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(共15张PPT)
第35课时 锐角三角函数
【考点1】锐角三角函数
正弦
余弦
正切
它们统称为 的锐角三角函数.
在一个直角三角形中,当锐角的度数一定时, 的锐角
三角函数值也是固定的.
a
c
b
c
a
b
1. [典型试题]在中, ,,求 的三个三角函
数值.
解:设,
根据勾股定理,得
,, .
2. [2025广西中考]在中, ,,,则 的值
为( )
B
A. B. C. D.
第3题
3. [变式]如图,在中, , 于
,则下列式子中正确的是( )
A
A. B.
C. D.
【考点2】特殊角的三角函数值
三角函数
_ _ _ __ _ __
_ __ _ __ _ _
_ __ ___ ____
1
4. [典型试题]求下列各式的值:
（1） ；
解:原式
；
（2） .
解:原式
.
5. [2025宁德模拟]计算: .
解:原式
.
6. [变式] .
解:原式
.
【考点3】解直角三角形（5年2考）
概念 在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条__
和两个_____.
由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过
程,叫做解直角三角形.
边
锐角
解直角三角形的 常用关系 在中, ,,, 所对的边分别为
,, .则
①三条边之间的关系: __（勾股定理）；
②两锐角之间的关系:__ ；
③边角之间的关系: ,
,
， .
续表
90
7. [典型试题]在中, ,,,的对边分别为,, ,若
, ,解这个直角三角形.
解:如图,在中,
,,
.
8. [2022福建中考]如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形 ,其
中, ,,则高 约为( )
B
第8题
（参考数据:,, ）
A. B. C. D.
9. [变式]如图,在中, ,,的平分线 交
于点,,求 的长.
解:在中, ,
平分
在中,
.
10. [变式]如图,在中, ,,,点 在
延长线上,连接,,求 的度数.
解:在中,
设,,则
,解得
在中,
.(共18张PPT)
第38课时 与圆有关的位置关系
【考点1】点与圆的位置关系
点与圆的 位置关系 设的半径为,点到圆心的距离为 .
____________________________________________
①点在圆内 ______；
②点在圆上 ______；
③点在圆外 ______.
三角形的 外接圆 ①不在__________上的三个点确定一个圆；
②经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的
________；外接圆的圆心是三角形三条边的____________的
交点,叫做这个三角形的______.
同一直线
外接圆
垂直平分线
外心
续表
1. [典型试题]的半径为,根据下列点到圆心的距离,判断点
和 的位置关系:
（1）时,点在 ____；
（2）时,点在 ____；
（3）时,点在 ____.
内
上
外
2. [变式]已知的直径是8,点到圆心的距离 为方程
的一个根,则点 在( )
B
A.的内部 B. 的外部
C.上或的内部 D.上或 的外部
【考点2】直线与圆的位置关系
直线与圆的位置 关系 直线与圆的位置关系有三种,即______、______、
______.
判断直线与圆的 位置关系 设的半径为,圆心到直线的距离为 .
__ ________________________________________________________________________________________________
①直线与圆相离 ______； ②直线与圆相切
______；③直线与圆相交 ______.
相离
相切
相交
3. [典型试题]如图,在中, ,,,以点 为
圆心,分别以下面给出的为半径作圆,试问所作的圆与斜边 所在的直线
分别有怎样的位置关系 请说明理由.
（1）；（2）；（3） .
解:如图,过点作于点
在中,
即点到直线的距离
（1）当时,
与直线 相离；
（2）当时,
与直线 相切；
（3）当时,
与直线 相交.
4. [变式]在中, ,,,以点为圆心, 为半径
作圆,若与直线相离,则 的取值范围为( )
C
A. B. C. D.
【考点3】圆的切线（5年4考）
判定定理 经过半径的______并且______于这条半径的直线是圆的
切线.
性质定理 圆的切线垂直于过______的半径.
*切线长定理 从圆外一点可以引圆的______切线,它们的________相等,
这一点和圆心的连线______两条切线的夹角.
外端
垂直
切点
两条
切线长
平分
5. [典型试题]如图,是的直径, ,
.求证:是 的切线.
证明:,
为 的半径
是 的切线.
第6题
6. [2025福建中考]如图,与相切于点, 的延长
线交于点,且交于点.若 ,
则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
第7题
7. [2024福建中考]如图,点,在上, ,
直线与相切,切点为,且为 的中点,则
等于( )
A
A. B. C. D.
第8题
8. [2021福建中考]如图,为的直径,点在 的
延长线上,,与相切,切点分别为, .若
,,则 等于( )
D
A. B. C. D.
9. [2025广东中考]如图,点是斜边边上的一点,以 为半径
的与边相切于点.求证:平分 .
证明:连接
与边 相切
平分 .
【考点4】三角形的内切圆
三角形的 内切圆 与三角形各边都______的圆叫做三角形的________,内切圆的
圆心是三角形______________的交点,叫做三角形的______.
相切
内切圆
三条角平分线
内心
10. [典型试题]如图,的内切圆与,, 分别相切于点,
,,且,,.求, , 的长.
解:设,则, ,
解得
,, .
11. [变式]如图,在中, ,是 的内切圆,三个
切点分别为,,,若,,则 的面积是____.
30
第11题(共17张PPT)
第37课时 圆的基本性质
【考点1】圆的有关概念
圆 在一个平面内,线段绕它固定的一个端点 旋转一周,另一个端
点所形成的图形叫做____.固定的端点叫做______,线段 叫做
______；
______________________________
圆的位置由圆心确定,大小由半径 确定.
圆可以看作所有到定点的距离等于定长 的点的集合.
等圆 能够重合的两个圆是等圆.
圆
圆心
半径
弦 连接圆上任意两点的______叫做弦,经过______的弦叫做直径.直
径是圆内最长的弦.
弧 圆上任意两点间的部分叫____,圆的任意一条______的两个端点把
圆分成两条弧,每一条弧都叫做______.______半圆的弧叫优弧,
______半圆的弧叫劣弧.在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做
等弧.
线段
圆心
弧
直径
半圆
大于
小于
续表
1. [典型试题]如图,,是的高.求证:,,, 四点共圆.
证明:取的中点,连接,
,是 的高
和 都是直角三角形
点,,,在以为圆心, 为半径的圆上
即,,, 四点共圆.
2. [变式]已知的三个顶点,,在 上,求证:
斜边的中点是 的圆心.
证明:取中点,连接
是直角三角形, 是斜边
是 中点
与 重合
即的中点是 的圆心.
【考点2】垂直于弦的直径
圆的对称性 ①圆是________图形,任意一条______所在直线都是它的对
称轴；
②圆又是__________图形,______是它的对称中心.
垂径定理 ①垂直于弦的直径______弦,并且平分弦所对的两条____.
②平分弦（不是______）的直径________这条弦,并且平分
弦所对的两条____.
轴对称
直径
中心对称
圆心
平分
弧
直径
垂直于
弧
3. [典型试题]如图,的半径为,弦,求圆心到 的
距离及 的余弦值.
解:过点作,垂足为,则
在中, ,
点到的距离为,的余弦值为 .
第4题
4. [2025宜宾中考]如图,是的弦,半径于点 .
若,,则 的长是( )
A
A.3 B.2 C.6 D.
5. [变式]赵州桥是当今世界上建造最早、保存最完整的中国古代单孔敞
肩石拱桥.如图,主桥拱呈圆弧形,跨度约为,拱高约为 ,则赵州桥主
桥拱半径 约为( )
B
第5题
A. B. C. D.
【考点3】弧、弦、圆心角之间的关系（5年1考）
圆心角 顶点在______的角叫做圆心角.
定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧______,所对的弦也
______.
推论 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角
______,所对的弦______；
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角
______,所对的优弧和劣弧分别相等.
圆心
相等
相等
相等
相等
相等
6. [典型试题]如图,,,都是 的直径,且,弦,
, 是否相等 如果相等,请给出证明.
解: .
证明:,,都是 的直径
,,
.
第7题
7. [变式]如图,,,,都是上的点,若 ,
,则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
【考点4】圆周角的概念与性质（5年1考）
圆周角 顶点在____上,并且两边都与圆______的角叫做圆周角.
定理 同弧或等弧所对的圆周角______,都等于这条弧所对的圆
心角的______.
推论 半圆（或直径）所对的圆周角是______； 的圆周角所
对的弦是______.
圆内接四边 形的性质 圆内接四边形的对角______.
圆
相交
相等
一半
直角
直径
互补
8. [典型试题]如图,,,,是 上的四个点, ,
判断 的形状,并证明你的结论.
解: 是等边三角形.证明如下:
,
,
是等边三角形.
9. [2020福建中考]如图,四边形内接于,,为 中点,
,则 等于( )
A
第9题
A. B. C. D.
第10题
10. [2025青海中考]如图,是的直径, ,则
的度数是( )
B
A. B.
C. D.(共19张PPT)
第36课时 解直角三角形的应用
【考点1】仰角、俯角
在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上
方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角.
1. [典型试题]如图,某人在高出海平面的悬崖顶
处,观测到海面上的一艘小船位于 处,并测得它的俯角
为 ,求此时船与观测者之间的水平距离.
（参考数据:,,结果精确到 ）
解:过点作于点,根据题意,得 ,
在中,
答:此时船与观测者之间的水平距离约为 .
2. [2025天津中考]综合与实践活动中,要用测角仪测量天津站附近世纪钟
建筑的高度（如图①）.某学习小组设计了一个方案:如图②所示,点 ,
,依次在同一条水平直线上,,,且.在
处测得世纪钟建筑顶部的仰角为 ,在处测得世纪钟建筑顶部 的仰
角为 ,.根据该学习小组测得的数据,计算世纪钟建筑 的
高度（结果取整数）.（参考数据:, ）
解:如图,延长,交于点,则四边形、四边形 是矩形,
, ,
,
在中,
在中,
答:世纪钟建筑的高度约为 .
【考点2】坡度、坡角
通常把坡面的垂直高度和水平宽度 的比叫做坡度,用字母表示,
即 ,把坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作 ,于是 .
3. [典型试题]如图,一段河坝的断面为梯形 ,根据图中数据,求出坡角
和坝底宽 .
解:过点作于,则四边形 为矩形
,
在中,
,
在中,
答:坡角 为 ,坝底宽为 .
4. [2025绥化中考]如图,某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度
（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度 的比）,堤坝高
,则迎水坡面的长度是______ .
第4题
【考点3】方向角
指南（或指北）方向线与目标方向线所成的小于 的角,叫做方向角.
5. [典型试题]如图,海中有一个小岛 ,它周围8海里内有暗礁.渔船跟踪鱼
群由西向东航行,在点测得小岛在北偏东 方向上,航行12海里到达
点,这时测得小岛在北偏东 方向上.如果渔船不改变航线继续向东
航行,有没有触礁危险 （参考数据: ）
解:过点作交延长线于点
根据题意,得 ,
在中,
没有触礁危险.
6. [2025连云港中考]如图,港口位于岛的北偏西 方向,灯塔在岛
的正东方向,,一艘海轮在岛的正北方向,且,, 三点在一条
直线上, .
（1）求岛与港口 之间的距离；
解:如图,过点作,交的延长线于点 ,
则
，
在 中,
答:岛与港口之间的距离约为 ；
（2）求.（参考数据:, , ）
在 中,
在中, .
7. [变式]如图,一艘轮船在小岛的西北方向距小岛海里的 处,沿正
东方向航行一段时间后到达小岛的北偏东 的 处,则该船行驶的路
程为____________海里.
第7题(共15张PPT)
第40课时 作图
【考点1】基本的尺规作图（5年5考）
概念 只用没有刻度的______和______作图叫做尺规作图.
基本作图 1.作一条线段等于已知线段；
2.作一个角等于已知角；
3.作已知角的平分线；
4.作已知线段的垂直平分线；
5.过一点作已知直线的垂线.
直尺
圆规
1. [典型试题]如图,已知.请用尺规作图,作一个 .
（用两种不同的方法,不写作法,保留作图痕迹）
解:如图, 为所求作的图形.
图1
图2
2. [2024福建中考]如图,直线.在,所在的平面内求作直线 ,使得
,且与间的距离恰好等于与 间的距离.（要求:尺规作图,不写
作法,保留作图痕迹）
解:如图,直线 即为所求作的直线.
第3题
3. [2023福建中考]阅读以下作图步骤:
①在和上分别截取,,使 ；
②分别以,为圆心,以大于 的长为半径作弧,两
弧在内交于点 ；
③作射线,连接, ,如图所示.
A
A.且 B.且
C.且 D.且
根据以上作图,一定可以推得的结论是( )
【考点2】利用基本作图作多边形（5年4考）
类型 1.利用全等的判定条件作三角形；
2.作已知三角形的全等三角形；
3.作已知三角形的相似三角形；
4.作特殊四边形.
4. [典型试题]已知线段,求作,使, .
（要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）
解:如图, 即为所求作的三角形.
5. [2025福建中考]如图,矩形中,.求作正方形 ,使得点
,分别落在边,上,点,落在 上.（要求:尺规作图,不写作法,保
留作图痕迹）
解:如图所示,正方形 即为所求.
6. [2021福建中考]如图,已知线段,,垂足为 .
求作:四边形,使得点,分别在射线,上,且 ,
, .（要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）
解:如图,四边形 即为所作的四
边形.
7. [2020福建中考]如图,为线段外一点.求作四边形 ,使得
,且 .（要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）
解:如图,四边形 即为所求作的
四边形.
8. [2019福建中考]已知和点 ,如图.以点
为一个顶点作,使 ,
且的面积等于 面积的4倍.
（要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）
解:如图, 即为所求作的三角形.
【考点3】与圆有关的尺规作图（5年1考）
类型 1.作三角形的外接圆、内切圆；
2.作一个圆与已知直线相切；
3.作圆的切线.
9. [典型试题]已知.求作,使它经过点和点,并且圆心在
的平分线上.（要求：尺规作图,不写作法，保留作图痕迹）
解:如图所示, 即为所求作的圆.
10. [2022福建中考]如图,是矩形的对角线.求作,使得 与
相切.（要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）
解:如图, 即为所求作的圆.
11. [变式][2025龙岩二检]如图,是的弦,是 延长线上一点.过点
作的切线,切点在直线 的下方.（要求:尺规作图,不写作法,保
留作图痕迹）
解:如图,直线 即为所求.(共15张PPT)
第39课时 与圆有关的计算
【考点1】正多边形和圆（5年1考）
正多边 形和圆 的有关 概念 把圆分成 等分,顺次连接各分点所得的多边形是这个圆
的内接正边形,这个圆就是这个正 边形的外接圆.
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的______,外接
圆的半径叫做正多边形的______,正多边形每一边所对的圆心角
叫做正多边形的________,中心到正多边形的一边的距离叫做正
多边形的________.
中心
半径
中心角
边心距
1. [典型试题]如图,的半径为.求它的内接正三角形 的边长、边
心距和面积.
解:连接,,过点作于点
则
,
在中, ,
,
圆内接正三角形的边长为,边心距为 ,面积为 .
第2题
2. [2023福建中考]魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中
提到了著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方
法来近似估算.如图, 的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正
六边形面积近似估计的面积,可得 的估计值为 ,若用
圆内接正十二边形作近似估计,可得 的估计值为( )
C
A. B. C.3 D.
【考点2】弧长
圆的周长 半径为的圆,其周长 _____.
弧长公式 半径为的圆中, 的圆心角所对的弧长 _ ___.
3. [典型试题]已知圆上一段弧长为,它所对的圆心角为 ,求该
圆的半径.
解:由弧长公式,得
答:该圆的半径为 .
4. [2025连云港中考]如图,是的内接三角形, .
第4题
若的半径为2,则 的长为___.
【考点3】扇形面积
圆的面积 半径为的圆,其面积 _____.
扇形面积 若扇形的半径为,圆心角为 ,则扇形的面积公式
_ ____.
如果扇形所对的弧长为,扇形的半径为 ,那么扇形的面积公
式 _ ____.
5. [典型试题]如图,是半圆的直径,,, 为半圆的三等分点,求
图中阴影部分的面积.
解:连接,
, 为半圆的三等分点
是等边三角形
和 同底等高
阴影部分的面积 .
6. [2019福建中考]如图,边长为2的正方形的中心与半径为2的
的圆心重合,,分别是,的延长线与 的交点,则图中阴影部分的
面积是______.（结果保留 ）
第6题
7. [2025河南中考]我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时,创
立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形,所在圆的圆心为点 ,
四边形为矩形,边与相切于点,连接, ,连接
交于点.若 ,则图中阴影部分的面积为_ _________.
第7题
【考点4】圆锥的侧面积与全面积
圆锥 是圆锥的高.
是圆锥的母线,是侧面展开后所得扇形的______. 是底面圆半径. 圆锥的侧面展开图是一个______,它的弧长为圆锥 底面圆的周长. 圆锥的 侧面积 ____. 圆锥的 全面积 圆锥的________与________之和称为圆锥的全面 积. . 半径
扇形
侧面积
底面积
8. [典型试题]如图,圆锥的底面直径是 ,母线长
,求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积.
解:圆锥的底面圆的周长
它的侧面展开图的弧长为
设圆心角的度数为
则有
,即侧面展开图的圆心角的度数为
.
第9题
9. [2025广安中考]如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为
的扇形,若圆锥的母线长为5,则该圆锥的底面圆的半径为
( )
A
A. B. C. D.5
10. [变式]已知圆锥的母线长,侧面积 ,则圆锥的高是____
.
12

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