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(共19张PPT)
第33课时 相似
【考点1】平行线分线段成比例定理
定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线
段________.
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的
对应线段________.
成比例
成比例
1. [典型试题]如图,,与交于点,且， ，
,求 的值.
解:,
.
2. [2025青海中考]如图,在中,,且,,则 的值
是_ _.
第2题
第3题
3. [变式]如图,,若,,则 的长
为( )
B
A.6 B.9 C.12 D.15
【考点2】相似三角形的性质与判定（5年4考）
性质 相似三角形的对应角______，对应边________；相似三角形对
应线段的比等于________；
相似三角形的周长的比等于________，面积的比等于_________
_____.
判定 方法 平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原
三角形______；
三边________的两个三角形相似；
两边________且夹角______的两个三角形相似；
两角分别______的两个三角形相似.
相等
成比例
相似比
相似比
相似比的
平方
相似
成比例
成比例
相等
相等
4. [典型试题]如图,在矩形中,为 上一点,
于点 .
（1）求证: ；
证明: 四边形 是矩形
,
；
（2）若,,,求 的长.
解: ,,
.
5. [2018福建中考]求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.
要求:
（1）根据给出的及线段,,以线段 为一边,在
给出的图形上用尺规作出,使得 ,不写作法,保留
作图痕迹；
解:如图所示， 就是所求作的三角形；
（2）在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知、求证和证明
过程.
已知:,相似比为,, 分别为
, 的中线.
求证: .
,
,
证明:,分别为, 的中线
即相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.
6. [变式]如图,为锐角三角形,是边上的高,正方形 的一
边在上,顶点,分别在,上.已知, ，求
正方形 的边长.
解:如图,设与交于点,则, 分别是
,的高,设正方形的边长为 ,
则
四边形 是正方形
,解得
答:正方形的边长为 .
【考点3】位似图形的概念与性质
概念 位似图形是指两个图形不仅______,而且对应顶点的连线相交于一
点,这个点叫作__________.利用位似可以将一个图形放大或缩小.
性质 在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形
位似的图形,使它与原图形的相似比为 ,那么与原图形上的点
对应的位似图形上的点的坐标为____________________.
相似
位似中心
或
第7题
7. [典型试题]如图,和是以点 为位似中
心的位似图形,点在线段上.若 ,则
与 的周长之比为_____.
第8题
8. [2025兰州中考]如图,在平面直角坐标系 中,
与位似,位似中心是原点 .已知
,则点的对应点 的坐标是
( )
B
A. B. C. D.
第9题
9. [变式]如图,将视力表中的两个“ ”放在平面直角坐标系
中,两个“”是位似图形,且相似比为 ,位似中心为坐标原
点,点与点为一组对应点,若点的坐标为,则点
的坐标为( )
A. B. C. D.
B(共17张PPT)
第31课时 轴对称
【考点1】轴对称与轴对称图形（5年4考）
轴对称 图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相
______,这个图形叫作轴对称图形,这条直线叫作________.
轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重
合,那么就说这两个图形关于这条直线______,这条直线叫作__ ________,折叠后重合的点叫作________.
轴对称 的性质 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对称
点所连线段的____________.轴对称图形的对称轴,是任何一对
对称点所连线段的____________.
重合
对称轴
对称
对称轴
对称点
垂直平分线
垂直平分线
1. [典型试题]如图所示的每个图形是轴对称图形吗 如果是,画出它的对称轴.
答:第（1）（2）（3）（5）是轴对称图形,对称轴如图所示.
2. [2024福建中考]小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平
面图案,如图.其中与都是等腰三角形,且它们关于直线 对称,
点,分别是底边,的中点, .下列推断错误的是( )
B
第2题
A. B.
C. D.
3. [变式]如图, 在平面直角坐标系中.
（1）画关于直线对称的,则点 关于直线
对称的点的坐标为___________；
解:和 如图所示.
（2）画关于直线对称的,则点 关于直线
对称的点的坐标为___________.
【考点2】线段的垂直平分线
概念 经过线段______并且______于这条线段的直线,叫作这条线段的
垂直平分线.
性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个______的距离相等.
判定 与线段两个______距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
拓展 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点
的距离相等.
中点
垂直
端点
端点
4. [典型试题]如图,在中,边, 的垂直平分线
交于点 .
（1）求证: ；
证明: 点在 的垂直平分线上
同理
；
（2）点是否也在边 的垂直平分线上 由此你还能得出什么结论
答:点也在边 的垂直平分线上.
由此可得出结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这个点
到这个三角形三个顶点的距离相等.
5. [2025连云港中考]如图，在中，， 的垂直平分线分别
交,于点,，的垂直平分线分别交,于点,，则 的
周长为( )
C
第5题
A.5 B.6 C.7 D.8
6. [变式]如图,在中,边的垂直平分线 交
于点,交于点,连接 .
（1）若,的周长为18,求 的长；
解:垂直平分
,
的周长为18
；
（2）若 , ,求 的度数.
垂直平分
,
.
【考点3】图形的对称与折叠
7. [典型试题]如图,要把一块三角形土地均匀分给甲、乙、
丙三家农户.如果 , ,要使这三家农户所得
土地的大小、形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.
解:作的平分线,交于点,再作于点
则
这三家农户所得土地的大小、形状都相同.
（或作边的垂直平分线交于点,交于点 ,连接 ）
第8题
8. [2025湖北中考]如图，折叠正方形的一边 ，使
点落在上的点处，折痕交于点 ．若
，则 的长是( )
B
A. B.2 C. D.
9. [变式]如图,在中,为边的中点,连接,将沿直线
翻折至所在平面内,得,连接,分别与交于点,与 交
于点.若,,求 的长.
解:由题意,得, ,
为 的中点
为 的中点
是 的中位线
,
在和 中
.(共17张PPT)
第34课时 投影与视图
【考点1】投影的有关概念与判断方法
概念 投影 用光线照射物体,在某个平面上得到的影子叫作物
体的______,照射光线叫作________,投影所在的平
面叫作________.
中心投影 由__________________形成的投影叫作中心投影.
平行投影 由__________形成的投影叫作平行投影.
正投影 投影线垂直于________产生的投影叫作正投影.
判断投影的方法 取物体与影子的两对对应点作两条直线,若两直线
平行（或共线）,则为平行投影；若两直线相交,则
为中心投影,其交点就是光源的位置.
投影
投影线
投影面
同一点发出的光线
平行光线
投影面
1. [典型试题]如图,投影线的方向如箭头所示,画出圆柱体的正投影.
（1）
（2）
2. [变式]把一个正六棱柱如图摆放,光线由上向下照射此正六棱柱时的正
投影是( )
第2题
A
A. B. C. D.
【考点2】三视图的有关概念与画法（5年5考）
视图 从某一方向观察一个物体时,所看到的__________叫作物体的
一个视图.
三视图 对一个物体在三个投影面内进行正投影,在正面内得到的由前
向后观察物体的视图,叫作______图；在水平面内得到的由上
向下观察物体的视图,叫作______图；在侧面内得到的由左向
右观察物体的视图,叫作______图.
平面图形
主视
俯视
左视
三视图画 法要点 三个视图都要放在正确的位置,并且使主视图与俯视图的
________ ,主视图与左视图的________,左视图与俯视图的
_________.看得见部分的轮廓线画成______,因被其他部分遮
挡而看不见部分的轮廓线画成______.
长对正
高平齐
宽相等
实线
虚线
续表
3. [典型试题]画出下列立体图形的三视图.
解:如图所示.
第4题
4. [2025福建中考]福建博物院收藏着一件“镇馆之
宝”——云纹青铜大铙,如图1.云纹青铜大铙是西周
乐器,鼓饰变形兽面纹,两侧饰云雷纹,浑大厚重,作风
稳重古朴,代表了福建古代青铜文化曾经的历史和
辉煌.图2为其示意图,它的主视图是( )
A
A. B. C. D.
第5题
5. [2024福建中考]如图是由长方体和圆柱组成的几何体,
其俯视图是( )
C
A. B. C. D.
第6题
6. [2023福建中考]如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何
体,它的俯视图是( )
D
A. B. C. D.
7. [2025长沙中考]如图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体,它的左
视图是( )
A
第7题
A. B. C. D.
8. [2025辽宁中考]下列几何体中,主视图为三角形的是( )
A
A. B. C. D.
第9题
9. [2025凉山州中考]如图,由5个相同的小正方体搭成的几何体,
下列叙述正确的是( )
A
A.主视图与左视图相同
B.主视图与俯视图相同
C.左视图与俯视图相同
D.主视图、左视图和俯视图都不相同
第10题
10. [变式]一个立体图形的三视图如图所示,则该立体图形是
( )
D
A.圆柱 B.圆锥 C.长方体 D.三棱柱
【考点3】柱体、锥体的展开图
圆锥的展开图 圆锥的展开图是由一个圆形和一个扇形组成的.
圆柱的展开图 圆柱的展开图是由两个相同的圆形和一个长方形组
成的.
正方体的展开图 __________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________
①一四一型
11. [典型试题]如图,下列图形能折叠成什么图形
( ) ( ) ( )
( )
圆柱
五棱柱
圆锥
四棱锥
12. [变式]如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位:
）,根据图中数据,求这个几何体的表面积.
解:由三视图可知,该几何体为底面直径为4,母线长为6的圆锥
答:该几何体的表面积为 .
第13题
13. [变式]如图所示的正方体盒子的平面展开图,每个面
上都有一个字,正方体盒子上与“预”相对的面上的字是
( )
A
A.一 B.切 C.顺 D.利(共17张PPT)
第30课时 矩形、菱形、正方形
【考点1】矩形的概念、性质与判定（5年3考）
概念 ________________的平行四边形叫作矩形.
性质 两组对边____________；四个角都是______；对角线_________
_______.矩形是____对称图形,也是______对称图形.
判定 有一个角是______的平行四边形是矩形；有三个角是______的
四边形是矩形；
对角线______的平行四边形是矩形.
有一个角是直角
平行且相等
直角
互相平分
且相等
轴
中心
直角
直角
相等
1. [典型试题]如图,矩形的对角线,交于点, ,
,求矩形对角线的长.
解: 四边形 是矩形
与 相等且互相平分
是等边三角形
.
第2题
2. [2021福建中考]如图,在矩形中,, ,
点,分别是边,上的动点,点不与, 重合,且
,是五边形内满足 且
的点.现给出以下结论:
①与 一定互补；
②点到边, 的距离一定相等；
③点到边, 的距离可能相等；
④点到边的距离的最大值为 .
其中正确的是________.（填序号）
①②④
3. [变式]如图，的对角线，相交于点 ，
是等边三角形， ．
（1）求证： 是矩形；
证明： 为等边三角形
四边形 是平行四边形
，
是矩形；
（2）求 的长．
解： 是矩形
.
【考点2】菱形的概念、性质与判定（5年3考）
概念 ________________的平行四边形叫作菱形.
性质 菱形的四条边都______；菱形的两组对边______；菱形的两组对
角______；菱形的两条对角线______________,并且每一条对角
线平分一组______.菱形是____对称图形,也是______对称图形.
判定 四条边______的四边形是菱形；一组邻边______的平行四边形是
菱形；
对角线__________的平行四边形是菱形.
有一组邻边相等
相等
平行
相等
互相垂直平分
对角
轴
中心
相等
相等
互相垂直
4. [典型试题]如图,在菱形中,对角线与 相交于
点,且,,求菱形的高 的长.
解: 四边形 是菱形
,,
在 中,根据勾股定理，得
.
5. [2025福建中考]如图，菱形的对角线相交于点，过点 且与
边，分别相交于点，．若，，则与
的面积之和为___．
1
第5题
6. [2025长春中考]如图，的对角线,相交于点， ，
， ．
求证： 是菱形．
证明：，，
，
是菱形．
【考点3】正方形的概念、性质与判定（5年3考）
概念 有一组邻边______,并且有一个角是______的平行四边形叫作正
方形.
性质 四条边都______；两组对边______；四个角都是______；
两条对角线______________且______,并且每条对角线平分一组
对角.
正方形是____对称图形,也是______对称图形.
相等
直角
相等
平行
直角
互相垂直平分
相等
轴
中心
判定 ______________的矩形是正方形；对角线__________的矩形是正
方形；
________________的菱形是正方形；对角线______的菱形是正方
形.
一组邻边相等
互相垂直
有一个角是直角
相等
续表
7. [典型试题]如图,四边形是一个正方形花园,, 是它
的两个门（门宽忽略不计）,且,要修建两条路
和.求证: .
证明: 四边形 是正方形
,
.
8. [2024福建中考]如图，正方形的面积为4，点，，， 分别
为边，，，的中点，则四边形 的面积为___．
2
第8题
第9题
9. [变式]如图，在正方形外取一点，连接 ,
,．过点作的垂线交于点 ．若
， ．下列结论：
；②点到直线的距离是 ；
；
①③④
．其中正确的结论是_______．（填序号）(共19张PPT)
第29课时 平行四边形
【考点1】平行四边形的概念与性质（5年1考）
概念 __________________的四边形叫作平行四边形.
性质 边 平行四边形的对边____________；
角 平行四边形的对角______,并且每组邻角______；
对角线 平行四边形的对角线__________；
对称性 平行四边形是______对称图形,但不是____对称图形.
两组对边分别平行
平行且相等
相等
互补
互相平分
中心
轴
1. [典型试题]如图,在中,对角线,相交于点,过点 且与
,分别相交于点,.求证: .
证明: 四边形 是平行四边形
,
,
在和 中
.
2. [2023福建中考]如图,在中,为的中点,过点 且分别交
,于点,.若,则 的长为____.
10
第2题
3. [2025宜宾中考]如图，是边的中点，连接并延长交
的延长线于点，．求证：，并求 的长．
证明： 四边形 是平行四边形
，
是 的中点
在和 中
.
4. [变式]如图,在中,对角线,相交于点,点,分别在边 ,
上,且.求证:,, 三点在同一条直线上.
证明: 四边形 是平行四边形
,
又
,, 三点在同一条直线上.
【考点2】平行四边形的判定
判定方法 两组对边分别____________的四边形是平行四边形；
一组对边____________的四边形是平行四边形；
两组对角分别______的四边形是平行四边形；
两条对角线__________的四边形是平行四边形.
相等或平行
平行且相等
相等
互相平分
5. [典型试题]如图,的对角线,相交于点,点,是 上两点,
并且.求证:四边形 是平行四边形.
证明: 四边形 是平行四边形
,
即
四边形 是平行四边形.
6. [2025青海中考]如图，在中，，分别是边， 的中点，
过点作交的延长线于点，连接， ．求证：四边形
是平行四边形.
证明：，分别是边， 的中点
是 的中位线
四边形 是平行四边形
是边 的中点
四边形 是平行四边形.
7. [变式]在四边形中,对角线,相交于点 ,下列条件不能判定
四边形 为平行四边形的是( )
C
A., B.,
C., D.,
8. [变式]在四边形中, ,要使四边形 是平行四
边形,还需添加一个条件,这个条件可以是_________.
（答案不唯一）
9. [变式]如图,以的三边分别作等边,, .
求证:四边形 是平行四边形.
证明:, 为等边三角形
, ,
为等边三角形
同理可得
四边形 是平行四边形.(共19张PPT)
第32课时 平移与旋转
【考点1】平移的概念与性质（5年3考）
概念 在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形
运动叫作平移.
性质 ①平移后的图形与原图形的形状和大小__________；
②平移后的图形与原图形的对应线段______且______（或在同一
条直线上）；
③平移后的图形与原图形的对应点所连线段______且______
（或在同一条直线上）.
完全相同
相等
平行
相等
平行
第1题
1. [2022福建中考]如图,现有一把直尺和一块三角尺,其
中 , ,,点 对应直尺的
刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移,使得 移
动到,点对应直尺的刻度为0,则四边形
的面积是( )
B
A.96 B. C.192 D.
2. [2025凉山州中考]如图,将周长为20的沿 方向平移2个单位长
度得,连接,则四边形 的周长为____.
24
第2题
3. [2025眉山中考]在平面直角坐标系中,将点 向右平移2个单位到
点,则点 的坐标为( )
C
A. B. C. D.
【考点2】旋转的概念与性质（5年2考）
概念 把一个平面图形绕着平面内某一点 转动一个角度,叫作图形的
______,点 叫作__________,转动的角叫作________.
性质 ①对应点到旋转中心的距离______；
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于________；
③旋转前、后的图形______.
旋转
旋转中心
旋转角
相等
旋转角
全等
4. [2023福建中考]如图,在中, ,,是 边上
不与,重合的一个定点.于点,交于点是由线段 绕
点顺时针旋转 得到的,,的延长线相交于点 .求证:
.
证明:是由线段绕点顺时针旋转 得到的
,
,
,
.
5. [2019福建中考]在中, , ,将 绕
点顺时针旋转一定的角度 得到,点,的对应点分别是, .
（1）当点恰好在上时,在图1中将图形补充完整,求 的大小；
图1
解:由旋转性质得 ,
,
；
（2）若 时,点是边的中点,如图2,求证:四边形 是平行
四边形.
图2
证明: ,
是边 的中点
是等边三角形
由旋转性质得, ,
延长交于点
四边形 是平行四边形.
【考点3】中心对称与中心对称图形（5年3考）
中心 对称 在平面内,把一个图形绕着某一点旋转______,如果它能够与另一
个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.这
个点叫作__________,这两个图形在旋转后能重合的对应点叫作
关于对称中心的对称点.
对称中心
中心 对称 图形 在平面内,把一个图形绕着某一点旋转______,如果旋转后的图形
能够与原来的图形重合,那么这个图形叫作中心对称图形.这个点
叫作__________.
性质 ①中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过__________，并
且被对称中心所______；
②中心对称的两个图形是______图形.
对称中心
对称中心
平分
全等
续表
6. [2025福建中考]中国古算诗词歌赋较多.古算诗词题,是反映数学数量关
系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式.下列分别是古算诗词题“圆
中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形,其中既不是轴对
称图形也不是中心对称图形的是( )
D
A. B. C. D.
7. [2020福建中考]下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中,既
是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
C
A. B. C. D.
8. [2025辽宁中考]数学中有许多优美的曲线,下列四条曲线既是轴对称图
形又是中心对称图形的是( )
B
A. B. C. D.
9. [变式]下列图形中,一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
D
A.等边三角形 B.直角三角形 C.平行四边形 D.正方形

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