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(共10张PPT)
专题一 代数推理
课时2 奇偶性
1. ［典型试题］代数推理：若是一个整数，试证明 是一个偶数.
证明：
当为奇数时， 是偶数
是偶数
当为偶数时， 是奇数
是偶数
综上， 是偶数.
2. [2025亭湖区三模］【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个
连续的正整数、，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数
的平方.
（1）举例验证：当，，则 ；
（2）推理证明：小明同学做了如下的证明：
设，， 是连续的正整数
一定是正数 的平方数.
【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差
是较小数的平方.
请你举例验证及推理证明；
【深入思考】若， 为两个连续奇数，
， ，
求证： 一定是偶数.
解：类比猜想：举例验证：当， ，则
.
证明：设，， 是连续的正整数
一定是正数 的平方数；
深入思考：，为两个连续奇数，
一定是偶数.
3. [2025福建模拟]已知为两位正整数，其十位上的数字为 ，个位上的
数字为，且满足 .
（1）写出符合条件的所有数 ；
解：，且为两位正整数的十位上的数字， 为其个位上的
数字
，或，或，
为12或21或30；
（2）当时，若 可以写成两个整数的平方差，求这两个整数的积.
，，
设，为整数
则
， 为整数
与 奇偶性相同
或
解得，或，
所以这两个整数的积为 .
4. ［变式］请你参与亮亮在翻转扑克牌游戏时的思考.
（1）亮亮同学把3张正面都朝上的扑克牌每次都翻转2张，改变它们的
朝向.他发现无论经过多少次这样的操作都不能使3张扑克牌的正面全部
朝下.他的结论对吗？
解：正确.因为对于一张牌，翻转奇数次才能改变它的朝向，而3个奇数
的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时，才能使3张牌的牌面都向下，
而每次翻动2张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数，所以无论他
翻动多少次，都不能使3张牌画面都向下，故他的结论正确；
（2）把4张正面都朝上的扑克牌每次都翻转2张，改变它们朝向，经过
若干次操作，能否使4张扑克牌的正面都朝下呢？
能.因为把4张正面都朝上的扑克牌每次都翻转2张，最少两次即可做到将
4张牌全部正面都朝下；
（3）把4张正面都朝上的扑克牌每次都翻转3张，改变它们朝向，经过
若干次操作，能否使4张扑克牌的正面都朝下呢？若能，至少要经过几
次这样的操作？若不能，请说明理由.
能，至少4次.想要翻转的次数最少，那么翻转的总张数就要是扑克牌张
数和每次翻转张数的最小公倍数.因为每次翻转3张，所以至少要经过4次
这样的操作，才能使4张扑克牌都正面朝下.(共8张PPT)
专题一 代数推理
课时4 函数性质
1. ［典型试题］已知一次函数.求证：随 的增大而减小.
证明：设一次函数的图象上任意两点， ，且
则，
即随 的增大而减小.
2. ［变式］已知二次函数 .
（1）运用代数推理证明：该函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线
.
证明：在该函数的图象上任取一点，则
设点关于直线对称的点
则有，解得
当时，
点也在函数 的图象上
二次函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线 ；
（2）该函数图象上有两点，，若 ，判断
， 之间的关系，并通过代数推理加以证明；
，证明如下：
两点，在函数 图象上
，
，
.
3. ［变式］ 性质：反比例函数 的图象是中心对称图形，对称中心
是原点.
证明：在函数上任取一点
则点关于原点对称的点 为_________
_________________
点也在反比例函数 的图象上
即反比例函数 的图象任意一点关于原点的对称点都在该函数图象上
反比例函数 的图象是中心对称图形，对称中心是原点.#1.1.5
先补充完整上面证明，再仿照上述方法，尝试运用代数推理进行证明：
（1）反比例函数的图象关于直线 对称；
证明：在反比例函数的图象上任取一点
则点关于直线对称的点为
点也在反比例函数 的图象上
即反比例函数图象任意一点关于直线 的对称点都在该函数图象上
反比例函数的图象关于直线 对称；
（2）对于反比例函数，当时，随 的增大而减小.
设函数图象上任取两点，，且
则
，
对于反比例函数，当时，随 的增大而减小.(共11张PPT)
专题一 代数推理
课时1 整数整除
代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、
等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论.代数推理是指通过代
数式的推导、变形和运算，来解决数学问题的方法.代数推理基于代数的
基本运算规律和逻辑推理，与几何证明相比，其最大特点是“以算代证”.
1. ［典型试题］如果一个整数的个位数字能被2整除，那么这个整数就
能被2整除.
例如：
又 和10都能被2整除，2能被2整除
能被2整除
即542能被2整除.
（1）请你照着上面的例子验证653不能被2整除；
证明： ，100和10都能被2整除，3不能被2
整除
不能被2整除；
（2）把一个千位是，百位是，十位是，个位是的四位数记为 .
求证：当能被9整除时， 能被9整除；
能被9整除
当能被9整除时， 能被9整除；
（3）设是一个三位数，把个位数字截去，再从余下的两位数 减
去个位数字的2倍，如果差是7的倍数，请证明 能被7整除.
根据题意， 能被7整除
可设为正整数
， 是整数
也是整数
能被7整除.
2. ［变式］先阅读证明，再完成拓展填空：
阅读：把一个万位是，千位是，百位是，十位是，个位是 的五位
数记为.设奇位数字，偶位数字 ，求证：当
能被11整除时， 也能被11整除.
证明：
能被11整除
当能被11整除时， 也能被11整除；#2.1.6
拓展：将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片
排成一排，如何排成一个能被11整除的最大的九位数.请你将下面推理过
程补充完整.
解：我们知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位数是
___________.
但这个数不是11的倍数，所以应适当调整，寻求能被11整除的最大的由
这九个数码组成的九位数.
设调整后的九位数的奇位数字之和为，偶位数字之和为.则
____.#2.2.3
987654321
45
由“阅读证明”可知，当 能被11整除时，类比五位数的证明，可得调
整后的九位数也能被11整除.
所排九位数偶位数字和最小为 ，最大为
，
奇位数字和最大为 ，最小为
与奇偶性相同，而 是奇数
只能取奇数值_________
11或
要组成最大数.
奇数位数之和较大.
于是有
解这个方程组，得____， ____.
的奇位数字和为____，偶位数字和为____，
必须调整数字，使奇位和增加___，偶位和减少___才行.
为此调整最后四位数码，排成______即为所求.
用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的能被11整除的最大的九位数是
___________.#2.2.18
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25
20
3
3
2413
987652413(共8张PPT)
专题一 代数推理
课时5 恒等变形
恒等变形主要是根据等式的基本性质及分式的基本性质进行推理变
换与运算.解题关键是利用常用的恒等变形进行推导，从而得到所要证明
的结论.
1. ［典型试题］已知，为实数，且，求证： .
证明： ____________
，
又
____________
.
（1）请将例题中的证明补充完整；
（2）已知，且，求证： .
证明：
等式①的两边同时除以，得
.
2. ［变式］已知，求证： .
证明：
.
3. ［变式］若，，为互不相等的非零实数，且 .
求证： .
证明：由已知，得
由已知，同理可得
由已知，同理可得
由，得
.
4. ［变式］若，，，且满足 ，
，求证： .
证明：由已知，得①，
由，得
由，得
即
把③代入④，得
又，，
将⑤两边同除以，得
即 .
证明：：a+后=b+
2
a
2
2b-2a
2
2(b-a)
。a一b
①
a
ab
ab
.a一b丰
等式①的两边同时除以(a一b,得1=
ab
.ab=-2.
证明：+方=
a
a+b
ab
.ab ac bc
.(a+b-c)2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc
a2 b2+c2+2(ac bc)-2ac -2bc
=a2十b2十
证明：由已知x+二y
+得x一y
V-Z
(1
由已知y
同理可得ZX
2
由已知x
同理可得y
3
由①×2
3)
证明：由已知，得a2=b(b+c)①，b2=c(c+Q②
由①+②
得a2-c2=bc+ac3
由①×②，得a2b2=bcb+c)(c+a)
即a2b2=bc(bc+ab+c2+ac④
把③代入④，得a2b2=
bc(a2-c2
r.a2b2 bc(a
F ab)
又a>0,b
,C>
将⑤两边同除以a2b2c,(共11张PPT)
专题一 代数推理
课时6 新定义
代数推理是通过观察数与数之间、数与式之间的内在联系，利用数
学的基本性质和运算法则进行推理或证明的过程.代数推理包括演绎推理
与合情推理，其中合情推理包括归纳推理与类比推理.
1. ［典型试题］若一个四位数 的个位数字与十位数字的平方和恰好是
去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数 称为“勾股和数”.
例如：，， 是“勾股和数”；
又如：，，， 不是“勾股和数”.
（1）判断2024，2025是否是“勾股和数”，并说明理由；
解：， 是“勾股和数”
，， 不是“勾股和数”；
（2）一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为 ，
个位数字为，记，.当， 均
是整数时，求出所有满足条件的 .
为“勾股和数”
，
为整数
，
为整数， 为3的倍数
为3的倍数
，或，或，或，
对应的 的值为8109或8190或4536或4563.
2. ［变式］
（1）求证：两个连续奇数的平方差能被8整除；
解：设两个连续奇数分别为，，其中 为正整数，
则两个连续奇数的平方差为
为正整数
两个连续奇数的平方差能被8整除；
（2）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整
数为“智慧数”.
如，，，， ，3，5，
7， 就是“智慧数”.
①9____“智慧数”（填“是”或“不是” ）；
是
②将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是多少？说明理由.
设两个数分别为，，其中，且 为整数.
则
设两个数分别为和，其中，且 为整数.
则，
时， ，
除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数.
且为整数 均为智慧数；除1外，所有的奇数都是智慧数；除
4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊
值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推
广到一般式，证明如下：
假设是智慧数，那么必有两个正整数和 ，使得
，
和 这两个数的奇偶性相同，
等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但
一定不是4的倍数.可得左、右两边不相等.所以 不是智慧数，即被
4除余2的正整数都不是智慧数.
把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，
其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，
，
第2025个智慧数在 （组），并且是该组的第2个智慧数，
同时也是该组的第3个数，即 .将所有的“智慧数”从小
到大排列，第2025个“智慧数”是2703.(共12张PPT)
专题一 代数推理
专练1 代数推理
1. 代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、
等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论.
请先完成第（1）题的填空，填写推理的依据，再完成第（2）题的证明.
（1）已知实数，满足，求证： ；
证明：
（___________________）
（____________）
，
，
.
不等式的基本性质1
平方差公式
（2）在三边长分别为，， 的三角形中，利用（1）的解
题思路，求证： .
证明：
.
2. 【感知问题】小明计算的时候，发现对于任意两个连续的正奇数 和
，它们的乘积 等于较小数的平方与较小数2倍的和.
【举例验证】为验证猜想的正确与否，小明又例举了几组数据：
当，时， ；
当，时， ；
当，时， ；
…
【推理证明】小明做了如下证明：
设两个连续的正奇数分别为，为整数和 ，
则
，
两个连续的正奇数和的乘积 等于较小数的平方与较小数2倍的和.
（1）【类比猜想】小红提出：任意两个连续的正奇数和 ，它们的乘
积 等于较大数的平方与较大数2倍的差.请举例验证并推理证明.
解：举例验证：当，时， ，
（答案不唯一）
推理证明：设两个连续的正奇数为，为整数 和
，则
两个连续的正奇数和的乘积 等于较大数的平方与较大数2倍的差；
（2）【深入思考】若（， 为连续的正奇
数，为它们的乘积），求证： 能被4整除.
，
为整数， 能被4整除.
3. 【发现问题】在数学活动课上，李老师给出如下一列式子：
； ；
； ；…
爱思考的小辉同学发现，任意一个奇数，都可以写成相邻两个整数的平
方差.
【提出问题】小辉同学根据上述式子的规律，结合学习过的二次根式，
提出这样一个猜想：如果与是两个相邻的整数，其中 ，则
.
【解决问题】
（1）用含整数 的式子表示李老师给出那列式子的规律：____________
____________；
（2）请证明小辉同学的猜想；
证明：设，则，，
， ；
（3）如果与是两个相邻的整数，求 的值.
解：与是两个相邻的整数， ，
根据（2）得出的关系，
， .(共10张PPT)
专题一 代数推理
课时3 式的大小
1. ［典型试题］阅读材料：利用完全平方式，将多项式 变形
为的形式，然后由 就可以求出多项式
的最小值.
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：_______ ；
36
6
（2）求 的最小值；
解：
的最小值为 ；
（3）若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为 ，
另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，试比较和
的大小，并说明理由.
由题意，得 ,
.
2. ［变式］阅读感悟：代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运
用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性.
（1）解决“已知实数，满足，证明： ”这一问题
可用两种方法证明，请将下面的证明过程填写完整.
证法（______），且
___0， ___0（在横线上填上适当的不等符号）
.
证法且， 均为正
____， ____（不等式的两边乘同一个正数，不等号的方向
不变）
（不等式的传递性）
.
（2）请你尝试证明：若，则 .
证明：
.
3. ［变式］代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理
和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题：
例：已知正整数，，满足，求证： .
证明：，
____
即
______，
______
即 .#1.1.8
（1）请将上面的证明过程填写完整；
（2）若，则___，___， ___；
1
2
2
（3）现有一张边长为6的正方形纸片，可画成如图所示的9宫格，其中
， ，求图中阴影部分面积的最小值.
解：根据题意，得，，为正数， ，
图中阴影部分的面积
由（1）的结论得：
又
解此不等式得
的最小值为12
图中阴影部分面积的最小值为12.

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