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陕西省榆林市2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算：（）
A. 4 B. 16 C. D.
2.如图所示的几何体，它的主视图是（）
A. B. C. D.
3.如图，，射线交于点，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
4.计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则长为（ ）
A. B. C. D.
6.将一次函数y=kx-2（k为常数，k≠0）的图象向上平移4个单位长度得到的一次函数图象经过点（-1，5），则k的值为（　　）
A. 7 B. -7 C. -3 D. 3
7.如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
8.若，是二次函数（b为常数）的图象上的两点，且，，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.因式分解多项式： ．
10.“长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火柴棒拼成如图所示的“长城墙垛”形状.已知第1个图形用了8根火柴棒，第2个图形用了14根火柴棒，第3个图形用了20根火柴棒，…，则第5个图形需要的火柴棒的根数为 .
11.某工厂计划生产一批零件，如果每天生产20个，则比计划时间晚一天完成；如果每天生产25个，则比计划时间早一天完成，则计划生产的天数是 天.
12.如图，是的直径，点、在上，且，连接、、，若，则的度数为 ．
13.已知反比例函数（为常数，）的图象在各象限内，随的增大而增大，则的值可以是 ．（只写一个）
14.如图，在面积为12的正方形ABCD中，以BC为一边向正方形内作等边△BCE，点F是对角线BD上的动点，连接AF、EF，则AF+EF的最小值为 .
三、计算题：本大题共1小题，共3分。
15.解不等式组：．
四、解答题：本题共11小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题3分)
计算：0.
17.(本小题3分)
化简：.
18.(本小题3分)
如图，已知△ABC，利用尺规作图法在BC边上求作一点D，连接AD，使得∠ADC=2∠B.（不写作法，保留作图痕迹）
19.(本小题3分)
如图，在△ABD和△ACD中，AB=AC，BD=CD，求证：AD平分∠BAC.
20.(本小题9分)
某校为了落实“五育并举”的教育举措，课后开设了A．围棋、B．航模、C．书法、D．阅读四个兴趣小组，学生可以任选一个兴趣小组参加，小明和小阳决定通过抽卡片的方式进行选择、抽卡片规则为：将带有这四个兴趣小组图案的不透明卡片背面朝上（四张卡片除正面图案不同外，其余均相同），洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽取一张卡片，记下对应的兴趣小组后放回，洗匀后小阳再随机抽取一张，记下对应的兴趣小组．
(1) 小明抽到围棋兴趣小组的概率是 ；
(2) 围棋、航模、书法的活动教室都在三楼，阅读教室在二楼，请用画树状图或列表的方法求出小明、小阳抽到的兴趣小组不在同一楼层的概率．
21.(本小题9分)
如图1是某地的一座单塔双索自锚式混凝土悬索桥实景图．在学习完“利用三角函数测高”知识后，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对该桥上的铁塔高度进行了测量，图2是其设计的测量示意图．已知铁塔垂直于桥面（即）．测角仪、在两侧．，点与点相距（点，，在同一条直线上），在D处测得铁塔顶点的仰角为，在处测得铁塔顶点的仰角为，，．图中所有的点都在同一平面内．求铁塔的高度．（参考数据：，，）
22.(本小题9分)
近海处有一艘渔船正向公海方向行驶，一艘快艇从海岸出发追赶渔船．图中、分别表示快艇、渔船相对于海岸的距离（海里）与快艇追赶的时间（分）之间的关系．根据图象解答下列问题：
(1) 求的函数解析式；
(2) 当渔船距离海岸12海里时进入公海，照此速度，快艇能否在渔船进入公海前追上它？请说明理由．
23.(本小题9分)
2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，意义非凡某校为了解本校学生对抗战知识的掌握情况，组织了有关抗战知识的竞答活动，并随机抽取了30名同学的成绩，形成了如下的调查报告：
课题 某校学生对抗战知识掌握情况
调查方式 抽样调查
调查对象 xx学校学生
数据的整理与描述 分组成绩/分频数组内总分/分A5325B7525C950D7660

请根据调查报告，解答下列问题：
(1) 补全频数直方图，所抽取学生成绩的中位数落在_____组；
(2) 求所抽取学生成绩的平均分；
(3) 若该校有1200名学生参加了此次竞答活动，请你估计成绩不低于90分的学生有多少名？
24.(本小题9分)
如图，内接于，是的直径，点是上一点，交的延长线于点，点是上一点，连接，．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若，点是的中点，求的长．
25.(本小题9分)
如图是某林场一处斜坡的截面示意图，其中为该斜坡坡面所在直线．、分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度．斜坡顶部处有一竖立的喷水装置，喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流呈抛物线状），用于浇灌林场内种植的植物．当喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚处，此时水流最高点到的水平距离为米．已知米，米，米，点在上．以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1) 求水流所在抛物线的函数解析式；
(2) 若在距离喷水装置水平距离为米位置的斜坡上有一棵高为米的小树苗，小树苗与轴垂直，请你通过计算判断喷水装置此次喷出的水流是否会喷到．
26.(本小题9分)
(1) 【问题提出】如图，点是线段上一点，分别以、为直角边在上方作和，，若，，求的值；
(2) 【问题探究】如图，在中，，点是边的中点，连接，过点作，且，连接、，求证：；
(3) 【问题解决】如图，正方形是某公园的一片空地，现对其进行规划，在边上的点处设立入口，沿修一条小路，在区域种植郁金香，在的中点处修一座观景台，沿修一条小路，再从修一条与小路垂直且相等的小路（与在异侧），在、与围成的区域种植牡丹花．已知，求点到入口的距离．（小路的宽度与观景台的大小忽略不计）
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】
10.【答案】32
11.【答案】9
12.【答案】50
13.【答案】4（答案不唯一，大于3的数均可）
14.【答案】2
15.【答案】解：解不等式，
去括号，得：，
移项，合并同类项，得：，
系数化为，得：，
解不等式，
去分母，得：，
移项，合并同类项，得：，
系数化为，得：，
原不等式组的解集是．

16.【答案】2+1．
17.【答案】．
18.【答案】
19.【答案】在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC．
20.【答案】【小题1】

【小题2】
画树状图如下：
由上图可知共有16种等可能的结果，其中小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的结果有6种，
（小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层）．

21.【答案】解：连接交于点，则，
由题意得：，，
设，则，
在中，，
．
在中，，
，
，解得，则，
，
铁塔的高度为．

22.【答案】【小题1】
解：（1）设的函数解析式为，
将点和代入上式，得，
解得，
的函数解析式为；
【小题2】
快艇能在渔船进入公海前追上它．
理由：由图可得快艇的速度为（海里/分），
（分钟），
将代入得：，
解得，
，
快艇能在渔船进入公海前追上它．

23.【答案】【小题1】
解：由题意知，
∵一共30名同学，从小到大排列后，中位数为第15位和第16位数的平均数，
，，
∴所抽取学生成绩的中位数落在C组（或）．
【小题2】
解：，
答：所抽取学生成绩的平均分为82分．
【小题3】
解：（名），
估计成绩不低于90分的学生有280名．

24.【答案】【小题1】
证明：连接，
∵，
．
，
．
，
，
，则，
是的切线；
【小题2】
解：，是的直径，点是的中点，
，，，则．
，，由勾股定理得，
．
，，
，
，
．

25.【答案】【小题1】
解：由题意可得点的坐标为，水流所在抛物线顶点的横坐标为，（米），
∴点的坐标为，
设水流所在抛物线的函数解析式为，
将、代入上式，得，
解得，
∴水流所在抛物线的函数解析式为或；
【小题2】
解：由题意可得点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
将点、代入，得，
解得，
∴直线的函数解析式为，
将代入，得，
将代入，得，
∵，
∴喷水装置喷出的水流不会喷到小树苗．

26.【答案】【小题1】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
证明：∵，点是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，即，
∴，即，
∴；
【小题3】
解：由（）可知，则是直角三角形，
∵四边形是正方形，，
∴，
在和 Rt中，，，
∴，
∴，
由（）可知，以点为圆心，为半径作圆，
则点、、、均在上，
∴，
∴，
过点作分别交、于点、，
则四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
同理得到，
∵，
解得，
∴点到入口的距离为．

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