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(共8张PPT)
专题五 二次函数
课时51 二次函数与线段（三）——和差倍分型
【方法】在函数图象上形成线段的和差倍分通常利用函数解析式求出点
的坐标，再利用两点距离：或 ；
，求出线段长度.
1. ［典型试题］如图，抛物线与 轴
交于，两点，与轴交于点， 是抛物线在第二象限
内的一个动点，直线，分别交轴于点， .求
证： .
证明：当时，,解得 ，
，当时，
，，
设，直线 解析式
为
解得
直线的解析式为
同理可得，直线的解析式为
，
.
2. ［变式］如图，抛物线 经过点
，，直线 与抛物线交于点
，（点，在点的下方，且点在点 左侧），
过点作轴，垂足为点，交直线于点 .
（1）抛物线的解析式是_________________；
（2）求证：是 的中点.
解：设，
由得
分别过点，作，，垂足为，
，
，
，是 的中点.
P
C
N
A
0
B
X
1.[典型试题]如图，抛物线y=-x2-3x+4与x轴
交于A,B两点，与y轴交于点C,P是抛物线在第二象限
内的一个动点，直线AP,BP分别交y轴于点M,N求
证：CM=4CW.
证明：当y=0时，一x2一3x+4=0,解得x1=一4，
x2=1,当x=0时，y=4
A(-4,0),B(1,0),C(0,4)
设P(m,-m2-3m+4)(-4为y=kx十b
-4k十b=0
解得
mk+b=-m2-3m+4
4(m
C
M
E
A
X
N
Y不
C
M
H
E
A
0
X
解：设M(x1,y1),N(x2,y2)
由
y=-x2+2x+3,得x2-3x+n-3=0
.X1十2
分别过点M,N作MF⊥CD,NGL CD,垂足为F,G
∴.∠MFE=∠WGE=90°
“MF=)-x1,NG=x2
3
2
MF-NG=-x1
-)=-(x1+x2)+3=0(共10张PPT)
专题五 二次函数
课时54 二次函数与面积（一）割补法
图1
割补法1：三角形有两个顶点不在坐标轴上时构造梯形
（如图1）
图2
割补法2：三角形有两个顶点在坐标轴上时连接
（如图2）
1. ［典型试题］如图，抛物线的顶点在轴上，与
轴交于点，且 .
（1）抛物线的解析式为_ ________________；
（2）在对称轴右侧的抛物线上有一点，且，求点 的坐标.
解：过点作轴于
设
，
即
解得， （舍去）
.
变式： 如图，在平面直角坐标系 中，开口向下的抛物线
与轴交于，两点在的左边，与轴交于点 .
连接， .
（1）点的坐标为_______，点 的坐标为______；
（2）若直线，在直线上方的抛物线上找一点 ，使
得的面积为6，求点 的坐标.
解：直线，令，则 ，即
点在抛物线上，,解得
该抛物线解析式为
连接 ，根据题意，设
，，解得 ，
当时， ，即
；
当时， ，即
综上，点坐标为或 .
来
P
M
N
C
4
O
B
X
A
C
P
0
B
X
P
N
0
M
X
Y
P
W
O
M
D
X
YA
C
A
B
0
X
米
Q
C
A
B
O
X
解：直线BC:y=一x十4，令x=0,则y=4,即
C(0,4)
:点C(0,4)在地物线上，-4a=4,解得a=-1
该地物线解析式为y=一x2+
连接OQ,根据题意，设
Q(m,-m2+3m+4)(0:S△pcQ=6,-2m2+8m=6,解得m1=1,
m2 =3
当n=1时，-m2+3m+4=-1+3+4=6,即
Q(1,6);
当m=3时，
Q(3,4)
综上，点Q坐标为(1,6)或3,4)(共7张PPT)
专题五 二次函数
课时57 二次函数与面积（四）线段转化法
通过作轴或 轴的平行线，将面积比转化为底的比或转化为高的比，即
斜比改直比.
1. ［典型试题］如图，抛物线 与
轴交于点，，与轴交于点 ，
为直线上方抛物线上一点，连接交于点 ，
连接，，求 的最大值.
解：过点作交于点 ，则
，设点到直线的距离为
，
直线的解析式为
设
则
， ,
当时，有最大值，最大值为 .
变式： 如图，抛物线交轴于， 两点，与
轴交于点，为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点 ，
连接，记的面积为，的面积为，求 的最大值.
解：由题意得，
过点作轴交直线于点 ，则
设点到直线的距离为 ，则
，， 直线 的解析式为
，设 ，
则 ，
，
当时，的最大值为 .
P
C
AO
B
X
[典型试题]如图，抛物线y=-,x2+3x+8与
x轴交于点A(-2,0),B(8,0),与y轴交于点C(0,8),
P为直线BC上方抛物线上一点，连接AP交BC于点D,
连接AC,PC,求PcD的最大值
CD
P
C
B
X
解：过点P作PQ/AB交BC于点Q,则
△PDQ△ADB
设点C到直线PA的距离为h
SAPCD
SAACD
:B(8,0),C(0,8)
直线BC的解析式为y=一x+8
设P(a,-a2+3a+8)(0
则Q(5a2-3a,-72+3a+8)
*PQ
:A(-2,0),B(8,0)
.AB=10
SAPCD
N△ACD
当a=4时，△PD有最大值，最大值为
SAACD
A
B
X
C
M
n
A
B
X
N
F
M
B(3,0),C(0,一)，·直线BC的解析式为
x-设Mmm2-m
则F(m2-2m,2m2-m
MF=m-(m2-2m)=-m2+3m
m2+3m
3-(-1)
=-(m-
当m=时，
1的最大值为
S2(共9张PPT)
专题五 二次函数
课时55 二次函数与面积（二）铅垂法
铅垂法：为待定点， ， 为定点
过待定点向轴作平行线，交两定点所在的直线于点 ，计算量相对小.
1. ［典型试题］如图，二次函数的图象与 轴交于点
，，与轴交于点 .
（1）该二次函数的解析式为_________________；
（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第一象限，连接, ,
的面积是面积的一半，求点 的坐标.
解：，，
，直线 的解析式为
过点作轴交于，设 ，
则
，
，解得，，当
时，；当时，
综上所述，点的坐标为或 .
变式： 如图，二次函数的图象与轴交于点 ，
，顶点为，点在抛物线上，且在直线的上方，连接， .
（1）二次函数的解析式为_ ____________，点 的坐标为________；
（2）若的面积为，求点 的坐标.
解：过点作轴，交直线于点 ，设
，， 直线的解析式为
，
的面积为，
解得，，当，；当 ，
点的坐标为或 .
y木
P
铅垂高
B
水苹宽
0
C
y不Q
A
●
0
0
B
D
O
X
y不
:Q
B
A
0
X
C
P
A
B
X
y个
C
P
A
0
B
X
解：A(-1,0),B(3,0),C(0,3)
△Bc=2×4×3=6,直线BC的解析式为
过点P作PDLx轴交BC于D,设P(a,-a2+2a+3),
则D(a,-a+3)
PD=-a2+2a+3-(-0+3)=-a2+3a,
△PBC
PD·lx-xcl=-2
y
E
0
A
化
B
y
E
F
O
A
X
B
解：过点E作EF/y轴，交直线AB于点F,设
E(m,m2-2m)
:A(4,0),B(2,一2)，直线AB的解析式为y=x-4
F(m,m-4)
.2m
(m
:△ABE的面积为S么MBr一乞EF·KA
3
一XB
=-m2-3m+4=
解得m1=1,m2=5,
-
点E的坐标为(1，-)或(5，)(共10张PPT)
专题五 二次函数
课时52 二次函数与线段（四）——平行构相似
【条件】点在抛物线上，
【方法】由导角相等，推出 或
，建立线段比例关系，解决问题.
1. ［典型试题］抛物线交轴于，两点在 的右边
，交轴于点 .
（1）点的坐标为______，点的坐标为________， 的解析式是
_ ____________；
（2）如图，连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线 ，
分别交轴，于点，.若，求点 的坐标.
解：过点作作轴，垂足为 ，
则
，
，
，
把代入 ，得
，，
直线的解析式为
解方程组得
.
2. ［变式］抛物线交轴于，两点在的右边 ，
交轴于点 .
（1）抛物线的对称轴是____________，直线 的解析式是_ __________；
直线
（2）如图，连接， ，过第三象限的抛物线上，且在对称轴左侧的
点作直线，分别交轴，轴，于点，，.若 ，求
的值.
解：过点作轴，垂足为，交于
，
，
，即点的纵坐标为
把代入 ，得
解得， （不合题意，舍去）
∴P( 3, 4)
由上题知，
由上题知的解析式是 ，
当时，
，
由得
.
P
o
A
FE
X
Q
B
0
A
X
E
C
P
xt
Q
B
A
X
E
C
P
F
解：过，点P作作PFLy轴，垂足为F,
则∠PFQ=∠A0C=90
PQ/AC,∠PQF=∠ACO
△PQF △ACO,
PQ
PF=3A0=3,QF=30C=
15
:直线PQ的解新式为y=x+
X=一2
解方程组
“E(-2,-)
Q
F
B
0
A
X
E
C
P
Q
H F
B
A
X
M
C
P
解：过，点P作PHLx抽，垂足为H,交BC于M
∠PHF=∠C0A=90°，'PQ/AC
PH=。OC=4,即点P的纵坐标为
-4
=-4代入y-2+2x-多得
把y
解得x1=一3，x2=一1（不合题意，舍去）
.P(-3,-4
由上题知C(0,-),Q(0,)
0=-(-)=6
由上题知BC的解析式是y=一x
当x=一3时，y=一1
MH=1,PM=PH-MH=3
由PH//CQ得△PME△QCE
EO(共8张PPT)
专题五 二次函数
课时53 二次函数与线段（五）——垂直构相似
【条件】点在抛物线上，如图， 或 .
【方法】过直角顶点，画一条水平或竖直直线 ，再分别过两点向其画垂
线，构造“一线三直角”相似，解决问题.
1. ［典型试题］如图，抛物线与 轴的正
半轴交于点，与轴交于点，点与点关于 轴对称，若
点在此抛物线上，当时，求点 的坐标.
解：过点作直线轴，分别过点，作， ，
垂足分别为，，则
由抛物线，得，
，，
，即
设，则
点 在抛物线上
解得， （不合，舍去）
.
2. ［变式］如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴
相交于，两点，与轴交于点 .
（1）抛物线的解析式是_________________；
（2）是抛物线的顶点，是轴上一动点，且在点的左侧，将顶点
绕点逆时针旋转 后刚好落在抛物线上的点处，求点 的坐标.
解：,
设，且，由旋转得 ，
，
过点作轴的平行线，过点，分别作 的垂
线，垂足为点，，则， ,
，
将点代入 ，
得
解得
或 .
y
●
0
P
X
B
Y木
B
A
0
r.
0
X
y
B
F
X
C
●
即AF=2DF
设DF=m,则AF=2n
.D(4-m,2m)
·点D在地物线上
-(4-m2+(4-m+2=2m
解得m1
,1
m2=0(不合，舍去)
.D(3,2)
N
C
0
A
P
B
X
H
E米
C
0
A
B
X
H
解：y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,N(-1,4)
设P(m,O),且m<-1,由旋转得NPH=90°
PN=PH
过，点P作y抽的平行线EF,过点H,N分别作EF的垂
线，垂足为点F,E,则EN=一1一m,PE=4,
∠E=∠F=∠NPH=90°
.∠EPW+ENP=∠EPW+∠FPH=9O
D
,△PEW≌△HFP(AAS)
PF=EN=-1-m,FH=PE=4
将点H(4+,1+m)代入y=-x2-2x+3,
得-(4+m)2-2(4++3=1+m
解得m=11±3
2
P(愿或P((共9张PPT)
专题五 二次函数
课时50 二次函数与线段（二）——斜转直型
班级___ 姓名___座号___ ___月___日
【模型1】斜转横型
【条件】点 在抛物线上
【方法】过点作 轴
【结论】
【模型2】斜转竖型
【条件】点 在抛物线上
【方法】过点作 轴
【结论】
1. ［典型试题］如图，抛物线与轴交于点，，与
轴交于点，点在直线上方的抛物线上，连接交于点 ，若
，求点 的横坐标.
解：过点作轴，交于点
当时，
解得，
当时，
，，
设直线的解析式为
解得
直线的解析式为
设 ，
则
轴
，即
解得
点的横坐标为或 .
2. ［变式］如图，抛物线经过点，与 轴交
于点 .
（1）抛物线的解析式是_________________；
（2）在直线上方抛物线上有一动点，连接交于点，求 的
最大值.
解：过点作轴，交于点
设直线的解析式为
解得
直线的解析式为
设，则
轴
当时，取得最大值，且最大值 .
YA
P
C
A
B
X
、F
P
A
B
x
y不
P
C
D
A
0
B
X
解：过点P作PE//x轴，交AC于点E
当y=0时，-x2-3x+4=0
解得x1=一4,2
当x=0时，
.A(-
,C(0,4)
AB
设直线AC的解析式为y=kx+b
:{k十h=0解得
.直线AC的解析式为y=x+4
设P(m,-m2-3m+4),
则E(-m2-3m,-m2-3m+4)
·PE//x轴
PD
P
一4m
BD
解得m=
2
点P的横坐标为
4牛6
2
Y木
C
D
0
X
米
C
B
:
M
0
X
A
解：过，点C作CM/y轴，交AB于点M
设直线AB的解析式为y=kx十b
3k+b二一1解得
0=2
直线AB的解析式为y=x+2
设C(m,-n2-2m+2),则M(m,n+2)
CM
1=-m2-2m+2-m-2=-m2-3m
sCM/y轴
CD
CM
2-3m
=m+
-3当m=一多时，取得最大值，且最大值(共13张PPT)
专题五 二次函数
专练11 二次函数与线段
1. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点 ，
点在直线上方的抛物线上，连接交于点 .
（1）若点是线段的中点，求点 的坐标；
解：过点作轴，交轴于点 ，
则
，
由题意可得，，
，，，
，,
点的坐标为
直线的解析式为
由可得 ；
（2）当的值最大时，求点 的坐标.
过点作轴，交于点
由题意可得直线的解析式为
设 ，
则
轴
当时，的最大值为
点的坐标为 .
2. 如图，抛物线与轴交于，两点，与
轴交于点， 是抛物线在第二象限内的一个动点.
（1）当时，过点作轴，垂足为，交 于点
，若，求点 的坐标；
解：当时，
可得，，
直线的解析式为
设 ，
则
，
解得， （舍去）
点的坐标为 ；
（2）若直线，分别交轴于点，.求证： .
证明：设 ，
即
由点， 可得
直线解析式为
由点， 可得
直线 解析式为
，
.
解：过，点D作DMLx轴，交x轴于点M,
则∠AMD=∠AOC=90
∠MAD=∠OAC,.△ADM∽△ACO
◆
=0c
由题意可得A(-3,0),B(1,0),C(0,3)
:0A=3,0B=1,0C=3,
AB=
AM=2,
DM=OM
点D的坐标为(-乏多)
:直线BD的解析式为y=一
由
5’
可得P(-号爱
二一
一2x十
P
E
C
A
MO
B
X
过，点P作PE//x轴，交AC于点E
由题意可得直线AC的解析式为y=x+3
设P(m,-m2-2m+3):
则E(-m2-2m,-m2-2m+3)
-2m
PDE∽
ABDA
n2-3
当m=一时，B的景大值为：
-m2-2m+3=5
“点P的坐标为(-
M
P
N
A
D
B
X
解：当a=-1时，y=一x2-2x+3
可得A(-3,0),B(1,0),C(0,3)
.直线AC的解析式为y=x+3
设P(m,-m2-2m+3),
则E(m,n+3)
=-m2-3m,
ED
-n2-3m=2(m+3)
解得m1=一立
=一3（舍去)
点P的坐标为（一2,3）；
证明：设P(m,am2+2am-3a)(m<0),
即P(,a(m-1)m+3)
由点A(-3,0),P(m,a(m-1)m+3)可得
直线AP解析式为y=a(m-1)x+3a(m
-1
.M(0,3am-3a
由点B(1,0),P(m,a(m-1)(m+3)可得
直线BP解析式为
y=a(m+3x-a(m+3)
.N(0,-am-3a)(共9张PPT)
专题五 二次函数
课时49 二次函数与线段（一）——横平竖直型
【模型1】横平型
【条件】 轴
【方法】 ；
②利用二次函数求最值.
【模型2】竖直型
【条件】 轴
【方法】
②利用二次函数求最值.
1. ［典型试题］如图，抛物线与轴交于点，，与
轴交于点，点在直线上方的抛物线上，过点作轴，交 于
点，求 的最大值.
解：当时，
解得，
当时，
，，
设直线的解析式为
解得
直线的解析式为
设
轴
当时， 的最大值是4.
2. ［变式］如图，抛物线与轴交于点，，与 轴交
于点，点在直线上方的抛物线上，过点作轴， ，
分别交于点，，求 的最大值.
解：由上题知直线的解析式为 ，设
，则
，
轴
当时，的最大值是 .
Y不
N
M
O
X
M
N
0
X
'
P
EXC
A
0
B
X
解：当y=0时，一x2一3x+4=0
解得x1=一4，x2
当x=0时，y=4
A(-4,0),B(1,0),C(0,4)
设直线AC的解析式为y=kx+b
女一秋士五-0解行化
b=4
.直线AC的解析式为y=x十4
设P(m,-m2-3m+4)
:PE/x轴
E(-m2-3m,-m2-3m+4)
.PE=-m2-3m
-m
(m+2)
.当m=一2时，PE的最大值是4.
P
C
E
D
A
0
B
X
解：由上题知直线AC的解析式为y=x+4,设
P(m,-m2-3m+4),则D(m,m+4)
-m2-3m+4-m
:A(-4,0),C(0,4)
.0A=OC
.∠0CA=459
PE=pD=-号(m2+4m)
PD+PB=-
2(m2+4m
2+2
m+2)
2√2+4
当m=-2时，PD+PE的最大值是2V√2+4.(共8张PPT)
专题五 二次函数
课时56 二次函数与面积（三）平行转化法
平行转化法：作平行，利用同底等高的方式进行转化.
方法：过点作，得到 .
1. [典型试题］［2025鼓楼模拟]如图，二次函数 的图象
经过点，， .
（1）二次函数的解析式为_ __________________；
（2）若点是抛物线上位于第四象限内的一点，且 ，求
点 的坐标.
解：，， 直线 的解析式为
过点作直线与平行，平行线交抛物线于点 ，
连接
直线的解析式为
由 ，解得
（不合题意，舍去），，当 时，
.
变式： 如图，抛物线与轴交于点， ，与
轴交于点，是抛物线上的一点，若点的坐标为 ，且
，求点 的坐标.
解：，， 直线 的解析式为
过点作，交抛物线为点，则直线 的
解析式为
由解得
直线与轴的交点为，点 到
的距离为2个单位，根据平行线间间距相等可
知将直线 向上平移2个单位，得到直线
由解得
，
综上所述：点的坐标为或 或 .
Y
.
C
●
P
O
A
D
X
y
A
0
B
X
YA
C
A
0
B
X
P
解：B(4,0),C(0,3),直线BC的解析式为y
过，点A(一1,0)作直线与BC平行，平行线交地物线于，点P,
连接BP
.直线AP的解析式为y=一二
0
A
B
X
Q
C
P3
A
B
X
P
2
Q
P
解：A(-1,0),Q(1,-2),.直线AQ的解析式为
y=一x
过点C作CP1/AQ,交地物线为点P1,则直线CP1的
解析式为y=一x一3
由}
解得
2x-3,
:直线AQ与y轴的交点为(0，-1)，点C(0,一3)到
(0,一1)的距离为2个单位，根据平行线间间距相等可
知将直线AQ向上平移2个单位，得到直线y=一x+1
y二一x十1
解得
1+W17
P2(1+
1-V17
L+17
综上所述：点P的坐标为(1，一(共9张PPT)
专题五 二次函数
专练12 二次函数与面积 一题多解
1. ［典型试题］如图，二次函数的图象与轴交于点，与 轴交
于点，顶点的坐标为 .
（1）二次函数的解析式为_______________；
（2）若为抛物线在第二象限上一点，且在直线 上方，
，求点 的坐标.
解法一：设
过点作，垂足为，过点作 轴交
直线于点
，，
直线的解析式为 ，
，
，，
，
轴， ，
解得， （不合题意，舍去）
.
解法二：过点作轴，垂足为，则
过点作，交的延长线于 ，则
，过点作轴，垂足为 ，则
，
，，
直线的解析式为，直线的解析式为
, 直线的解析式为
由，得，
（不合题意，舍去）
当时，
.
解法三：设，连接
解得， （不合题意，舍去）
.
P
B
0
X
C
P
B
0
C
备用图1
y
P
B
0
X
C
备用图2
P
B
00000
0
0
.
H
0
X
C
解法-：设P(m,m2+4m+3)
过，点P作PH⊥AB,垂足为H,过，点P作PQ/y轴交
直线AB于，点Q
A(-3,0),B(0,3),C(-2,-1)
.直线AB的解析式为y=x十3，
4B2十AC2=BC2，OA=OB
PH 2AC 2v2
:PQ/y轴，∠PQH=∠AB0=45°，PQ=√2PH=4
.m2+4m+3-(m+3)
解得n1
2=1(不合题意，舍去)
.P(-4,3)
解法二：过点C作CDLx轴，垂足为D,则D(一2，O)
SAPAB
=2S△ABC
P
B
F
D
E
:9
0
X
C
F(-5,2),直线FP的解析式为y=x+7
由x2十4x+3=x+7,得x1=一4,2
(不合题意，舍去)
当x=一4时，y=一4+
.P(-4,3)
P
B
X
C
S△P4B=2S△4Bc=6
:S△PAB=S△PA0十S△PB0-S△OAB
6=号×3×m2+4m+3)+号×3×(-m)-×3×3
解得m
2=1(不合题意，舍去)
.P(-4,3)

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