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(共9张PPT)
第二部分 二轮提分训练（福建中考热点）
专题2 式的恒等变形
【中考热点1】运用因式分解恒等变形
1. 设为大于2的整数,试证明 能被8整除.
证明:
为大于2的整数
, 中一个为奇数,一个为偶数
为偶数
能被8整除.
2. 求证:四个连续整数的积加上1是一个整数的平方.
证明:设这四个连续整数依次为,,, ,则
即四个连续整数的积加上1是一个整数的平方.
【中考热点2】运用整体代换恒等变形
3. 已知,求 的值．
解:
.
4. 已知，，， 互不相等．求证： ．
证明：设 ，
则，，
，，
．
5. [2025鲤城模拟]已知，求 的值．
解：
即
．
【中考热点3】运用乘法公式恒等变形
6. 已知 ,求下列各式的值：
解:
（1） ；
原式 ；
（2） .
原式 .
7. 已知,求代数式 的值.
解:
.
8. 已知,求 的值.
解:
的值为 .
n为大于2的整数
.n+3,n一2中一个为奇数，一个为偶数
.(n+3)(n-2)为偶数
(2n+1)2一25能被8整除.
解：a2+a-1=0
.a2+a=1
.a3+2a2+2026=a(a2+a+a2+2026
=a+a2+2026
=1+2026
=2027.
证明：设+也
b+c
C十a
"a-b
2(b-c
3(c-a
a+b=k(a-b),b+c=2k(b-c),c+a=3k(c-a)
6(a+b)=6(a-b,3(b+C)=6k(b-c),2(c+a=6k(c-a)
6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=
6k(a
.80+9b+5c=0.
解：-=V5
(a-
5
+2=7+2=9
解x+二=√5
x+)2=x2+2
2=1
x2+-)-(2+)+c-)=35(-)
的值为士3√5(共13张PPT)
第二部分 二轮提分训练（福建中考热点）
专题18 圆的有关计算
1. 如图,是的直径,点在的延长线上,是的切线, 为切
点, .
（1）求 的度数；
解:连接
是 的切线
,
设 ,则
解得
的度数为 ；
（2）若的半径为3,求 的长.
.
2. [2025成都中考]如图,的半径为1,,,是 上的三个点,四边形
为平行四边形,连接 ,求图中阴影部分的面积.
解:连接,交于点
四边形 为平行四边形
,
是等边三角形
.
3. [2025广西中考]绣球是广西民族文化的特色载体.如图,设计某种绣球叶
瓣时,可以先在图纸上建立平面直角坐标系,再分别以原点, 为圆
心、以5为半径作圆,两圆相交于, 两点,其公共部分构成叶瓣①
（阴影部分）,同理得到叶瓣②.
（1）写出, 两点的坐标；
解: 以原点, 为圆心，以5为半径作圆
,
，即 为正方形
, ;
（2）求叶瓣①的周长；（结果保留 ）
叶瓣①的周长为 ；
（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到.
叶瓣②还可以由叶瓣①绕点逆时针旋转 得到（答案不唯一）.
4. 如图,在中,是直径,点在上.在的延长线上取一点 ,连接
,使 .
（1）求证:直线是 的切线；
证明:连接
是 的直径
,
是 的半径
直线是 的切线；
（2）若 , ,求图中阴影部分的面积.
解: ,
.
在中,(共14张PPT)
第二部分 二轮提分训练（福建中考热点）
专题7 函数的图象与性质（1）
1. 如图,菱形顶点,,都在反比例函数 的图象
上,若 ,对角线,则与 之间的函数关系式为_________
____.
第1题
[解析] 连接,交于点,则 ,
，过作轴,过作 轴,两线
交于点,过作轴，交于,则 ,
由菱形与反比例函数图象的对称性可知,直线 的解
析式为
是等腰三角形
在中, ,
,,可得
点, 在反比例函数图象上
解得 .
2. 设,,,是反比例函数 图象上的任意四点,现有以下结论:①存
在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形 是菱形；
③存在无数个四边形是矩形；④至少存在一个四边形 是正方
形.其中所有正确结论的序号是______．
①③
[解析] 如图,,过点 任意作两条直线分别交
反比例函数图象于点,,,
由反比例函数图象的对称性可知： ,
四边形 是平行四边形，且有无数多个
当直线和直线关于直线 对称时，
四边形 是矩形，且有无数多个
反比例函数图象在一、三象限，直线与
不可能垂直
四边形 不存在菱形和正方形的可能性
故答案为：①③．
第3题
3. 如图,,为反比例函数 的图
象上两点,直线分别交轴,轴于点, ,若
, 的面积为3,则反比例函数的
解析式为_ _____.
[解析] 过点作轴,垂足为
, 的面积为3
,即点
为 的中点
由中点坐标公式得：点
代入，得
解得
反比例函数的解析式为 .
第4题
4. [2025长沙模拟]如图,在平面直角坐标系
中,矩形 的两边落在坐标轴上,反比例函数
的图象在第一象限的分支交于点 ,交
于点,直线交轴于点,交轴于点 ,连
接.则下列结论: ;②四边形
为平行四边形;③若,则 ;④若
①②④
,,则 .其中所有正确结论的序号是________.
[解析] 四边形是矩形，反比例函数
设，，则点，
，设直线的解析式为
解得
直线的解析式为
代入，得
,则
，即
四边形 是平行四边形
,故①正确;
同①可证,四边形 是平行四边形,故②正确;
,
,故③错误;
,,
连接，则
,故④正确.(共8张PPT)
第二部分 二轮提分训练（福建中考热点）
专题3 解方程（组）与不等式（组）
【中考热点1】解二元一次方程组
1. 解方程组：
解：把①代入②，得
解得
把代入①，得
原方程组的解为
2. [2025浙江中考]解方程组：
解：由，得
把 代入②，得
解得
原方程组的解为
【中考热点2】解一元一次不等式（组）
3. [2025天津中考]解不等式组：
解：解不等式①，得
解不等式②，得
不等式组的解集为 .
4. [2025甘肃中考]解不等式组：
解：解不等式①，得
解不等式②，得
不等式组的解集为 ．
5. [2025重庆中考]求不等式组 的所有整数解．
解：解不等式①，得
解不等式②，得
不等式组的解集为
不等式组的所有整数解为 ，0，1．
【中考热点3】解分式方程
6. [2025长沙中考]解方程： ．
解：方程两边同乘，得
解得
检验：当时，
原分式方程的解是 ．
7. [2025广东中考]在解分式方程 时，小李的解法如下：
判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．
解：小李的解答过程不正确；
正确的解答过程：
方程两边同乘，得
整理，得
移项，并合并同类项，得
检验：当时， ．
原分式方程无解．(共12张PPT)
第二部分 二轮提分训练（福建中考热点）
专题8 函数的图象与性质（2）
1. [2025福州二检]已知抛物线上有三点 ,
,.若,则,, 的大小关系是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知抛物线开口向上,且经过原点,对称轴是直线
抛物线上有三点,,
,
抛物线与 轴的另一个交点在2和6之间
故选B.
2. [2023福建中考]已知抛物线 经过
,两点,若, 分别位于抛物线对称轴的两侧,且
,则 的取值范围是____________.
[解析] 抛物线的对称轴为直线
抛物线开口向上
由 ,下列分两种情况考虑
①若点在对称轴的左侧,点在对称轴 的右侧
由题意,得 ,此不等式组无解;
②若点在对称轴的左侧,点在对称轴 的右侧,
由题意,得,解得
的取值范围为 .
3. [2025泉州二检]已知点,, 在二次函数
的图象上,, ,则下列判断
正确的是( )
D
A.不存在实数,使得
B.存在实数,使得
C.无论非零实数为何值,都有
D.无论非零实数为何值,都有
[解析] 当时,
抛物线与轴的交点坐标为
抛物线经过
抛物线对称轴为直线
,
，
点到直线的距离小于点到直线 的距离,
当时,;当时,
故选D.
第4题
4. [2025凉山中考]二次函数 的
部分图象如图所示,其对称轴为直线 ,且图象
经过点,下列四个结论: ；
；③若 ,且
,则；④若点, 在
抛物线上,则 .其中所有
正确结论的序号是________.
①②③
第4题
[解析] 由图象可知,, ,对称轴为直线
, ,故选项①,②正确;
,
和关于对称轴直线 对称
,故选项③正确;
点,在抛物线 上,
,故选项④错误.
第5题
5. [2025烟台中考]如图,二次函数 的部
分图象与轴的一个交点位于和 之间,顶
点的坐标为.下列结论: ;②对于任意实
数,都有; ;④若该二
次函数的图象与轴的另一个交点为,且 是等边
三角形,则 .其中所有正确结论的序号是________.
①③④
第5题
[解析] 由图象可知,,
,故①正确;
顶点的坐标为
当时, 最大
当时,
,故②错误;
,
,
,故③正确;
如图, 为等边三角形
设抛物线对称轴与轴交于点
记,的横坐标分别为,
则，
,故④正确.(共14张PPT)
第二部分 二轮提分训练（福建中考热点）
专题16 圆的性质
1. 如图,,,,是上的四点,.求证: .
证明:
即
.
2. 如图,圆形拱门最下端在地面上,为的中点, 为拱门最高点,线段
经过拱门所在圆的圆心,若, ,求拱门所在圆的半径.
解:连接
为的中点,为拱门最高点,线段 经过拱门所在圆
的圆心,
,
设拱门所在圆的半径为
在中,
解得
拱门所在圆的半径为 .
3. 如图,是半圆的直径,点,在半圆上,,与交于点 .
（1）求证: ；
证明:连接
是半圆 的直径
；
（2）若 ,求 的度数.
解:
.
4. 如图,在中,直径于点,,,求弦 的长.
解:连接
,
设的半径为,则
在中,
解得
,
在中, .
5. 如图,四边形内接于,,,垂足为 .求证:
.
证明:设
，
.
6. [2025花都模拟]如图,在中, ,以
为直径作,交于点,交 的延长线于点
,连接, .
（1）求证: ；
证明:是 的直径
；
（2）若,,求 的长.
解:,,
在 中,
.
B
C
A
o
D
证明：AB=CD
AB=CD
AB+BC=CD+BC
即AC=BD
AC=BD
C
0
A
D
B
C
0
A
D
B
.CD⊥AB,AD=BD=0.5
m
设拱门所在圆的半径为rm
OA OC=rm
.0D=CD-0C=2.5-r
(m)
在Rt△OAD中，OA2=AD2
+o1
.r2=0.52+（2.5
解得r=1.3(m)
.拱门所在圆的半径为1.3m
D
C
E
A
B
D
C
E
A
0
B
证明：连接0C
:AB是半圆O的直径
.∠ACB=90°
∠DOA=∠DOC
OA
1=0C
,∠AE0=90°
∠ACB
=∠AE0
OD//BC;
解xOD/BC
.∠AOD=∠B=70
CD
◆
∠COD=∠AOD=70°
∠CAD=号∠C0D=35
A
0
E
C
D
B
A
E
C
D
B
解：连接OD
AB⊥CD.CD=6
.CE=ED=CD
=3
设⊙O的半径为r,则OE=OB一BE
一1
在Rt△OED中，OD2=ED2+OE2
-1)2解得r=5
.0A=5,0E=4
AE=0A+OE=9
在Rt△AEC中，AC=√AE2+CE2=V92+32=3V10,(共15张PPT)
第二部分 二轮提分训练（福建中考热点）
专题12 全等三角形（2）
【中考热点1】以平行四边形为背景
1. 如图,在中,平分,交于点,平分,交于点 .
求证: .
证明: 四边形 是平行四边形
,,
平分,平分
,
在和 中
.
2. [2025济南模拟]如图，在中，延长至点，延长至点 ，
使得，连接，与对角线交于点．求证： ．
证明： 四边形 是平行四边形
，
在和 中
．
【中考热点2】以矩形为背景
3. [2025惠安模拟]如图，矩形中，点，在边 上，且
．求证： ．
证明： 四边形 是矩形
，
，即
在与 中
．
【中考热点3】以菱形为背景
4. 如图，在菱形中，点，分别在边，
上，连接，，，且 ．求证：
．
证明： 四边形 是菱形
，
在与 中
．
【中考热点4】以正方形为背景
5. [2025广安中考]如图，点，在正方形的对角线 上，
，，连接，，， ．
（1）求证： ；
证明： 四边形 为正方形
，
在和 中
；
（2）若四边形的周长为，求 的长．
解：连接交于点
四边形为正方形，
,
,
四边形 是菱形
四边形的周长为
在 中，
．
A
F
D
B
E
C
证明：四边形ABCD是平行四边形
.AB=CD,∠B=∠D,∠BAD=∠BCD
·AE平分∠BAD,CF平分∠BCD
·∠BAE=÷∠BAD,∠DCF=÷∠BCD
2》
.∠BAE=∠DCF
在人ABE和△CDF中
BAE=∠DCF
△ABE≌△CDF(ASA)
AE-CF
F
D
C
A
B
E
证明：四边形ABCD是平行四边形
AB//CD,AB CD
、人E=∠F
BE=DF
∴.AB+BE=CD+DF
AE=CF
在人AOE和△COF中
∠AOE=∠COF
ㄥE=∠F
AE=CF
●●
△AOE≌△COF(AAS
..OE=OF.
A
B
D
F
E
C
证明：四边形ABCD是矩形
.AD=BC,∠C=∠D=90°
.DE一FE=CF一FE,即DF=CE
在△ADF与△BCE中
AD
二
.△ADF≌△BCE(SAS)
AF=BE
A
E
D
F
B
C
证明：：四边形ABCD是菱形
.AB=BC,∠A=∠C
在人ABE与△CBF中
∠A
=∠C
AB
CB
AB五
=∠CBR
,△ABE≌△CBF(ASA)
∴.BE=BF
.∠BEF=∠BFE(共17张PPT)
第二部分 二轮提分训练（福建中考热点）
专题19 二次函数中的面积计算
1. 如图,在平面直角坐标系 中,二次函数
的图象与轴, 轴分别交于点
,与点,连接,点为直线 下方抛物
线上一点.
（1）该抛物线的解析式为_______________；
（2）当与的面积相等时,求点 的坐标.
解:当时,
直线的解析式为
过点作直线的平行线,则设直线 的解析式为
代入点,得
直线的解析式为
令点与线段的距离为，点与线段 的距离为
由向上平移 个单位得到
将直线向下平移6个单位得到直线
直线的解析式为
由,解得,
点的坐标为或 .
2. 如图,抛物线与 轴交于点
和点,与轴交于点,点 是抛物线的
顶点.
（1）该抛物线的解析式为_______________；
（2）连接,,直线交抛物线的对称轴于点,若点是直线 上方
抛物线上一点,且,求点 的坐标.
解:由抛物线的解析式知,点, ,抛物线
的对称轴为直线
过点作直线交轴于点,在点上方取点 使
,过点作直线交抛物线于点,则点
为所求点
的坐标为,的坐标为
直线的解析式为
,的坐标为
直线的解析式为
点的坐标为,则,则
点的坐标为
直线的解析式为
由
解得或
点或 .
3. 如图,抛物线与轴交于,两点（点在点 的左
边）,与轴交于点,是第一象限内的抛物线上的一动点,连接交 于
点,交轴于点 .
（1）连接,,若,求点 的坐标；
解:在中,当时,
的坐标为
点在抛物线 上
当时,
解得,
是第一象限内的抛物线上的一动点
点的坐标为 ；
（2）设,的面积分别为,,求 的最大值.
连接
在中,当时, ,
点的坐标为,点的坐标为
设直线的解析式为
点在直线上
直线的解析式为
点的坐标为
由得 或
是第一象限内的抛物线上的一动点
的最大值为 .(共17张PPT)
第二部分 二轮提分训练（福建中考热点）
专题14 尺规作图（1）
【中考热点1】直接考查5种基本尺规作图及应用
1. [2025秦皇岛模拟]如图，在中， ， ，
．
（1）尺规作图：作的平分线交于点 ；（保留作图痕迹，不写
作法）
解：如图所示，的平分线
即为所求；
（2）在（1）的条件下,求 的长．
过点作于点
平分, ,
解得
．
2. 如图，在中，平分，交于点 ．
（1）实践与操作：作线段的垂直平分线，交边 于
点，交边于点，连接， ；（要求：尺规作图
并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
解：如图所示，线段的垂直平分线 即为所求；
（2）猜想与证明：在（1）的条件下,试猜想线段与 的数量关系，
并加以证明．
猜想： .
证明：垂直平分
，
平分
同理
四边形 是平行四边形
．
3. 如图，在中，，以为直径的交于点 ，交
于点，直线与相切于点 ．
（1）尺规作图：在直线上确定一点，使 ；（保留作图
痕迹，不写作法）
解：如图所示，点 即为所求；
（2）在（1）的条件下,若，，求 的长．
连接
为 的直径
，
直线与相切于点
．
4. 如图,在中, .
（1）在上截取,使,作射线,过点
作交于点,垂足为 ；（要求:尺规作
图,不写作法,保留作图痕迹）
解:如图所示,线段,射线,线段,点 即为所求；
（2）在（1）所作的图形中,求证:平分 .
证明: 四边形 为平行四边形
,
,
由（1）作图知
平分 .(共11张PPT)
第二部分 二轮提分训练（福建中考热点）
专题4 方程（组）与不等式（组）的应用
【中考热点1】列二元一次方程组解应用题
1. [2025自贡中考]某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的
小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形，若大平行四边形短边长
，求小地砖的短边长.
解：设小地砖的长边长为，短边长为
根据题意，得解得
答：小地砖的短边长为 ．
2. [2025成都中考]中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题
目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一
万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩
价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10 000钱．问良田、
劣田各有多少亩？
解：设良田有亩，劣田有 亩
根据题意，得
解得
答： 良田有12.5亩，劣田有87.5亩．
【中考热点2】列方程（组）及一元一次不等式解应用题
3. 如图，书架内宽 ，在该书架上按图示方式摆
放数学书和语文书，已知每本数学书厚 ，每本
语文书厚 ．
（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，书架
上数学书和语文书各多少本？
解：设书架上数学书本，则语文书 本
根据题意，得，解得
答：书架上数学书60本，语文书30本；
（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
设数学书还可以摆 本
根据题意，得，解得
答：数学书最多还可以摆90本．
4. [2025湖北中考]某商店销售A，B两种水果，单价分别为14元/千克和
18元/千克．
（1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付
款46元．这两种水果各买了多少千克？
解：设A种水果买了千克，B种水果买了 千克
根据题意，得解得
答：A种水果买了2千克，B种水果买了1千克；
（2）妈妈让小明再到这家商店买A，B两种水果，要求B水果比A水果多
买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果 千克，若这两种水果
按标价出售，求 的取值范围．
因为小明买A水果千克，所以小明买B水果 千克
根据题意，得，解得
的取值范围为 ．
【中考热点3】列分式方程解应用题
5. [2025重庆中考]列方程解下列问题：某厂生产甲、乙两种文创产
品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50
个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品
的数量多100个．
（1）该厂每天生产的甲、乙文创产品的数量分别是多少个？
解：设该厂每天生产甲种文创产品 个，则每天生产乙种文创产品为
个
根据题意，得
解得
答：该厂每天生产甲种文创产品100个，每天生产乙种文创产品50个；
（2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每
天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，
且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产
品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1 400个，乙比甲
多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量．
设每天生产的乙种文创产品增加 个，则每天生产的甲种文创产品增加
个
根据题意，得
解得
经检验， 是所列方程的解，且符合题意．
答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个．(共10张PPT)
第二部分 二轮提分训练（福建中考热点）
专题20 综合与实践
1. 综合与实践.
项目主题:对某智能蔬菜大棚浇灌方式的改进研究.
调查信息:图1所示是某智能蔬菜大棚在竖直方向上的截面示意图,保温墙
的高度为,蔬菜种植区,人行道 .当水压一定时,
大棚顶部喷灌管的喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线.分别以 ,
所在直线为轴, 轴建立平面直角坐标系（所有点均在同一竖直平面
内）.当水压最大时,抛物线恰好经过点,且与轴交于点 .当水压最小时,
抛物线与轴交于点,（点在点左侧）,且水流到地面的高度 与
距保温墙的水平距离之间的函数解析式为 .#1.1.1
解决问题:#1.2
（1）求点, 的坐标；
解:在中,当时,解得,
点,的坐标分别为, ；
（2）当水压最大时,需要在保温墙上做防水处理,求处理区域的高度
（即线段 的长）；
根据题意,得
点的坐标为
当水压最大时,设抛物线的函数解析式
为
把点代入,得解得
当水压最大时，抛物线的函数解析式为
当时,
答:需在保温墙上做防水处理区域的高度为 ；
（3）为发挥水压最小时蔬菜更容易吸收水分且节水的特点,对喷水设施
作如下改造:如图2,经过点,安装直线形支架,在上安装轨道 ,喷
头可以在上自由滑动,在保证水压最小时,当喷头滑到点 时,喷出的水
流左端恰好经过点,当喷头滑到点时,喷出水流的右端恰好经过点 ,求
轨道两端点, 的坐标.
设直线的函数解析式为
把点,代入,得
解得
直线的函数解析式为
设喷头所在点的坐标为
当水压最小时,设水流所在抛物线的函数解析式为
把点代入,得
解得, （不合题意,舍去）
把代入,得
点的坐标为
把点代入,得
解得, （不合题意,舍去）
把代入,得
点的坐标为 .(共9张PPT)
第二部分 二轮提分训练（福建中考热点）
专题5 一元二次方程根的判别式
及根与系数的关系
【中考热点1】一元二次方程根的判别式
1. 求证：无论取何值，关于的方程 总有两个
实数根.
证明：
无论取何值时，
无论取何值，关于的方程 总有两个实数根.
2. [2025山东中考]若关于的一元二次方程 有两个不相
等的实数根，求实数 的取值范围．
解： 关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根
解得
实数的取值范围为 ．
3. [2025厦门模拟]已知整式 ．
（1）化简该整式；
解：
；
（2）若该整式的值为正数，判断关于的方程 的根
的情况，并说明理由．
方程有两个不相等的实数根，理由：
该整式的值为正数
，即
关于的方程
，
该方程有两个不相等的实数根．
4. 已知关于的一元二次方程有实数根，求 的
取值范围.
解： 关于的一元二次方程 有实数根
且
解得且 .
【中考热点2】一元二次方程根与系数的关系
5. 已知，是方程的两个实数根，求 的值.
解：，是方程 的两个实数根
，
.
6. 已知，是关于的方程 的两实数根，且
，求 的值.
解：，是关于的方程 的两实数根
，解得
由一元二次方程根与系数的关系，得，
解得 .
7. [2025遂宁中考]已知关于的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
证明：一元二次方程
，，
无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根为，，且，求 的值．
解： 方程的两个实数根为，
，
，即
整理，得
解得，
的值为 或1．(共10张PPT)
第二部分 二轮提分训练（福建中考热点）
专题1 数与式的运算
【中考热点1】实数运算
1. 计算:
（1）[2025内蒙古中考] ；
解:原式
；
（2）[2025苏州中考] ；
解:原式
；
（3）[2025山东中考] ；
解:原式
；
（4） ；
解:原式
；
（5） ；
解:原式
；
（6） .
解:原式
．
2. [2025连云港中考]计算: ．
解：原式
．
3. 计算: .
解:原式
.
4. 计算: .
解:原式
.
【中考热点2】分式化简
5. [2025山东中考]先化简，再求值：，其中 ．
解:原式
当时，原式 ．
6. [2025遂宁中考]先化简，再求值：，其中 满
足 ．
解：原式
，
原式 ．
7. [2025贵州中考]先化简：，再从 ，0，2中选取一个使原
式有意义的数代入求值．
解:原式
且
且
取时，原式．（或取，原式 ）
8. 先化简，再求值：，其中 ．
解:原式
当时，原式 ．
9. 先化简,再求值:,其中 .
解:原式
当时,原式 .
解：原式=
(+)
(a-2)2
a2
(a-2)2
a-2
az(
a-2)
a-2
一
a2-4=
.a=一2
原式=经
4
解：原式=[
a+2
,a(a-2)
a(a-2)
2
a2-(a+2)(a-2)(a-2)
a(a-2)2
2
4
a(a-2)
a(a-2)2
a-2
当a=2+2时，原式-=V2(共11张PPT)
第二部分 二轮提分训练（福建中考热点）
专题6 方程（组）与函数的应用
1. [2021福建中考]某公司经营某种农产品,零售一箱该农产品的利润是70
元,批发一箱该农产品的利润是40元.
（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4 600元,问:该公司
当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少
解:设该公司当月零售这种农产品箱,则批发这种农产品 箱,根
据题意,得
解得
当时,
答:该公司当月零售这种农产品20箱,批发这种农产品80箱;
（2）经营性质规定,该公司零售的数量不能多于总数量的 .现该公司
要经营1 000箱这种农产品,问:应如何规划零售和批发的数量,才能使总利
润最大 最大总利润是多少
设该公司获得利润为元,当月零售这种农产品 箱,根据题意,得
即
根据题意,得
随着 的增大而增大
当时,取最大值,此时
批发这种农产品的数量为 （箱）
答:该公司零售、批发这种农产品的箱数分别是300箱,700箱时,最大总利
润为49 000元.
2. [2025易门模拟]某商场计划购进甲、乙两种空调共50台,这两种空调的
进价、售价如下表所示:
类型 进价（元/台） 售价（元/台）
甲 2 300 2 800
乙 3 300 4 000
（1）若该商场此次进货共用去13万元,求这两种空调各购进多少台;
解:设购进甲空调台,购进乙空调 台.根据题意,得
解得
答:购进甲空调35台,购进乙空调15台；
（2）若商场规定每种空调至少购进10台,并且在当月全部销售完,应怎样
进货才能使商场在销售完这批空调时获利最大,并求出最大利润.
设购进甲空调台,则购进乙空调 台.根据题意,得
解得
设获得的总利润为 元, 根据题意,得
随 的增大而减小
当时,的值最大, ,
（台）
答:购进甲空调10台、乙空调40台才能使商场在销售完这批空调时获利最
大,最大利润为33 000元.
3. [2025南充中考]学校计划租用客车送师生到某红色基地,参加主题为
“缅怀先烈,强国有我”的研学活动,请阅读下列材料,并完成相关问题.
材 料 一 租车公司有A,B两种型号的客车可供租用,在每辆车满员情况下,每
辆A型客车比每辆B型客车多载客15人;用A型客车载客600人与用B
型客车载客450人的车辆数相同.
材 料 二
材 料 三
（1）A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少
解:设A型客车每辆载客量为人,则B型客车每辆载客量为 人,根据
题意,得
解得
经检验, 是所列方程的解,且符合题意
答:A型客车每辆载客量为60人,B型客车每辆载客量为45人;
（2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少
设租用A型客车辆,则租用B型客车 辆,根据题意,得
解得且 为整数
设本次研学活动学校的租车总费用为 元,根据题意,得
当时,随着 的增大而增大
当时,取得最小值,最小值为
答:本次研学活动学校的最少租车费用是27 000元.(共15张PPT)
第二部分 二轮提分训练（福建中考热点）
专题17 圆的切线
1. 如图,在中,,,的半径为5.求证: 是
的切线.
证明:过点作,垂足为 ,则
,,
在 中,
的半径为5
为 的半径
是 的切线.
2. 如图,直线与相切于点,为的直径,过点
作于点,延长交直线于点 .
（1）求证:平分 ；
证明:连接
直线与相切于点
平分 ；
（2）若,,求 的半径.
解:设的半径为,则 ,
在中,
解得
的半径为4.
3. [2025眉山中考]如图,为的直径,点 为圆上一点,
过点作的切线,交延长线于点,过点作 ,
交于点,连接, .
（1）求证: ；
证明:连接
是 的切线
，即
，即
；
（2）若 ,的半径为2,求 的长.
解:过点作于点,则
为 的直径
.
4. 如图,为的直径,点在上,为的中点,过点
作,交的延长线于点,延长交 的延长线于
点，连接 .
（1）求证:是 的切线；
证明:连接
为 的中点
即
为 的半径
是 的切线；
（2）若,,求 的半径.
解:连接,
为 的中点
点,,, 都在圆上
为 的直径
的半径是2.5.
0
0
A
7
C
B
在Rt△OAC中，
OC =V0A2-A
√132
2
:⊙0的半径为5
.OC为⊙0的半径
AB是⊙O的切线.
证明：连接OD
直线l与⊙O相切于点D
.OD⊥C
AE
CE
。
∠0DC=∠AEC=90°
.OD//AE
.∠ODA=∠EAD
A
0
B
/
C
D
E
A
0
B
/
C
D
E
E
C
A
B
D
E
C
A
D
O
B
证明：连接OC
CD是⊙O的切线
.OC⊥CD,即∠OCD=90°
BE//DC
.∠1=∠0CD=90°，即OCL BE
CE
解：过点O作OH⊥AC于点H,则AH=HC
:AB为⊙O的直径
,∠AEB=90°
∠BAE=
60°
∠ABE=
90°-∠BAE=
30‘
BE//DC
=∠AB
30
∠A0C=∠0CD+∠D=120°
◆
OA=OC
E
C
H
A
D
0
B
D
E
C
A
0
B
D
E
C
A
0
B
∴AE//OC
.∠ADC=∠OCF
CD
,∠ADC
.∠0CF=90°
即OC⊥DF
0C为⊙0的半径
CD是⊙O的切线；(共13张PPT)
第二部分 二轮提分训练（福建中考热点）
专题15 尺规作图（2）
【中考热点1】间接考查5种基本尺规作图及应用
1. [2025陕西中考]如图，已知 ，点在边上．在
的内部求作一点，使得 ，且 ．（要求:尺规作图,
不写作法,保留作图痕迹）
解:如图所示,点 即为所求．
2. 如图,在中, .
（1）在上求作点,使 ；
（要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）
解:如图所示,点 即为所求；
（2）在（1）的条件下,若,,求 的长.
,,
由（1）可知
.
3. 如图,已知线段,,点在线段 上.
（1）求作,并在边上截取线段 ,使得
；（要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）
解:如图所示,,线段 即为所求作；
（2）在（1）的条件下,求证:,, 相交于同一点.
证明:连接,,,,,设与相交于点
四边形 是平行四边形
,即
四边形 为平行四边形
点为 的中点
四边形 为平行四边形
与 互相平分
即经过的中点
,, 相交于同一点.
4. 如图，在中，是边上一点，请用尺规作图法，在边 ，
上分别求作点，，使得 ．（要求:尺规作图,不写
作法,保留作图痕迹）
解：如图所示，点， 即为所求．
5. 如图，是的直径，点在 上．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作射线 ，使得射线
，交于点，交弦于点 ；（保留作图
痕迹，不写作法）
解：如图所示,射线,点 即为所求作；
（2）在（1）的条件下，连接交于点 ，若
，，求 的长．
，
，
，
．
6. [2025翔安模拟]如图，在中， ．
（1）在边上确定一点，以点为圆心， 长
为半径作，使得与边相切于点 ；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
解：如图所示, 即为所求；
（2）已知，，在（1）中所作的图形中，求 的半径．
，，
由（1）知与相切于点
设的半径为
由作图知平分
解得
的半径为 ．(共15张PPT)
第二部分 二轮提分训练（福建中考热点）
专题9 数据的分析
1. 某校九年级共有四个班,各班人数比例如图1所示.在一次数学考试中,
四个班的平均成绩如图2所示.
图1
图2
（1）四个班平均成绩的中位数是____;
69
（2）下列说法:班85分以上人数最少; ,3两班的平均分差距最小;
③本次考试年段成绩最高的学生在4班.其中所有正确说法的序号是____;
②
图1
图2
（3）若用公式,分别表示各班平均成绩 分别计算1,2两班和
3,4两班的平均成绩,哪两班的计算结果会与实际平均成绩相同,请说明理由.
图1
图2
解:,2两班平均成绩为
设总人数为,则1,2两班实际平均成绩为
,2两班的计算结果与实际平均成绩不相同;
,4两班的平均成绩为
3,4两班实际平均成绩
,4两班的计算结果与实际平均成绩相同.
图1
图2
2. [2025黑龙江中考]2025年6月5日是中国的第11个环境日,育华中学八年
级学生积极参加公益活动,为了解活动时间（单位: ）,张老师随机抽取了
该校八年级 名学生进行问卷调查,用得到的数据绘制出如下两幅不完整
的统计图.
请根据相关信息,解答下列问题:
（1）_____,扇形统计图中 ____,并补全条形统计图;
200
30
解:补全条形统计图如图所示；
（2）在扇形统计图中,求参加公益活动时间为 所对应扇形圆心角的度数;
答:参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数为 ;
（3）若育华中学八年级共有学生1 200人,请根据样本数据,估计育华中
学八年级参加公益活动的时间是 的学生有多少人
（人）
答:估计育华中学八年级参加公益活动的时间是 的学生有240人.
3. [2025长春中考]某校综合实践活动中,数学活动小组要研究九年级男生
臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系.小组成
员在本校九年级男生中随机抽取20名男生,测量他们的臂展与身高,并对
得到的数据进行了整理、描述和分析,下面给出了部分信息:
名男生的臂展与身高数据如表:#1.1
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
166 169 169 171 172 173 173 173 174 174
161 162 164 166 164 165 167 169 169 170
编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
175 176 177 177 178 179 180 180 181 183
169 167 173 172 173 170 177 174 176 185
名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如表:#1.2
名男生臂展的频数分布直方图如图①:（将臂展数据分成5组:
,,, ,
）
名男生臂展与身高的散点图如图②,活动小组发现图中大部分点落在
一条直线附近的狭长带形区域内.他们利用计算机和简单统计软件得到了
描述臂展与身高之间关联关系的直线 .#1.4
根据以上信息,回答下列问题:
（1）填空:______, _____;
174.5
169
（2）该校九年级有男生240人,估计其中臂展大于或等于 的男生人数;
解:该校九年级有男生240人,估计臂展大于或等于 的男生人数为
（人）;
（3）图②中直线近似的函数关系式为,根据直线 反映的
趋势,估计身高为 男生的臂展.
在函数中,当时,
身高为男生的臂展约为 .(共12张PPT)
第二部分 二轮提分训练（福建中考热点）
专题10 随机事件的概率
1. [2025陕西中考]某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动,班委会决
定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作A,B,C,D, ）共五个
研究方向,并采取小组合作的研究方式.同学们在五张完全相同的不透明
卡片的正面绘制了如图所示的图案,卡片背面保持完全相同.已知每次抽
取前先将这五张卡片背面朝上洗匀后再抽取.
（1）从中随机抽取一张,抽到的卡片内容是“科技”的概率为_ _;
（2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张,将卡片内容作为本小组的研
究方向.小秦代表第一小组从中随机抽取一张,记下结果,放回；小博代表
第二小组从中随机抽取一张.请用列表或画树状图的方法,求这两个小组
研究方向不同的概率.
解:画树状图如下:
由树状图可知,所有可能的结果共有25种,并且它们出现的可能性相同,其
中这两个小组研究方向不同的结果有20种
（这两个小组研究方向不同） .
2. [2025泉州二检]一个不透明的袋子中，装有编号分别为数字1，2，3的
3个小球，这些小球除了所标数字不同外无其他差别，将袋子中的小球
充分搅匀．
（1）随机摸出1个小球，摸到“数字1”的概率是_ _；
（2）随机摸出1个小球（不放回），记下数字作为点的横坐标 ，再从
剩余的小球中随机摸出1个小球，记下数字作为点的纵坐标 ，求点
在一次函数 的图象上的概率．
解:记“点在一次函数的图象上”为事件 ,画树状图如下：
由树状图可知,所有可能的结果共有6种,并且它们出现的可能性相同,其中
摸出两个球的数字组成的点坐标符合事件 的结果有2种
.
3. “七巧板”是我们祖先的一项卓越创造,可以拼出许多有趣的图形,被誉
为“东方魔板”.图1是由边长为 的正方形薄板分为7块制作成的“七
巧板”,分别是五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形,图2是
一个用该“七巧板”拼成的“台灯”形状装饰图,放入长方形 中,装饰图
中三角形的顶点在边上,三角形的边和分别在边, 上,且
.
图1
图2
（1）通过观察图形得到____ ;
12
图1
图2
（2）一只蚂蚁在长方形 内爬行,已知它停在长方形内任意一点的可能
性相同,那么它停在“台灯”上与空白区域的可能性相同吗 请通过计算说明.
图1
图2
解:不相同，说明如下：
（它停在“台灯”上）
（它停在空白区域）
它停在“台灯”上与空白区域的可能性不相同.
图1
图2
4. 如图,三根同样的绳子,, 穿过一块木板,姐妹两人分别站在木板
的左、右两侧,每次各自选取本侧的一根绳子,每根绳子被选中的机会相等.
（1）姐姐从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子 的概率为_ _;
（2）在互相看不见的条件下,姐姐从左
端,, 三个绳头中随机选两个打一个
结,妹妹从右端,, 三个绳头中随机
选两个打一个结,求这三根绳子能连接成
一根长绳的概率.
解:列举得:,,, ,
,,,,
所有可能的结果共有9种,并且它们出现的可能性相同,
其中符合题意的有6种
（这三根绳子能连接成一根长绳） .(共13张PPT)
第二部分 二轮提分训练（福建中考热点）
专题13 锐角三角函数的应用
【中考热点1】解直角三角形
1. 如图,在中,,, ,求 的值.
解:过点作于点,则
,
.
2. [2025杭州模拟]如图，在中， ，
平分，， ．
（1）求 的长；
解：
在中，
，解得
;
（2）求 的值．
设与的交点为，过点作 ，垂足
为
平分，，
在中，
在 中，
．
【中考热点2】三角函数的实际应用
3. [2024湖北中考]如图，甲、乙两栋楼相距，从甲楼 处看乙楼顶
部的仰角为 ，到地面的距离为 ，求乙楼的高．
（参考数据： ）
解：过点作于点，则
在中， ，
乙楼的高约为 ．
4. [2025凉山州中考]如图1，某型号起重机吊起一货物 在空中保持静止
状态时，货物与点的连线恰好平行于地面， ，
．（参考数据： ，
，， ，
，；结果精确到 ）
（1）求直吊臂 的长；
解：由题意得，
，
在中，
答：直吊臂的长约为 ；
（2）如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点 逆时针旋转，
当 时，货物 上升了多少米？
如图，记旋转后的点，的对应点为 ，
，延长交于点
由题意得 ，
在 中，
货物上升了 ．
B
C
D
A
A
E
B
D
C
解：AD L BC
.∠ADC=90°
在Rt△ACD中，sin∠CAD=
CD
AC
3-5
解得CD=6
=VAC2-CD2=V102-62=8:
A
E
N
M
B
D
C
设AD与CE的交，点为M,过，点M作MW⊥AC,垂足
为N
:CE平分∠ACB,MD⊥LCB,MN⊥LAC
∴.MD=MN
SAACD=S△ACM+S△DCM
2×6×8=2×6DM+2×10MN=8DM
MN=MD=3
,在Rt
MD
CD
/32
-62
3W5
B
35
A
18
m
30m
甲
乙
B
35.
、
A
18
←-30m
甲
乙
4.「2025凉山州中考1如图1，某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止
状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM=3m,
∠B0M=18.17°·（参考数据：sin18.17°≈0.31，
c0s18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin36°≈0.59
c0s36°≈0.81，tan36°≈0.73；结果精确到1m(共11张PPT)
第二部分 二轮提分训练（福建中考热点）
专题11 全等三角形（1）
【中考热点1】轴对称型
1. [2025湖北中考]如图，， 平分
．求证： ．
证明：平分
在和 中
．
2. 如图，在中， 是它的角平分线，且
，，，垂足分别为， ．求
证： ．
证明：是的角平分线，，
，
在和 中
．
【中考热点2】平移型
3. 如图,点,,,在一条直线上,, ,
.求证: .
证明:
,即
,
.
4. 如图,是线段的中点,,.求证: .
证明:为 的中点
在和 中
.
【中考热点3】旋转型
5. [2025广州中考]如图，， ，
．求证： ．
证明：
在和 中
．
6. [2025苏州模拟]如图，，，垂足分别为，， ，
相交于点，且 ．
（1）求证： ；
证明：，
，
，
在和 中
；
（2）已知，，求 的长．
解：由（1）可知
．
A
B
D
C
证明：：AC平分∠BAD
.∠BAC=∠DAC
在△ABC和△ADC中
AB
∠BAC
二
∠DAC
AC=AC
△ABC≌△ADC(SAS)
∠B
A
E
F
B
D
C
证明：：AD是△ABC的角平分线，DE L AB,DF L AC
.DE=DF,∠BED=ㄥCFD=90
在Rt△BED和Rt△CFD中
E
.Rt△BED≌Rt△CFD(HL)
.EB=
A
D
B
F
E
C
证明：BE=CF
.BE+EC=CF+EC,即BC=EF
AB=DE,AC=DF
.△ABC≌△DEF(SSS)
.∠B=∠DEF
∴AB/DE.
D
E
C
B
证明：B为AC的中点
AB=BC
AD//BE
·∠A=∠EBC
BD//CE
.∠DBA=∠C
在△ABD和△BCE中
(∠A=∠EBC
AB=BC
∠DBA=∠C
.△ABD≌△BCE(ASA)
C
D
E
2
1
B
证明：∠1=∠2
.∠1+∠EBC=∠2+∠EBC
.∠ABC=∠EBD
在△ABC和△EBD中
AB=EB
∠ABC=∠EBD
BC=BD
△ABC≌△EBD(SAS)
C
F
E
A
B
D
证明：CB⊥AD,AE⊥DC
∠ABF=∠CBD=90°，∠CEF=90°
.∠A+∠AFB=90°，∠C+∠CFE=90°
.∠AFB=∠CFE
.∠A=∠C
在△ABF和△CBD中
∠ABF=∠CBD
AB:
BC
△ABF≌△CBD(ASA);

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