴DC=14-BC=14-6=8，
故答案为：B．
【分析】由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得EA=EC，再根据三角形BCE的周长等于三角形三边之和可求得AB的长，然后根据平行四边形的对边相等可求解 ．
10．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意可得列表如下：
　
　
　
　
　
共有12种等可能的结果，其中会发生中和反应的结果有8种，
∴会发生中和反应的概率为.
故答案为：D.
【分析】先列表，再求出所有等可能结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式可得出答案．
11．【答案】
【知识点】代数式的概念
【解析】【解答】解：由题意得他离健康跑终点的路程为公里，
故答案为：
【分析】根据题意列出代数式即可求解。
12．【答案】0
【知识点】解一元一次不等式组；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，
∴，解得：，
∴，
∴.
故答案为0．
【分析】根据算术平方根的非负性列出不等式组求解，再求出y，然后求出xy．
13．【答案】90
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：该名教师的综合成绩为（分），
故答案为：90．
【分析】根据加权平均数公式计算即可求解．
14．【答案】
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点逆时针旋转至，，
∴，，
∴点旋转到点所经过的路径长，
故答案为：．
【分析】先根据旋转的性质得到：，，再根据弧长公式计算．
15．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵点A的坐标是（2，0），
∴AO=2，
∵△ABO是等边三角形，
∴OB=OA=2，
过点B作BC垂直OA于C，
∴OC=1，
∴BC=，
∴点B的坐标是
把代入，得
故答案为：．
【分析】由点A的坐标可得OA=2，根据等边三角形的三边相等得OB=OA=2；过点B作BC垂直OA于C，由等腰三角形的三线合一得出OC=1，然后利用勾股定理算出BC的长，从而可得点B的坐标，最后将点B的坐标代入可求出k的值.
16．【答案】
【知识点】等式的基本性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：设，，，，卡片上对应的数分别为，，，，，
则，，，，，
，得，所以，
，得，所以，
，得，所以，
，得，所以，
，得，所以，
所以，且，
所以卡片上的数最大，
故答案为：．
【分析】由题意得到关于的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论．
17．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据特殊角的三角函数值、立方根、二次根式化简、有理数的乘方化简，最后计算加减法．
18．【答案】解：原式
；
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将分式的化简，再代值求解．
19．【答案】解：过点作于点，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵步行道的坡度，观光索道与水平线的夹角为
∴，
∴，
∵，
∴，
解得米，
∴米，
∵
∴（米）
∴（米）．
答：山顶点C到地面的距离的长为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】先证明四边形是矩形，再根据矩形的性质，证得，求出BH，再求DF，求出，即可得到答案．
20．【答案】（1）
（2）在线听课的学生有：（人），
补全的条形统计图如下图所示；
（3）扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是：，
即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是48°；
（4）（人），
答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有800人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查的学生总人数：，
故答案为：；
【分析】
（1）观察扇形图和条形图，用已知数据的学生人数除以其所占百分比即可求得本次调查的学生总人数；
（2）根据样本容量等于各小组频数之和可用总人数减去其它在线学习方式人数即得出在线听课学生人数，即可补全统计图；
（3）求出在线讨论学生所占的百分比，再乘以即可求解；
（4）求出在线阅读学生所占的百分比，再乘以该校总人数即可求解．
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
，
∴，，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先证明，，然后根据，再结合已知条件可得结论；
（2）根据，，得出，根据得出，，最后根据和差间的关系，得出答案即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
，
∴，，
∴．
22．【答案】（1）解：设通道的宽为，由题意得：
，
解得：；
答：通道的宽是．
（2）解：由（1）得：，
∴草坪的面积为，通道面积为，
∴（元）；
答：完成该项目需要20880元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设通道的宽为，由题意根据，可列方程求解；
（2）先求AM和AN，再得出通道和草坪面积，进而问题可求解．
（1）解：设通道的宽为，由题意得：
，
解得：；
答：通道的宽是．
（2）解：由（1）得：，
∴草坪的面积为，通道面积为，
∴（元）；
答：完成该项目需要20880元．
23．【答案】（1）解：，
，，
平分，平分，
，，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
四边形的面积为．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质得出，，再根据角平分线的定义得出，，然后求出，，再根据等腰三角形的判定得出，，然后根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，即可得出答案；
（2）先求出的长，进而即可求出菱形的面积．
（1）解：，
，，
平分，平分，
，，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
四边形的面积为．
24．【答案】（1）解：∵反比例函数.图象在第一象限，
∴设“等距点”的坐标为，
∴，
解得：或（舍去），
∴反比例函数.图象上的“等距点”坐标为；
（2）解：设，，则：
，，
解得：，，
∴，，
当时，，
解得：，
∴直线与x轴交点C的坐标为，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：或；
（3）解：∵二次函数(a、b、c为常数，) 的图象经过点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴二次函数解析式为：，
当“等距点”的坐标横纵坐标相同时，，
∴，
，
当“等距点”的坐标横纵坐标互为相反数时，，
∴，
，
∵，
∴，
∵二次函数图象上有且仅有三个“等距点”，
∴，，
∴，
∴，
∴方程的解为：
或，
方程的解为：
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
当时，，即，
此时，，
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，；
当时，，，，只存在两个“等距点”，不符合题意；
当时，，即，
此时，，
，
∴当时，；
综上分析可知：当时，；当时，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）先根据反比例函数解析式得出，求出或（舍去），即可得出答案；
（2）先根据函数解析式得出，，求出，，再求出直线与x轴交点C的坐标为，然后根据，求出m的值即可得出答案．
（3）先根据二次函数 的图象经过点，求出，，再根据二次函数图象上有且仅有三个“等距点”，得出，，然后求出或，比较大小得出，分三种情况：当时，当时，当时，确定、，再进行求解即可．
（1）解：∵反比例函数.图象在第一象限，
∴设“等距点”的坐标为，
∴，
解得：或（舍去），
∴反比例函数.图象上的“等距点”坐标为；
（2）解：设，，则：
，，
解得：，，
∴，，
把代入得：，
解得：，
∴直线与x轴交点C的坐标为，
即，
解得：，
∴一次函数解析式为：或；
（3）解：∵二次函数(a、b、c为常数，) 的图象经过点，
∴，
即，
∵，
∴，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴二次函数解析式为：，
当“等距点”的坐标横纵坐标相同时，，
整理得：，
此时，
当“等距点”的坐标横纵坐标互为相反数时，，
整理得：，
此时，
∵，
∴，
∵二次函数图象上有且仅有三个“等距点”，
∴，，
∴，
∴，
∴方程的解为：
或，
方程的解为：
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
当时，，即，
此时，，
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，；
当时，，，，只存在两个“等距点”，不符合题意；
当时，，即，
此时，，
，
∴当时，；
综上分析可知：当时，；当时，．
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