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湖南省衡阳市大部分学校2024-2025学年九年级下学期初中学业水平考试联考（四）数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·衡阳模拟）如果，那么（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·衡阳模拟）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．面积相等的三角形全等
C．如果，那么
D．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角
3．（2025·衡阳模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·衡阳模拟）篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，则该材料对应几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·衡阳模拟）在半径为的中，的圆心角所对的弧长是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·衡阳模拟）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　）
A． B．36 C． D．9
7．（2025·衡阳模拟）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选（　　）
　 甲 乙 丙 丁
平均数
方差
A．甲 B． C．丙 D．丁
8．（2025·衡阳模拟）如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·衡阳模拟）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（　　）
A．当时，
B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同
D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
10．（2025·衡阳模拟）定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（　　）
①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分.
11．（2025·衡阳模拟）代数式有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2025·衡阳模拟）如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为　 　．
13．（2025·衡阳模拟）不等式组的解集为　 　.
14．（2025·衡阳模拟）如图，是直线外一点，按以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径作弧，交直线于点，；
②分别以点、点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；
③作直线交于点．
若，，则四边形的面积为　 　．
15．（2025·衡阳模拟）如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数的图象经过点B，则k的值是　 　．
16．（2025·衡阳模拟）小华有两件上衣，分别为蓝色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，他随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，则上衣和裤子不同色的概率是　 　．
17．（2025·衡阳模拟）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则　 　．
18．（2025·衡阳模拟）如图，正方形的边长为为对角线上一动点，以为斜边向右作等腰，连接，则周长的最小值为　 　．
三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（2025·衡阳模拟）先化简，再求值：，其中．
20．（2025·衡阳模拟）如图，四边形为矩形，过点作交的延长线于点．求证：．
21．（2025·衡阳模拟）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示会，现有五个项目：A．美丽镶嵌，B．七彩勾股树，C．数独，D．调查活动，E．数学史．为了解学生最喜爱的项目（每人只能选一个项目），现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）这次学校共抽取了_____名学生进行调查；图2中D选项所对应的圆心角度数为_____；请补齐条形统计图；
（2）为了解学生对数学史的认识，对被抽取的一部分学生进行测试，所得成绩分别为80，74，75，76，76，79，则这组数据的中位数是_____；众数是_____；
（3）若参加成果展示会的学生共有640人，请你估计其中最喜爱“数独”项目的学生人数．
22．（2025·衡阳模拟）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
（1）求D到的距离．
（2）求古塔的高度（结果保留根）．
23．（2025·衡阳模拟）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是_____，并在图中括号内填上正确的数；
（2）求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
24．（2025·衡阳模拟）某商场准备采购智能手表和蓝牙耳机进行促销，智能手表的单价是蓝牙耳机的4倍，用2400元单独购买智能手表比单独购买蓝牙耳机少12个．
（1）求智能手表和蓝牙耳机的单价；
（2）若计划采购两种产品共60个，且智能手表数量不少于蓝牙耳机的，如何采购可使总成本最低？最低成本是多少元？
25．（2025·衡阳模拟）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值；
（3）如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
26．（2025·衡阳模拟）如图，AB是圆O的直径，点D为圆O上一点，连接AD并延长至点C，使，过点D 作AB的垂线，交圆O于点E，点F为劣弧AE上一点，连接EF并延长交BA的延长线于点P，连接DF与AB交于点G．
（1）求证：BC是圆O的切线；
（2）记的面积分别为，若，求的值；
（3）若圆O的半径为1，设，试求y关于x的函数解析式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据绝对值的几何意义“一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点离开原点的距离”可得绝对值等于一个正数的数有两个，这两个化为相反数，可求解.
2．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；真命题与假命题；全等三角形的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，故选项不符合题意；
B、全等三角形的面积相等，但面积相等的三角形不一定能完全重合，故不一定全等，原命题是假命题，故选项不符合题意；
C、若a=1，b=-2，虽，但，原命题是假命题，故选项不符合题意；
D、由于三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，故三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，原命题是真命题，故选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据平行线性质定理“两直线平行，同旁内角互补”可判断A选项；根据全等三角形的定义“能完全重合的两个三角形就是完全三角形”可判断B选项；利用举反例的方法可判断C选项；根据三角形外角性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”可判断D选项.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的加减、同底数幂除法、积的乘方计算、完全平方公式，对四个式子分别计算，再得出结论.
4．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知：主视图为：
故答案为：B．
【分析】根据主视图的意义"主视图是从正面看到的图形"并结合各选项即可判断求解．
5．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：在半径为的中，的圆心角所对的弧长是：
，
故答案为：B．
【分析】根据弧长公式计算即可求解．
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，，
故答案为：D ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式“，可知，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等额实数根；，方程无实数根”，代入数据即可求解
7．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由于甲的平均数较大且方差较小，
故答案为：A
【分析】根据方差的意义：方差是反映一组数据整体波动大小的特征量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况。方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，据此即可求解
8．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解： 连接，
，
，
是上的一条弦，直径，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠COB=2∠A=52°，由垂径定理得出，由等弧所对的圆心角相等得出，最后根据直角三角形的两锐角互余可求出∠D的度数.
9．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解∶由图1知：当时，，故A正确，但不符合题意；
由图2知：Q随I的增大而增大，故B正确，但不符合题意；
由图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故C错误，符合题意；
由图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故D正确，但不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：依题意，把代入，
∴，
∴；
把代入把，
∴，
∴；
∴是“和谐点”，故①说法是正确的；
依题意，把代入，得，
再把代入，
得，
解得或；
∴直线上有两个“和谐点”，故②说法是错误的；
∵，，
∴，，
则，
∴，
∴，
∴或当，
∵反比例函数的图象上
∴依题意，则，
∴，
则，
∵，
∴，
此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”；
或，
∴，
，
∵，
∴可以为正数，零，负数，
综上当时，反比例函数的图象上最多只有四个“和谐点”，故③说法是错误的；
联立，得，
∴，
联立，得，
∴方程要么没有实数根，要么有两个不相等的实数根或时，有两个相等的实数根，
当时，此时，即此时方程没有实数根，
∴此时二次函数的图象上只有1个“和谐点”，不符合题意；
∵二次函数的图象上有3个“和谐点”，
∴方程和一共有3个实数根，
当方程有两个相等的实数根，方程有两个不相等的实数根或方程有两个不相等的实数根，方程有两个不相等的实数根，且两个方程有一个实数根相同，
∴，解得；
联立，解得，
∴时方程和方程的解，
∴，解得；
综上所述，或，故④正确；
故答案为：B．
【分析】分别把点P的坐标代入和，都求出，即可判断①；先把y=-2x+5代入得 ，再把 代入得 ，求解得出x有两个实数解，可得直线y=-2x+5上有两个“和谐点”，即可判断②；先整理得，得或当，再结合，得出，则，求出，此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”；同理结合，得，得可以为正数，零，负数，即可判断③；把或当与构建方程组得到两个一元二次方程，根据二次函数的图象上有3个“和谐点”，则两个方程有一个方程有两个不相等的实数根，另一个方程有两个相等的实数根；或两个方程都有两个不相等的实数根，但两个方程有一个公共的实数根，据此讨论求解即可判断④．
11．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵ 代数式有意义，
∴且，
∴且.
故答案为：且．
【分析】根据分式的分母不为0二次根式的被开方数为非负数，列出不等式，进而得出答案.
12．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：，
∴这个多边形的边数为8．
故答案为：8．
【分析】由于任何一个多边形的外角和都为360°，故用多边形的外角和除以每个外角的度数即可得出多边形的边数．
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式x+2≥1得，
解不等式x-2<1得，
∴不等式组的解集为：.
故答案为：．
【分析】分别解出两个不等式的解集，再取他们的公共部分即可.
14．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由作图步骤可知：
步骤①中，以点为圆心作弧交直线于、，
∴．
步骤②中，分别以、为圆心，大于长为半径作弧相交于，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，．
∴．
∵四边形的对角线与互相垂直，
．
故答案为：12．
【分析】根据题干中的作图方法，可知，PE是BD的垂直平分线，进而可求出，据此可求出的长度，再推导出对角线垂直的四边形面积公式对角线之积，最后再代入数据即可求解
15．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵点A的坐标是（2，0），
∴AO=2，
∵△ABO是等边三角形，
∴OB=OA=2，
过点B作BC垂直OA于C，
∴OC=1，
∴BC=，
∴点B的坐标是
把代入，得
故答案为：．
【分析】由点A的坐标可得OA=2，根据等边三角形的三边相等得OB=OA=2；过点B作BC垂直OA于C，由等腰三角形的三线合一得出OC=1，然后利用勾股定理算出BC的长，从而可得点B的坐标，最后将点B的坐标代入可求出k的值.
16．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下，
共有种等可能的结果，上衣和裤子不同色的有种情况，
∴上衣和裤子不同色的概率是，
故答案为：．
【分析】首先依据题意画树状图，根据树状图可得所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，然后根据概率公式可求解.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵是中点，
∴，
由折叠的性质得到：，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质和中点定义可得，根据折叠得到，设，根据勾股定理列方程求出x值即可解题．
18．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：延长到点M，使，连接，，，
∵是以为斜边作等腰直角三角形，
∴，，，
∵，
∴，AE=EM，，
∴△AEF≌△AEM（SAS），，
∴AF=AM，∠FAD+∠MAD=90°，
∵四边形是正方形，
∴AB=AD，，∠ABF=∠ADB=45°，
∴∠BAF+∠FAD=90°，
∴∠BAF=∠MAD，
∴（SAS），
∴∠ABF=∠ADM=45°，
∴∠MDF=∠ADM+∠ABF=90°，
∵点E为FM的中点，
∴DE=EM，
∵AE=EM，
∴DE=AE，
∴，
∵，，
∴的最小值为，
∴周长的最小值为．
故答案为：．
【分析】
延长到点M，使，连接，，，先根据SAS说明△AEF≌△AEM，再根据SAS说明，进而得出∠MDF是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，再由，即可得出结论．
19．【答案】解：
，
∴当时，原式．
【知识点】分式的乘除法；异分母分式的加、减法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算括号里面的，再变除法变乘法，约分化简后，代值计算即可．
20．【答案】证明：四边形是矩形，
∴，，
∵，
四边形是平行四边形，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】由矩形的对边平行且相等得出，由矩形的对角线相等得出，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDB是平行四边形，由平行四边形的对边相等得出AE=BD，从而根据等式的传递性可得结论.
21．【答案】（1）120，
补全图形如下：
（2）76；76
（3）解：（人）．
答：最喜爱“数独”项目的学生约160人．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意，得（人），
D组所占圆心角为：，
根据题意，得E组的人数为：（人）
故答案为：120，。
（2）解：∵80，74，75，76，76，79，
76出现了2次，次数最多，
故众数为76；
从小到大排序为：74，75，76，76，79，80．
第3个，第4个数为76，76，
故中位数为。
故答案为：76，76。
【分析】（1）用图1中B项目的人数除以其占比，即可求出学生总人数，用D项目的人数除以总人数，求出D项目人数的占比，然后再乘以360度，即可求出D选项所对应的圆心角度数，用学生的总人数减去A、B、C、D，求出E选项的人数，即可画图
（2）根据众数的定义：数列中出现次数最多的数，即为众数；该数列有6个数，中位数是位于第3、第4个数，根据中位数的定义计算判断解答即可．
（3）根据题意，可知，数独属于C选项，用C选项的人数除以调查的学生人数，然后再乘以学生的总人数，即可求解。
（1）解：根据题意，得（人），
D组所占圆心角为：，
根据题意，得E组的人数为：（人）
补全图形如下：
故答案为：120，．
（2）解：∵80，74，75，76，76，79，
76出现了2次，次数最多，
故众数为76；
从小到大排序为：74，75，76，76，79，80．
第3个，第4个数为76，76，
故中位数为．
故答案为：76，76．
（3）解：（人）．
答：最喜爱“数独”项目的学生约160人．
22．【答案】（1）解：过点作，垂足为点，
∵斜坡的斜面坡度，
∴∠DCF=30°
答：D到BC的距离是10m
（2）解：过点作，垂足为点．
由题意得，，
，
∴DH∥MB
由（1）知：
∠DCF=30°
∠HDC=30°
∠MDC=180°-2×30°=120°
∴∠DMC=180°-120°-30°=30°
∴△DCM是等腰三角形
FC=10
MC=2FC=20
MB=MC+BC=30+20
∴
答：古塔的高度．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
（1）过点作，DF就是D到BC的距离。根据斜坡的斜面坡度，求出∠DCF=30°，解Rt△DFC，求出DF，也就是D到BC的距离.
（2）过点作，垂足为点，延长AD、BC，相交于M，先证△DCM是等腰三角形，继而求出∠DMC，求出MC，BM，解Rt△AMB，求出AB，也就是古塔的高度。
23．【答案】（1）70，300
（2）解：由图可知E，F的坐标分别为，，
设线段所在直线的函数解析式为，
则，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
（3）解： 两车出发或 乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍 .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合
【解析】【解答】（1）解：由图可知，甲车小时行驶的路程为，
甲车行驶的速度是，
∴A、C两地的距离为：，
故答案为：70；300；
（3）解：由题意知，A、C两地的距离为：，
乙车行驶的速度为：，
C、B两地的距离为：，
A、B两地的距离为：，
设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，
分两种情况，当甲乙相遇前时：
，
解得；
当甲乙相遇后时：
，
解得；
综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
【分析】（1）根据图象提供的信息可得点F处（乙车行驶4小时时)表示乙车到达了B处，点M处表示甲车到达了C处，即乙车到达B处后甲车又行驶了小时，行驶(200-180)km到达了C处，利用速度=路程÷时间可求出甲车的速度，进而根据甲车总A处出发经过B处最终到达C处用时(4+)小时，根据路程等于速度乘以时间可求出AC两地的距离；
（2）利用待定系数法求解；
（3）由图象可得甲乙两车从A、C两地相向而行，经过小时相遇，从而根据路程÷时间等于速度求出甲乙两车的速度和，结合（1）的结论可求出乙的速度；从图象提供的信息可得乙车从C地出发，行驶4小时到达了B地，根据路程=速度乘以时间求出BC之间的路程，进而即可求出AB之间的路程；设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可．
（1）解：由图可知，甲车小时行驶的路程为，
甲车行驶的速度是，
∴A、C两地的距离为：，
故答案为：70；300；
（2）解：由图可知E，F的坐标分别为，，
设线段所在直线的函数解析式为，
则，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
（3）解：由题意知，A、C两地的距离为：，
乙车行驶的速度为：，
C、B两地的距离为：，
A、B两地的距离为：，
设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，
分两种情况，当甲乙相遇前时：
，
解得；
当甲乙相遇后时：
，
解得；
综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
24．【答案】（1）解：设蓝牙耳机单价为x元，则智能手表的单价为元，根据题意得
解得：
经检验：是所列方程的解．
元，
答：蓝牙耳机单价为150元，智能手表单价为600元．
（2）解：设采购智能手表m个，则蓝牙耳机采购个，根据题意得
∵蓝牙耳机单价150元，智能手表单价600元；
设采购总成本为W元，则
，，
（元）
采购智能手表12个、蓝牙耳机48个时采购成本最低，最低成本为14400元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设蓝牙耳机单价为元，智能手表单价为元．依据“元单独买智能手表比单独买蓝牙耳机少个”列出分式方程，求解并检验即可解答．
（2）设采购智能手表个，则蓝牙耳机个．先根据“智能手表数量不少于蓝牙耳机的”列不等式确定的取值范围，再根据单价列出总成本关于的函数表达式，根据自变量ｍ的取值范围，利用一次函数性质求出的最小值及对应的采购数量．
（1）解：设蓝牙耳机单价为x元，则智能手表的单价为元，根据题意得
解得：
经检验：是所列方程的解．
元，
答：蓝牙耳机单价为150元，智能手表单价为600元．
（2）设采购智能手表m个，则蓝牙耳机采购个，根据题意得
∵蓝牙耳机单价150元，智能手表单价600元；
设采购总成本为W元，则
，，
（元）
采购智能手表12个、蓝牙耳机48个时采购成本最低，最低成本为14400元．
25．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴，
解得，
∴，
∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，
∴
即
故答案为：.
（2）解：设点P的坐标为，
设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到，
则
解得，
∴直线的解析式为，
联立与得到
，
解得，
则
故答案为：.
（3）解：由（1）可得，，与联立得到，，解得，
此时
∴点C的坐标为，
∵点M的横坐标为m，且在上，
∴
即点M的坐标为
设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到，
则
解得，
∴直线的解析式为，
与联立得到，
，
整理得到，
则，
即，
即，
即为定值．
故答案为：是定值，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再利用函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可；
（2）设点P的坐标为，先求出直线的解析式为，再联立方程组可得，再求解即可；
（3）先求出直线的解析式为，再联立方程可得，再求解即可.
（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴，
解得，
∴，
∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，
∴
即
（2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到，
则
解得，
∴直线的解析式为，
联立与得到
，
解得，
则
（3）解：由（1）可得，，与联立得到，，
解得，
此时
∴点C的坐标为，
∵点M的横坐标为m，且在上，
∴
即点M的坐标为
设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到，
则
解得，
∴直线的解析式为，
与联立得到，
，
整理得到，
则，
即，
即，
即为定值．
26．【答案】（1）证明：∵是的直径，
∵
又∵是的直径，
∴是 的切线.
（2）解：由（1）得
∴
∴
设
∵
∴AB2=AC2-BC2，
∴
∵为的直径，
∵
.
（3）解：连接，
∵，且为的直径，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90°可得又由得到即可得出结论；
（2）由得到进而得到设根据勾股定理再根据AA证明最后根据相似三角形的面积之比等于对应边比的平方，即可得出答案；
（3）连接，根据AA证明、，则，，从而，设，则，列出方程式，求出进而得出结论．
（1）证明：如图，记
∵是的直径，
∵由题意得：
又∵是的直径，
∴是 的切线；
（2）解：由（1）得
∴在中，
即
设
在中，
∵为的直径，
∵由题意得
；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，且为的直径，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴．
1 / 1湖南省衡阳市大部分学校2024-2025学年九年级下学期初中学业水平考试联考（四）数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·衡阳模拟）如果，那么（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据绝对值的几何意义“一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点离开原点的距离”可得绝对值等于一个正数的数有两个，这两个化为相反数，可求解.
2．（2025·衡阳模拟）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．面积相等的三角形全等
C．如果，那么
D．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；真命题与假命题；全等三角形的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，故选项不符合题意；
B、全等三角形的面积相等，但面积相等的三角形不一定能完全重合，故不一定全等，原命题是假命题，故选项不符合题意；
C、若a=1，b=-2，虽，但，原命题是假命题，故选项不符合题意；
D、由于三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，故三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，原命题是真命题，故选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据平行线性质定理“两直线平行，同旁内角互补”可判断A选项；根据全等三角形的定义“能完全重合的两个三角形就是完全三角形”可判断B选项；利用举反例的方法可判断C选项；根据三角形外角性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”可判断D选项.
3．（2025·衡阳模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的加减、同底数幂除法、积的乘方计算、完全平方公式，对四个式子分别计算，再得出结论.
4．（2025·衡阳模拟）篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，则该材料对应几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知：主视图为：
故答案为：B．
【分析】根据主视图的意义"主视图是从正面看到的图形"并结合各选项即可判断求解．
5．（2025·衡阳模拟）在半径为的中，的圆心角所对的弧长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：在半径为的中，的圆心角所对的弧长是：
，
故答案为：B．
【分析】根据弧长公式计算即可求解．
6．（2025·衡阳模拟）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　）
A． B．36 C． D．9
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，，
故答案为：D ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式“，可知，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等额实数根；，方程无实数根”，代入数据即可求解
7．（2025·衡阳模拟）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选（　　）
　 甲 乙 丙 丁
平均数
方差
A．甲 B． C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由于甲的平均数较大且方差较小，
故答案为：A
【分析】根据方差的意义：方差是反映一组数据整体波动大小的特征量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况。方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，据此即可求解
8．（2025·衡阳模拟）如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解： 连接，
，
，
是上的一条弦，直径，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠COB=2∠A=52°，由垂径定理得出，由等弧所对的圆心角相等得出，最后根据直角三角形的两锐角互余可求出∠D的度数.
9．（2025·衡阳模拟）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（　　）
A．当时，
B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同
D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解∶由图1知：当时，，故A正确，但不符合题意；
由图2知：Q随I的增大而增大，故B正确，但不符合题意；
由图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故C错误，符合题意；
由图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故D正确，但不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
10．（2025·衡阳模拟）定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（　　）
①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：依题意，把代入，
∴，
∴；
把代入把，
∴，
∴；
∴是“和谐点”，故①说法是正确的；
依题意，把代入，得，
再把代入，
得，
解得或；
∴直线上有两个“和谐点”，故②说法是错误的；
∵，，
∴，，
则，
∴，
∴，
∴或当，
∵反比例函数的图象上
∴依题意，则，
∴，
则，
∵，
∴，
此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”；
或，
∴，
，
∵，
∴可以为正数，零，负数，
综上当时，反比例函数的图象上最多只有四个“和谐点”，故③说法是错误的；
联立，得，
∴，
联立，得，
∴方程要么没有实数根，要么有两个不相等的实数根或时，有两个相等的实数根，
当时，此时，即此时方程没有实数根，
∴此时二次函数的图象上只有1个“和谐点”，不符合题意；
∵二次函数的图象上有3个“和谐点”，
∴方程和一共有3个实数根，
当方程有两个相等的实数根，方程有两个不相等的实数根或方程有两个不相等的实数根，方程有两个不相等的实数根，且两个方程有一个实数根相同，
∴，解得；
联立，解得，
∴时方程和方程的解，
∴，解得；
综上所述，或，故④正确；
故答案为：B．
【分析】分别把点P的坐标代入和，都求出，即可判断①；先把y=-2x+5代入得 ，再把 代入得 ，求解得出x有两个实数解，可得直线y=-2x+5上有两个“和谐点”，即可判断②；先整理得，得或当，再结合，得出，则，求出，此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”；同理结合，得，得可以为正数，零，负数，即可判断③；把或当与构建方程组得到两个一元二次方程，根据二次函数的图象上有3个“和谐点”，则两个方程有一个方程有两个不相等的实数根，另一个方程有两个相等的实数根；或两个方程都有两个不相等的实数根，但两个方程有一个公共的实数根，据此讨论求解即可判断④．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分.
11．（2025·衡阳模拟）代数式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵ 代数式有意义，
∴且，
∴且.
故答案为：且．
【分析】根据分式的分母不为0二次根式的被开方数为非负数，列出不等式，进而得出答案.
12．（2025·衡阳模拟）如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为　 　．
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：，
∴这个多边形的边数为8．
故答案为：8．
【分析】由于任何一个多边形的外角和都为360°，故用多边形的外角和除以每个外角的度数即可得出多边形的边数．
13．（2025·衡阳模拟）不等式组的解集为　 　.
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式x+2≥1得，
解不等式x-2<1得，
∴不等式组的解集为：.
故答案为：．
【分析】分别解出两个不等式的解集，再取他们的公共部分即可.
14．（2025·衡阳模拟）如图，是直线外一点，按以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径作弧，交直线于点，；
②分别以点、点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；
③作直线交于点．
若，，则四边形的面积为　 　．
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由作图步骤可知：
步骤①中，以点为圆心作弧交直线于、，
∴．
步骤②中，分别以、为圆心，大于长为半径作弧相交于，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，．
∴．
∵四边形的对角线与互相垂直，
．
故答案为：12．
【分析】根据题干中的作图方法，可知，PE是BD的垂直平分线，进而可求出，据此可求出的长度，再推导出对角线垂直的四边形面积公式对角线之积，最后再代入数据即可求解
15．（2025·衡阳模拟）如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数的图象经过点B，则k的值是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵点A的坐标是（2，0），
∴AO=2，
∵△ABO是等边三角形，
∴OB=OA=2，
过点B作BC垂直OA于C，
∴OC=1，
∴BC=，
∴点B的坐标是
把代入，得
故答案为：．
【分析】由点A的坐标可得OA=2，根据等边三角形的三边相等得OB=OA=2；过点B作BC垂直OA于C，由等腰三角形的三线合一得出OC=1，然后利用勾股定理算出BC的长，从而可得点B的坐标，最后将点B的坐标代入可求出k的值.
16．（2025·衡阳模拟）小华有两件上衣，分别为蓝色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，他随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，则上衣和裤子不同色的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下，
共有种等可能的结果，上衣和裤子不同色的有种情况，
∴上衣和裤子不同色的概率是，
故答案为：．
【分析】首先依据题意画树状图，根据树状图可得所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，然后根据概率公式可求解.
17．（2025·衡阳模拟）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵是中点，
∴，
由折叠的性质得到：，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质和中点定义可得，根据折叠得到，设，根据勾股定理列方程求出x值即可解题．
18．（2025·衡阳模拟）如图，正方形的边长为为对角线上一动点，以为斜边向右作等腰，连接，则周长的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：延长到点M，使，连接，，，
∵是以为斜边作等腰直角三角形，
∴，，，
∵，
∴，AE=EM，，
∴△AEF≌△AEM（SAS），，
∴AF=AM，∠FAD+∠MAD=90°，
∵四边形是正方形，
∴AB=AD，，∠ABF=∠ADB=45°，
∴∠BAF+∠FAD=90°，
∴∠BAF=∠MAD，
∴（SAS），
∴∠ABF=∠ADM=45°，
∴∠MDF=∠ADM+∠ABF=90°，
∵点E为FM的中点，
∴DE=EM，
∵AE=EM，
∴DE=AE，
∴，
∵，，
∴的最小值为，
∴周长的最小值为．
故答案为：．
【分析】
延长到点M，使，连接，，，先根据SAS说明△AEF≌△AEM，再根据SAS说明，进而得出∠MDF是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，再由，即可得出结论．
三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（2025·衡阳模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
∴当时，原式．
【知识点】分式的乘除法；异分母分式的加、减法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算括号里面的，再变除法变乘法，约分化简后，代值计算即可．
20．（2025·衡阳模拟）如图，四边形为矩形，过点作交的延长线于点．求证：．
【答案】证明：四边形是矩形，
∴，，
∵，
四边形是平行四边形，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】由矩形的对边平行且相等得出，由矩形的对角线相等得出，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDB是平行四边形，由平行四边形的对边相等得出AE=BD，从而根据等式的传递性可得结论.
21．（2025·衡阳模拟）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示会，现有五个项目：A．美丽镶嵌，B．七彩勾股树，C．数独，D．调查活动，E．数学史．为了解学生最喜爱的项目（每人只能选一个项目），现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）这次学校共抽取了_____名学生进行调查；图2中D选项所对应的圆心角度数为_____；请补齐条形统计图；
（2）为了解学生对数学史的认识，对被抽取的一部分学生进行测试，所得成绩分别为80，74，75，76，76，79，则这组数据的中位数是_____；众数是_____；
（3）若参加成果展示会的学生共有640人，请你估计其中最喜爱“数独”项目的学生人数．
【答案】（1）120，
补全图形如下：
（2）76；76
（3）解：（人）．
答：最喜爱“数独”项目的学生约160人．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意，得（人），
D组所占圆心角为：，
根据题意，得E组的人数为：（人）
故答案为：120，。
（2）解：∵80，74，75，76，76，79，
76出现了2次，次数最多，
故众数为76；
从小到大排序为：74，75，76，76，79，80．
第3个，第4个数为76，76，
故中位数为。
故答案为：76，76。
【分析】（1）用图1中B项目的人数除以其占比，即可求出学生总人数，用D项目的人数除以总人数，求出D项目人数的占比，然后再乘以360度，即可求出D选项所对应的圆心角度数，用学生的总人数减去A、B、C、D，求出E选项的人数，即可画图
（2）根据众数的定义：数列中出现次数最多的数，即为众数；该数列有6个数，中位数是位于第3、第4个数，根据中位数的定义计算判断解答即可．
（3）根据题意，可知，数独属于C选项，用C选项的人数除以调查的学生人数，然后再乘以学生的总人数，即可求解。
（1）解：根据题意，得（人），
D组所占圆心角为：，
根据题意，得E组的人数为：（人）
补全图形如下：
故答案为：120，．
（2）解：∵80，74，75，76，76，79，
76出现了2次，次数最多，
故众数为76；
从小到大排序为：74，75，76，76，79，80．
第3个，第4个数为76，76，
故中位数为．
故答案为：76，76．
（3）解：（人）．
答：最喜爱“数独”项目的学生约160人．
22．（2025·衡阳模拟）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
（1）求D到的距离．
（2）求古塔的高度（结果保留根）．
【答案】（1）解：过点作，垂足为点，
∵斜坡的斜面坡度，
∴∠DCF=30°
答：D到BC的距离是10m
（2）解：过点作，垂足为点．
由题意得，，
，
∴DH∥MB
由（1）知：
∠DCF=30°
∠HDC=30°
∠MDC=180°-2×30°=120°
∴∠DMC=180°-120°-30°=30°
∴△DCM是等腰三角形
FC=10
MC=2FC=20
MB=MC+BC=30+20
∴
答：古塔的高度．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
（1）过点作，DF就是D到BC的距离。根据斜坡的斜面坡度，求出∠DCF=30°，解Rt△DFC，求出DF，也就是D到BC的距离.
（2）过点作，垂足为点，延长AD、BC，相交于M，先证△DCM是等腰三角形，继而求出∠DMC，求出MC，BM，解Rt△AMB，求出AB，也就是古塔的高度。
23．（2025·衡阳模拟）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是_____，并在图中括号内填上正确的数；
（2）求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
【答案】（1）70，300
（2）解：由图可知E，F的坐标分别为，，
设线段所在直线的函数解析式为，
则，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
（3）解： 两车出发或 乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍 .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合
【解析】【解答】（1）解：由图可知，甲车小时行驶的路程为，
甲车行驶的速度是，
∴A、C两地的距离为：，
故答案为：70；300；
（3）解：由题意知，A、C两地的距离为：，
乙车行驶的速度为：，
C、B两地的距离为：，
A、B两地的距离为：，
设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，
分两种情况，当甲乙相遇前时：
，
解得；
当甲乙相遇后时：
，
解得；
综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
【分析】（1）根据图象提供的信息可得点F处（乙车行驶4小时时)表示乙车到达了B处，点M处表示甲车到达了C处，即乙车到达B处后甲车又行驶了小时，行驶(200-180)km到达了C处，利用速度=路程÷时间可求出甲车的速度，进而根据甲车总A处出发经过B处最终到达C处用时(4+)小时，根据路程等于速度乘以时间可求出AC两地的距离；
（2）利用待定系数法求解；
（3）由图象可得甲乙两车从A、C两地相向而行，经过小时相遇，从而根据路程÷时间等于速度求出甲乙两车的速度和，结合（1）的结论可求出乙的速度；从图象提供的信息可得乙车从C地出发，行驶4小时到达了B地，根据路程=速度乘以时间求出BC之间的路程，进而即可求出AB之间的路程；设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可．
（1）解：由图可知，甲车小时行驶的路程为，
甲车行驶的速度是，
∴A、C两地的距离为：，
故答案为：70；300；
（2）解：由图可知E，F的坐标分别为，，
设线段所在直线的函数解析式为，
则，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
（3）解：由题意知，A、C两地的距离为：，
乙车行驶的速度为：，
C、B两地的距离为：，
A、B两地的距离为：，
设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，
分两种情况，当甲乙相遇前时：
，
解得；
当甲乙相遇后时：
，
解得；
综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
24．（2025·衡阳模拟）某商场准备采购智能手表和蓝牙耳机进行促销，智能手表的单价是蓝牙耳机的4倍，用2400元单独购买智能手表比单独购买蓝牙耳机少12个．
（1）求智能手表和蓝牙耳机的单价；
（2）若计划采购两种产品共60个，且智能手表数量不少于蓝牙耳机的，如何采购可使总成本最低？最低成本是多少元？
【答案】（1）解：设蓝牙耳机单价为x元，则智能手表的单价为元，根据题意得
解得：
经检验：是所列方程的解．
元，
答：蓝牙耳机单价为150元，智能手表单价为600元．
（2）解：设采购智能手表m个，则蓝牙耳机采购个，根据题意得
∵蓝牙耳机单价150元，智能手表单价600元；
设采购总成本为W元，则
，，
（元）
采购智能手表12个、蓝牙耳机48个时采购成本最低，最低成本为14400元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设蓝牙耳机单价为元，智能手表单价为元．依据“元单独买智能手表比单独买蓝牙耳机少个”列出分式方程，求解并检验即可解答．
（2）设采购智能手表个，则蓝牙耳机个．先根据“智能手表数量不少于蓝牙耳机的”列不等式确定的取值范围，再根据单价列出总成本关于的函数表达式，根据自变量ｍ的取值范围，利用一次函数性质求出的最小值及对应的采购数量．
（1）解：设蓝牙耳机单价为x元，则智能手表的单价为元，根据题意得
解得：
经检验：是所列方程的解．
元，
答：蓝牙耳机单价为150元，智能手表单价为600元．
（2）设采购智能手表m个，则蓝牙耳机采购个，根据题意得
∵蓝牙耳机单价150元，智能手表单价600元；
设采购总成本为W元，则
，，
（元）
采购智能手表12个、蓝牙耳机48个时采购成本最低，最低成本为14400元．
25．（2025·衡阳模拟）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值；
（3）如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴，
解得，
∴，
∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，
∴
即
故答案为：.
（2）解：设点P的坐标为，
设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到，
则
解得，
∴直线的解析式为，
联立与得到
，
解得，
则
故答案为：.
（3）解：由（1）可得，，与联立得到，，解得，
此时
∴点C的坐标为，
∵点M的横坐标为m，且在上，
∴
即点M的坐标为
设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到，
则
解得，
∴直线的解析式为，
与联立得到，
，
整理得到，
则，
即，
即，
即为定值．
故答案为：是定值，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再利用函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可；
（2）设点P的坐标为，先求出直线的解析式为，再联立方程组可得，再求解即可；
（3）先求出直线的解析式为，再联立方程可得，再求解即可.
（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴，
解得，
∴，
∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，
∴
即
（2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到，
则
解得，
∴直线的解析式为，
联立与得到
，
解得，
则
（3）解：由（1）可得，，与联立得到，，
解得，
此时
∴点C的坐标为，
∵点M的横坐标为m，且在上，
∴
即点M的坐标为
设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到，
则
解得，
∴直线的解析式为，
与联立得到，
，
整理得到，
则，
即，
即，
即为定值．
26．（2025·衡阳模拟）如图，AB是圆O的直径，点D为圆O上一点，连接AD并延长至点C，使，过点D 作AB的垂线，交圆O于点E，点F为劣弧AE上一点，连接EF并延长交BA的延长线于点P，连接DF与AB交于点G．
（1）求证：BC是圆O的切线；
（2）记的面积分别为，若，求的值；
（3）若圆O的半径为1，设，试求y关于x的函数解析式．
【答案】（1）证明：∵是的直径，
∵
又∵是的直径，
∴是 的切线.
（2）解：由（1）得
∴
∴
设
∵
∴AB2=AC2-BC2，
∴
∵为的直径，
∵
.
（3）解：连接，
∵，且为的直径，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90°可得又由得到即可得出结论；
（2）由得到进而得到设根据勾股定理再根据AA证明最后根据相似三角形的面积之比等于对应边比的平方，即可得出答案；
（3）连接，根据AA证明、，则，，从而，设，则，列出方程式，求出进而得出结论．
（1）证明：如图，记
∵是的直径，
∵由题意得：
又∵是的直径，
∴是 的切线；
（2）解：由（1）得
∴在中，
即
设
在中，
∵为的直径，
∵由题意得
；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，且为的直径，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴．
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