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(共12张PPT)
专题二 综合与实践
课时12 测量类（二）——高度
在综合与实践活动的测量类题型，不可到达物体的高度或长度测量
是一大类型，这类试题来源于生活情境，现在试题通常以活动课的形式
呈现，解题的关键是从实际问题中抽象出平面图形，再利用相似三角形
的知识求解.
1. ［典型试题］梵净山位于贵州省铜仁市，其主要景点红云金顶海拔
2 336米，是武陵山脉的主峰，常年云雾缭绕，被誉为现实版的“天空之
城”.某校综合与实践小组利用无人机测量红云金顶峰脚到峰顶的高度，
形成了以下不完整的报告：#1.2
测量对象 红云金顶峰脚到峰顶的高度
测量目的 运用三角函数相关知识解决生活实际问题
测量工具 无人机
测量方案
测量对象 红云金顶峰脚到峰顶的高度
测量示意图
续表
根据以上测量数据，求红云金顶峰顶到峰脚的高度.结果精确到 ，
参考数据：，， #1.2.2
解：延长交于点，则
由题意，得，
设 ，则
在中，
在中，
解得
红云金顶峰顶到峰脚的高度 约为 .
2. ［变式］千佛铁塔（如图1）位于陕西省咸阳市的北杜镇，是中国现
存铁塔中最高的一座.某数学社团在综合实践活动中，组织成员分组测量
该塔的高度 ，如图2是其中一次（同一时刻）测量活动场景抽象出的
平面图形，已知，，点，，， 在一条直线上.下
面是两组不同的方案数据：
第一组 第二组
（1）请你依据第一组的数据计算该塔的高度 ；（参考数据：
，结果保留整数）
图2
解：过点作于点
，
四边形 是矩形
，
在中，
塔的高度约为 ；
（2）第二组成员事先通过推导得出：
同一时刻“ ”，请
判断两组同学的最后结果是否一致.
解得
两组同学的最后结果一致.(共8张PPT)
专题二 综合与实践
课时10 跨学科（四）其它
【方法】①根据题意要求转化为数学问题；②根据题意建立几何量之间
的关系；③解出相关的量；④将答案还原成实际问题的答案.
1. ［典型试题］【材料】
太阳高度：太阳高度指太阳光线与地平面的夹角，记作 ，当地12时的
太阳高度称为正午太阳高度.一天中正午时太阳高度最大，日出和日落时
太阳高度为 .
的计算公式： |纬差|（纬差是指某地的地理纬度与当日太阳
直射点所在纬度的差值.特别地，南纬北纬地区的纬差为其数值之和）
图1
例如，如图1所示，地的纬度为，求 地夏至
日（太阳直射北回归线 ）的正午太阳高度？
解：夏至日太阳直射的纬度为 ，与
地的纬差
那么 .
【应用】
图2
（1）深圳纬度约为 ，一年中会有两次太阳直射，一般在每年的6
月18日和6月26日两天，则当天正午太阳高度 ____；冬至太阳直射南
回归线，则当天正午深圳的太阳高度 ____；
（2）如图2，小明家住在河南焦作 ，一年中正
午太阳光线与地平面夹角最小在冬至，约为 ，
即 ，夹角最大在夏至，约为 ，
即 ，测得他家窗高约为 ，即
.如图所示的直角遮阳篷，在冬至能最大限
度地使阳光射入室内，在夏至又能最大限度地遮挡炎热的阳光，请求出
此遮阳篷两直角边，的长度. （精确到 ，参考数据：
，， ，
，， ）
解：根据题意，得，，
，
即
设
在中，
在中，
解得
答：约为，约为 .(共13张PPT)
专题二 综合与实践
课时17 函数类（一）——方案选择型
【方法】①阅读理解题意，将其转化为数学问题中相关的量；②建立函
数模型；③依据题中的方案，利用函数或其他数学知识推理演算相关的
数学问题；④将已求的数学问题中的量还原到实际问题中去，进行比较，
最后选择最佳方案.
1. ［典型试题］随着城市短距离出行需求的变化，共享滑板车成为一种
新兴的出行方式.某共享出行公司在A，B两个区域投放共享滑板车，相
关信息如下：#1
信息1 A区域初始投放了100辆共享滑板车，B区域初始投放了20辆.将
一辆滑板车从A区域调配到B区域，包含车辆运输与系统重置在
内，成本为100元；公司基于运营数据和区域需求预测，规定每
次只能从A区域向B区域调配滑板车，且调配数量不能超过20辆.
信息2
信息3 每辆共享滑板车成功租借一次，公司可获得10元收入.
续表
问题1 在满足信息1的条件下，若从A区域一次调配 辆滑板车到B区域，
用含的式子表示调配这些滑板车的总成本（元），并写出 的取值范围；
解：调配这些滑板车的总成本为 ；
问题2 在满足信息2的条件下，求公司在B区域共享滑板车的日租借收入
关于的函数关系式，并求出公司日租借收入 的最大值；
解： 日租借率最高不超过
，解得
根据题意，得
当时，随 的增大而增大
当时，
公司日租借收入 的最大值为208元；
问题3 公司为激励运维团队在滑板车调配工作中的积极性，制定了两种
奖励方案：
方案一：每调配一辆滑板车，奖励负责调配的运维人员40元；
方案二：一次性给予运维团队800元奖励.
请计算并分析在不同调配数量下，选择哪种方案对运维团队更有利？
解：当时，；当时，；当
时，
当调配数量不足20辆时，选择方案二对运维团队更有利；当调配数量
为20辆时，运维团队选择方案一或方案二都相同；当调配数量超过20辆
时，选择方案一对运维团队更有利.
2. ［变式］综合与实践.#1
矩形种植园最大面积探究 情境
图1
矩形种植园最大面积探究 分析
图2
续表
探究#1.2
思考一 ：将墙 的一部分用来替代篱笆按图1的方案围成矩形种植园
（边为墙 的一部分）；
图1
解：，篱笆共，
，其中
当时，随 的增大而增大
当时， 取最大值，此时，
；
图1
思考二 ：将墙 的全部用来替代篱笆按图2的方案围成矩形种植园
（墙为边 的一部分）.
解：
由解得
当时，取最大值，此时
图2
解决问题 根据思考一与思考二两种方案中的 的最大值，若要求种植范
围更大一些，你将选择哪一种方案？
解：
若要求种植范围更大一些，应选择思考二中的方案.(共15张PPT)
专题二 综合与实践
课时21 新定义（三）——多边形
【方法】理解定义、性质和判定，运用数学思想和方法（如抽象、推理、
类比、转化等）以解决问题.
1. ［典型试题］[2025宁德二检]定义：若等边三角形的三个顶点都在一
个正方形的边上，则称该三角形为这个正方形的内接正三角形.
（1）如图，已知是正方形的内接正三角形，点，， 分
别在，，上，是的中点，连接.求证： ；
证明：如图，连接，
是正方形的内接正三角形，是 的
中点
， ，
，，，四点都在以 为直径的圆上
同理可证
是等边三角形
；
（2）已知正方形 的边长为4，求该正方形的最大内接正三角形的面积.
备用图
解：是正方形 的内接正三角形，由内
接正三角形的定义知必有两点在正方形
的相对的两条边上，不妨设点，分别在，
上，点在 上
根据（2）知一定经过等边三角形的顶点 ，
当取最大值时，正方形 的内接正三角形
的面积最大
连接并延长交于，显然点只能在线段上运动，当点与点
或点重合时， 取得最大值
当与点重合时，连接，过作，分别交，于， 两点
由（1）可得 ，
在 中，
的面积的最大值为 .
备用图
2. ［变式］一个矩形可不重叠且不留空隙地分割为 个正方形，称该矩
形为“ 阶容正矩形”.
（1）图1是一个“3阶容正矩形”.请再画出一个形状不同的“3阶容正矩形”，
若该矩形的周长为10，求它的边长；
图3
解：如图3，矩形为所求.设
四边形与四边形 均为正方形
，
四边形 为正方形
矩形 的周长为10
，即 ，解
得
该“3阶容正矩形”边长为2和3；
图3
（2）若要求“4阶容正矩形”的四个顶点分别为所分割的4个正方形的一个
顶点，判断“4阶容正矩形”按此方式是否可分割为4个大小不等的正方形，
并证明；
4阶容正矩形按此方式不可分割为4个大小不等的正方形.
理由：根据（1）中的线段和差关系推理，若设4个正方形边长分别为，
，，，且 、、、 互不相等
矩形的四个顶点分别为所分割的4个正方形的一个顶点，则矩形的一
组对边的长为与，另一组对边的长为与
且
得
“4阶容正矩形”按此方式不可分割为4个大小不等的正方形；
（3）若“9阶容正矩形”可按图2所示的方式分割为9个大小不等的正方形，
求该矩形邻边的比值.（说明：“大小不等”指两两不全等）
图2
如图2，按图中标号顺序正方形 标号为
，将9个正方形的边长依次表示为， ，
，，设，
同理，得， ，
， ，
，
即
该矩形的一组邻边长分别为 ，
该“9阶容正矩形”邻边长的比值为 33.
图2(共9张PPT)
专题二 综合与实践
专练2 跨学科
1. ［典型试题］[2025莆田二检]
【问题背景】
在古代，人们通过观察日出日落时间来确定二十四节气、安排农事活动.
某校综合实践小组希望通过建立数学模型来探究2024年某地在冬至日前
后昼长的变化规律.
【数据收集】
研究小组收集了如下几个节气的数据：
日期 日出时间 日落时间 白昼时长（日落时间-
日出时间）/小时
11月 7日立冬 06：16 17：19 11.05
11月22日小雪 06：26 17：14 10.80
12月7日大雪 06：38 17：14 10.60
12月22日冬至 06：46 17：19 10.55
1月6日小寒 06：51 17：27 10.60
1月21日大寒 06：51 17：39 10.80
2月4日立春 06：46 17：50 11.07
【建立模型】
从11月7日开始的每15天记作一个单位时间，记为时间 ，白
昼时长记为 （单位：小时），列出下表，并在直角坐标系中描出表格
中各对数值所对应的点，然后连接这些点，画出该函数的图象（如图）.
实践小组观察曲线发现，可以用抛物线近似地刻画与 的关系.
0 1 2 3 4 5 6
11.05 10.8 10.6 10.55 10.6 10.8 11.07
任务1： 请求出以点 为顶点，且过点
的抛物线的解析式；
解： 二次函数的顶点坐标为
该二次函数过
解得
与的函数解析式为 ；
【反思优化】
经检验，发现图中有其他的点不在任务1中的抛物线上，存在偏差.小组
决定利用以下方法优化函数解析式，减少偏差.选取 为1，2，3，4，5，
根据解析式 求出所对应的函数值，计算这些函数
值与表格中对应的值之差的平方和.若 的值越小，则偏差越小；
任务2： 请求出的值，使得 的值最小；
当 ，2，3，4，5时，对应的函数值分别为
，，， ，
∴S
当时， 最小
；
【模型应用】
很多智能手机开发了护眼模式，可以识别日出、日落时刻，并在黑夜时
长内开启该模式.
任务3： 请利用任务2中优化后的函数解析式来推测2024年11月7日
年2月4日期间，手机开启护眼模式时长（即黑夜时长）超过13小
时的天数.
（白昼时长黑夜时长 小时，参考数据： ）
由任务2得到优化后的函数解析式为
白昼时长黑夜时长 小时
若黑夜时长13小时，则白昼时长为11小时
令，则，即 或5.7
从11月7日开始，每15天记作一个单位时间
或85.5
白昼时长小于11小时的天数从2024年11月12日 年1月31日共81
天，即黑夜时长大于13小时的天数为81天.(共9张PPT)
专题二 综合与实践
课时15 操作类（一）——折叠
【方法】①根据折叠要求转化为数学问题；②根据题意建立几何量之间
的关系；③解出相应的量.
图①
1. ［典型试题］【问题情境】在综合与实践课上，同
学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下
面是同学们的折纸过程.
【动手操作】
第一步：将一张边长为的正方形纸片 上下对折，使之完全重
合，打开后，折痕为 ，得到图①；
第二步：将图①中的纸片的右下角沿着翻折，使点落在点 处，
得到图②；
图②
图①
第三步：在图②的基础上，延长交于点，连接 ，得到图③.
图③
图②
【解决问题】
（1）求证： ；
证明： 四边形 是正方形
，
由折叠，得，
，
在和 中
；
图③
解：设，则
由折叠，得
在中，
解得
的长为 ；
（2）求 的长；
图③
（3）在图③的基础上延长交边于点，得到图④，求 的值.
图③
图④
解：由（2）知
，
，
图④
.
图④
A
B
M
W
D
C
A
B
P
M
，。。
0
0
0
0
0
0
D
C
A
Q
B
P
M
N
0
0
0
0
0
0
0
:
D
C
证明：：四边形ABCD是正方形
.AD=DC,∠A=∠C=90°
由折叠，得PD=DC,∠DPN=∠C=90
.∠DPQ=90°，AD=1
在Rt△AQD和Rt△PQD中
AD
DO=DO
.Rt△AQD≌Rt△POD(HL)
.AQ=PQ;
Q
G
A
B
P
M
N
8
0
0
0
0
0
0
0
D
解：由(2)知AQ=2
NQ=NP+QP=5,BQ=AB-AQ=4
s∠QPG=∠QBW=90°，∠PQG=
∠BON
,△POG∽△BON
B
5
A
5
2(共8张PPT)
专题二 综合与实践
课时16 操作类（二）——剪拼
【方法】①根据剪拼要求转化为数学问题；②根据题意建立几何量之间
的关系；③解出相应的量；④将答案还原成实际问题的答案.
1. ［典型试题］综合与实践.
【发现并提出问题】
在进行综合与实践活动时，学习小组发现可以将一张特殊的平行四边形
硬纸片剪拼成一个有盖的直四棱柱形盒子（无损耗无重叠）.在制作过程
中，学习小组提出了一个问题：制作的盒子的高与四边形硬纸片的边长
存在怎样的数量关系
【分析并解决问题】
探究一：盒子的高与正方形硬纸片的边长的数量关系
（1）以正方形的顶点为坐标原点，， 所在的直线为坐标轴
建立如图1所示的平面直角坐标系，此时点的坐标为 ，再以正方形
的两条对角线交点为位似中心，画一个正方形 ，使它与正
方形位似，且相似比为 ，然后按图2的方式将正方形纸片
沿虚线剪开，可拼接成如图3所示的四棱柱形有盖盒子.请在图1中
画出正方形，此时盒子的高 为___；
1
图1
图2
图3
解：如图1，正方形 即为所求；
图1
探究二：盒子的高与菱形硬纸片的边长的数量关系
（2）按探究一的方式将图4中的菱形硬纸片制作成了如图5所示的四棱
柱形有盖盒子.在菱形中，若， ，则盒子的高
为_ ___；（用含 的代数式表示）
图4
图5
【推广并创新应用】
探究三：盒子的高与矩形硬纸片的边长的数量关系
图6
（3）如图6，矩形硬纸片中，， ，
将该纸片沿虚线剪开，把所得的四个阴影部分纸片再
拼成一个长方形盖子，并与剩余部分一起拼接成一个
四棱柱形有盖盒子，求盒子的高.（用含有， 的
代数式表示）
图6
解：如图6，设点,,
根据题意得，四个阴影部分四边形是四个全等的正方形
设，则 ，
由盒子的底部面积和盖子面积相等可得
解得
盒子的高为 .(共14张PPT)
专题二 综合与实践
课时20 新定义（二）——函数
【方法】理解定义：理解函数类新定义的概念、性质，以及新定义函数
中包含的新运算.
应用：根据问题的需求，运用已有的数学知识来解决新定义下的问
题，通过计算、推理等方法得出答案.
检查答案：检查得出的答案是否符合题目的要求和条件，确保答案
的正确性.
1. ［典型试题］[2025岳麓三模］在平面直角坐标系中，若一个函数存
在当时，函数值，则称该函数为“函数”，此时点
叫该函数的“ 点”.
（1）下列函数中是“ 函数”的有：____；（填序号）
；； .
②
（2）是否存在一个整数，使得函数 的“
点”的横坐标，都为整数 若存在，请求出 的值；若不
存在，请说明理由；
解：存在.
理由：由整理，得
，
函数的“点”的横坐标 ，
都为整数
或
存在，且当或时，函数 的“
点”的横坐标， 都为整数；
（3）若二次函数是“函数”，其“ 点”间的
水平距离为，且当时，函数的最小值为，求 的值.
由 ，
得
，
即
解得，
①当时，当时
整理得
；
②当时，与 矛盾，所以不成立
③当时，即时，当时，
，整理得
或8
综上所述，或 .
2. [变式］［2025宁德一检]定义：已知反比例函数 和
，当且时，称 为这两个函数的“均值
函数”.完成下列问题：
（1）已知反比例函数和 ，则它们的“均值函数”是______；
（2）判断：点是否在反比例函数和 的“均值函数”图
象上，请说明理由；
解：点不在反比例函数和 的“均值函数”图象上.
理由：依据“均值函数”定义得
若经过点，代入，得
解得
整理，得
此方程无解
不存在的值，使得
点不在函数和 的“均值函数”图象上；
（3）如图，已知，反比例函数 和
的“均值函数”为，点在 的
第一象限图象上，过点分别作轴、 轴的垂线，
与和的图象交于点，，， .求证：
.
证明： 点在 的图象上
或
轴
，
，
轴
，
，
和的“均值函数”为
，
四边形 是平行四边形
.(共13张PPT)
专题二 综合与实践
专练4 定义类
1. [2025泉州二检]定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若
该三角形的重心恰好在 轴上，则称此三角形为“平稳三角形”.
如图，二次函数的图象与轴交于点，与 轴交
于点，是二次函数图象上的一点，且点 在第三象限.
（1）求二次函数的解析式；
解：将点，代入 ，得
解得
二次函数的解析式为 ；
（2）若为“平稳三角形”，中线交轴于点，求 的面积.
为“平稳三角形”，是的中线，交轴于 点
是 的重心
设交轴于点，则是 的中线
点与点关于点 成中心对称
令，则
解得， （舍去）
是 的中线
为 的中点
设直线的解析式为
将与代入 ，得
解得
直线的解析式为
令，则，解得
.
2. 已知是自变量的函数，当时，称函数 为
函数的“升幂函数”.在平面直角坐标系中，对于函数
图象上任意一点，称点为点“关于 的
升幂点”，点在函数的“升幂函数” 的图象上.
（1）的“升幂函数” 的函数解析式为_________；
例如：函数，当时，则函数是函数 的
“升幂函数”.函数的图象上任意一点，点为点
“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数” 的图象上.
（2）如图，点在函数的图象上，点“关于 的升幂点”
为点，且点在点上方，当时，求点 的坐标；
解：
设，
轴
点在点 的上方
当时，，解得
；
（3）点在函数的图象上，其横坐标为 ，
点“关于的升幂点”为点，点在 的“升幂函数”
的图象上，其横坐标为 .
， ，
，即
；
①点的坐标为_____________（用含 的式子表示）；
②当点，点所在直线与轴平行时，求 的值;
点，点所在直线与 轴平行
，解得
③当抛物线在，两点之间的部分所对应的函数值随 的增大而增
大或随的增大而减小时，直接写出 的取值范围.
函数 的图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线
当点，均在抛物线的左侧时，随 的增大而减
小，此时，即
当点，均在抛物线的右侧时，随的增大而增大，此时
综上所述，或 .(共9张PPT)
专题二 综合与实践
课时18 函数类（二）——任务探究型
【方法】①阅读理解题中的素材，将其转化为数学问题中相关的量；②
建立函数模型；③依据题中的任务，利用函数或其他数学知识推理演算
相关的数学问题；④将已求的数学问题中的量还原到实际问题中去，完
成任务探究.
1. [2025信阳模拟]根据以下素材，探索完成任务.#1
如何确定防守方案？ 素材1
图1
图2
如何确定防守方案？ 素材1
图1
图2
续表
如何确定防守方案？ 素材2
续表
如何确定防守方案？ 素材2 守门员在攻球员射门瞬间就 做出防守反应，当守门员位 于足球正下方时，足球离地 高度不大于守门员的最大防 守高度视为防守成功.
续表
问题解决
任务1 确定运动轨迹
求关于 的函数解析式；
：解：由表格信息可知，抛物线的顶点坐标为
设
把代入，得
解得
关于的函数解析式为 ；
任务2 探究防守方案
若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球
时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由；
解：不成功.
理由：，
当时，
若守门员选择原地接球，防守不成功；
任务3 拟定执行计划
若守门员选择面对足球后退，请求出成功防守的最小速度.
解：若守门员选择面对足球后退，并成功防守，设守门员的速度为 ，
后退的时间为时，足球位于守门员正上方，则有
解得
代入任务1中的解析式可得，
解得（舍去）或
检验： 是方程的解，且符合题意
此过程守门员的最小速度为 .(共10张PPT)
专题二 综合与实践
课时13 设计类（一）——方案设计
【方法】①将实际问题转化为数学问题；②建立数学模型；③利用数学
知识推理演算所求的数学问题；④将已求的数学问题中的量还原到实际
问题中去，完成方案设计.
1. ［典型试题］[2025三明质检]综合与实践：阅读下列材料，回答问题.
“校安工程”全称为“全国中小学校舍安全工程”，是党中央、国务院做出
的一项重大决策.某中学校安工程需要制作20个矩形铝合金窗框，每个窗
框由2根长管（长度2.2米/根）和2根短管（长度1.5米/根）组成，这些铝
合金管用长度足够的铝合金型材作为原材料进行切割获得，切割后剩余
的原材料（长度小于1.5米）称为废料.已知有A型材（长度为4.0米/根）、
B型材（长度为4.5米/根）两种铝合金型材可供选择，它们的价格均为30
元/米，且只能整根购买.
数学综合实践小组对如何节约原材料的购买成本展开讨论，各自发表了
意见：
小聪：需要使用的铝合金管的总长度是确定的，而原材料购买成本只与
购买的总长度有关，因此废料最少时原材料的购买成本最低；
小颖：若全部采用A型材比全部采用B型材的购买成本更高；
小亮：除了选择原材料，还要制定合理的切割方法，才能使得购买原材
料的成本最低.#1.2.3
（1）分别写出A，B两种型材所有符合要求的切割方法及对应的废料长度；
解：根据题意，得：
方法①：每根A型材切割出长管、短管各1根，废料长度为每根0.3米；
方法②：每根A型材切割出短管2根，废料长度为每根1米；
方法③：每根B型材切割出长管、短管各1根，废料长度为每根0.8米；
方法④：每根B型材切割出长管2根，废料长度为每根0.1米；
方法⑤：每根B型材切割出短管3根，无废料；
（2）为了使这20个矩形铝合金窗框所需原材料的购买成本最低，请设计方
案，方案应说明A，B两种型材的购买数量及对应切割方法，并说明理由.
购买数量：应购买4根A型材和30根B型材.
切割方法：
18根B型材按方法④切割，得到36根长管；12根B型材按方法⑤切割，得
到36根短管；4根A型材按方法①切割，得到4根长管和4根短管.
理由：根据题意，共需切割出长管、短管各40根.
比较方法①与方法③，因为 ，方法①比方法③的废料更少，因
此不必考虑方法③；
设采用方法④的B型材共根，可得到 根长管，另有
根长管只能采用方法①切割 根A型材获得，这样共可
获得长管40根和短管 根，废料为
（米）；
另外还需要方法②或方法⑤得到短管 根.比较方法②与方法⑤，当需要
获得的短管数量为6的倍数时，应采用方法⑤，所以要使得购买成本最
低，采用方法②的A型材最多为2根，
（ⅰ）若都不采用方法②，则采用方法⑤的B型材根数为，且 为整数，
废料的总长度为米，当 时，废料的总长度最小，其值
为3米；
（ⅱ）若采用方法②的A型材为1根，则采用方法⑤的B型材为 根，且
为整数，废料的总长度为 （米），当
时，废料的总长度最小，其值为3.5米；
（ⅲ）若采用方法②的A型材为2根，则采用方法⑤的B型材为 根，
且为整数，废料总长度为 ，当
时，废料的总长度最小，其值为4米.
因为，所以当 时，废料的总长度最小，此时所需原材
料的购买成本最低，即购买成本最低的方案是：
18根B型材按方法④切割，得到36根长管；
12根B型材按方法⑤切割，得到36根短管；
4根A型材按方法①切割，得到4根长管和4根短管.(共13张PPT)
专题二 综合与实践
课时19 新定义（一）——方程
【方法】理解新定义：仔细阅读题目，理解新定义的具体内容，包含新
的计算公式或计算类型.
确定考点类型：确定新定义与哪些考点相关联，选择正确的性质和方法
来解决问题.
应用数学思想方法：分类讨论、整体思想、转化思想、类比思想等.
注意：对问题进行全面分析，确保不遗漏任何可能的解或情况.
1. ［典型试题］定义：已知关于 的一元二次方程
有两个实数根， ，若满足
，则称此类方程为“差积方程”.
例如：
即
解得，
是差积方程.
（1）方程 ______（填“是”或“不是”）“差积方程”；
不是
（2）若关于的方程是“差积方程”，求 的值；
解：解方程，得，
是“差积方程”
或
解得或 ；
（3）若关于的方程 是“差积方程”，且它的一个实数根
为，求 的值.
设的另一个根为
，
，
是“差积方程”
即 或
当 时，该方程无解；
当 时，解得 ；
.
2. ［变式］阅读下列材料：我们发现，关于 的一元二次方程
，如果一元二次方程的根都为整数，判别式
的值一定是一个完全平方数.
定义：两根都为整数的一元二次方程 称为“友好
方程”，判别式为；若另一关于 的一元二次方程
也为“友好方程”，判别式为 .当满足
时，则称一元二次方程 是一元二次
方程 的“最佳搭子方程”.
（1）“友好方程”的判别式 的值是____；
25
（2）若关于的一元二次方程
为整数，且是“友好方程”，求 的值；
解：由题意可知 ，
且 为完全平方数
或49或64
或9或
为整数
；
（3）若关于的一元二次方程 是
，均为正整数，且 的“最佳搭子方程”，
且的一个根是 的一个
根的2倍，求和 的值.
方程 的判别式
解方程，得，
方程 的判别式
解方程，得，
整理，得
，均为正整数且
即
的一个根是 的一个根
的2倍，， 均为正整数
①当时， 解得，即可得
②当时，，，解得
（不合题意，舍去）
③当时，，解得 （不合题意，舍去）
综上所述，， .(共12张PPT)
专题二 综合与实践
课时9 跨学科（三）物理
1. ［典型试题］粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问
题的重要工具.图1,图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图,图3是
粒子加速器的俯视示意图,是粒子真空室,, 是两个加速电极,高速飞
行的粒子在点注入,在粒子真空室内做环形运动,每次经过 时被加速,
达到一定的速度在点引出,粒子注入和引出路径都与 相切.已知
,粒子注入路径与夹角 .
图1
图2
图3
（1）求 的度数；
图3
解:如图3,延长交的延长线于点
根据题意,得,是的切线,且
；
（2）通过计算,求粒子在环形运动过程中,粒子到 的最远距离；
（相关数据： ）
图1
图2
图3
如图3,过点作于点,延长交于点,连接,
是 的切线
,
在中,
当粒子运动到点时,离 的距离最远
答:粒子到的最远距离是 ；
（3）若粒子被注入粒子加速器后,四次经过 被加速后被引出粒子加
速器,求粒子 在粒子加速器内飞行路程.
图1
图2
图3
由（2）得的半径,
的周长,的长
的长
粒子四次经过 被加速后被引出
粒子在粒子加速器内飞行距离为
3个的周长 的长
即
粒子在粒子加速器内飞行路程为 .
2. ［变式］物理实验课上某小组做一个实验:在一条笔直的滑道上有一个
黑球以一定的速度在 处开始向前滚动,并且均匀减速,测量黑球减速后的
滚动速度（单位:）随滚动时间（单位: ）变化的数据,整理得下表:
0 1 2 3 4
8 7 6 5 4
(提示:距离平均速度 时间,,其中 是开始时的速
度,是 秒时的速度)
（1）探究发现,黑球的滚动速度与滚动时间之间成某种函数关系,求
关于 的函数解析式；
解:由表格数据可知:黑球的滚动速度与滚动时间 之间成一次函数关系
设
将,；, 代入解析式得
解得
关于的函数解析式为 ；
0 1 2 3 4
8 7 6 5 4
（2）黑球在滑道上滚动 用了多少秒？
由题意得
解得,
当时， ，不符合实际，舍去
答:黑球在滑道上滚动 用了2秒；
（3）求黑球在滑道上滚动的最远距离.
设黑球在滑道上滚动时,滚动距离为
当时, 的最大值为32
即黑球在滑道上滚动的最远距离为 .(共12张PPT)
专题二 综合与实践
课时11 测量类（一）——距离
在综合与实践活动的测量类题型，不可到达两地间的距离测量是一
大类型，这类试题来源于生活情境，现在试题通常以活动课的形式呈现，
解题的关键是从实际问题中抽象出平面图形，再利用解直角三角形的知
识求解.
1. ［典型试题］某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间
进行测量活动.#1
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动 过程 模型抽象
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
活动 过程 测绘过程与 数据信息
续表
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）#1.1.1
（1）求线段和 的长度；
解：由，得
在中， ，
在中，
， ；
如图，过点作于点，则四边形 是矩形
在中， ，
底座的底面 的面积约为
.
（2）求底座的底面 的面积.
2. ［变式］为了测量某段河流的宽度，两个数学研学小组设计了不同的
方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在 的正北方向.测量
方案与数据如表：#1
课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，皮尺等 小组 第一小组 第二小组
课题 测量河流宽度 测量方案 示意图
说明
数据
续表
请选择其中一个方案及其数据：
（1）求 的度数；
解：由题意，得
；
（2）求出河宽.精确到，参考数据： ，
，，
若选择方案二：
设
在中，
在中，
解得
河宽约为 .
若选择方案一：
，
在中，
河宽约为 .(共8张PPT)
专题二 综合与实践
专练3 实践型
1. ［典型试题］根据以下素材，探索完成任务.#1
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 _____________________________________________
__________________________________________________________
图1
图2
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材2
图3
续表
问题解决
任务1 确定桥拱形状
在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
解：
以拱顶为原点，建立如图所示的平面直角坐
标系，则
设抛物线的解析式为
抛物线过点
解得
抛物线的解析式为 ；
任务2 探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最
小值和横坐标的取值范围；
该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于 ，灯笼
长
悬挂点的纵坐标
即悬挂点的纵坐标的最小值是
当时，
解得
悬挂点的横坐标的取值范围是 ；
任务3 拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求
出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.
方案一：如图（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼
，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时， ，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，
顶点一侧最多悬挂3盏灯笼
灯笼挂满后成轴对称分布
共可挂7盏灯笼
最左边一盏灯笼的横坐标为 ；
方案二：如图（坐标轴的横轴），从对称轴两侧开始悬挂灯笼，则正中
间两盏灯笼与对称轴的距离均为
若顶点一侧悬挂5盏灯笼时， ，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，
顶点一侧最多悬挂4盏灯笼
灯笼挂满后成轴对称分布
共可挂8盏灯笼
最左边一盏灯笼的横坐标为 .(共8张PPT)
专题二 综合与实践
课时14 设计类（二）——图形设计
【方法】①将实际问题转化为数学问题；②建立几何模型；③利用几何
知识推理演算相关的数学问题；④将已求的数学问题中的量还原到实际
问题中去，完成图形设计.
1. ［典型试题］[2025龙岩质检]根据国际标准，A系列纸为矩形，其中
纸的面积为 .
将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将 纸沿长边对折、裁开，便
成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将 纸沿长边对折、
裁开，便成 纸…
将 纸按如图1所示的方式折叠.
图1
（1）观察图1的折叠过程，可知 纸矩形的宽与长的比值为_ __；
图1
（2）某兴趣小组在实践活动中尝试用 纸板做一个无盖的长方体纸盒，
要求如下：把一张 纸板分割成5个矩形纸板，用其中一个作为底面，
其余4个作为侧面，恰好能粘接成一个无盖的长方体纸盒，小鑫同学画
出了如图2所示的设计示意图，该长方体纸盒底面的面积为 ，请你
在图3，图4所示的 纸板中画出两种与小鑫同学不同的设计示意图
（标出侧面和底面），简要说明分割的方法并求出底面的面积.
图2
图3
图4
图2
解：由题意得，纸的宽与长的比值为
如图2，设， ，
由题可知，一个作为底面，其余4个作为侧面，
恰好能粘接成一个无盖的长方体纸盒
底面积为
解得
图3
设计一：如图3，按此方法分割，其中
，
可以接成无盖的长方体
底面积为 ；
图4
设计二：如图4，按此方法分割，其中
，可以接成无盖
的长方体
底面积为 .(共13张PPT)
专题二 综合与实践
课时7 跨学科（一）化学
1. ［典型试题］实验是培养学生的创新
能力的重要途径之一,如图是小红同学安
装的化学实验装置,安装要求为试管略向
下倾斜,试管夹应固定在距试管口的三分
之一处.已知试管, ,
试管倾斜角 为 .
（参考数据: ,
, ）
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到 ）；
解:过点作于点
,
,
在中,,
答:酒精灯与铁架台的水平距离 的长度约为 ；
（2）实验时,当导气管紧贴水槽 ,延长
交的延长线于点,且
（点,,, 在一条直线上）,经测得:
, ,
,求线段 的长度
（结果精确到 ）.
过点分别作,,垂足分别为, ,则四
边形 是矩形
在中,,
,
,
, ,
答:线段的长度约为 .
2. ［变式］溶氧量（单位: ）指的是水中氧气的溶解量,溶氧量是水
中生物在水中生存的重要指标之一.某地区以某种水产养殖为主要产业,
当地技术人员研究了溶氧量对该种水产品生长情况的影响及溶氧量随时
间变化的规律,结果如下:
①最适宜该种水产品生长的溶氧量为,长时间低于 会影响
生长速度,低于 将出现呼吸不顺畅的现象,溶氧量的警戒浓度为
,低于该值就有可能导致水产品死亡.一般来说,水中的溶氧量每
天至少需要不低于,其它时间不低于 .#1.1
②一天内水中的溶氧量会随时间的变化而变化,太阳下山后由于光合作用
停止,溶氧量将逐渐降低,在日出前达到一天中最低的溶氧量,日出后逐渐
升高至饱和溶氧量,随后保持不变,工作人员通过实验检测,收集该季节正
常天气下,该地区若干个时刻（时）对应的溶氧量 的数据,不同
时刻对应的溶氧量如下表:#1.2
0 1 2 3 7 10 13 16 17 18
6 5.5 5 4.5 3.6 5.4 7.2 9 9 9
（1）请估计在日出前水中的溶氧量与时刻 之间的函数关系式；
解:由表格可知:在日出前水中的溶氧量与时刻 成一次函数关系,设
把,代入,得 解得
；
（2）该季节正常天气下,判断是否会出现溶氧量达到警戒浓度的现象 并
说明理由；
不会出现溶氧量达到警戒浓度的现象.理由:
当时，，而表格中 点时，溶氧
量为 ,因此日出在7点前，所以日出前达到的一天中最低溶氧量
高于警戒浓度 ,且日出后逐渐升高并保持饱和溶氧量
所有时刻溶氧量均不低于 ；
（3）为保障该种水产品的生长速度,养殖户购入一款增氧设备,开启该设
备后能够使水中的溶氧量在原有变化规律的基础上每小时再匀速增加
上升至饱和浓度,请估计该季节正常天气下是否需要开启该设备,
若需要开启,最迟几点开启
由（2）可知日出在7点前，当时，
①当日出在6点之前时，一天中最低溶氧量大于 ，因此只需考虑
水中溶氧量在的时间不超过6小时，由表格知 时内，
，因此当时， ，所以增氧设备开启应在7到8点之间
②当日出在点之间时，已知时， ，由于增氧速度大于下
降速度，所以应从6时开启增氧设备，且此时也满足水中溶氧量在
的时间不超过6小时
综上，最迟6点开启增氧设备.(共16张PPT)
专题二 综合与实践
课时8 跨学科（二）物理
【方法】①理解题意,将物理相关问题转化为数学问题；②根据题意建立
几何量之间的关系；③解出关系.
1. [典型试题]【综合与实践】某兴趣小组
利用物理学中杠杆原理制作简易跷跷板,小
组先设计方案,然后动手制作,再结合实际进
行调试.请完成下列方案设计中的任务.
【知识背景】如图,在木板的左端有一个固定质量为 千克的靠背,质量
为 千克的小孩紧贴靠背而坐,选定木板中点偏右的位置作为跷跷板的支
点,支点与靠背的距离为米,选定支点右侧米处为零刻度线.质量为 千
克的大人坐在零刻度线的右侧,大人可以通过调整自己的位置使跷跷板保
持平衡.
设大人与零刻度线的距离为 米,根据杠杆原理可得:
．
【方案设计】目标:设计有标注刻度的简易跷跷板,使得两边分别坐上人
后跷跷板平衡.设定, ,零刻度线与末刻度线的距离定为1米.
任务一:确定和 的值:
（1）当跷跷板左边不坐上小孩,且大人在零刻度线时,跷跷板平衡,则与
的关系式: ____；
（2）当跷跷板左边坐上质量为20千克的小孩,大人从零刻度线移至末刻
度线时,跷跷板平衡,则与的关系式: _______；
（3）根据（1）和（2）的结论可得与的值:_ _， __；
任务二:确定刻度线的位置:
（4）根据任务一,求关于 的函数解析式；
解:由（3）得,
.
；
（5）从零刻度线开始,小孩这端的质量每增加5千克,大人坐在木板上移
动一个刻度能使跷跷板保持平衡,求相邻刻度线间的距离.
由（4）可知
当时，；当时， ．
相邻刻度线间的距离为 ．
2. [变式]我国传统的计重工具秤的应用,方便了人们的生活.如图1,可以用
秤砣到秤纽的水平距离,来得出秤钩上所挂物体的重量.称重时,若秤杆上
秤砣到称纽的水平距离为时,秤钩所挂物重为（斤）,则是 的一
次函数.如表中为若干次称重时所记录的一些数据.
图1
图2
（1）在表, 的数据中,发现有一对数据记录错误.在图2中,通过描点并连
线的方法,观察判断哪一对是错误的，请以坐标的方式表达出来；
1 2 3 5 6 8
0.5 1 1.5 2 3 4
图1
图2
解:描点、连线如图所示
由图可知,记录错误的数据是 ；
（2）根据（1）的发现,求出关于 的一次函数的解析式；
图1
设关于的一次函数的解析式为
把,；, 代入,得
解得
关于的一次函数的解析式为 ；
图1
（3）由（1）得,当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 时,秤钩所挂物
重是多少
图1
在中,令,得
答:当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 时,秤钩所挂物重是8斤.
3. [变式]图1是一种指甲剪,该指甲剪利用杠杆原理操作,使用者只需施力
按压柄的末端,便可轻易透过锋利的前端刀片剪断指甲,它被按压后示意
图如图2所示,上下臂, , ,杠杆
,轴承,未使用指甲剪时,点,在上,且 比
长 .
（1）的长为____ ；
40
（2）使用指甲剪时,下压点,当时,两刀片咬合,绕点 按逆时
针方向旋转到的位置,则与 的交点从开始到结束时移动的距离
为___ ．

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