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(共15张PPT)
第10课时 分式方程
【考点1】分式方程的概念与解分式方程（5年1考）
概念 分母中含________的方程叫作分式方程. 步骤 去分 母 方程两边同乘____________，化分式方程为________
___.
解方 程 解这个整式方程，得整式方程的解.
检验 把整式方程的解代入____________，看最简公分母的
值是否为0.
结论 当最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式
方程的解，否则，原分式方程无解.
未知数
最简公分母
整式方程
最简公分母
1. [典型试题]解方程： ．
解：方程两边同乘，去分母，得
解得
检验：当时，
原分式方程的解为 .
2. [2024福建中考]解方程： ．
解：方程两边同乘 ，去分母，得
整理得
解得
检验：当时，
原分式方程的解为 ．
3. [变式]解方程： .
解：方程两边同乘 ，得
解得
检验：当时，
不是原分式方程的解
原分式方程无解.
【考点2】分式方程的应用（5年1考）
列分式方程解应用题的步骤与列其他方程解应用题类似，只是要体现
验根这一步骤.
4. [典型试题]去年暑假，小张和小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各
掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，
请问小李平均每小时掰玉米多少筐？
解：设小李平均每小时掰玉米筐，则小张平均每小时掰玉米 筐
根据题意，得
解得
经检验， 是所列方程的解，且符合题意
答：小李平均每小时掰玉米10筐．
5. [变式]我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一
十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：
现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文．如果每株椽的运费是3文，
那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问
6 210文能买多少株椽？设这批椽有 株，则符合题意的方程是( )
A
A. B.
C. D.
6. [2025江西中考]小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费
6 000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同，且
每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设
纯电汽车每百公里的耗电费为 元，可列分式方程为____________．
7. [变式]某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16 000
千瓦·时．后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9 600千
瓦·时．一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍
少32千瓦·时．求一盏A型节能灯每年的用电量．
解：设一盏B型节能灯每年的用电量为 千瓦·时，则一盏A型节能灯每年
的用电量为 千瓦·时
根据题意，得
解得
经检验， 是原方程的解，且符合题意
答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦·时．
【考点3】分式方程的解
转化 关系 解分式方程时，要将其转化为______方程.
原分式方程的解都是整式方程的解，而整式方程的解不一定是原
分式方程的解，只有那些使原分式方程的分母_________的，才
是原分式方程的解.
整式
不等于0
8. [典型试题]已知关于的分式方程解为负数，求 的取值.
解：由，得
去分母，得，解得
根据题意，得，解得
分母，即
，解得
．
9. [2025齐齐哈尔中考]已知关于的分式方程 无解，求实数
的值.
解：去分母，得
整理，得
原方程无解
整式方程无解，则，解得
②分式方程有增根，则，解得
把代入，得，解得
综上：或 ．
10. [变式]已知关于的分式方程无解，求 的值.
解：方程两边乘 ，去分母得
原方程无解
整式方程无解，则，解得
②分式方程有增根，则，解得或
把代入，得，解得
把代入，得，解得
综上所述，所求的值为0或或 .(共11张PPT)
第8课时 二元一次方程（组）
【考点1】二元一次方程（组）的有关概念
二元一次方程 含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1次,
这样的方程叫作二元一次方程.
二元一次方程组 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就
组成了一个二元一次方程组.
二元一次方程组 的解 二元一次方程组的两个方程的公共解,叫作二元一次
方程组的解.
1. [典型试题]下列方程组中,以 为解的二元一次方程组是( )
D
A. B.
C. D.
2. [2025沧州一模]已知二元一次方程组则 的值为___.
3. [变式]若是方程的解,则代数式 的值为
___.
3
1
【考点2】解二元一次方程组（5年1考）
常用方法 ____________ 通法
____________ 通法
代入消元法
加减消元法
4. [2019福建中考]解方程组:
解:,得
解得
把代入①,得
解得
原方程组的解为
5. [2025苏州中考]解方程组：
解:,得
解得
把代入①,得
解得
原方程组的解为
6. [变式]若，求 的平方根．
解：
由，得
由，得
解得
把代入②，得
解得
的平方根是 ．
【考点3】二元一次方程（组）的应用（5年2考）
列二元一次方程组解应用题步骤与列一元一次方程解决实际问题的一
般步骤类似.
7. [典型试题]一种商品分装在大、小两种包装盒内,3大盒、4小盒共装
108瓶；2大盒、3小盒共装76瓶.大、小包装盒每盒各装多少瓶
解:设大包装盒每盒装瓶,小包装盒每盒装 瓶
根据题意,得
解得
答:大包装盒每盒装20瓶,小包装盒每盒装12瓶.
8. [2022福建中考]在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中,八年
级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护.同学们约定每人养护
一盆绿植,计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆.已知绿萝每盆9元,吊兰每
盆6元.采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰,问可购买
绿萝和吊兰各多少盆
解:设购买绿萝盆,吊兰 盆
根据题意,得
解得
答:购买绿萝38盆,吊兰8盆.
9. [2025黑龙江中考]为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1 200
元全部购买足球和篮球（两种都要有）用于课外活动，其中足球80元/个，
篮球120元/个，共有多少种购买方案？
解：设购买个足球， 个篮球
根据题意，得
又， 均为正整数
或或或
共有4种购买方案．
10. [变式]小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和
卡通笔记本,这种笔芯每盒10支,如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元.小
贤要买3支笔芯,2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯,1本笔记本需
花费26元.
（1）笔记本和笔芯的单价各是多少
解:设笔记本和笔芯的单价分别为元, 元,根据题意,得
解得
答:笔记本和笔芯的单价分别为5元和3元；
（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品,但如果他们各自
为要买的文具付款后,只有小贤还剩2元钱.他们要怎样做才能既买到各自
的文具,又都买到小工艺品,请通过运算说明.
小贤和小艺合在一起购买能节省的费用为 （元）
（元）
他们合在一起购买,既买到各自的文具,又都买到小工艺品.(共17张PPT)
第11课时 一元二次方程
【考点1】一元二次方程的有关概念
概念 等式两边都是整式，只含有______未知数，并且未知数的最高次
数为___的方程，叫作一元二次方程.
一般 形式 一元二次方程一般形式：________________，其中，， 为常
数且______.
方程 的根 使一元二次方程左右两边相等的____________叫作一元二次方程
的解（根）.
一个
2
未知数的值
1. [典型试题]若2是关于的方程的一个根，则常数 ___，
这个方程的另一个根为____.
2. [2025青海中考]若是一元二次方程 的一个根，则
的值为___．
3. [变式]若关于的一元二次方程 的一个根是
，则 的值为___．
4
3
2
【考点2】解一元二次方程
一元二次方程常用解法 ______________ 特法
____________ 特法
________ 通法
________ 通法
直接开平方法
因式分解法
配方法
公式法
4. [典型试题]解方程：
（1） ；
解：
， ；
（2） .
解：，，
， .
5. [变式]解方程：
（1）[2025齐齐哈尔中考] ；
解：，，
， ；
（2） ．
解：
， .
【考点3】一元二次方程根的判别式
一元二次方程的根的判别式： ________
____.
一元二次方程根的情况 当 ___0时，方程有两个不相等的实数根；
当 ___0时，方程有两个相等的实数根；
当 ___0时，方程没有实数根.
6. [典型试题]判断一元二次方程 根的情况.
解：
方程 有两个不相等的实数根．
7. [2025广州中考]判断关于的方程 根的情况.
解：
方程没有实数根．
8. [变式]若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，
求实数 的值.
解： 关于的一元二次方程 有两个相等的实数根
且
且
．
【考点4】一元二次方程的应用（5年2考）
列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：
（1）审，（2）设，（3）找，（4）列，（5）解，（6）验，
（7）答.
9. [典型试题]超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，
为了扩大销量，增加盈利，该店采取了降价措施.经过一段时间后，发现
销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.为尽快减少库存，要使该商
店每天销售利润为1 200元，每件商品应降价多少元？
解：设每件商品应降价 元，根据题意，得
解得或
要尽快减少库存
答：每件商品应降价20元.
10. [2023福建中考]根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总
值为亿元，2022年的地区生产总值为 亿元.设这两年
福建省地区生产总值的年平均增长率为 ，根据题意可列方程( )
B
A. B.
C. D.
11. [2025福建中考]为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长
为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块 的矩
形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为 ，根据题意可
列方程( )
C
第11题
A. B. C. D.
12. [变式]如图，某人利用的旧墙 和木栏围
成一个面积为矩形菜园 ，其中
，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共
用了木栏.求 的长.
解：设，则 ，根据题意，得
解得，
当时，
当时， （不合题意，舍去）
答：的长为 .
【考点5】一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程的两个根分别为， ，
则， .
13. [典型试题]若方程的两根分别， ，则
的值为___.
14. [2025眉山中考]若方程的两根分别为， ，则
的值为____．
2
15. [变式]若一元二次方程的两根为 ， ，求
的值．
解：将 代入原方程，得
一元二次方程的两根为 ，
．(共17张PPT)
第7课时 一元一次方程
【考点1】方程的有关概念
概念 含有________的等式叫作方程.
方程的解 使方程中等号左右两边的值______的未知数的值,叫作方程
的解.
一元一次 方程 只含有______未知数,未知数的次数都是___,等式两边都是
______,这样的方程叫作一元一次方程.
未知数
相等
一个
1
整式
1. [典型试题]有一个被墨水污染过的方程: ，答案显示
此方程的解是 ，则被墨水遮盖的常数是__.
2. [2025深圳中考]若关于的方程的解为，则 ___．
3. [变式]若是关于的一元一次方程 的解,则式子
的值是_______.
4
2 023
【考点2】等式的性质
等式的 性质1 等式两边加（减）同一个数（或式子）,结果仍相等,即如果
,那么 ______.
等式的 性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个_______的数,结果仍相等,
用式子可表示为:如果,那么____；如果 ，
，那么 __.
不为0
4. [典型试题]下列各式,变形正确的是( )
A
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
5. [2025朝阳一模]等式的性质在生活中广泛应用．如图，， 分别表示
两位同学的身高， 表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图
中两人的对话体现的数学原理可表示为( )
A
第5题
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
6. [变式]若，则称与是关于 的“平衡数”．下列说法不正确
的是( )
B
A.与是关于的“平衡数” B.与是关于 的“平衡数”
C.与是关于的“平衡数” D.与是关于 的“平衡数”
【考点3】解一元一次方程
步骤 具体过程
去分母 方程两边都乘各分母的____________.
去括号 根据____________把方程中的括号去掉.
移项 把含未知数的项和常数项分别移到等号两边,注意移项要
__________.
合并同类项 把方程化为_______的形式.
系数化为1 方程两边都除以含未知数项的系数.
最小公倍数
去括号法则
改变符号
7. [典型试题]下列变形，正确的是( )
D
A.由，去分母，得
B.由，去括号，得
C.由，移项、合并同类项，得
D.由，系数化为1，得
8. [2025浙江模拟]下面是小畅解方程 的解答过程．
解：去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
两边同除以，得
小畅的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
解：小畅的解答过程有错误，正确的解答过程如下：
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
系数化为1，得 ．
9. [变式]解方程: .
解:去分母,得
去括号,得
移项,得
合并同类项,得
系数化为1,得 .
【考点4】一元一次方程的应用（5年3考）
弄清题意和题目中的数量关系,找出能够表示题目全部含义的一个
等量关系,用字母表示题目中的一个未知数,根据这个等量关系列出方程,
解这个所列的方程,求出未知数的值,写出答案（包括单位名称）.
10. [2022福建中考]某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是
70元，批发一箱该农产品的利润是40元．已知该公司某月卖出100箱这
种农产品共获利润4 600元，该公司当月零售、批发这种农产品的箱数
分别是多少？
解:设该公司当月零售这种农产品箱，则批发 箱
根据题意,得
解得，这时
答：该公司当月零售这种农产品20箱，批发这种农产品80箱.
11. [2024福建中考]今年我国国民经济开局良好,社会消费增长较快,第一
季度社会消费品零售总额120 327亿元,比去年第一季度增长 ,求去年
第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额
设为 亿元,则符合题意的方程是( )
A
A. B.
C. D.
12. [2025北京中考]为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条
（如图1）；一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条
和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、
胸腹高与尾部高的比是 ．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比
单根膀条短，图1中的长是门条长的，、 的长均等于胸
腹高．求这只风筝的骨架的总高．
解：设胸腹高为，则单根膀条长为 ，
门条， ，
，头部高为，尾部高为 ，这只风筝的骨架的
总高为
由
得
解得
这只风筝的骨架的总高
答：这只风筝的骨架的总高 ．(共14张PPT)
第9课时 一元一次不等式（组）
【考点1】不等式（组）的有关概念（5年1考）
不等式 用“___”或“___”或“___”表示大小关系的式子，叫作不
等式.
不等式的解集 使不等式成立的____________，叫作不等式的解.
一个含有未知数的不等式的__________，组成这个不
等式的解集.
不等式组的解集 几个不等式的解集的__________，叫作由它们所组成
的不等式组的解集.
可以利用______来直观表示不等式（组）解集.
未知数的值
所有的解
公共部分
数轴
1. [典型试题]下列数中，能使不等式成立的 的值为( )
D
A.4 B.3 C.2 D.1
2. [2025福建中考]不等式 的解集在数轴上表示正确的是
( )
C
A. B.
C. D.
3. [变式]不等式组的解集是，则 的取值范围是
_______．
【考点2】不等式的性质
性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不
变.
如果，那么___ .
性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
如果，，那么___，___ .
性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
如果，，那么___，___ .
4. [典型试题]设，用“ ”或“ ”填空：
（1）___ ；
（2）___ ；
（3）___ ；
（4）___ .
5. [2025广西中考]有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有克水、 克
水，．都加入 克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量
的大小关系的是( )
A
A. B. C. D.
6. [变式]若 ，则下列结论正确的是( )
C
A. B. C. D.
【考点3】解一元一次不等式（5年1考）
解一元一次不等式的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类
项和系数化为1.
7. [典型试题]解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来.
解：去分母，得
去括号，得
移项，合并同类项，得
系数化为1，得
将不等式解集在数轴上表示如图所示.
8. [2024福建中考]不等式 的解集是______.
9. [变式]求不等式 的正整数解．
解：去分母，得
移项，合并同类项，得
系数化为1，得
不等式的正整数解为1，2．
【考点4】解一元一次不等式组（5年3考）
一般步骤 先求出这个不等式组中______一元一次不等式的解集；
再利用数轴或口诀确定解集的__________，即求出了这个一
元一次不等式组的解集.
各个
公共部分
10. [典型试题]求不等式组 的整数解．
解：解不等式①，得
解不等式②，得
原不等式组的解集为
原不等式组的整数解为 ，0，1．
11. [2021福建中考]解不等式组：
解：解不等式①，得
解不等式②，得
原不等式组的解集为 .
12. [2023福建中考]解不等式组：
解：解不等式①，得
解不等式②，得
原不等式组的解集为 .
【考点5】一元一次不等式的应用（5年1考）
列一元一次不等式解应用题步骤与列一元一次方程解决实际问题的一
般步骤类似.
13. [典型试题]小明从学校图书馆借到一本有112页的图书，计划在10天
之内读完．如果开始2天每天只读8页，那么他后面几天平均每天至少要
读多少页？
解：设以后几天里平均每天要读 页.根据题意，得
解得
答：他后面几天平均每天至少要读12页.
14. [2025湖南中考]同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A、B
两种香料．已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种
材料与购买6件B种材料的费用相等．
（1）求A种材料和B种材料的单价；
解：设A种材料的单价为元，则B种材料的单价为 元
根据题意，得
解得
答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元；
（2）若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最
多能购买A种材料多少件？
设购买A种材料件，则购买B种材料 件
根据题意，得
解得
答：最多能购买A种材料20件．

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