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(共5张PPT)
专题四 特殊解法
课时42 设参求角度（一）
在含有等腰三角形的图形中，当直接求角度有困难或书写麻烦时，
通过设参数表示要求的角，再利用三角形内角和定理或外角性质找相等
关系列方程求解.
1. ［典型试题］如图，中，，点在 上，
且.求 的度数.
解：设
.
2. ［变式］如图，在中，，点在边 上，且
，点在边上，.求 的度数.
解：设
，，
， ，
解得
.
A
D
B
C
解：设∠A=x
.∠BCD
=∠BDC=∠ABD+∠A=2x
AB
.∠ABC=∠BCA=2x
.∠A+∠ABC十∠BCA=180°
.x+2x+2x=180°
.x=36°
.∠C=72°.
A
D
E
B
C
解：设上EDB=x
AD=DE=BE,BD=BC,AC=AB
∠A=∠AED,∠EBD=∠EDB=x°，
C=∠BDC=∠ABC
.∠AED=∠EBD十∠EDB=2∠EBD=2x
.∠A=2x
.∠BDC=∠A+∠EBD=3x°
.∠C=∠ABC=∠BDC=3x
∠A十∠ABC
=180°
.2x+3x+3x=180解得x=22.5
.∠EDB=22.5°(共7张PPT)
专题四 特殊解法
课时44 设参求线段比
通过平行、相似等比较难求线段比或书写麻烦时，可以大胆设参数，用参
数表示相关线段，进而求线段比；或通过设参求线段比，再证三角形相似.
1. ［典型试题］如图，在矩形中，为 的中
点，将翻折到的位置，点 的对应点为
，连接并延长，交于点，连接， ，
当恰为的中点时，求 的值.
解： 四边形 是矩形
， ，
由折叠可得
，
为的中点，为 的中点
，
设
，
在中，
解得
.
2. ［变式］如图，在正方形中，点在的延长线上，点 在边
上，.连接交于点，若是的中点，求 的值.
解：如图，设，取的中点 ，连接
则， ，
是等腰直角三角形，
，
四边形 是正方形
，
，
，
.
A
E
B
0
0
0
B
0
0
0
H
9
0
0
0
0
自
F
●
D
[典型试题]如图，在矩形ABCD中，E为AB的中
点，将△BCE翻折到△FCE的位置，点B的对应点为
F,
连接CF并延长，交AD于点H,连接AF,DF,
当H恰为AD的中点时，求的值.
.BC=CF,∠B=∠EFC=∠EFH=90°
.∠EFA+∠AFH=∠EAF+∠FAH=90
E为AB的中点，H为AD的中点
:AE=BE=EF,AH=HD
.∠AF丑=∠FAH
AH=HF=HD
设HF=HD=A丑
:AD 2a,HC=3a
在Rt△CDH中，HD2+DC2=HC2
“a2+DC2=(3a2,解得DC=2√2a
AB
DC
=√2
2a
D
C
F
G
A
B
E
D
C
F
H
G
A
B
E
解：如图，设AB=AD=2a,取BD的中点H,连接PH
则FH//AB,∠GFH=∠GEB,
△DFH是等腰直角三角形
AF=DF=FH=a,BD=2v2a
:四边形ABCD是正方形
∴.CD=CB,∠BCD=∠CDF=∠CBE=90°
.∠ECF=∠BCD=90°
,∠DCF=∠BCE
DCF2入】
CE(ASA
:DF=BE=a,AE=AB+BE=3a
FH=BE=a
'∠FGH=∠EGB
◆
△FGH≌△EGB(AAS)
FG=EG=号EF
GH=BG=BH-BD-
2
:EF=VAF2+AE2=√a2+
V100
EG
/10
EG
V2 a(共6张PPT)
专题四 特殊解法
课时48 反证法（二）
【方法】反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立，假设的反面成
立；②从这个假设出发，经过推理得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，
从而肯定原命题的结论是正确的.
【技巧】从假设出发，能够推出与几何中概念、公理、定理或已知条件
矛盾即可.
1. ［典型试题］求证：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆.
证明：假设经过同一条直线上的三个点，， 能作
出一个圆
设这个圆的圆心为 ，如图所示
点既在线段的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线 上
点是直线， 的交点
， ，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾
假设不成立
经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆.
2. ［变式］人教版初中数学教科书七年级下册平行线
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.书上没给出性质
1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的.九年
级上册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了.
证明：假设_______________，过点作直线 ，
使得
如图，直线，直线分别交，于点 ，
，求证： .
（________________________）
，且也过点
这与________________________________________
________矛盾
假设错误，即 .
同位角相等，两直线平行
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
3. ［变式］求证： 中至少有两个角是锐角.
证明：假设中只有一个锐角或 中没有锐角.
①当中只有一个锐角时，不妨设为锐角，则 ，
，这与三角形内角和定理矛盾
假设不成立；
②当中没有锐角时，则，，
，这与三角形内角和定理矛盾
假设不成立
综上所述， 中至少有两个角是锐角.(共6张PPT)
专题四 特殊解法
课时45 建系法
通常题目中边长、点的位置固定的图形（有互相垂直的线段更好），这
样的试题都可尝试通过建立平面直角坐标系，求直线解析式、点坐标求
解，常用到中点公式、两点间距离公式等.
1. ［典型试题］如图，在边长为的正方形 中，
点，分别是边，的中点，连接，，点 ，
分别是，的中点，连接，求 的长.
解：（简析）以为原点，所在直线为轴，
所在直线为轴，长为 个单位长度，建立平面
直角坐标系，则 ，
，分别是边， 的中点
，
，分别是， 的中点
，
.
2. ［变式］如图，在矩形中，，分别为边，的中点，
与，分别交于点，.若，，求 的长.
解：（简析）以为原点，所在直线为
轴，所在直线为轴， 长为6个单位长
度，建立平面直角坐标系
则 ，，
，分别为边， 的中点
，
由，可求直线的解析式为
由，可求直线的解析式为
由，可求直线 的解析式为
由，得
由，得
.
A
D
E
H
G
B
F
C
A
D
E
H
G
B
F
C
X
:E,F分别是边AB,BC的中点
E(0,√②，F(V2,0)
·G,H分别是EC,FD的中点
c(V2号，(y,V②
GH
32
2
-V②2+(W2-)=1
A
F
N
E
M
B
C
A
A
F
D
N
E
M
B
C
X
解：（简析）以B为原点，BC所在直线为x
轴，AB所在直线为y轴，BC长为6个单位长
度，建立平面直角坐标系
则A(0,4,C(6,0),D(6,4)
由B(0,0),F(3,4)可求直线BF的解析式为
y=x+2
由
得N(2,3
由
得MC)
MN=(共7张PPT)
专题四 特殊解法
专练10 特殊解法 一题多解
1. 如图，在矩形中，，，点，分别在， 上，
且，，求 的长.
备用图
解法一：建系法
解：以点为原点，直线为轴，直线为 轴，
建立平面直角坐标系
则，，，
过点作，垂足为，交于点，过点
作 ，垂足为
，
设直线的解析式为
解得
直线的解析式为
当，
，即 .
解法二：设参数法
解：分别延长，交于点，过点作，
垂足为
四边形 是矩形
，，，
，即
在中，，则
在中，，
，解得
.
在中，，
D
G
F
B
E
M
X
解法一：建系法
解：以点B为原点，直线BC为x轴，直线AB为y抽，
建立平面直角坐标系
则A(0,3),B(0,0),C(5,0),E(1,0)
过点E作EGL AE,垂足为E,交AF于点G,过点G
作GM⊥BC,垂足为M
.∠AEG=∠EMG=∠ABE=90°
∠BAE
EB
·∠EAF=45°
∠AGE=∠EAF=45
AE-GE
△ABE≌△EMG(AAS)
EM=AB=3,GM=BE
=1
BM=BE十EM=4
G(4,1)
设直线AF的解析式为y=kx+b
=3
4+b=
1
解得
直线AF的解析式为y=一x+3
当x=5,y=-2×5+3=
2
F5,),即CF=
解法二：设参数法
解：分别延长AE,DC交于点G,过点F作FM⊥AG,
垂足为M
·四边形ABCD是矩形
.AB/DC,CD=AB=3,AD=BC=5,∠D=90°
△ABE∽△GCE
AB
BE
即GC=4AB=12
A
D
B
E
M
:
·
:
G(共6张PPT)
专题四 特殊解法
课时43 设参求角度（二）
在含有等腰三角形的图形中，已知条件中没有边长但有具体角度，
当直接求角度有困难或书写麻烦时，通过设参数表示相关角的度数，常
利用三角形内角和定理或外角性质找相等关系列方程求解.
1. ［典型试题］如图，与 关于
直线对称，且.点在上，
与关于直线对称.若与 互
补， ，求 的度数.
解：与关于直线 对称
设，则
与关于直线 对称
与 互补
解得
.
2. ［变式］[2025中宁模拟]如图，在正方形中，点在上，点 与
点关于直线对称，连接并延长，交直线于点，求 的度数.
解：设
四边形 为正方形
，
由对称可知，
.
E
D
F
C
B
A
.[典型试题]如图，△AEF与△AEC关于
直线AE对称，且FE=FA.点D在CE上，AD
与AB关于直线AC对称.若∠BAF与∠BAD互
补，∠FEA-∠DAC=50°，求∠F的度数.
.∠FEA=∠DAC十50°=x°+50
FE=FA
∠EAF=∠PFEA=x°+50°
个AEF与△AEC关于直线AE对称
,∠EAC=∠EAF=x°+50°
∠BAF与∠BAD互补
.∠BAF十∠BAD=180°
.3x+100+2x=180解得x=16
.∠EAF=∠FEA=x°十50°=66°
.∠F=180°-∠FEA-∠EAF=180°-66°-66°=48°
F
A
D
P
E
B
C
解：设上ABP=C
四边形ABCD为正方形
∴.AB=BC,∠ABC=90°
由对称可知AB=EB,
∠ABF=∠EBF
∴.∠EBC=∠ABC
-∠EBF=90°-2C
BE=AB
。BE=BC
180
BEC=∠BCE
=45°+C
2
∠BEC=∠BFC+∠EBF=∠CFB+C
∠CFB+C=45°+C
∠CFB=45°.(共7张PPT)
专题四 特殊解法
课时47 反证法（一）
【方法】反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立，即它的反面成
立；②从这个假设出发，经过推理得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，
从而肯定原命题的结论是正确的.
【技巧】从假设出发，能够推出与代数中概念、性质或已知条件矛盾即可.
1. ［典型试题］阅读材料：“无理数”的由来.
为什么 不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题.
假设是一个有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得 ，
两边平方，得，于是，则 是2的倍数
再设，其中是正整数，就有，也就是
所以也是2的倍数，可见，不是互质的正整数，与前面所假设的与
是互质的正整数相矛盾
因此 不可能是一个有理数.#4.1.4
上述材料中，运用了反证法说明“ 是一个无理数”，请模仿这种方法，
说明 是无理数.
证明：假设是一个有理数，那么存在两个互质的正整数， ，
使得
两边平方，得 _______________
________，即
_________
，为有理数，必为有理数，这与 为无理数矛盾
是一个无理数.#4.2.7
2. ［变式］已知实数，，，，，其中， 为正整数，满足
，，且为奇数，请用反证法证明：， 至少有一
个为奇数.
证明：假设，都是偶数，不妨设，
则，
是偶数
，
是偶数，这与已知 为奇数相矛盾
， 至少有一个为奇数.

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