资源简介

(共7张PPT)
专题三 几何基本图形
课时24 中点（三）斜边中线
已知：如图，在中， .
方法：取中点，连接（若已知点，连接 ）
结论：， ，
.
1. ［典型试题］如图，在中，是边上的高，是边 上的
中线，，是 的中点.
（1）求证： ；
证明：连接
是边 上的高
是 的中点
是 的中点
；
（2）求证： .
.
2. ［变式］如图，在四边形 中，
， ，连接 .
求证： .
证明：取的中点，连接，
，为 的中点
，
为等腰直角三角形
.
C
B
O
A
F
E
C
D
B
A
F
E
C
D
B
.∠ADB=90°
:F是AB的中点
DF=AB
=BF
2
·DC=BF
:DC=DF
E是CF的中点
.DE⊥CF,
·DC=DF
∠DPFC=∠DCF
◆
.∠FDB=∠DFC+∠DCF=2∠DCF
DF=BF
∠FDB=∠B
◆
.∠B=2ㄥBCF
A
B
D
C
A
B
D
0
C
OA=OB=OC=-BD
:AB0=∠BA0=,A0D,∠OBC=∠0CB=∠COD
.∠AOC=∠AOD+∠COD=2∠AB0+2ㄥOBC=2∠ABC=90°
·△AOC为等腰直角三角形
AC v20A
BD 20A=V2AC.(共8张PPT)
专题三 几何基本图形
专练5 中点类 一题多解
1. 如图，在中，，，点在 内部，
且，连接，为的中点，连接，求 的度数.
[解析]
解法一
提示：延长至点，使得，连接（中点倍长）.过点 作
，交的延长线于点 （构造全等）.
解法1：如图，过点作，交 的延长线
于点 ，延长至点，使得，连接
是等腰直角三角形
，
为中点，
，
，
设，则 ，
，
.
解法二
提示：取中点，连接（构造中位线），再证 .
解法2：（简析）如图，过点作，交 的
延长线于点 ，取中点，连接
可得
由解法一可得
.
说明：若连接，，可证 ，
，，可得解法三
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
备用图
C
G
D
E
A
B
F
解法1：如图，过，点B作BF L BD,交CD的延长线
于点F,延长BE至点G,使得BE=EG,连接AG
.∠BDC=135°
∠BDF=45°
BF⊥BD
△DBF是等腰直角三角形
.△AEG≌△DEB(SAS)
.AG=DB,∠AGE=∠DBE
.AG//BD,.∠GAB+∠ABD=180
设∠DBC=C,则ㄥFBC=∠FBD十∠DBC=
ABD=∠A
-∠DBC
◆
.∠BAG=180°-∠ABD
,∠FBC=
∠GAB
·FB=GA,BC=AB
.△FBC≌△GAB(SAS)
C
D
E
A
H
F
由解法一可得∠EHB=∠FBC=90°+C
.△EHB∽△FBC
.∠HBE=∠BCF
BDF=∠BCF+∠DBC=
45
∠HBE+∠DBC=45°
.∠EBD=90°-（∠HBE+∠DBC)
=45
(说明：若连接AF,EF,可证∠APD=90°
EF=ED,△EBD≌△EBF(SAS),可得解法三)(共7张PPT)
专题三 几何基本图形
课时22 中点（一）倍长线段（含中线）
已知：如图，为 的中点
方法：延长至，使得，连接
（或作，交延长线于点 ）
结论： .
1. ［典型试题］如图，是的中线，为 上一点，且
，连接并延长，交于点，求证： .
证明：延长到，使，连接
是中线
，
.
2. ［变式］如图，在四边形中，，是 的中点，
，且，，求四边形 的面积.
解：延长交的延长线于
，
是 的中点
，
.
A
D
B
C
O
E
A
F
E
B
D
C
A
F
E
B
D
C
AD是中线
BD=CD
·∠BDF=∠CDG
◆
∧BDF≌△CDG(SAS)
.BF=CG,∠BFD=∠G
∠AFE=∠BFD
.∠AFE=∠G
BF=AC
D
E
。。。●。。。
.S
B
C
:DE
云
CE
△ADE≌△FCE(AAS)
。
.EF=AE=5,S△4DE
=D△FCE
.AF=2X5=10
四边形ABCD
△ABF
二=AB
·AF=-X4×10=20.(共6张PPT)
专题三 几何基本图形
专练8 构造类全等 一题多解
1. 如图，在中，，，的平分线交
于点D.
求证： .
证法一：在上分别取点，，使得 ，，连接，
的平分线交于点
，
，
= ，
，
，
.
证法二：在上取点，使得，连接，过点 分别作
，，垂足为，
，
由证法一知，
，
由证法一知
，
.
A
D
0
a
:
B
E F
C
:AB=AC,∠A=100
∠ABC=C=(180-A)
=40°
∠ABC的平分线BD交AC于，点D
∠ABD=∠CBD=7∠ABC
=20
BE=BA,BD=BD
,△ABD≌△EBD(SAS
BED
100°
◆
80
·BF=BD
∠BFD=∠BDF=7(180°-∠CBD)=80
.∠CDF=∠BDF
-∠C=40°，∠DEF=∠BFD
.∠CDF
FD
AD
BC=BF+FC,BF=BD
BC
A
D
B
EF
C
:∠ABC的平分线BD交AC于，点D,DG⊥AB,DE L BC
.DG=DE,∠DGA=∠DEF=90°
:∠BAC=100°
.∠DAG=180°-∠BAC=80
由证法一知∠BFD=80°，∠DFE=80°
.∠DAG=∠DFE
:DG=DE,∠DGA=∠DEF
=90
.△DGA≌△DEF(AAS)
AD=FD
由证法一知FD=FC
AD FC
BC=BF+FC,BF=BD
.BC=BD十AD(共7张PPT)
专题三 几何基本图形
课时34 SSA作垂线构全等
【条件】，，
【方法】作垂直构造全等（如图所示）
【结论】 ，
1. ［典型试题］如图，在和中， ，
.求证： .
证明：分别过点，作， ，垂足为，
，
.
2. ［变式］如图，四边形是正方形，点在边上，在边 上截
取，点在正方形外角的平分线上，且 .
求证： .
证明：过点作，垂足为，延长交 延长线于点
四边形 是正方形
，
，
点在正方形外角 的平分线上
，
，
，
，
.
A
A'
0
0
:
B
D
C
B'
D
C'
A
D
FE
B
C
.∠BFC=∠CEB=9O°
·∠ACB=∠DBC,BC=CB
,△BFC≌△CEB(AAS)
·BF=CE
AB=DC
.Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)
。∠A=∠D
A
D
F
P
B
E
C
G
A
D
M
F
P
B
E
C
G
N
.∠AMF=90
四边形ABCD是正方形
.∠B=∠BCD=90°，AB=BC
BE=BF
∴.∠AFM=∠BFE=∠BEF=45°，h
∠AFE=180°-∠BFE=135°
·点P在正方形外角∠DCG的平分线上
LECN LPCG LDCP=DCG 45
.∠CEW=∠BEF=45
.∠EWC=18O°一∠CEW-∠ECW
=90°
∠ECP=∠BCD+∠DCP=135°，∠AFM=∠ECN
·∠AMF=∠ENC=90°，AF=CE
△AMF≌△ENC(AAS)
AM=EN
.Rt△AEM≌Rt△EPN(HL
,∠AEM=∠EPW
∠AFE=∠ECP=135°，AE=EP
△AEF≌△EPC(AAS)(共8张PPT)
专题三 几何基本图形
课时29 全等（一）一线三等角——同侧型
模型特点：有三个等角的顶点在同一直线上
条件：，
结论：， .
1. ［典型试题］如图，在中，，，点，
分别在，上（点不与，两点重合），且， ，
求 的长.
解：
，
，
.
2. ［变式］如图，点在矩形的边上，，点在 上，
， ，，求， 的长.
解：延长至点，使，连接，延长至点 ，
使，连接
，
，
，
，
在中，
.
D
E
2
1
3
A
B
C
A
E
B
D
C
解：AB=AC=4
.∠B=∠C
∠1
∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠1+∠EDC
BAD=∠EDC
AD
△ABD≌△DCE(AAS)
◆
AB=CD=4,BD=CE
M
:
:
G
D
E
B
A
:
N
解：延长BC至，点M,使CM=CD,连接DM,延长CB至，点N,
使BN=BF,连接NF
.∠M=∠FED=∠N=45°
EN=BE+BN=BE+BF=3+5=8.
NF=VBF2+BN2=V52+52=5V2
∠MDE+∠DEM=135°，∠NEF+∠DEM
=135
,∠MDE=∠WEF
·DE=EF
.△MDE≌△NEF(AAS
.MD=EW=8,ME=NF=5√2
在Rt△MCD中，CD=CM=2MD=4W2
.CE=ME-CM=5V2-4V2=V2
.BC=BE十CE=3+V2.(共7张PPT)
专题三 几何基本图形
课时23 中点（二）构造中位线
已知： 如图1，为 的中点
图1
方法：延长至，使得，连接
结论：，
已知：如图2，为 的中点
图2
方法：取中点，连接
结论：，
1. ［典型试题］如图，在中，是的中点，点是 上任意一
点（除，外），与相交于点，求证： .
证明：取的中点，连接
是 的中点
是 的中位线
，
.
2. ［变式］如图，在四边形中，与相交于点 ，
点，分别为，的中点，分别交， 于点
，，.求证： .
证明：取的中点，连接，
，分别是， 的中点
是 的中位线
且
同理，得，
，
，
.
A
D
C
!
0
0
B
:
。
。
@
●
●
A
D
E
B
C
A
E
B
D
C
A
E
G
F
B
D
C
·D是BC的中点
.DG是△BCE的中位线
DG//CE,EB=2GE
人AEF∽入AGD
●●
2GE
2FD
C
D
E
N
M
F
G
A
B
H
C
D
E
N
M
F
G
A
B
:M,H分别是AD,DC的中点
.MH是人ADC的中位线
.MH/AC且MH=AC
同理，得NH//BD,NH=
EF=EG
.∠EFG=∠EGF
MH//AC,
NH//BD
∠EFG=∠HMN,∠EGF=
:∠丑NM
”。
∠HMN=∠HNM
s.MH
NH
.BD=AC(共7张PPT)
专题三 几何基本图形
专练7 全等 一题多解
1. 如图，在等边三角形中，为线段上一动点（不与， 重
合），连接并将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接 ，
求证： .
证法1：连接
，
是等边三角形
，
是等边三角形
，
.
证法2：过点作，交于
是等边三角形
，
，
是等边三角形
，
，
.
证法3：延长至点，使，连接
是等边三角形
，
， ，
，
是等边三角形
.
A
E
B
D
C
A
E
B
D
C
备用图1
A
E
B
D
C
备用图2
A
E
B
D
C
AD=DE,∠ADE=60°
,入ADE是等边三角形
AE-AD,ZEAD=60
△ABC是等边三角形
AB
=AC,∠BAC=60°
∠EAD
BAD
=BAG
.∠EAB=∠DAC
,△AEB≌△ADC(SAS)
CD=BE
A
E
F
B
D
C
△ABC是等边三角形
.AC=BC,∠BAC=∠C=∠ABC=
:60°
DF//AB
∠DFC=∠BAC=60°，∠FDC=∠ABC=60°
ㄥDFC=ㄥFDC=ㄥC=60
△CDF是等边三角形
◆
CF=CD=DE
◆
AC-CF=BC-CD
AF
DB
·∠ADB=∠ADE+∠BDE,
∠ADB=∠C+∠FAD,∠ADE=∠C=60
.∠FAD=∠BDE
◆
◆
AADF≌△DEB(SAS)
CD
BE
证法3：延长CB至，点G,使BG=CD,连接EG
:△ABC是等边三角形
AC=BC,
∠BAC=60
CD=
.AC=BC=BD十CD=BD十BG=DG
·∠ADB=∠ADE+∠GDE,∠ADB
∠C
CAD,∠ADE=∠C=60°
GDE
DEG(SAS
A
E
G
B
D
∴.CD=GE,∠C=∠G=60°
BG=GE
△GBE是等边三角形
5.BE=BG
:CD=BE.(共8张PPT)
专题三 几何基本图形
课时26 角平分线（一）作平行
类型一：如图1，平分，作
图1
结论： ；
类型二：如图2，平分，作
图2
结论： .
1. ［典型试题］如图，在中，平分 ，
交于点，求证： .
证明：过点作，交的延长线于点
，，
平分
.
2. ［变式］如图，点为的内心，连接，， .若
，，，求 的长.
解：过点作，交于点
，
为 的内心
平分，平分，平分
平分
平分
，
，
.
C
D
A
B
E
A
B
A
B
D
C
E
:
2
B
D
C
证明：过，点C作CE/DA,交BA的延长线于，点E
CE
/DA
∠2=∠ACE,∠1=∠E
:AD平分∠BAC
.∠1=∠2
.∠ACE=∠E
AE=AC
A
0
B
C
A
M
O
B
C
解：过点O作OM/BC,交AC于点M
∴.∠MOC=∠BCO,∠AMO=∠ACB
O为△ABC的内心
OC平分∠ACB,BO平分∠ABC,AO平分∠BAC
.∠BCO=∠ACO
,∠MOC=∠ACO
MO=MC
:BO平分ㄥABC
.∠ABC=2∠ABO
·∠ABC=2ㄥACB
,∠ABO=∠ACB=∠AMO
·AO平分ㄥBAC
∠BAO=∠MAOAO=AO
△BAO≌△MAO(AAS)
OM=OB,AM=AB
AB=4,AC=7
CM=AC-AM=AC-AB=3
∴.OB=OM=CM=3.(共10张PPT)
专题三 几何基本图形
课时36 相似（一）A型
A型相似：在中，
结论：①，得到 ；
②点是上的一点，连接交于点 ，则
分别有，，得到 .
仿A型相似：在中，，分别在边， 上，且
结论：，得到 .
1. ［典型试题］如图，在中，点，分别在边， 上，
，，，，求 的值.
解：，
.
变式： 如图，在中，为边的中点，为 上任意一点，延长
交于点，延长交于点，连接，交于点 . 求证：
（1） ；
[解析] 延长到点，使得，连接，
是 中点
四边形 是平行四边形
，
，
，
，又
；
（2） .
[解析] 由
，
，
.
A型相似：在△ABC中，DE//BC
结论：①△ADE∽△ABC,得到A”=
AEDE
AB AC
BC
②，点M是BC上的一点，连接AM交DE于点F,则
分别有=
CM
AM
得到（
BM
RM
CM
A
D
E
F
B
M
C
A
D
E
B
C
A
E
B
D
C
解：∠ABE=∠C,∠A=∠A
,△ABE∽△ACB
AE
.EC=AC一AE=5
DE //AB
BD
◆
●●
DC
◆
◆
一
4-5
ABDE:SAGr-光
=
4
5
变式：如图，在△ACB中，D为边AC的中点，E为BD上任意一点，延长
CE交AB于点M,延长AE交BC于点N,连接MN,MN交BD于点F.求证：
(1)MN//AC;
G
D
M
E
F
C
N
B
:D是AC中点
DA=DC
DG=DE
.四边形AECG是平行四边形
ME//AG,NE//CG
,△BME∽△BAG,△BNE∽△BCG
BM
BE
BN
BE
BA
BG
BC
BG
解析]由MN//AC
.△BMF∽△BAD,△BWF∽△BCD
NF
CD
AD
二
MF=NF(共8张PPT)
专题三 几何基本图形
课时25 中点（四）底边中线
底边有中点时，用三线合一
已知：，是 中点
方法：连接
结论：， .
底边无中点时，构三线合一
已知：
方法：过点作于点
结论：， .
1. ［典型试题］如图，在中，点在边
上，，是的中点，是 的中点.
（1）求证： ；
证明：连接
，是 的中点
在中，是 的中点
；
（2）若 ， ， ，求 的长.
解： ，
是等边三角形
是 中点
，
在中，
.
2. ［变式］如图，，且与互补，过点 作
于点 .
求证： .
证明：过点作，垂足为
，
，于
与 互补
，
.
A
:
B
D
C
B
F
A
D
E
C
B
.:
F
A
D
E
C
解：BD=BC,∠C=
60°
.△CBD是等边三角形
。
CD=BC=BD=2
:E是CD中点
DE=CD=1
2
BE=VBD2-DE2=√22-12=√3，
AE=AD十DE=3十1=4
在Rt△AEB中，AB=VAE2+BE2=√19
10
EF=÷AB
A
H
B
C
D
A
H
B
E
C
D
AB=AC
∠EAC=∠BAC,CE=BC
:AC=CD,CH L AD于H
∠ACH=÷ㄥACD
∠EAC+∠ACH=(∠BAC+∠ACD)
:∠ACD与∠BAC互补
.∠EAC+∠ACH=-×180°=90°
2
∠EAC十∠ACE=90°
,∠ACE=∠AC丑
∠AHC=∠AEC=90°，AC=AC
△ACH≌△ACE(AAS)
CH=EC =BC.(共8张PPT)
专题三 几何基本图形
课时28 角平分线（三）作对称
类型一：如图1，平分，截取，连接 .
图1
结论： .
图2
类型二：如图2，点，，分别在，， 上，
.
延长至点，使得
结论： .
1. ［典型试题］如图，在中， ，内角平分线 ，
交于点 .
求证： .
证明：在线段上截取，连接
，分别平分，
，
，
，
.
2. ［变式］如图，在中， ，延长
的边到点，平分交 延长线于点
，若， ，求 的度数.
解：如图，在上截取,连接
平分，
在和 中
.
A
P
0
E
B
A
E
F
B
C
H
A
E
0
B
D
C
A
F
E
0
B
D
C
证明：在线段AC上截取AF=AE,连接OF
:∠ABC=60
.∠BAC+∠ACB=120°
AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB
“∠EA0=∠FA0=支BAC
FC0=∠DC0=,∠ACB
∠FAO
-∠FCO
=号BAC+∠ACB
=60°
60°
AE=AF,AO=AO
●
△AOE≌△AOF(SAS)
●
∠A0E=∠A0F=60°
.∠COF=180°-∠A0E-∠A0F=
60°
.∠C0D=∠C0F=60°
OC=OC,∠FC0=∠DC0
△COF≌△COD(ASA)
●
CF=CD
AC=AF十CF
.AC=AE十CD
G
E
A
B
C
D
s.ED
CD,∠EDA=∠CDA
·AB+
BE
AE=AB士AC=CD
.BE
ED
.∠EDC=∠B
=30°
∠EDA=∠CDA=∠EDC
=15
∠CAD=∠EAD=∠B+∠ADC=30°+15°=45°
.∠ACB=∠CAD+∠ADC=45°+15°=60°(共7张PPT)
专题三 几何基本图形
课时30 全等（一）一线三等角——异侧型
模型特点：有三个等角的顶点在同一直线上
条件：，
结论：，
1. ［典型试题］如图，在中， ，
，过点作直线，于点 ，
于点.若与线段相交，且 ，
，求 的长.
解：，
，
.
2. ［变式］如图，在中，，，点 在
上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作 ，
交于点，求证： .
证明：在边上截取，连接
，，
是等边三角形
，
，
，
.
E
A2
B
y
C
D
C
M
B
W
A
1.[典型试题]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
AC=BC,过点C作直线MN,AM⊥MN于点M,
BN⊥MN于点N.若MN与线段AB相交，且AM=2.6,
BN=1.1,求MN的长
解：-AM⊥MN,BN⊥MN
.∠AMC=∠CNB=90°
.∠MAC+∠ACM=
∠AB
.∠ACM+∠WCB
∠MAC=∠WCB
AC=
CE
△ACM≌△CBW(AAS)
CN=AM=2.6,CM=BN=1.1
.MW=CW-CM=2.6-1.1=1.5
A
E
F
M
B
D
C
.△BMD是等边三角形
.∠BVD
=60°，.∠AMD
120
:EF//BC,.∠EFB
=60
.∠EFA=∠AMD
=120
∠EAD
60
,∠EFB
∠EAD
·∠BAD
=AD
一∠EAF,∠AEF=∠EFB一∠EAF
.∠BAD=∠AEF
·AD=AE
◆
△DAM≌△AEF(AAS)
EF-AM
·BM+AM=AB
.BD十EF=AB(共10张PPT)
专题三 几何基本图形
专练6 角平分线 一题多解
1. 如图，和都是等腰直角三角形，点在边 上，
，连接 .
（1）求证： ；
证明：和 都是等腰直角三角形
，
；
（2）若平分，且，求 的面积.
[解析]
（2）解法1：
提示：点作于点 .
图1
法1：（简析）如图1，点作于点
可证
，
在中，，
，
在中，
在中，
.
（2）解法2：
提示：过点作，交于点 .
图2
法2：（简析）如图2，过点作，交于点
可证，
.
下同方法一.
（3）解法3：
提示：在上截取，连接 .
图3
法3：（简析）如图3，在上截取 ，连接
可证
由（1）得
下同方法一.
A
E
口
a
D
B
C
A
E
D
B
C
备用图1
A
E
D
B
C
备用图2
证明：：△ABC和△EDC都是等腰直角三角形
.∠ACB=∠ECD=45°
ㄥBCD=∠ACE
∧ACE∽△BCD
A
E
◇
D
B
G
C
.BD =2v2,AC=AB=2+2V2
在Rt△ACD中，CD2=-AD2+AC2=16+8V2
在Rt△EDC中，DE2+EC2=CD2
.DE2=8+4V2
SAD=DE2=4+2√2.
A
E
◇
D
F
B
C
可证AF=AD=2,DF=2W2
∠FDC=∠BCD=∠FCD
CF DF 2v2
AB=AC=AF+CF=2+2V2.
下同方法一
A
E
D
G
B
C
可证入ACE≌入ACG
∴.∠AGC=∠AEC=∠BDC
.∠ADG=∠AGD
AE=AG=AD=2
由(1)得△BCD△ACE
BD
BC
AE
-
BD 2V2
下同方法一(共8张PPT)
专题三 几何基本图形
课时32 全等（三）对角互补
模型特点：共顶点等线段 对角互补
条件：（或 ），
结论：平分 .
1. ［典型试题］如图，在四边形 中，
，， ，
，，求四边形 的面积.
解：如图，延长至，使，连接，
，
，
，
，
过点作于点
则
.
2. ［变式］如图，在中，，，为 的
中点，点在的延长线上，点在上，且 ，，
，求 的长.
解：，为 的中点
，
过点作，交的延长线于点 ，则
，
在中，
.
D
A
B
C
A
B
D
C
E
:
H
B
D
C
·∠ABC=120°，∠ADC=
60°
.∠BAD+∠C=180
∠BAD+∠EAD=180°
.∠C=∠EAD
·AE=CB,AD=CD
△BCD≌△EAD(SAS)
·BD=ED,∠CDB=ADE
∴.∠BDE=∠CDA=60°
,△BDE是等边三角形
。∠DBE=60°，BE=BD
●●
BCD≌△EAD
BC刀
△EAD
四边形ABCD
ABDE
BC=
AE
.BE=BD=AB+AE=2十+1=3
过点D作DH⊥BE于点H
则DH=BD·sin∠DBE=3×sin60°=
3W3
.3V3
93
S
BE.DH=×3×
93
四边形ABCD
4
A
N
B
D
G
M
过，点M作MG//BC,交AB的延长线于点G,则∠AMG=∠ADB=90°
.∠G=∠MAW=∠BAD=45°，GM=AM=2
∠AMG
∠AMG
∠AMB
,∠GMB=∠AMN
.△BMG≌△WMA(ASA)(共7张PPT)
专题三 几何基本图形
课时31 全等（二）手拉手
模型特点：共顶点等线段 顶角相等
条件：，为等腰三角形，
结论：，，平分
说明：1.点，，，共圆，点，，， 共圆；
2.有一组邻边相等的图形常构造此模型求解.
1. ［典型试题］如图，和都是等边三角形，点在 的延
长线上，连接，求线段，， 之间的数量关系.
解：和 都是等边三角形
，，
.
2. ［变式］如图，平面内三点，，，，，以 为对
角线作正方形，连接，求 的最大值.
解：将绕点顺时针旋转 至 ，
则，，连接，
四边形 是正方形
，
，
最大值为 .
D
0
C
E
A
B
E
A
C
B
D
解：：△ABC和△ADE都是等边三角形
.AB=AC=CB,AE=AD,∠CAB=∠DA
60
∠CAB+∠BAD=∠DAE+∠BAD
∠CAD=∠BAE
,个ABE≌△ACD(SAS)
CD=CB十BD=AB+BD
.BE=AB十BD
E
C
A
M
B
D
则DM二DA,∠ADM=90°，连接MA,MC
AD =ZAM
】
四边形BDCE是正方形
.DB=DC,∠BDC=∠ADM=
:90
.∠BDA=∠CDM
△DBA≌△DCM(SAS)
MC=AB=5
AM≤AC+MC,AC=3(共6张PPT)
专题三 几何基本图形
课时35 SA截等长构全等
【条件】在和中，， .
【方法1】在上取点，得，则 .
【方法2】延长至，使得，连接，则 .
1. ［典型试题］如图，在中，是上一点，
是延长线上一点，， .求证：
.
证明：在上截取
，
，
，
.
2. ［变式］如图，点在 内，，
，求 的度数.
解：在上取一点，使得
，，
，
设
则
，
，
即 .
（注：本题另一种解法，如图，延长至点 ，使
得交于点，连接 ）
A
D
B
G
C E
A
D
B
C
E
A
D
F
B
C
E
:AB=DE,∠BAC=∠EDC
.△ABF≌△DEC(SAS)
.BF=CE,∠AFB=∠DCE
·∠AFB+∠BFC=180°，∠DCE+∠BCF=
180
.∠BFC=∠BCF
BC=BF
BF=CE
BC=CE
A
B
E
C
.CD=DE,∠BDE=∠ACD
设∠DCB=C
则∠CED=∠DCE=
BC=ABD
+∠DBC=40°
,∠ACB=∠ABC=40°
.∠BDE=∠DEC-∠DBC=a-20
LACD=∠ACB-∠DCE=40°-&
.-20°=40°-6
●
∠DCB=C=30°
·∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=130°
即ㄥBDC=130°
D
B
C
●
F(共8张PPT)
专题三 几何基本图形
课时33 全等（四）角含半角
模型特点：共顶点等线段 顶角含半角
条件：，
方法：由 旋转得到
结论：，
说明：手拉手模型特例，构造两次全等.
1. ［典型试题］如图，在正方形中，，分别是边， 上的
点，，的周长为4，求 的长.
解：将绕点顺时针旋转 得到，连接
则，
四边形 是正方形
，
，
，， 三点共线
，
的周长为4
.
2. ［变式］如图，在等腰三角形中，， ，
点，在上， ，，求 的值.
解：，
将绕点逆时针旋转 得到
，连接，则
，，
，
，即
A
F
B
DI
E
D
F
C
E
A
B
D
F
C
E
A
B
0
0
:
则AF=AF,∠FAF=90°
四边形ABCD是正方形
.AB=AD,∠D=∠ABE=∠DAB=∠FAF=90°
∠DAF+∠PAB=∠BAF十∠FAB
90
。∠DAF=∠BAF
.△DAF≌△BAF'(SAS)
DF=BF,∠ABF=∠D=
90
E,B,三，点共线
∠FAF=90°，∠EAF=45°
.∠EAF=∠EAF=
A
(SAS
.EF=EF
·△ECF的周长为4
.FC十CE
EF=FC+CE+EF=FC+CE+EB+BF'
FC+BC+BF=FC+BC+DF=2BC=4
.BC=2.
D
A
0
0
B
M
N
C
∴.AD=AM,CD=BM,∠CAD=∠BAM
,∠BAM+∠MAC=∠CA
-∠MAC
∠AD=
∠WAM=75°
∠WAD=∠WAM=75°
AN-AN
◆
△AMW≌△ADW(SAS
.MW=DW,∠AWM=∠AWD
DNM
·BM2=CN2+MN2
CD2=CN2+DN2
.∠DNC=90°，即∠DWM
=90
∴.∠AWM=∠AND=45°
∠AMN
L80
(∠WAM+∠AWM
=180°
-(75
45
=60
∠BAM=∠AMW-∠B=60°-15°(共10张PPT)
专题三 几何基本图形
课时27 角平分线（二）作垂线
已知，平分 .
类型一（垂两边）：如图1，作， ；
图1
结论：， .
类型二（垂中间）：如图2，，延长交于 ；
图2
结论： 是等腰三角形.
1. ［典型试题］如图，在中，平分，平分 ，
于点，连接 .
（1）求证：平分 ；
证明：如图，过点作于点， 于点
平分，，
同理
平分 ；
（2）当，，时，求 的长.
解：设，则
在和 中
同理，
，解得
即的长为4.
2. ［变式］如图，在中，，， 平分
交于点，交延长线于点.求证： .
证明：延长，并交于点
平分
，
A
P
0
E
B
0
E B
A
D
C
0
B
C
A
E
D
人
B
F
C
证明：如图，过点O作OEL AC于点E,OF⊥BC于，点F
:AO平分∠BAC,OD⊥AB,OE⊥AC
OD=OE
同理OD二OF
OE=OF
.CO平分
解：设AD=x,则BD=AB一AD=7一x
在Rt△AOD和Rt△AOE中
AO
OD
OE
.Rt△AOD≌Rt△AOE(HL)
AE
CE
AE=9
同理BF
=9一x
BC=8
7一x十9一x=8,解得x=4
即AD的长为4.
A
D
E
、
B
0
证明：延长BO,AE并交于点F
:BD平分∠ABO
.∠ABE=∠FBE
AF⊥BE
.∠AEB=∠FEB=90°
BE=BE
●
△ABE△FBE(ASA)
.AE=FE
x∠0AF+∠F=90°，∠0BD+∠F=90°
.∠OBD=∠OAF
·∠BOD=∠AOF=90°，BO
AO
△OBD≌△OAF(ASA)
BD
=AF
AE=EF=A
∴.BD=2AE

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