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(共16张PPT)
第6课时 二次根式
【考点1】二次根式的概念与性质（5年1考）
概念 形如___________的式子叫作二次根式.
性质 ___ ；
___ ；
,
,
1. [典型试题]当_____时， 在实数范围内有意义.
2. [2025福建中考]若在实数范围内有意义，则实数 的值可以是
( )
D
A. B. C.0 D.2
3. [变式]若式子有意义，则 的取值范围是_______________.
且
【考点2】二次根式的化简
最简二次根式 被开方数不含______，或分母不含二次根式.
被开方数中不含能__________的因数或因式.
分母
开得尽方
4. [典型试题]把下列各式化为最简二次根式：
（1） _____；
（2） ___；
（3） _ __；
（4） _ ___.
5. [2025湖南中考]化简： _____．
6. [变式]已知，化简 的结果为( )
B
A. B.1 C. D.
【考点3】二次根式的运算（5年3考）
乘法 _____；反过来，有 ________
.
除法 ____；反过来，有___ .
加减 可以先将二次根式化成______________，再将__________相同的
二次根式进行合并.
最简二次根式
被开方数
7. [典型试题]计算：
（1） ；
解：原式
；
（2） .
解：原式
.
8. [2025湖北中考]计算： ．
解：原式
．
9. [2025福建中考]计算： .
解：原式
.
10. [变式]已知， .求下列代数式的值：
（1） ；
解：，
，
；
（2） .
由（1）得，
.
【考点4】二次根式的应用
11. [典型试题]已知三角形的三边长分别为，， ，求其面积.
对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究.古希腊几何学家海伦给出了
求其面积的海伦公式：，其中 .我
国南宋时期数学家秦九韶给出了著名的秦九韶公式：
.若一个三角形的三边长依次为，， ，
则这个三角形的面积为( )
B
A. B. C. D.
12. [2025青岛模拟]某种牙膏上部圆的直径为 ，下部底边可
近似看成一条长为 的线段，如图所示，现要制作长方体的牙
膏盒．在手工课上，小思、小明和小华制作的牙膏盒的高度都一
样，且高度符合要求．其中，小思和小明制作的牙膏盒底面是正
方形，小华制作的牙膏盒底面是长方形，他们制作的底面图形边
长数据如表：
制作者 小思 小明 小华
牙膏盒底面形状 正方形 正方形 长方形
边长 长：宽：
这3位同学制作的盒子都能装下这种牙膏吗？请说明理由 ．
解：要把牙膏恰好放入牙膏盒内，牙膏下部底边长 小于等于
牙膏盒底面对角线长，即只要牙膏盒底面对角线长大于或等于
，牙膏盒都能装下这种牙膏．
小思制作的牙膏盒的底面对角线长为：
，
小明制作的牙膏盒的底面对角线长为：
，
小华制作的牙膏盒的底面对角线长为：
小明和小华制作的盒子能装下这种牙膏，而小思制作的盒子不能装下
这种牙膏．
13. [变式]如图，现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如
图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为、
和 的正方形木板A，B，C．
（1）正方形木板A的边长为___，B的边长为_____ ，C的边长为
_____ ；
2
（2）求木板①中阴影部分的面积；
解：
；
（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积
均为 的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
不能截出．
理由：的正方形木板的边长为
，
不能截出．(共16张PPT)
第1课时 有理数
【考点1】 正、负数（5年2考）
正数与负数 大于___的数叫作正数.
在正数前面加上符号“__”的数叫作负数.
0既不是______，也不是______.
0
-
正数
负数
1. [典型试题]如果向前运动记作，那么向后运动 ，记作
( )
C
A. B. C. D.
2. [2025福建中考]为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进
行了跟踪统计，为方便记录，他将体重增加记作 ，那么体重
减少 应记为____．
3. [变式]已知一个乒乓球的标准质量为,把质量为 的乒乓球记
为,则质量为 的乒乓球应记为_______．
【考点2】 有理数的有关概念（5年4考）
有理数 ______和______统称为有理数.
数轴 规定了______、________和__________的直线称为数轴.
相反数 只有______不同的两个数互为相反数.
倒数 乘积是___的两个数互为倒数.
绝对值 在数轴上表示数的点与______的距离叫作数 的绝对值,记为
.
整数
分数
原点
正方向
单位长度
符号
1
原点
4. [典型试题]在数轴上,点表示的数是,从点 出发,沿数轴移动4个单
位长度到达点,则点 表示的数是_______.
5. [2020福建中考]计算： ___．
或1
8
6. [2022福建中考] 的相反数是( )
D
A. B. C. D.11
7. [2025烟台中考] 的倒数是( )
B
A.3 B. C. D.
8. [变式]如图，点表示的数是1．若将点 向左移动3个单位长度得到点
，则点 表示的数为( )
第8题
B
A. B. C.2 D.4
【考点3】 科学记数法与近似数（5年4考）
科学记 数法 把一个绝对值大于10的数表示成________,或把一个绝对值小
于1的数表示成________（其中 , 是正整数）的形
式,这种记数方法叫作科学记数法.
近似数 一个近似数,__________到哪一位,就说这个近似数精确到哪一
位.
四舍五入
9. [典型试题]福建省2025年 将突破6万亿，6万亿用科学记数法表示
为_________.
10. [2024福建中考]据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日
公布数据显示，2023年，全球 （《专利合作条约》）国际专利申请
总量为27.26万件，中国申请量为69 610件，是申请量最大的来源国．数
据69 610用科学记数法表示为( )
C
A. B. C. D.
11. [2025河南中考]通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自
由电子定向移动的平均速度大约只有 ，比蜗牛爬行的速度
还慢．数据“ ”用科学记数法表示为( )
C
A. B. C. D.
【考点4】 有理数的大小比较（5年2考）
代数比较法 正数______零,负数______零,正数______负数;
两个负数,__________的反而小.
几何比较法 在数轴上表示的两个数,右边的数总是______左边的数.
大于
小于
大于
绝对值大
大于
12. [典型试题]在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示，其中凝固
点最低的物质是________．
物质 铁 酒精 液态氧 水
凝固点单位： 1 535 0
液态氧
13. [2023福建中考]下列各数中,最大的数是( )
D
A. B.0 C.1 D.2
14. [变式]已知有理数，在数轴上的位置如图所示，则把数， ，
，按从大到小的顺序用“ ”连接起来为_________________．
第14题
【考点5】有理数的运算
有理数 的运算 加法 同号两数相加，和取______的符号，并把绝对值
______.
绝对值不相等的异号两数相加，和取________较大的
加数的符号，并用______的绝对值减去______的绝对
值；互为相反数的两个数相加得___.
一个数同0相加，仍得________.
减法 减去一个数，等于加上这个数的________.
相同
相加
绝对值
较大
较小
0
这个数
相反数
有理数 的运算 乘法 两数相乘，同号得____，异号得____，并把绝对值相
乘;
任何数同0相乘，都得___;
几个不是0的数相乘，当负因数的个数是奇数时，积为
____；当负因数的个数是偶数时，积为____.
除法 除以一个不等于0的数，等于____这个数的______.
正
负
0
负
正
乘
倒数
续表
有理数 的运算 除法 两数相除，同号得____，异号得____，并把绝对值相
除;
0除以任何_________的数，都得0.
乘方 求个相同因数的____的运算叫作乘方，个 相乘记作
____.
正数的任何次幂都是____数;零的任何正整数次幂都是
___;
负数的奇次幂是____数，负数的偶次幂是____数.
正
负
不等于0
积
正
0
负
正
续表
有理数 的运算 混合 运算 先______，再______，最后______;同级运算，从____
到____进行;
如有括号，先算________的运算，按小括号、中括
号、大括号依次进行.
乘方
乘除
加减
左
右
括号内
续表
15. [典型试题]计算: .
解:原式
．
16. [2025山西中考]计算： .
解：原式
.
17. [变式]在数轴上从左到右的四个点,,,分别表示数,,,,点,
到原点的距离相等,,互为倒数,且,,把点,,, 在数轴上
表示出来，并求 的值.
解:根据题意，可得，，，
点,,, 在数轴上表示如图所示
.(共14张PPT)
第3课时 整式
【考点1】整式的有关概念
单项式 表示数或字母的____的式子叫作单项式；单独的一个____或
______也是单项式.
单项式中的__________叫作单项式的系数,所有字母的______的
和叫作单项式的次数.
多项式 几个单项式的____叫作多项式；每个单项式叫作多项式的项,其
中不含字母的项叫作________；多项式里，____________的次
数叫作多项式的次数.
整式 ________和________统称为整式.
积
数
字母
数字因数
指数
和
常数项
次数最高项
单项式
多项式
1. [典型试题]下列说法正确的是( )
C
A.单项式的系数是 B.单项式 的次数是2
C.多项式项数是3 D.多项式 的次数是3
2. [2025金水模拟]写出一个含的整式，该整式无论 取任意实数，一定
大于0:_______.
（答案不唯一）
3. [变式]已知多项式 的次数是5,且单项式
的次数与该多项式的次数相同,求, 的值.
解: 多项式 的次数是5
单项式 的次数与该多项式的次数相同
.
【考点2】整式的加减
同类项 所含______相同,并且相同字母的______也相同的项,叫作
同类项.
合并同类项 合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的
____,字母连同它的指数______.
字母
指数
和
不变
去括号法则 1.如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号
与原来的符号______；
2.如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号
与原来的符号______.
整式加减 几个整式相加减,如果有括号就先________,然后再_______
_____.
相同
相反
去括号
合并同
类项
续表
4. [典型试题]先化简,再求值: ,其中
, .
解:原式
当,时,原式 ．
5. [变式]计算 的结果，与下列何者相同？( )
B
A. B. C. D.
6. [变式]若一个多项式加上,结果是 ,则这个多
项式为_______．
【考点3】幂的运算（5年4考）
同底数幂相乘 ________.
幂的乘方 _____.
积的乘方 ______.
同底数幂相除 ________ .
0次幂 当时, ___.
1
7. [典型试题]计算: .
解:原式
.
8. [2022福建中考]化简 的结果是( )
C
A. B. C. D.
9. [2023福建中考]下列计算正确的是( )
A
A. B. C. D.
10. [2024福建中考]下列运算正确的是( )
B
A. B. C. D.
【考点4】整式的乘除
单×单 把它们的系数、同底数幂分别______,对于只在一个单项式里
含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
单×多 用单项式去乘多项式的________,再把所得的积______,如
________.
相乘
每一项
相加
多×多 先用一个多项式的________乘另一个多项式的________,再把
所得的积______,如 ___________________.
单 单 把______与__________分别相除作为商的因式,对于只在被除
式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
多 单 先把这个多项式的________除以这个单项式,再把所得的商
______.
每一项
每一项
相加
系数
同底数幂
每一项
相加
续表
11. [典型试题]化简: .
解:原式
.
12. [2025扬州中考]计算： .
解:原式
.
13. [变式]计算: .
解:原式
.
【考点5】乘法公式
平方差公式 ________.
完全平方公式 ______________.
14. [典型试题]先化简，再求值:,其中 .
解:原式
当时，原式 .
15. [2025成都中考]多项式 加上一个单项式后，能成为一个多项式
的平方，那么加上的单项式可以是____（填一个即可）．
（答案不唯一）
16. [2025长春中考]先化简，再求值：，其中 ．
解:原式
当时，原式 ．
17. [变式]已知,求代数式 的值．
解:原式
当时，原式 ．(共13张PPT)
第2课时 实数
【考点1】平方根与立方根
算术平 方根 如果一个正数的平方等于,那么这个正数就叫作 的________
_____.正数 的算术平方根记为____.规定:0的算术平方根是
___.
平方根 如果一个数的平方等于,那么这个数叫作 的________,记为
_____.
正数有____个平方根,它们互为相反数；0的平方根是___；负
数______平方根.
求一个数的平方根的运算,叫作________.
算术平
方根
0
平方根
两
0
没有
开平方
立方根 如果一个数的______等于,那么这个数叫作 的立方根,记为
____.
求一个数的立方根的运算叫作________.
正数的立方根是____数,负数的立方根是____数,0的立方根是
___.
立方
开立方
正
负
0
续表
1. [典型试题]下列说法中,正确的是( )
B
A.平方根是本身的数只有1 B.平方根与立方根相同的数只有0
C.立方根是本身的数只有1 D.算术平方根是本身的数只有0
2. [2025青海中考]4的算术平方根是___．
3. [2025眉山中考] 的立方根是____．
2
4. [变式]已知正数的平方根分别是与,求 的立方根.
解:根据题意,得
解得
的立方根是1.
【考点2】实数（5年2考）
无理数 无限________小数叫作无理数.
实数 ________和________统称为实数.
数轴上的点与______是一一对应的.
不循环
有理数
无理数
实数
5. [典型试题]在实数,,, 中,是无理数的有________.
，
6. [2024福建中考]下列实数中,无理数是( )
D
A. B.0 C. D.
7. [2021福建中考]写出一个无理数，使得，则 可以是____
（只要写出一个满足条件的 即可）．
（答案不唯一）
第8题
8. [变式]老师在讲实数这一节时,画了如图所示
的图形,即以数轴的一个单位长为边作一个正方
形,再以原点为圆心,以正方形的对角线长为半径
作圆与数轴交于, 两点.
（1）点表示的数是____,点 表示的数是_____；
（2）该图说明了( )
C
A.无理数与数轴上的点是一一对应的
B.数轴上的点只能表示无理数
C.实数与数轴上的点是一一对应的
D.有些无理数可以用数轴上的点表示
【考点3】无理数的估算（5年2考）
9. [典型试题]已知,,,则,, 的大小关系是__________.
10. [2025福建中考]下列实数中，最小的数是( )
C
A. B.0 C. D.2
第11题
11. [2022福建中考]如图,数轴上的点 表示下列四个
无理数中的一个,这个无理数是( )
B
A. B. C. D.
12. [变式]阅读理解:大家知道 是无理数,而无理数是无限不循环小数,因
此的小数部分我们不可能全部地写出来,而 ,于是可用
来表示 的小数部分.
根据以上的内容,解答下面问题:
（1） 的整数部分是___,小数部分是_________；
4
（2）若的整数部分为,的小数部分为,求 的值；
解:
的整数部分为2,即
的小数部分为，即
;
（3）已知,其中是整数,且 ,求
的平方根.
,是整数,
,
的平方根是 .
【考点4】实数的混合运算（5年3考）
13. [典型试题]计算: .
解:原式
.
14. [2022福建中考]计算: .
解:原式
.
15. [2023福建中考]计算: .
解:原式
.
16. [2024福建中考]计算: .
解:原式
.
17. [变式]计算: .
解:原式
.
18. [变式]计算: .
解:原式
.(共16张PPT)
第5课时 分式
【考点1】分式的有关概念
分式概念 一般地，如果，表示两个______，并且 中含有
______，那么式子 称为分式.
与分式有关 的条件 若分式 有意义，则_______；
若分式 无意义，则_______；
若分式 值为0，则_______且_______.
最简分式 分子与分母没有________的分式叫作最简分式.
整式
字母
公因式
1. [典型试题]当 取什么值时，下列分式有意义？
（1） ；
解： ；
（2） ；
；
（3） .
.
2. [2025广西中考]写出一个使分式有意义的 的值，可以是___．
1
3. [变式]无论 取何值，下列分式总有意义的是( )
C
A. B. C. D.
（答案不唯一）
【考点2】分式的基本性质
基本 性质 分式的分子与分母__________同一个不等于0的______，分式的
值不变.
约分 把一个分式的分子与分母的________约去，叫作分式的约分.
通分 把几个________的分式分别化为与原来的分式相等的________
的分式，叫作分式的通分.
乘或除以
整式
公因式
异分母
同分母
4. [典型试题]填空：
（1）， ；
（2）， .
5. [2025南充中考]已知，则 的值是( )
D
A.2 B.3 C.4 D.6
6. [变式]下列式子变形正确的是( )
C
A. B. C. D.
【考点3】分式的运算（5年4考）
乘法 法则：分式乘分式，用分子的积作为积的______，分母的积作为
积的______，即 ___.
除法 法则：分式除以分式，把除式的______、______颠倒位置后，与
被除式相乘，即_____ ___.
乘方 分式的乘方要把______、______分别乘方，即 ___.
分子
分母
分子
分母
分子
分母
加减 同分母分式相加减，______不变，把______相加减，即
_ ___.
异分母分式相加减，先______，变为________的分式，再加减，
即 ______.
分母
分子
通分
同分母
续表
7. [典型试题]先化简，再求值：，其中 .
解：原式
当时，原式 .
8. [2023福建中考]先化简，再求值：，其中 .
解：原式
当时，原式 .
9. [2025福建中考]先化简，再求值： ，其中
．
解：原式
当时，原式 ．
10. [变式]先化简，再从 ，0，1，2中选取一个
适合的数代入求值．
解：原式
由题意，得且
当时，原式（或当时，原式 .）
【考点4】负整数指数幂的运算（5年2考）
当是正整数时，_ __，就是说，是 的倒数.
11. [典型试题]计算：
（1） _ __；
（2） ___；
（3） _ ___．
4
12. [2021福建中考]计算： ．
解：原式
．
13. [2025广安中考]计算： .
解：原式
.
14. [变式]计算： .
解：原式
.(共15张PPT)
第4课时 因式分解
【考点1】因式分解
概念 把一个________化成几个整式的______的形式,这样的式子变形叫
作这个多项式的因式分解,也叫作把这个多项式分解因式.
关系 因式分解与整式乘法都是多项式的恒等变形,它们互为逆运算.
多项式
乘积
1. [典型试题]下面各式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
C
A. B.
C. D.
2. [变式]下列各式从左到右的变形,不是因式分解的是( )
B
A. B.
C. D.
【考点2】提公因式法因式分解（5年1考）
公因式 多项式各项都含有的______,叫作这个多项式的公因式,公因式
可以是单项式也可以是多项式.
步骤 确定公因式,可按系数大（最大公约数）、字母同（各项相同的
字母）、指数低（相同字母的指数取次数最低的）的规律来取.
将各项的公因式提出来,并确定另一个因式；用式子表示:
_____________.
因式
3. [典型试题]把下列各式分解因式:
（1） ____________；
（2） _____________；
（3） ________________；
（4） ________________.
4. [2024福建中考]因式分解： _________．
5. [2025广东中考]因式分解： __________．
6. [2025江西中考]因式分解： _________．
7. [变式]因式分解: ______________.
8. [变式]因式分解: _________________.
【考点3】公式法因式分解
平方差公式 ______________.
完全平方公式 _________.
*十字相乘法 ______________.
___________________
9. [典型试题]把下列各式分解因式:
（1） ___________________；
（2） __________；
*
（3） ______________.
10. [2025扬州中考]因式分解： ______________．
11. [2025甘肃中考]因式分解： _________．
12. [变式]把下列各式分解因式:
（1） ________________________；
（2） ______________．
【考点4】多步因式分解
一提 如果多项式各项含有公因式,那么第一步是提取这个公因式；
二套 如果多项式各项没有公因式,那么第一步考虑用公式分解因式；
三审 第一步分解因式以后,所含的多项式若还可以继续分解,则需要进
一步分解因式,直到每个多项式因式都不能分解为止.
13. [典型试题]因式分解:
（1） _______________；
（2） ____________；
（3） _________；
（4） ______________.
14. [2025青岛中考]因式分解: _______________．
15. [2025绥化中考]因式分解: ____________．
16. [变式]因式分解: _________．
【考点5】因式分解的应用（5年1考）
17. [典型试题]已知,,则 的值为________.
18. [2025内江中考]已知实数，满足，求 的值．
解：
．
19. [2024福建中考]已知实数,,,,满足, ．
求证： 为非负数．
证明：由，得，
为非负数．
20. [变式]如果一个三角形的三边,,满足 ,判断这个
三角形的形状.
解:
或
或
这个三角形是等腰三角形.
21. [变式]设是一个四位数，如果 ，那么这个数一定
是11的倍数．为什么？
解:由题意，得
是整数
这个数一定是11的倍数．

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