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(共18张PPT)
第13课时 变量与函数
【考点1】函数的概念
常量和 变量 在一个变化过程中,数值__________的量叫作变量,数值始终
______的量叫作常量.
概念 在一个变化过程中,如果有两个______和,并且对于 的每一
个确定的值,都有______确定的值与其对应,那么我们就说 是
________,是 的函数.
发生变化
不变
变量
唯一
自变量
自变量 的取值 范围 ①若函数的解析式是整式,则自变量的取值范围是
__________；
②若函数的解析式是分式,则自变量的取值范围是___________
_______；
全体实数
分母不为0
的实数
续表
自变量 的取值 范围 ③若函数的解析式是二次根式,则自变量的取值范围是_______
_________________；
④若函数的解析式含有零指数、负整数指数幂,则自变量的取
值范围是_________________；
⑤若函数解析式兼有上述两种或两种以上的结构特点时,则先
按上述方法分别求出它们的取值范围,再求它们的公共部分.
被开方
数为非负数的实数
底数不为0的实数
续表
函数值 如果当时,,那么叫作当自变量的值为 时的
_________.
函数的表 示方法 ①________；②__________；③________.
函数值
列表法
解析式法
图象法
续表
1. [典型试题]据研究,每人每天的食盐摄入量以不超过 为宜.为控制食
盐摄入量,某市向每个家庭发放一个小盐勺容量.设家庭人数为 ,家庭
每天所应摄入盐的勺数的最大值为 .
（1）当时, 的值为___；
（2）与之间的关系式为_______,其中 的取值范围为__________.
9
非负整数
2. [2025云南中考]函数的自变量 的取值范围为( )
D
A. B. C. D.
3. [变式]拖拉机开始工作时,油箱中有油,如果每小时耗油 ,那么油
箱中的剩余油量和工作时间 之间的函数关系式是____________,
自变量 的取值范围是__________.
4. [变式]我国首辆火星车正式被命名为:“祝融”,为应对极限温度环境,火
星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶,该材料导热率
与温度 的关系如表.根据表格中的数据对应关系,下列选项描述不正
确的是( )
温度 … 100 150 200 250 …
导热率 … 0.15 0.2 0.25 0.3 …
D
A.在这个变化过程中,温度与导热率是变量
B.在一定温度范围内,温度越高,该材料导热率越高
C.当温度为时,该材料导热率为
D.温度每升高,该材料导热率增加
【考点2】函数的图象
函数 图象 概念 对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为
点的________和________,那么坐标平面内由这些点组成的
图形,就是这个函数的图象.
画图 步骤 ①______,②______,③______.
横坐标
纵坐标
列表
描点
连线
5. [典型试题]下面的图象反映的过程是:张强从家跑步去体育场,在那里锻
炼了一段时间后又走到文具店去买笔,然后走回家.图中表示时间, 表示
张强离家的距离.
第5题
根据图象回答下列问题:
（1）体育场离张强家____ ；
2.5
（2）体育场离文具店___ ；
1
（3）张强在文具店逗留了____ ；
20
（4）张强从文具店回家的平均速度是_ __ .
第5题
（5）下列结论不正确的是( )
B
A.张强从家到体育场用了
B.张强从文具店回家的平均速度比
从体育场到文具店的平均速度快
C.张强在体育场锻炼了
D.张强从文具店回家用了
6. [2025广东中考]在理想状态下,某电动摩托车充满电后以恒定功率运行,
其电池剩余的能量与骑行里程 之间的关系如图.当电池剩
余能量小于 时,摩托车将自动报警.根据图象,
下列结论正确的是( )
C
第6题
A.电池能量最多可充
B.摩托车每行驶消耗能量
C.一次性充满电后,摩托车最多行驶
D.摩托车充满电后,行驶 将自动报警
7. [2025北京中考]工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训.在完成理论
学习后,新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期日
可取0,1,2或3 的模拟练习,然后开始试制.记一名新员工在试制阶段的第
日单日制成的合格品的个数为,根据以往的培训经验,对于给定的 ,可
以认为是的函数.当和 时,部分数据如下:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
时 的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26
时 的值 0 26 37 43 48 50 51 52 53
时,从试制阶段的第2日起,一名新员工每一日比前一日多制成的合
格品的个数逐渐减少或保持不变.
对于给定的,在平面直角坐标系中描出该 值下各
数对 所对应的点,并根据变化趋势用平滑曲线连
接,得到曲线.当和时,曲线, 如图所示.
（1）观察曲线,当整数的值为___时, 的值首次超
过35;
6
（2）求表中的值,并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线 ;
解: 日的模拟练习时,从试制阶段的第2日起,一名新员工每一日比
前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变,在试制阶段的第3日
单日制成的合格品43个,第5日单日制成的合格品48个
相差 （个）
把5分成两个接近的整数,
第4日增加3个,第5日增加2个
时的曲线 如图所示.
（3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习,接下来进
行模拟练习和试制.
①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优
秀学员”证书,根据上述函数关系,小云最早在完成理
论学习后的第___日可获得“优秀学员”证书;
7
②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多,
根据上述函数关系,在这4日中应安排小腾先进行___日的模拟练习.
1(共16张PPT)
第14课时 一次函数的图象与性质
【考点1】一次函数的概念、图象与性质
（1）一次函数的概念
概念 如果,为常数,且,那么叫作 的一次函数.
特例 当时,一次函数变为函数是常数, ,
这时叫作的正比例函数,其中 叫作比例系数.
（2）正比例函数 的图象
取值 正比例函数 的图象是经
过点（0,___）和（1,___）的一条直
线.
图象
经过象限 一、三 二、四
0
（3）一次函数 的图象
, 取值 , , , ,
图象
经过象限 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四
一次函数 的图象是经过点（0,___）和（_ ___,0）的 一条直线.
（4）一次函数 的性质
取值
函数性质 随 的增大而增大 随 的增大而减小
1. [典型试题]直线与轴交点坐标为______；与 轴交点坐标
为________；图象经过第____________象限,随 的增大而______.
一、三、四
增大
2. [2025安徽中考]已知一次函数的图象经过点 ,
且随的增大而增大.若点在该函数的图象上,则点 的坐标可以是
( )
D
A. B. C. D.
3. [变式]若直线经过点和 ,且
,则 的值可以是( )
C
A.3 B.4 C.5 D.6
4. [变式]若直线经过点, ,则该直线不经
过第____象限.
四
【考点2】一次函数图象的平移
平移情况 解析式变化情况
向上平移 个单位长度 _______________
向下平移 个单位长度 _______________
向左平移 个单位长度 ________________
向右平移 个单位长度 ________________
5. [典型试题]
（1）将直线 向下平移2个单位长度,得到直线___________；
（2）将直线 向上平移5个单位长度,得到直线________.
6. [2025天津中考]将直线向上平移 个单位长度,若平移后的
直线经过第三、第二、第一象限,则 的值可以是___.（写出一个即可）
7. [变式]将直线 向左平移2个单位长度,得到直线___________；将
直线 向右平移5个单位长度,得到直线________.
2
【考点3】用待定系数法求一次函数解析式（5年1考）
步骤 ①设 所求一次函数的解析式为 ；
②代 将已知条件中的, 的两对对应值代入解析式中,从而得到
关于, 的方程组；
③解 解关于,的方程组,求出, 的值；
④定 将,的值代入 中,从而确定函数解析式.
说明:确定正比例函数的解析式,只需已知条件中的, 的一对对应值.
8. [典型试题]已知一次函数的图象经过点和点 ,求这个函数的
解析式.
解:设这个一次函数的解析式为
根据题意,得 解得
这个一次函数的解析式为 .
9. [2025玉林模拟]已知一次函数的图象经过点,且与 轴
交点的纵坐标为2,则它的解析式为___________.
10. [变式]已知一次函数的图象经过点和 ,则
此函数的解析式为___________.
【考点4】一次函数与一元一次方程（组）、一元一次不等式（组）
的关系（5年1考）
一次函数与一 元一次方程 解一元一次方程 ,相当于在某个一次
函数的函数值为0时,求自变量 的值.
一次函数与一 元一次不等式 解一元一次不等式或 ,相
当于在某个一次函数 的函数值大于0或小于0
时,求自变量 的取值范围.
一次函数与方 程组的关系 从“数”的角度看,解方程组相当于求________为何值时,
相应的两个一次函数的值相等,以及这个函数值是多
少；
从“形”的角度看,解方程组相当于确定两条相应直线
______的坐标.
自变量
交点
续表
11. [典型试题]试根据函数的性质与图象,确定 取何值时：
（1）；（2） .
解:列表:
5 0
0
描点并连线
由图象可知:当时,；当时, .
第12题
12. [2025淮南模拟]若函数和函数 的图象
如图所示,其交点为,则关于的不等式 的
解集是( )
B
A. B. C. D.
第13题
13. [2021福建中考]如图,一次函数 的图象
过点,则不等式 的解集是( )
C
A. B. C. D.
第14题
14. [变式]如图,一次函数, 为常数且
与正比例函数为常数且 的图
象交于点,则关于的方程 的
解是( )
A
A. B. C. D.(共20张PPT)
第19课时 反比例函数
【考点1】反比例函数的概念、图象和性质（5年2考）
（1）反比例函数的概念
形如_ _____（为常数且）的函数称为反比例函数，自变量 的取
值范围为______.
解析式变式：或 .
（2）反比例函数的图象和性质
函数 的图象 所在象限 性质
第________ 象限 在每一个象限内，随 的增大而
______
第________ 象限 在每一个象限内，随 的增大而
______
一、三
减小
二、四
增大
1. [典型试题]已知反比例函数 ，则下列描述不正确的是( )
D
A.图象位于第一、第三象限 B.图象必经过点
C.图象不可能与坐标轴相交 D.随 的增大而减小
2. [2025福建中考]若反比例函数的图象过点，则常数
_____.
3. [2025内蒙古中考]已知点， 都在反比例函数
的图象上，则下列结论一定正确的是( )
D
A. B.
C.当时， D.当时，
【考点2】比例系数 的几何意义
在反比例函数的图象上任取一点，过这点分别作轴， 轴的平行
线，两平行线与坐标轴围成的矩形的面积等于____ .
第4题
4. [典型试题]如图，过轴正半轴上的任意一点，作
轴的平行线，分别与反比例函数和 的图象
交于点和点，若点是轴上任意一点，连接， ，
则 的面积等于___.
3
第5题
5. [2025山东中考]如图，在平面直角坐标系 中，
，两点在坐标轴上，四边形 是面积为4的正方
形.若函数的图象经过点，当 时，则
的取值范围为( )
A
A. B. C. D.
【考点3】反比例函数的实际应用
步骤 ①设反比例函数的解析式为 ；
②求出函数的解析式（转化为函数问题）；
③运用函数知识解决问题.
第6题
6. [典型试题]密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器
的体积变化时，气体的密度 随之变化.已
知密度 与体积 是反比例函数关系，它的图象如图所示.
（1）密度 关于体积 的函数解析式为_ ______；
（2）当时，二氧化碳的密度____ .
1.1
7. [2025连云港中考]某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条
件下，气球内气体的压强是气球体积 的反比例函数.当
时，.则当时，________ .
16 000
【考点4】反比例函数图象的对称性（5年3考）
反比例函数的图象是双曲线，且关于原点成中心对称，关于直线
与 成轴对称.
8. [典型试题][2020福建中考]设，，，是反比例函数 图象上
的任意四点，现有以下结论：①四边形 可以是平行四边形；②四
边形可以是菱形；③四边形不可能是矩形；④四边形
不可能是正方形.其中正确的是______.（写出所有正确结论的序号）
①④
9. [2024福建中考]如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的
图象与交于，两点，且点，都在第一象限.若，则点 的
坐标为______.
第9题
第10题
10. [变式]如图，，是双曲线 上关于原点对称
的任意两点，轴，轴，则四边形 的
面积 满足( )
C
A. B. C. D.
【考点5】反比例函数与一次函数的综合题
常见 解法 一次函数与反比例函数的综合题，一般涉及求函数解析式，可
根据题意，求图象上相应的点的坐标，利用待定系数法列方程
（组）求解，对于反比例函数解析式，只要确定图象上一点的
坐标即可.
11. [典型试题]一次函数的图象与反比例函数 的图象相
交于， 两点.
（1）这个一次函数的解析式为___________；
（2）画出这两个函数图象，并直接写出使一次函数值大于反比例函数
值的 的取值范围.
解：一次函数，反比例函数 的图象如图所示，当一次
函数值大于反比例函数值时，或 .
12. [2025兰州中考]如图，在平面直角坐标系中，一次函数
与反比例函数的图象相交于点，与 轴相交于点
，与 轴相交于点C.
（1）求一次函数与反比例函数 的解析式；
解： 一次函数的图象与 轴相
交于点
解得
一次函数的解析式为
一次函数的图象过点
解得
反比例函数图象过点
反比例函数的解析式为 ；
（2）点为轴负半轴上一点，连接 .若
的面积为6，求点 的坐标.
由（1）可知一次函数 过点
，
设点，则
解得
.(共15张PPT)
第18课时 二次函数的应用
【考点1】抛物线形问题
解决方法 或步骤 ①根据实际问题的特点建立平面直角坐标系；
②设二次函数解析式,把实际问题中的数据转化为点的坐标,
用待定系数法求解析式；
③通过解析式解决问题.
1. [典型试题]如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面时,水面宽 .水面
下降 ,水面宽度增加多少
解:以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为
轴, 长为1个单位长度建立平面直角坐标系
设这条抛物线解析式为
抛物线过点
解得
这条抛物线解析式为
当水面下降时,即,则有
解得
水面宽度增加 .
2. [2025连云港中考]如图,小亮同学掷铅球时,铅球沿抛物线
运行,其中（单位: ）是铅球离初始位置的水平距
离,（单位:）是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度 为
,求铅球掷出的水平距离 .
解:由题意,得
抛物线过点
解得
抛物线的解析式为
令,得
解得, （不合题意,舍去）
铅球掷出的水平距离为 .
【考点2】利润最值问题
解决步骤 ①分析问题建立模型；
②设自变量求函数解析式；
③确定自变量的取值范围；
④应用配方法得到顶点式,在自变量的取值范围内求出最大
值或最小值.
3. [典型试题]某商场将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售
出时,每天能卖出20个,若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日
销量就增加1个,为了获取最大利润,求应降价多少元
解:设降价元时,则日销售可以获得的利润为 ,由题意,得
当时,
答:为了获取最大利润,应降价5元.
4. [2025达州中考]为弘扬达州地方文化,让更多游客了解巴人故里,某文旅
公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元,当售价
为40元时,每天可以售出60件.经调查发现,售价每降价1元,每天可以多售
出10件.
（1）设该款巴小虎吉祥物降价 元,则每天售出的数量是___________件;
（2）为让利于游客,该款巴小虎吉祥物应该降价多少元,文旅公司每天的
利润是630元？
解:设该款巴小虎吉祥物降价 元,根据题意,得
整理,得
解得,
由于要让利于游客,所以 舍去
答:该款巴小虎吉祥物降价3元时,文旅公司每天的利润是630元;
（3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为 元,当售价为多少
元时,每天的利润最大 最大利润是多少
根据题意,得
当时, 取最大值，最大值为640,此时销售价为38元
答:售价为38元时,每天的利润最大,最大利润是640元.
【考点3】面积最值问题
解决方法 或步骤 运用已知条件,根据图形的特点,综合运用所学知识
（如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、
图形的面积公式等）,寻求等量关系,构造出二次函数,利用二
次函数的性质求解.往往涉及最小距离或图形的周长、面积的
最值等问题.
5. [典型试题]有一根长为 的铁丝,把它折成一个矩形框,当矩形框的
长、宽各是多少时,矩形面积最大 最大面积是多少
解:设矩形的长为,则宽为 ,根据题意,得
矩形的面积
当时,矩形面积最大,最大面积为 ,此时宽为
答:长和宽都是时,矩形面积最大,最大面积为 .
6. [2025硚口模拟]如图,用一段长为 的围栏,围成一边靠墙的三块矩
形区域种植花卉,墙长为.矩形与矩形 的面积相等,矩形
与矩形的面积相等.设长为,长为,矩形 的
面积为 .
（1）求与,与 之间的函数关系式
（不用写出 的取值范围）;
解: 矩形与矩形 的面积相等
矩形与矩形 的面积相等
,
;
（2）当为何值时, 有最大值 最大值是
多少
，
当时,随 的增大而减小
当时,最大,最大值为 .(共22张PPT)
第15课时 一次函数的应用
【考点1】一次函数的分段问题
步骤 ①寻找分段函数的分段点；
②针对每一段函数关系，求解相应的函数解析式；
③利用条件可求解未知问题.
1. [典型试题]一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的 内只
进水不出水，在随后的 内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量
是两个常数，容器的水量与时间 之间的关系如图所示.
（1）当时，关于 的函数解析式为_______；
（2）当时，求关于 的函数解析式；
解：当时，设 ，根据题意，
得
. 解得 .
当时，关于 的函数解析式为
.
（3）每分钟进水___，出水_____ .
5
3.75
2. [2025宿迁中考]甲、乙两人从同一地点 出发沿同一路线匀速步行前
往处参加活动.甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达 处的
人在原地休息等待，直到另一人到达处.两人之间的路程 与甲行走
的时间 的函数图象如图所示.
（1）乙步行的速度为____，之间的路程为_______ ；
90
3 960
（2）当时，求关于 的函数解析式；
解： 甲的速度为
当，甲的路程为
当，乙到达 地
点的纵坐标为
当时，设关于的函数解析式为
把， 代入，得
解得 .
关于的函数解析式为 ；
（3）甲出发多长时间时，两人之间的路程为 ？
当时，令 解得
当时， 解得
综上所述：当甲出发或时，两人之间的路程为 .
【考点2】利用一次函数解决方案决策
步骤 ①确定函数解析式；
②利用自变量的取值不同，得出不同方案；
③根据自变量的取值范围确定出最佳方案.
3. [典型试题]某羽毛球俱乐部为倡导人们积极参加健身运动，普及羽毛
球运动，特推出如下活动方案：
方案一：购买一张羽毛球健身的年卡，以后每次再收取10元；
方案二：不购买羽毛球健身卡，每次收取15元．
设小凯每年去俱乐部打羽毛球 次，按照方案一所需费
用为（元），且 ；按照方案二所需费用
为（元），且 ，其函数图象如图所示．
（1）请直接写出方案一的函数表达式___________，并写出 的实
际意义：___________________________________；
一张羽毛球健身的年卡的费用为400元
（2）2025年小凯给自己制定了一个健身计划，每周去俱乐部打球2次
（一年以365天计算），他选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
解：选择方案一费用更少，理由如下：
两种方案费用相等的次数满足方程
，解得
当时，；当 时，
每周去俱乐部打球2次
一年打球次数至少为
，故
选择方案一费用更少．
4. [变式]某通讯公司开展营销活动，设
置了甲、乙两种手机资费套餐，手机资
费（元）与通话时间 之间的关系
如图所示.
（1）说明线段 的实际意义；
解：线段 的实际意义：通话时间不超
过30分钟时手机资费9元；
（2）求出乙套餐每月手机资费 （元）与通
话时间 之间的函数解析式；
设乙套餐每月手机资费 （元）与通话时间
之间的函数解析式为
把， 代入解析式，得
解得 .
乙套餐每月手机资费 （元）与通话时间
之间的函数解析式为 ；
（3）结合图象，说明选择哪种手机资费
套餐更合算.
由图象可知，当通话时间少于 时，
选择甲种手机资费套餐更合算；当通话
时间等于 时，选择甲、乙种手机
资费套餐都一样；当通话时间超过
时，选择乙种手机资费套餐更合
算.
【考点3】利用一次函数解决最值问题（5年3考）
步骤 ①确定一次函数的解析式；
②求自变量的取值范围；
③利用一次函数的增减性求最值.
5. [典型试题]A城有肥料，B城有肥料 ，现要把这些肥料全部
运往C，D两乡.从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/ ；
从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/ .现C乡需要肥料
，D乡需要肥料 ，怎样调度可使总运费最少？
解：设总运费为元，A城运往C乡的肥料量为 ，则运往D乡的肥料量
为，B城运往C，D乡的肥料量分别为与 .
根据题意，得
即
随 的增大而增大
当时， 有最小值，最小值为10 040
从A城运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡 ，此时总运
费最少，总运费最小值为10 040元.
6. [2022福建中考]在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八
年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护.同学们约定每人养
护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于
吊兰盆数的2倍.已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元.
（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，可购买绿
萝和吊兰各多少盆？
解：设购买绿萝盆，购买吊兰 盆，根据题意，得
解得 .
答：购买绿萝38盆，吊兰8盆；
（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总
费用的最小值.
设购买绿萝盆，则购买吊兰 盆，根据题意，得
解得
设购买两种绿植总费用为 元
则
随 的增大而增大
，且 为整数
当时，取得最小值，最小值为
答：购买两种绿植总费用的最小值为369元.(共15张PPT)
第17课时 二次函数的图象与性质（2）
【考点1】二次函数的字母参量（5年3考）
字母 字母的符号 图象特征
开口______ 越大，开
口越____
开口______
经过______
与 轴________相交
与 轴________相交
对称轴为_____
向上
小
向下
原点
正半轴
负半轴
轴
字母 字母的符号 图象特征
,同号 对称轴在 轴____侧 左同右异
,异号 对称轴在 轴____侧
抛物线与 轴只有____个交点,即顶点
抛物线与 轴有____个交点
抛物线与 轴______交点
左
右
一
两
没有
续表
1. [典型试题]如图,二次函数的图象与轴交于
和两点,对称轴是直线,下列结论中:；②点 的坐标为
；；；⑤对于任意实数 ,都有
.所有正确结论的序号为__________.
②③④⑤
第1题
2. [2017福建中考]已知直线与抛物线 有一
个公共点,且 .
（1）求抛物线顶点的坐标（用含 的代数式表示）；
解: 抛物线过点
,即
抛物线顶点的坐标为 ；
（2）求证:直线与抛物线有两个交点.
证明: 直线经过点
,解得
由 ,得
由（1）知,且
方程①有两个不相等的实数根
直线与抛物线有两个交点.
3. [2025连云港中考]已知二次函数,
为常数.
（1）若该二次函数的图象与直线有两个交点,求 的取值范围;
解:
二次函数的图象开口向上,且顶点坐标为
二次函数的图象与直线 有两个交点
函数的最小值小于
解得 ;
（2）若该二次函数的图象与轴有交点,求 的值;
解: 二次函数的图象与 轴有交点
解得 ;
（3）求证:该二次函数的图象不经过原点.
证明: 当时,
二次函数的图象不经过原点.
【考点2】利用待定系数法求二次函数的解析式（5年5考）
常见形式 一般式:________________（______）
顶点式:_________________（______）
步骤 设 设二次函数解析式；
代 根据题中所给条件,代入二次函数的解析式中,得到
关于待定系数的方程（组）；
解 解此方程或方程组,求待定系数；
还原 将求出的待定系数还原到解析式中.
4. [2020福建中考]已知直线交轴于点,交轴于点 ,二
次函数的图象过,两点,交轴于另一点, ,且对于该二次函数图
象上的任意两点,,当时,总有 .求此
二次函数的解析式.
解: 直线交轴于点,交轴于点
,
点或点
根据题意,得当时,随 的增大而增大
二次函数开口向上
当抛物线过点时,则当时,随 的增大而减小,不合题意舍去
当抛物线过点时,则当时,随 的增大而增大,符合题意
设此二次函数的解析式为
根据题意,得
解得
此二次函数的解析式为 .
5. [2025福建中考]在平面直角坐标系中,二次函数 的图
象过点, .
（1）求 的值;
解: 二次函数的图象过点,
,得
;
（2）已知二次函数的最大值为 ,求该二次函数
的解析式.
由（1）可得,
该函数的解析式为
函数图象的顶点坐标为
函数的最大值为
,且
解得,或 （舍去）
该二次函数的解析式为 .(共15张PPT)
第12课时 平面直角坐标系
【考点1】平面直角坐标系及点的坐标特征
平面直角坐标系 的有关概念 有______的两个数与 组成的数对，叫作有序数对，
记作______.
在平面内，两条互相______、______重合的数轴组成
了平面直角坐标系.
坐标平面内的点与__________成一一对应关系.
顺序
垂直
原点
有序数对
坐标平面内点的 坐标特征 点在第一象限 _____________；
点在第二象限 _____________；
点在第三象限 _____________；
点在第四象限 _____________；
点在轴上 ______；
点在轴上 ______；
点是原点 _____________.
且
且
且
且
且
续表
平行于坐标轴的 直线上的点的坐 标特征 与 轴平行的直线上的点的________相等；
与 轴平行的直线上的点的________相等.
各象限的角平分 线上的点的坐标 特征 第一、三象限的角平分线上的点横、纵坐标______；
第二、四象限的角平分线上的点横、纵坐标________
_____.
纵坐标
横坐标
相等
互为相
反数
续表
1. [典型试题]在平面直角坐标系中，一些点的横、纵坐标分别满足下面
条件，请写出它们在第几象限或哪条坐标轴上：
（1）若点的坐标满足，则点 在第________象限；
（2）若点的坐标满足，则点 在________轴上.
一、三
轴或
2. [2025成都中考]在平面直角坐标系中，点 所在的象
限是( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
第3题
3. [变式]如图，在正方形方格纸的范围内，以正方形的
边长为一个单位长度，向右为轴正方向，向上为 轴正
方向，建立平面直角坐标系，想标出， ，
， 四点，则下列为原点的是( )
A
A.点 B.点 C.点 D.点
【考点2】用坐标表示位置
平面直角坐标 系法 选择一个适当的参照点为______，确定轴、 轴的正
方向；
根据具体问题确定__________；
在坐标平面内画出这些点，写出各点的______和各个
地点的______.
方位角和距离 通过确定方位角和距离表示平面内物体的位置.
原点
单位长度
坐标
名称
第4题
4. [典型试题]如图，是一个利用平面直角坐标系画出的
某学校的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方
向为轴， 轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别
是和 ，则教学楼的坐标是( )
D
A. B. C. D.
第5题
5. [2025威海中考]某广场计划用如图①所
示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案.
第一行第一列瓷砖的位置记为 ，其右
边瓷砖的位置记为 ，其上面瓷砖的位
置记为 ，按照这样的规律，下列说法
正确的是( )
B
A.位置是B种瓷砖 B. 位置是B种瓷砖
C.位置是A种瓷砖 D. 位置是B种瓷砖
6. [变式]如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点，，
处有目标出现.按某种规则，点，的位置可以分别表示为 ，
，则点 的位置可以表示为________．
第6题
【考点3】坐标平面内的点的坐标与距离
到 轴的距离 点到轴的距离等于点 的纵坐标的绝对值，即
.
到 轴的距离 点到轴的距离等于点 的横坐标的绝对值，即
.
到原点的距离 点 到原点的距离等于_________.
7. [典型试题]在平面直角坐标系中，写出各点的坐标：
（1）点在轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度，则点 的坐
标为______；
（2）点在轴上，位于原点左侧，距离原点1个单位长度，则点 的坐
标为_______；
（3）点在轴上方， 轴左侧，距离每条坐标轴都是4个单位长度，则
点 的坐标为_______.
8. [变式]点在第四象限内，距离轴5个单位长度，距离 轴3个单位长
度，则点 的坐标是( )
A
A. B. C. D.
9. [变式]已知点到两坐标轴的距离相等，则 的值为( )
D
A. B.3 C. D. 或3
【考点4】用坐标表示对称与平移
平移 规律 将点向右（或向左）平移 个单位长度，可以得到对应点坐
标为__________(或__________)；
将点向上（或向下）平移 个单位长度，可以得到对应点坐
标为__________(或__________).
对称 规律 关于 轴对称的点的坐标为________；
关于 轴对称的点的坐标为________；
关于原点对称的点的坐标为_________.
10. [典型试题]有一个点，它的位置定为 ，这个点先向上移动5格，
再向右移动7格，则移动后这个点的位置可以表示为_______.
11. [2025辽宁中考]在平面直角坐标系中，点的坐标为，点
的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点 的坐标为
，则点的对应点 的坐标为( )
B
A. B. C. D.
12. [变式]在平面直角坐标系中，的三个顶点 ，
，，则其第四个顶点 的坐标是______.
13. [变式]若从平面上的点 出发，先向下移动再向右移动，则可能
移动到下列哪一点( )
A
A. B. C. D.(共16张PPT)
第16课时 二次函数的图象与性质（1）
【考点1】二次函数的概念
一般式 形如________________（_________为常数且______）的函数
叫二次函数，其中 为自变量，二次项系数为___，一次项系数
为___，常数项为__.
顶点式 形如_________________（_________为常数且______）为二次
函数的顶点式，它的对称轴为直线______，顶点坐标是______.
图象 二次函数的图象是一条________，它与________的交点叫作抛
物线的顶点，顶点是抛物线的最____点或最____点.
，，
，，
抛物线
对称轴
高
低
1. [典型试题]一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积与半径 之
间的关系式，它是二次函数吗？如果是，请写出二次项系数、一次项系
数和常数项.
解：
它是二次函数，其中二次项系数为 ，一次项系数为0，常数项为0.
2. [变式]二次函数 的二次项系数、一次项系数、常数项分别
为( )
A
A.2，0， B.2，2， C.2，2，1 D.2，0，1
【考点2】二次函数（，，， 为常数）的
图象
取值
图象
取值
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 _ ____ 直线 _ ____
顶点坐标 _ ____________ _ ____________
画二次函数图象的步骤：①确定函数的开口方向、对称轴及顶点坐 标；②利用对称性列出自变量与函数值对应的表格；③在平面直角坐 标系内描点并画图.
续表
3. [典型试题]先确定抛物线 的
开口方向、对称轴及顶点坐标，再描点画图.
解：
的开口向上，
对称轴是直线，顶点坐标是
利用对称性列表：
… 0 1 2 3 4 5 …
… …
描点并画图.
4. [2025河南中考]在二次函数中，与 的几组对应值
如表所示.
… 0 1 …
… 1 …
（1）求二次函数的解析式；
解：由题意可知，二次函数 的
图象过，
解得 .
二次函数的解析式为 ；
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中直接
画出二次函数的图象.
由（1）得
顶点坐标为
二次函数的图象如图所示.
【考点3】二次函数（，，， 为常数）的
性质（5年5考）
取值
增减性 当_ ______时，随着 的增 大而减小， 当_ ______时，随着 的增 大而增大. 当_ ______时，随着 的增大
而增大，
当_ ______时，随着 的增大
而减小.
取值
最值 抛物线有最低点， 当_____时， _ ______. 抛物线有最高点，
当_____时，
_ ______.
续表
5. [典型试题]已知抛物线 ，下列结论错误的是( )
D
A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线
C.抛物线的顶点坐标为 D.当时，随 的增大而增大
6. [2025福建中考]已知点，在抛物线
上，若 ，则下列判断正确的是( )
A
A. B. C. D.
7. [2024福建中考]已知二次函数 的图象经过
， 两点，则下列判断正确的是( )
C
A.可以找到一个实数，使得
B.无论实数取什么值，都有
C.可以找到一个实数，使得
D.无论实数取什么值，都有
8. [变式]已知二次函数，点 ，
， 都在该二次函数的图象上.
（1）用含的代数式表示 ；
解：，都在二次函数 的
图象上
对称轴为直线
；
（2）当时，随的增大而减小，求 的取值范围.
抛物线开口向下，且对称轴为直线
当时，随 的增大而减小
当时，随 的增大而减小
.

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