资源简介

(共12张PPT)
专题11 全等三角形（1）
【中考热点1】轴对称型
1. [典型试题]如图，， .求证：
.
证明：
在和 中
.
.
2. [2025自贡中考]如图，，．求证： ．
证明：
，即
在和 中
．
【中考热点2】平移型
3. [典型试题]如图，点，，， 在一条直线上，
，， .
求证： .
证明：
在和 中
.
.
4. [2025苏州中考]如图，是线段 的中点，
， ．
求证： ．
证明：
是线段 的中点
在和 中
.
．
【中考热点3】旋转型
5. [典型试题]如图，，，，求证： .
证明：
即
在和 中
.
.
6. [2025内江中考]如图，点，，，在同一条直线上， ，
， ．
求证： ．
证明：
在和 中
.
．
D
1
3
2
B
Q
C
证明：∠3=∠4
.∠ABD=∠ABC
在入ABC和△ABD中
∠2
R
∠AB
ABD
,人ABC2人ABD(ASA)
.AC=AD
E
C
A
B
证明：∠ABE=∠BAF
.CB=CA
∴.CB十CE=CA+CF,即BE
AF
在人ABE和△BAF中
BE=AF
∠ABE=∠BAF
AB=BA
∧ABE≌人BAF(SAS)
AE=BF
A
D
B
E
C
F
证明：BE=CF
.BE+EC=CF十EC
BC=EF
在入ABC和△DEF中
AB
二
AC
BC
·△ABC≌△DEF(SSS)
D
E
A
C
B
证明：CD//BE
.∠DCA=∠B
C是线段AB的中点
AC=CB
在△DAC和人ECB中
∠A=∠ECB
AC=
∠DCA
.△DAC≌△ECB(ASA).
A
D
E
2
1
B
C
证明：∠1=∠2
∴.∠1+∠ECA=∠2+∠ECA
即ㄥBCA=∠ECD
在入DEC和△ABC中
∠DCE=∠ACB
EC=BC
·△DEC≌△ABC(SAS)
DE=AB
A
C
B
F
E
D
证明：AB//DE
.∠B=∠E
在△ABC和入DEF中
∠B
二ㄥE
LA=
∠D
.△ABC≌△DEF(AAS.(共13张PPT)
专题13 锐角三角函数的应用
【中考热点1】解直角三角形
1. [典型试题]如图，在中，于点 ，
， ．
（1）求 的长；
解：
在中，，
；
（2）若，求 的值．
在中，，
在中， ．
2. [2025乐山中考]如图，在中， ， ，
．求 的长．
解：如图，过点作于点
在中，，
在中，
．
3. [变式]如图,在中, , ,
, ,求 的长.
解:过点作于点
在中,
设,则
解得
,
在中,
.
【中考热点2】三角函数的实际应用
4. [典型试题]如图,海中有一个小岛,它周围 内有暗礁.渔船跟踪
鱼群由西向东航行,在点测得小岛在北偏东 方向上,向东航行
到达点,这时测得小岛在北偏东 方向上.如果渔船不改变
航线继续向东航行,有没有触礁危险
解:过点作交延长线于点 ,根据题意,得
,
在中,
在中,
解得
渔船不改变航线继续向东航行,没有触礁危险.
5. [2025青岛中考]学校综合实践小组测量博
学楼的高度．如图，点，，，， 在
同一平面内．点，， 在同一水平线上，
一组成员从高的厚德楼顶部 测得博学
楼顶部的俯角为 ，另一组成员沿 方
向从厚德楼底部点向博学楼走到达点，在点测得博学楼顶部
的仰角为 ，求博学楼 的高度．
解：过点作，垂足为 ，则四边形
为矩形，
， ，
设 ，
则
在中，
在中，
解得
博学楼的高度约为 .
6. [变式]为方便行人,打算修建一座高 的过街天桥,已知天桥的斜面坡
度为,计算斜坡的长度.（参考数据: ,结果取整数）
解: 天桥的斜面坡度为 1.5
在中,
答:斜坡的长度约为 .(共11张PPT)
专题12 全等三角形（2）
【中考热点1】以平行四边形为背景
1. [2025龙岩质检]如图，点，在的对角线 上，且
．求证： ．
证明： 四边形 是平行四边形
，
在和 中
.
.
2. [2025武汉模拟]如图，点，分别在 的边
，上，与相交于点， ．求证：
.
证明： 四边形 是平行四边形
，
在和 中
.
.
【中考热点2】以矩形为背景
3. [典型试题]如图，在矩形中，点在 边
上，，，垂足为 ．
求证： ．
证明： 四边形 为矩形
，
，
在和 中
.
.
【中考热点3】以菱形为背景
4. [2024泸州中考]如图，在菱形中，，分别是边， 上的
点，且 ．
求证： ．
证明： 四边形 是菱形
即
在和 中
.
．
【中考热点4】以正方形为背景
5. [2025福州模拟]如图，在正方形中，点，分别在边，
上，，与交于点．求证： ．
证明： 四边形 是正方形
，
在和 中
.
．
A
D
F
E
B
C
证明：：四边形ABCD是平行四边形
:AB=CD,AB//CD
.∠ABE=∠CDF
在人BAE和△DCF中
AB=CD
∠ABE=∠CDF.
BE=DF
·△BAE≌△DCF(SAS
AE=CF.
A
F
D
B
E
C
证明：四边形ABCD是平行四边形
AD//BC
.∠FAO
=∠ECO
∠CE
在人A0和入COE中
∠FAO
=∠ECO
CEO
.∧AOF2∧COE(AAS
A
D
B
E
C
证明：四边形ABCD为矩形
.∠DAF十∠BAE=∠DAB=90°，∠B
∠AFD=∠B=90
∠DAF+∠ADF
90
∴.∠ADF=∠BAE
在△ADF和△EAB中
∠AFD
∠B
∠ADF
△EAB(AAS
BE=A正
D
C
F
A
E
B
证明：四边形ABCD是菱形
AB=BC
AB-AE=BC-CF
即BE=BF
在△ABF和人CBE中
AB=CB
∠B
·△ABF≌△CBE(SAS)
5.AF
CE
A
D
F
B
E
C
证明：四边形ABCD是正方形
AB
=AD,∠DAB=∠B=90°
在入ABE和△DAF中
AB
∠B=∠DAF
BE
.入ABE≌人DAF(SAS)
◆
∠BAE=∠ADF
·∠BAE+∠DAP=∠DAB=90(共10张PPT)
专题4 方程（组）与不等式（组）的应用
【中考热点1】列二元一次方程组解应用题
1. [典型试题]某商场购进A,B两种商品,已知购进3件A商品和5件B商品费
用相同；购进3件A商品和1件B商品总费用为360元.A,B两种商品每件进
价各为多少元
解:设A商品每件的进价为元,B商品每件的进价为 元
根据题意,得
解得
答:A商品每件的进价为100元,B商品每件的进价为60元.
2. [2025青海中考]我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：
“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半
斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在
分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分7两，则还多4两；若每
人分9两，则还差8两．请问：有多少客人？分多少银两？”
解:设客人为人，银两为 两
根据题意,得 解得
答:有6个客人，分46两．
【中考热点2】列一次方程（组）及一元一次不等式解应用题
3. [典型试题]今年植树节,某班同学共同种植一批树苗,若每人种3棵,则剩
余20棵；若每人种4棵,则还缺25棵.
（1）求该班的学生人数；
解:设该班的学生人数为 人,根据题意,得
，解得
答:该班的学生人数为45人；
（2）这批树苗只有甲,乙两种,其中甲种树苗每棵30元,乙种树苗每棵40元.
购买这批树苗的总费用没有超过5 400元,请问至少购买了多少棵甲种树苗
设购买甲种树苗棵,则购买乙种树苗 棵,根据题意,得
，解得
的最小值为80
答:至少购买了80棵甲种树苗.
4. [2025长沙中考]为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推
动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的
农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级
农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千
克B等级农产品共收入68元．（不考虑加工损耗）
（1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多
少元？
解：设每千克A等级农产品的销售单价为 元，每千克B等级农产品的销
售单价为 元
根据题意，得 解得
答：每千克A等级农产品的销售单价为12元，每千克B等级农产品的销售
单价为10元；
（2）若该食品企业以每千克8元购进6 000千克农产品，全部加工后对外
销售，要求总利润不低于16 000元，则至少需加工A等级农产品多少千克？
设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品 千克
根据题意，得
解得
答：至少需加工A等级农产品2 000千克．
【中考热点3】列分式方程解应用题
5. [典型习题]某网店开展促销活动,其商品一律按8折销售,促销期间用400元
在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件.问:该商品打折前每件多少元
解:设该商品打折前每件元,则打折后每件 元.
根据题意,得
解得
经检验 是原方程的解,且符合题意
答:该商品打折前每件50元.
6. [2025长春中考]小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度
是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平
均速度．
解：设小林跑步的平均速度为米/秒，则小吉的平均速度为 米/秒，
根据题意，得
解得
经检验 是原方程的解，且符合题意
答：小林跑步的平均速度为4米/秒．(共11张PPT)
专题2 式的恒等变形
【中考热点1】运用因式分解恒等变形
1. [典型试题]求证:当 是整数时,两个连续奇数的平方差
是8的倍数.
证明:
当是整数时,两个连续奇数的平方差 是8的倍数.
2. [变式]设是正整数,求证: 能被10整除.
证明:
是正整数
是正整数
能被10整除.
【中考热点2】运用整体代换恒等变形
3. [典型试题]已知,求 的值．
解:
.
4. [2025宜宾中考]已知,,,, 是五个正整数,去掉其中任意一个数,
剩余四个数相加有五种情况,和却只有四个不同的值,分别是45,46,47,48,
求 的值．
解:设，令 ，
，，
，
是45，46，47，48中的一个，并且 是整数
．
【中考热点3】运用乘法公式恒等变形
5. [典型试题]已知, ,求下列各式的值.
（1） ；
解:原式 ；
（2） ；
原式 ；
（3） .
原式 .
6. [2025浙江中考]【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式：
，近似计算算术平方根的方法．例如求 的
近似值：
则 可以设成以下两种形式：
，其中；，其中 ．
小明以①的形式求 的近似值的过程如表．
因为，所以，即 ．
因为比较小，将 忽略不计，
所以，即，解得
故 .19.
【尝试探究】
（1）请用②的形式求 的近似值（结果保留2位小数）；
解：设，其中
，即
比较小，将 忽略不计
；
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的 的近似值的精确度更高，请说明理
由．
解：用①的形式得出的 的近似值的精确度更高，理由如下:
∵， ，
用①的形式得出的 的近似值的精确度更高．(共11张PPT)
专题9 数据的分析
【中考热点1】加权平均数的应用
1. [典型例题][2024福建中考]已知A，B两地都只有甲、乙两类普通高中
学校.在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3 000人，
数学平均分为90分；乙类学校有考生2 000人，数学平均分为80分.
（1）求A地考生的数学平均分；
解：由题意，得A地考生的数学平均分为
（分）
（2）若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，
据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，
请给予证明；若不能，请举例说明.
不能.
举例如下：如B地甲类学校有考生1 000人，乙类学校有考生3 000人
则B地考生的数学平均分为 （分）
因为 ，所以不能判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平
均分高.
（答案不唯一，只要能作出正确判断，并且所举的例子能说明其判断即
可）
2. [变式][2025自贡中考]某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、
乙、丙三位选手的得分如表所示.三项评分所占百分比如图所
示，请通过计算判断平均分最高的是哪一位选手.
选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分
甲 7 7 9
乙 8 7 8
丙 7 8 8
解：甲的平均分为
乙的平均分为
丙的平均分为
平均分最高的是选手乙.
【中考热点2】统计图表的分析与计算
3. [典型例题]为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间
（单位：），随机调查了该校八年级 名学生，根据统计的结果，绘制
出如图的统计图①和图②.
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：的值为____，图①中 的值为____，统计的这组学生每周
参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为___和___；
50
34
8
8
（2）这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数为_____；
8.36
（3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学
生每周参加科学教育的时间是 的人数有多少？
解：
答：估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是 的人数有150人.
4. [变式][2025贵州中考]小星想了解某青少年训练营甲、乙、丙三名队
员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了
如下统计图（不完整）：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲队员成绩的众数为___环，乙队员成绩的中位数为___环；
8
7
（2）你认为甲、乙两名队员哪一个射击的整体水平高一些？____
（填“甲”或“乙”）；如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射
击成绩会发生改变的统计量是________（填“平均数”“众数”或“中位
数”）；
甲
平均数
（3）若丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在
图②中补全丙队员的成绩.（画出一种即可）
解：补全丙队员的成绩如图所示.(共10张PPT)
专题1 数与式的运算
【中考热点1】实数运算
1. [典型试题]计算:
（1） ;
解:原式
;
（2） .
解:原式
.
2. [2025贵州中考]计算： .
解：原式
．
3. [2025威海中考]计算： ．
解：原式
．
4. [2025北京中考]计算： ．
解：原式
．
5. [2025青海中考] .
解:原式
.
6. [变式]计算： ．
解:原式
．
【中考热点2】分式化简
7. [典型试题]先化简,再求值:,其中 .
解:原式
当时,原式 .
8. [2025广安中考]先化简，再求值：，其中．
解:原式
当时，原式 ．
9. [2025眉山中考]先化简，再求值：，其中， 满
足 ．
解：原式
,
,
原式 ．
10. [2025青海中考]先化简，再从 ，0，1中选一个合
适的数代入求值．
解：原式
由题意得
当时，原式 .
（或当时，原式 .）
11. [2025广州中考]求代数式的值，其中 ．
解：原式
当 时
．
解：原式=
x+2-一1
x+2
x+2
x+1)x-1)
x+1
x+2
x+2
x十1)x-1
当x=√2+1时，原式=
解：原式=[a+7
x-y
x-y
x
(x+y)(x-y
x+y
(x+2)2+y-1|=
.x十2=
原式=
一2↓1
解：原式=
a+2
a2-4
(a+2)(a-2)
2
2
=a-2
a+2
a+2
+2
由题意得a≠士2
当a=0时，原式=0一2=-2.
(或当a=1时，原式=1一2=-1.)(共10张PPT)
专题8 函数的图象与性质（2）
【中考热点1】抛物线的对称性与增减性
【知识梳理】 _________________________________________________ _________________________________________________ 对称性：若或 ，其中
，则
增减性：靠近顶点靠近轴，根据开口判大小.
当时，
当时，
1. [典型试题][2019福建中考]若二次函数 的图象经过
，，，，，则，， 的
大小关系是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 二次函数图象经过，
二次函数的对称轴为直线
点与对称轴的距离最远，点 与对称轴的距离最近
. 故选D.
2. [2025南平一检]在平面直角坐标系中，已知抛物线
与轴正半轴有交点，当时， ；
当时，，则 的值等于( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 由题意，得抛物线的对称轴为直线
当时，
由抛物线的对称性可知当 时，
当时，
当时，解得 . 故选：B.
3. [变式]已知二次函数，当 时，
，且该二次函数的图象经过点，
两点，则 的值可能是( )
A
A.3 B.2 C.0 D.1
[解析] 根据题意可知，该二次函数开口向下
对称轴为直线
与点相比，点 更靠近对称轴
即整理，得
或 . 故选：A.
【中考热点2】二次函数图象的特征与系数，， 的关系
4. [典型试题][2025广安中考]如图，二次函数
，，为常数，的图象交 轴
于，两点，点的坐标是，点的坐标是 ，
有下列结论：；；③关于 的
方程的解是， ；
.其中所有正确结论的序号是________.
①③④
[解析] 根据图象可得：抛物线的开口向下，交 轴于正
半轴
，，对称轴为直线
，故结论①④正确；
由函数的图象可得：当时，，即 ，
故结论②错误；
二次函数的图象交轴于点，点
关于的方程的解是， ，故结论③正确.
5. [2025绥化中考]如图，二次函数
与轴交于点，，与 轴交于点
，其中 .则下列结论：
；②方程 没有实数
根；； .
所有正确结论的序号是________.
①③④
[解析] 由图象可知 ，对称轴直线为
当时，
，即
，故①正确；
由图象可知抛物线与直线 有两个不同的交点
方程 有两个不相等的实数根，故②错误；
抛物线与轴交于点 ，其
中
当，
，
，解得 ，故③正确；
当时，
，故④正确.(共16张PPT)
专题14 尺规作图（1）
【中考热点1】直接考查5种基本尺规作图及应用
1. [典型试题]如图,在中,, .
（1）求作的角平分线 ；（要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）
解:如图所示,的角平分线
即为所求；
（2）在（1）的条件下,若,求 的长.
,
是 的角平分线
，
,
,即 解得 .
2. [2025新疆中考]如图，在四边形中，， 是对角线．
（1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段 的垂直平分线，
垂足为点，与边，分别交于点， （要求：不写作法，保留作
图痕迹）；
解：如图，直线 即为所求；
（2）在（1）的条件下，连接，，求证：四边形 为菱形．
证明： 直线是线段 的垂直平分线
，，
，
四边形 为菱形．
3. [2025项城模拟]如图，在中， ，
．
（1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作
，交于点 ；（保留作图痕迹，不写
作法）
解：如图， 即为所求；（作法不唯一）
（2）在（1）的作图下，求证：
．
证明： ，
在中，
在中，
．
4. [2025河南模拟]如图，是的直径，点在线段 的延长线上，
直线与相切于点．连接 ．
（1）尺规作图：过点作，交延长线于点 ；（保留作图痕
迹，不写作法）
解：如图所示，线段 即为所求；
（2）求证：平分 ．
证明：连接
直线与相切于点
平分 .(共11张PPT)
专题6 方程（组）与函数的应用
【中考热点1】方程（组）与一次函数
1. [典型试题]某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文
创产品数量相同.每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元.
（1）求A,B两款文创产品每件的进价各是多少元
解：设A款文创产品每件的进价是 元,则B款文创产品每件的进价是
元
根据题意,得，解得
经检验,是原分式方程的解,且符合题意,此时
答：A款文创产品每件的进价是80元,B款文创产品每件的进价是65元；
（2）已知A款文创产品每件售价为100元,B款文创产品每件售价为80元.
根据市场需求,商店计划再用不超过7 400元的总费用购进这两款文创产
品共100件进行销售,问:这一次怎样进货才能使销售完后获得的利润最大,
最大利润是多少元
解：设购进A款文创产品件,则购进B款文创产品件,总利润为
根据题意,得，解得
随 的增大而增大
当时,利润最大, ，
答：购进A款文创产品60件,购进B款文创产品40件,才能使销售完后获得的
利润最大,最大利润是1 800元.
2. [2025黑龙江中考]2024年8月6日,第十二届世界运动会口号“运动无限,
气象万千”在京发布,吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相.第一中学为鼓励学生积
极参加体育活动,准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生.
已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元,购买2个“蜀宝”和3个“锦
仔”共需380元.
（1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元
解：设购买一个“蜀宝”需要元,购买一个“锦仔”需要 元,根据题意,得
解得
答：购买一个“蜀宝”需要88元,购买一个“锦仔”需要68元;
（2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个,投入资金不少于2 160元,求
怎样购买才能使需要的资金最少 最少资金是多少元
解：设购买“蜀宝”个,则购买“锦仔” 个,根据题意,得
，解得
设学校投入资金元,根据题意,得
随 的增大而增大
当时,的值最小,,
答：购买“蜀宝”6个,购买“锦仔”24个需要的资金最少,最少资金是2 160元.
【中考热点2】方程（组）与二次函数
3. [典型试题][2018福建中考]如图,在足够大的空地上有一段长为 的旧
墙,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园,其中 ,已知
矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了木栏.求矩形菜园 面积
的最大值.
解：设,矩形菜园面积为 ,
根据题意,得
下面分两种情况讨论
①若,则当时,最大， 的最大值为1 250
②若
时,随 的增大而增大
当时,的最大值为
综上所述,当时,矩形菜园面积的最大值为
当时,矩形菜园面积的最大值为 .
4. [变式]某商店购进一批单价为20元的日用商品,在半
月内,销售量（单位:件）与销售单价 （单位:元/件）
之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
（1）求半月内与 之间的函数解析式;
解：设半月内与之间的函数解析式为 ,根据题意,得
解得
半月内与之间的函数解析式为 ;
（2）在半月内,若销售单价不低于36元,且商店还要完成不少于120件的
销售任务,当销售单价为多少时,商店获得利润最大 最大利润是多少
解：根据题意,得 解得
设商店获得利润为 元,根据题意,得
在范围内随 的增大而减小
当时,商店获得利润 最大,
（元）
答：当销售单价为36元时,商店获得的利润最大,最大利润为4 480元.(共17张PPT)
专题19 二次函数中的面积计算
【中考热点】二次函数中的面积计算，是以抛物线为载体的面积计算，
这几年在福建省的中考中常以解答题的形式出现，解题时常把面积问题
转化为线段问题，或利用平行线的方式，或利用面积和差的方式等.
1. [2025福州模拟]如图，二次函数 的图象
与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点 .
（1）求点 的坐标；
解：在中，当 时，
，解得， ；
（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交 轴
于点，的面积是面积的倍，求点 的坐标.
的面积是面积的 倍
解得
点在第二象限
是二次函数 图象上的一点
点的坐标为 .
2. [变式]如图1，直线与轴交于点，与轴交于点 ，抛物
线经过，两点，与 轴的另一交点为点A.
图1
图2
（1）此抛物线的解析式为_________________；
（2）如图2，为直线上方抛物线上一动点，连接， ，设直线
交线段于点，的面积为，的面积为，当
时，求点 的坐标.
图1
图2
解：分别过点，作轴的平行线，交直线 于点
和点
设点， ，则
在中，当时， ，
在中，当时，
，
解得，
点的坐标为或 .
3. [变式]如图，二次函数的图象与轴交于， 两点，
与轴交于点，且点的坐标为 ，该二次函数图象与直线
交于，两点，连接， .
（1）填空：的值为____，点 的坐标为______；
（2）是二次函数图象上的一点，连接，，若 ，
求点 的坐标.
解： 二次函数的图象与轴交于 ，
两点
解得
二次函数的解析式为
当时，，解得，
或
当时，，解得
综上所述，点的坐标为或 或
.
4. [变式]如图，抛物线与轴交于， 两点，
与轴交于点，连接，点 是抛物线上一动点.
（1）该抛物线的解析式为_______________；
（2）当点在第二象限时，连接交轴于点，连接.记 ，
的面积分别为，，若，求点 的坐标.
解：连接，设交轴于点
，，
设点
直线的解析式为
解得， （舍去）
点的坐标为 .(共13张PPT)
专题18 圆的有关计算
【中考热点】圆的有关计算通常在中考的填空题中出现，解答题中圆的
有关计算常与圆的性质、圆的切线一起综合考查，通常考查不规则图形
的面积计算，解题时关注特殊角.
1. [典型试题]如图,的半径为2,等边三角形是 的内接三角形.
求 的长和阴影部分的面积.
解:连接,,过点作于点,则 ,
,
等边三角形是 的内接三角形
,
在中, ,
.
2. [2025青海中考]如图，线段经过圆心,交于点,,为 的
弦，连接, .
（1）求证：直线是 的切线；
证明：连接
是 的半径
直线是 的切线；
（2）已知,求 的长.
解：在中，
.
3. [变式]如图,在中, , ,, 的平
分线交于点,以点为圆心,长为半径作弧,交于点 ,求阴影部
分的面积.
解: , ,
,
平分
.
4. [变式]如图，在矩形中，,以点为圆心， 长为半径
的圆交于点,交的延长线于点,设 .求阴影部分的面积.
解：连接
四边形 是矩形
,
, ,
,
在中，
.
A
·
B
D
解：连接OB,OC,过，点O作OD L BC于点D,则0B=OC=2,
L0DC=90°，BC=2CD
等边三角形ABC是⊙O的内接三角形
AB=AC=BC
AB=AC=BC
.∠B0C=360°÷3=120°
120XT×2
2
120XmX2
4
◆
180
扇形
BC
360
3
.∠0CD=(180°-120)÷2=30
在RtA0DC中，0D=0C=×2
=1,
CD =VOC2 -OD2
.BC=2CD=2√3
OBC
BC0D=×2W3×1=3
3
阴影
D
A
O
C
B
◆
∠A=30°
.∠B0D=2ㄥA=2X30°=60°
∠B=30
.∠0DB=180°-∠B-∠BOD=90°
.BD⊥OD
·OD是⊙O的半径
直线BD是⊙O的切线；
解：在Rt△ODB中，∠B=30°
.0B=20D=20C
·BC=0B-0C=2
.0C=2
◆
∠C0D=60°
60TX2
2π
I.
180
B
E
C
D
.∠CBD=∠DBA=∠A=30
AD=BD=2CD
∴.AC=CD+AD=3CD=3
CD
BD
D
=2
3xv3
1xv3
30mX22
π
阴影
△ABC
△BCD
扇形BED
3
2
2
360
3(共9张PPT)
专题3 解方程（组）与不等式（组）
【中考热点1】解二元一次方程组
1. [典型试题]解方程组
解:,得
解得
将代入②,得
解得
原方程组的解为
2. [2025德阳中考]解方程组
解:,得
把代入①,得
解得
原方程组的解为
【中考热点2】解一元一次不等式（组）
3. [典型试题]解不等式组
解:解不等式①,得
解不等式②,得
不等式组的解集为 .
4. [2025连云港中考]解不等式组
解:解不等式①,得
解不等式②,得
不等式组的解集为 ．
5. [变式]解不等式组 并求出它的所有整数解的和．
解：解不等式，得
解不等式，得
不等式组的解集为
整数解为1，2，3
不等式组整数解的和为6．
【中考热点3】解分式方程
6. [典型试题]解分式方程： ．
解：方程两边同乘，得
解得
检验：当时，
原分式方程的解为 ．
7. [2025北京中考]解方程： ．
解：方程两边同乘,得
解得
检验:当时，
原分式方程的解为 ．
8. [变式]解分式方程： ．
解：方程两边同乘，得
解得
检验：当时，
原分式方程无解．
解：①×2+②
×3,得13x=26
解得x=2
将x=2代入②，得3×2-2y=0
解得y=3
2
原方程组的解为
=3
解：②-（①×2，得x=20
把x=20代入①，得20+y=50
解得y=30
(x=20,
原方程组的解为
y=30
解：解不等式2x一6≤0，得x≤3
解不等式x<,得x>
不等式组的解集为片整数解为1,2,3
不等式组整数解的和为6。
解：方程两边同乘(x一刀，得x一3一x=x一7
解得x=4
检验：当x=4时，x一7≠0
原分式方程的解为x=
4。
解：方程两边同乘x(x一6)，得2x+x一6=0
解得x=2
检验：当x=2时，x(x一6)≠0
原分式方程的解为x=2.
解：方程两边同乘(x2-4),得(x一2)一(x2一4)
=16
解得x=一2
检验：当x=一2时，(x+2)(x一2)
0
原分式方程无解(共16张PPT)
专题15 尺规作图（2）
【中考热点1】间接考查5种基本尺规作图及应用
1. [典型试题]如图,在四边形中,,将线段绕点 逆
时针旋转 得线段 ．
（1）求作线段 ；（要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）
解:如图所示,线段 即为所求；
（作法不唯一）
（2）在（1）的条件下,连接,求证: .
证明:
是等边三角形
绕点旋转 得线段
,
即
在和 中
．
2. [2025青岛中考]已知：如图，是 内部一点．
求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边 经过点
．
（要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）
解：如图所示， 即为所求．
3. [变式]如图,在中, .
（1）求作一个菱形,使得点,,分别在,, 边上；
（要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）
解:如图所示,菱形 即为所求；
（2）判断菱形面积与面积 的数量关系,并说明理由.
.
理由: 四边形 是菱形
平分,
同理
,
.
4. [变式]如图,在中, .
（1）求作,使得与相切于点 ；
（要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）
解:如图所示, 即为所求；
（2）在（1）的条件下,设交于点,过点作,垂足为 ,若
,求 的值.
由（1）作图知 ,设 的半
径为,,则
四边形 是平行四边形
四边形 是平行四边形
,
,即
解得或 （舍去）
.(共8张PPT)
专题20 综合与实践
【中考热点】近年来，综合与实践类问题开始引起各地中考的高度重视，
成为热门的一种考试类型，福建省的中考中以解答题的形式出现.综合实
践题的一大特点，题目描述常常以通篇的形式呈现，阅读量极大，解题
时对数学的阅读理解能力要求极高.
1. [典型试题]#1
设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方案 素材一 图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹桥”，也 是近年来比较热门的网红打卡点，它由200多 个铁架和2 400多个灯笼组成. 如图2，每个铁架的横截面可以分为3段，其 中，是固定支架，分别与地面 垂 直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高 点离地面的距离是， ， . _____________________________________
_____________________________________
图1
图2
设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方案 素材二 由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替 换成长度为 的彩色灯带，沿抛物线 （主体支架）安装（如图3），且相邻两条灯 带安装点的水平间距为 .为了安全起见， 灯带底部与地面的距离不低于 .灯带安装 好后成轴对称分布.
图3
问题解决#1.1.1
续表
任务一 确定主体支架的形状
请在图2中以点 为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；
图2
解：以所在直线为轴，所在直线为 轴，
以 为一个单位长度，建立如图所示的平面
直角坐标系
由已知可得顶点的横坐标为2，纵坐标为
，点的坐标是
设抛物线的解析式为
抛物线过点
解得
抛物线的解析式为 ；
图2
任务二 探究安装范围
在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围；
由于固定支架长为，因此要使灯带底部与地面的距离不低于 ，
只需要让安装点到轴的距离不小于
解得，
安装点的横坐标取值范围为 ；
任务三 拟定设计方案
在同一个横截面下，最多能安装几条灯带？并求出此时最右边灯带安装
点的坐标.
最多可以安装 条灯带
最右边灯带的横坐标为：
最右边灯带安装点的坐标为 .(共14张PPT)
专题7 函数的图象与性质（1）
【中考热点1】双曲线的对称性
【知识梳理】
轴对称：双曲线关于直线 = 与直线 = 对称
相关性质：
点( , )关于直线 = 对称的点坐标为( , )
点( , )关于直线 = 对称的点坐标为( , )
中心对称：双曲线关于原点成中心对称
1. [典型试题][2019福建中考]如图，菱形顶点 在函数
的图象上，函数的图象关于直线 对
称，且经过点，两点.若， ，则 _________．
[解析] 过作轴，过作轴， 与
交于点
函数的图象关于直线 对称
点，在直线上， ，
， ，
由.得，则，
.
2. [变式]在平面直角坐标系中，已知点是反比例函数 图
象上的任意一点，连接 并延长交反比例函数图象于点C.现有以下结论：
①点一定在反比例函数的图象上；②过点作 轴于
，；③分别过点，作的垂线交反比例函数 图象
于点，，则四边形是平行四边形；④若点， 在反比例函数
的图象上，且，则四边形 为平行四边形.其中所有正
确结论的序号的是______.
①③
[解析] ①由反比例函数的对称性，得①正确；
不知正负， ，故②错误；
③由反比例函数的对称性，得
可证，
四边形 是平行四边形，故③正确；
④反比例函数图象一支上到点 的距离为
定值（不为零）的点有两个
当点，在反比例函数的图象上且时
四边形 不一定为平行四边形，故④错误.
【中考热点2】双曲线截直线等长性质
【知识梳理】性质：，
简析：
，，
四边形与 是平行四边形
.
3. [典型试题]如图，一次函数 的图象
与，轴交于，两点，与反比例 的图象
交于，两点，分别过，两点作轴， 轴的
垂线，垂足为，，连接，， ，有下
列结论：与 面积相等；
①②④
；； . 其中所有正确结论的序号
是________.
[解析] ①设点的坐标为，则
同理可得，故
故①正确；
②若和以为底，则 边上的高
相等，故 ，故②正确；
③当时， ，这两三角形不全等，
故③错误；
④四边形，四边形 都是平行四边形
，故④正确.
4. [2025宜宾改编]如图，直线与反比例函数 的图象交
于点，，交轴于点，若，且点在直线 上，则点
的坐标为_ ________.
[解析] 如图，过点作轴交于点 ，设直线
交轴于点，则
由.得点的坐标为
且
点的坐标为 .(共13张PPT)
专题16 圆的性质
【中考热点】在福建省中考中，圆的性质主要考查与圆周角有关的定理
应用，2022版新课标明确要求理解与掌握垂径定理及其应用，所以这也
是今后中考的一个考点，考题的体现也会从选择填空题向解答题转变.
1. [典型试题]如图,四边形内接于,为 的直径,
.
（1）试判断 的形状,并给出证明；
解: 是等腰直角三角形
证明:连接
为 的直径
是等腰直角三角形；
（2）若,,求 的长度.
在中,
为 的直径
在中,,
.
2. [2025集美模拟]如图，在的内接四边形 中，
,对角线是的直径.求证： .
证明：
是 的直径
.
3. [2025厦门模拟]如图，四边形内接于 ,
,,在的延长线上取一点 ,使得
.求证： .
证明：连接
,
四边形 是圆内接四边形
.
4. [变式]如图，是的直径，点,在 上，
,求证： .
证明：
.
5. [变式]数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半
径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点,,连接,作 的垂
直平分线交于点,交于点,测出, ,求该
圆形工件的半径.
解：设圆心为,连接,则直线过点,设
,
垂直平分,
,
在中，
解得
答：该圆形工件的半径为 .
6. [变式]如图，点,,,在上， , ,
,求 的周长.
解： ,
是等边三角形
过点作,垂足为,则
,
的周长为 .(共11张PPT)
专题10 随机事件的概率
【中考热点1】用列表法或画树状图法求放回型的概率
1. [典型例题][2025福州一检]2024世界航海装备大会，以“承载人类梦想
驶向星辰大海”为主题，于2024年11月15日至18日在福州海峡国际会展中
心举办．为进一步提升学生对航海知识的了解，学校精心组织了一场航
海知识竞赛，竞赛设置了A，B，C，D四个赛道．甲、乙两名同学被随
机安排参加其中一个赛道，每名同学被安排到各赛道的可能性相同．
（1）求甲同学参加A赛道的概率；
解：根据题意，得甲同学可能被安排赛道共有4个，分别为A，B，C，D，
并且甲同学被安排到每个赛道的可能性相等
（甲同学参加A赛道） ；
（2）求甲、乙两名同学至少有一人参加A赛道的概率．
根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，所有可能出现的结果共有16种，且它们出现的可能性相
等，其中他们至少有一个人被安排到A赛道的结果有7种
（甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道） .
2. [2025吉林中考]在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某
校田径社团开展了“2025健康长跑”活动.由于参加的人数较多，场地空间
有限，活动将分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，
分组工作由计算机软件完成.请用画树状图或列表的方法，求参与者小刚
和小利被分配到同一组的概率.
解：画树状图如下：
由树状图可知，所有可能的情况共有9种，并且它们出现的可能性相等，
其中小刚和小利被分配到同一组的结果有3种
（小刚和小利被分配到同一组） .
【中考热点2】用列表法或画树状图法求不放回型的概率
3. [2023福建中考]为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，
于“五一”期间举办了抽奖促销活动.活动规定：凡在商场消费一定金额的
顾客，均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同
的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得
红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖.同时，还允许未中
奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球
（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，
记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，
则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会.
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
解：根据题意，顾客摸球结果总共有4种，并且每种结果的可能性相同，
其中，摸得红球的结果有1种
（首次摸得红球） ；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他
应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由.
他应往袋中加入黄球.
理由：把往袋中加入的球记为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
第1次 第2次 红 黄① 黄② 黄③ 新
红 红，黄① 红，黄② 红，黄③ 红，新
黄① 黄①，红 黄①，黄② 黄①，黄③ 黄①，新
黄② 黄②，红 黄②，黄① 黄②，黄③ 黄②，新
黄③ 黄③，红 黄③，黄① 黄③，黄② 黄③，新
新 新，红 新，黄① 新，黄② 新，黄③
由表格可知，所有可能出现的结果共有20种，并且它们出现的可能性相等.
若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种
此时该顾客获得精美礼品的概率 ；
若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种
此时该顾客获得精美礼品的概率 ；
他应往袋中加入黄球.(共16张PPT)
专题17 圆的切线
【中考热点】圆的切线是福建中考的必考考点，主要的考查方式是切线
的判定与性质.在解答题中通常先证明圆的切线，再利用切线的性质证明
或计算.
1. [典型试题]如图,在中,,,垂足为,点在 上,
以为圆心,为半径作,与相切于点 .
（1）求证:是 的切线；
证明:连接,过点作,垂足为
是 的切线
,
平分
为 的半径
为 的半径
是 的切线；
（2）若,,求 的半径.
解:连接,,设的半径为
,
解得,即的半径为 .
2. [2025湖南中考]如图，的顶点,在 上，
圆心在边上， ,与 相切于
点,连接 .
（1）求 的度数；
解：与 相切
;
（2）求证： .
证明：
.
3. [变式]如图，为的弦，为的中点，过点作,交
的延长线于点.连接, .
（1）求证：是 的切线；
证明：设交于点
为 的中点
即
是 的半径
是 的切线；
（2）若,,求 的面积.
解：,
.
4. [2025浙江中考]如图，在中，,点在边上，以点
为圆心，长为半径的半圆，交于点,与相切于点,连接, .
（1）求证： ;
证明：
与 相切
;
（2）若,,求四边形 的面积.
解：,
为等边三角形
在中， ,
.(共9张PPT)
专题5 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【中考热点1】一元二次方程根的判别式
1. [典型试题]已知关于的一元二次方程 有两个相等的
实数根,请判断方程 根的情况.
解：关于的一元二次方程 有两个相等的实数根
,即
解得
把代入,得
方程 有两个不相等的实数根.
2. [2025上海中考]若关于的一元二次方程 没有实数根，
求实数 的取值范围．
解：一元二次方程 没有实数根
解得
的取值范围是 ．
3. [2025石狮模拟]已知关于 的一元二次方程
．
（1）求证：该方程有两个实数根；
证明：
该方程有两个实数根；
（2）若 为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理
由．
解：可以，理由如下：
,
当整数或或3时， 也是正整数
该方程的两个实数根可以都为正整数．
【中考热点2】一元二次方程根与系数的关系
4. [典型试题]关于的一元二次方程 有两个实
数根和 ．
（1）求实数 的取值范围；
解：关于的一元二次方程有两个实数根
和
解得
实数的取值范围是 ；
（2）当时，求 的值．
由根与系数的关系得:，
解得或
由（1）得
．
5. [2025南充中考]设，是关于的方程 的两根．
（1）当时，求及 的值；
解：把代入方程，得
，即
解得，
, ;
（2）求证： ．
证明：方程可化为
的两根为和
，
．

展开更多......

收起↑