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高 2026 届高三二诊模拟考试数学试题
时间:120 分钟 满分:150 分
一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求.
1. 已知集合 . 则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知椭圆 的一个焦点是 ,则 ( )
A. B. 3 C. 5 D.
3. 已知向量 与 满足 ，且 ，则 ( )
A. 4 B. 10 C. 20 D. 36
4. 已知变量 之间具有线性相关关系，根据 10 对样本数据求得经验回归方程为 . 若 ，则 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 现有一个迷宫如图所示,小球 从 三个口中的一个口滚动进入后,该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球 从 口滚动进入”是“小球 从 口滚动出来”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 记 的面积为 ， 的外接圆半径为 1，且 . 则 ( )
A. B. C. D.
7. 若 ,则 的最大值为( )
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A. B. C. D.
8. 在四棱锥 中，底面 为矩形， ，且 ，记二面角 为 ，直线 与底面 所成的角为 ，若 ，则 的值的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多项选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分.
9. 设随机变量 的分布列为
1 2
其中 . 若 ,则一定正确的是( )
A. B. C. D.
10. 已知等差数列 的前 项和 存在最大值，且 ,则( )
A. B. C. 当 时 D. 取得最小正值时 为 31 11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 是双曲线右支上任意一点, 为坐标原点,则下列说法正确的是( )
A. 的外接圆半径的最小值为 3 B. 点 到 的两渐近线的距离之积为定值
C. D.
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 把答案填在答题卡上.
12. 已知函数 ,若 ，则 _____
13. 已知 ，则 _____
14. 函数 . 若 在区间 上恒成立,则整数 的最小值是_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 其中 15 题 13 分, 16-17 题 15 分, 18-19 题 17 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间.
16. " 十五五规划 " 是中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划. 成都市为了解市民对 “ 十五五规划 ” 的认知程度，对不同年龄、不同职业的市民举办了一次 “ 十五五规划 ” 知识竞赛，满分为 100 分 (90 分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了 人，按年龄大小分成 5 组，第一组: ,第二组: ,第三组: ,第四组: ,第五组: ,得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有 6 人
从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人群中用分层抽样的方法依次抽取 6 人， 42 人，36 人，24 人，12 人，分别记为 组，从这 5 个按年龄分的组和 5 个按职业分的组中每组各选派 1 人参加 “十五五规划 “知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中 1 ~5 组的成绩分别为 93,96,97,94,90, 职业组中 1 ~5 组的成绩分别为93,98,94,95,90.
(1)求抽取的 人的年龄的中位数(结果保留整数);
(2)分别求 5 个年龄组和 5 个职业组成绩的平均数和方差，并以上述数据为依据，评价 5 个年龄组和 5 个职业组对 “ 十五五规划 ” 的认知程度.
17.如图，正方形 的边长为 分别为边 . 上的点.
(1)若 ，求 ；
(2)当 的周长为 2 时，求 的大小.
高 2026 届高三二诊模拟考试数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C
8 题解:分别取 中点 ，因为 则 在矩形 中， ，所以 平面 ，
过点 在平面 内作 垂足为点 ，连接 ， 平面 ， 所以直线 与平面 所成角为 , 于是 . 设 . 则 . 于是 . . 所以 ,所以 . 解得 或 . 故选:
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 BCD
11 题解: 对于 ,所以 ,当 时, . 故 错误; 对于 ,渐近线方程为 ,则距离之积为 . 故 正确；
对于 , 所以 正确.
对于 ,同理可得 ,于 ,
从而 . 所以 正确.
三、填空题
12. -1
13. 14. 1
18. 如图，在四棱锥 中，底面 为长方形， 底面 为线段 的中点， 为线段 上的动点.
(1)求证:平面 平面 ；
(2)当 为 中点时,平面 与平面 所成二面角夹角的余弦值为 .
(i) 求 的长度;
(ii) 有系列“二分球族” 其中 为 中点, 为 中点, 为 中点,平面 截三棱锥 的外接球 的图形为 的面积为 ，其中 ，请问数列 中是否存在 3 项成等差数列,请说明理由.
19. 如图,已知椭圆 分别是椭圆 的左右顶点, 为椭圆 上动点.
(1)求 的最大值；
(2)动点 满足 ，过 作 于 ，线段 交椭圆 于点 ，过 作 交椭圆 于点 . 求证:直线 过定点； (3)如图，是一个表面被涂上红色的棱长是 的立方体，将其分割成 64 个棱长为 的小立方体放在盒子中摇匀，点 从点 出发沿椭圆曲线在 四点顺时针或逆时针跳动,跳动规则如下. 从一个字母沿椭圆曲线顺时针或逆时针跳动到下一个字母为 1 次跳动，从盒子中有放回的抽取 1 体顺时针跳动 2 次，抽到两面涂红色的小立方体逆时针跳动 2 次，求经过 2026 次操作后点 在 的概率为多少
14 题解: 注意到 ,要使 在区间 上恒成立,则 , 当 时, ,此时 在 上恒成立, 故 在区间 上单调递增,故 ,也即 在 上恒成立, 故整数 的最小值为 1 .
四、解答题
15. 解: (1) 当 时, ,则 , 又 曲线 在点 处的切线方程为 . 6分
(2) , 9 分 ,由 ,得 ,由 ,得 . 12 分
的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . 13 分
16. 解: (1) 根据频率分布直方图得第一组频率为 ,
,解得 . 2 分
设中位数为 第一组 的频率为 ,
第二组 的频率为 ,第三组 的频率为 , 5 分又 ,
则 ,则中位数为 32 岁. 7 分
(2)5 个年龄组成绩的平均数为 ,
方差 . 10 分
5 个职业组成绩的平均数为 ,
方差为 . 13 分
所以从平均数来看两组的认知程度相同, 从方差来看年龄组的认知程度更稳定. 15 分
17. 解:(1)由题意 ，
则
(2)设 ，则 .
. .8 分
由 的周长为 2,得 ,化简得 . 10 分
. 13 分
又 ,所以 .
则 . -15 分
18.(1)证明: 平面 平面 ，
平面 平面 ,
又 平面 平面 ，且 ，
平面 ，
又 平面 ，故 .
在 中， 为线段 的中点，则 .
因为 平面 平面 平面 .
平面 平面 平面 . 4 分
(2) (i) 易知 两两垂直，以 为原点，分别以 所在直线为 轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
令 ,则 ,
,
设 为平面 的一个法向量.
故 即 取 ,
取 为平面 的一个法向量. 8 分
，解得 ，故 . 9 分
.11 分
(ii) 如图,取 中点 ,作 于 .
由 ,所以 满足 .
则 为三棱锥 的球心,其中 .
因为 ,则 ,则 平面平面 ,
则 为三棱锥 的外接球 与 相交的圆的圆心, 为半径
由 ,则
所以圆 的面积 , 13 分
假设存在 且 使得 成等差数列,则 .
即 化简可得
15 分
因为 ,所以 为偶数,即 式不成立,
所以数列 中不存在 3 项成等差数列. 17 分
19. 解: (1) 设 ,根据题意 ,且 ,
,
当且仅当 或 等号成立,
所以 的最大值为 . 3 分
(2)设 ，直线 ，
因为动点 满足 ，则点 在以 为直径的圆 上运动，则 ，
又 ，所以 ，则 . 4 分
6 分
的斜率 ,
因为 ,则 的斜率 .
此时 的斜率 .
则 .
所以 ，① 将 代入①式，
整理得 ,②
联立直线 方程与椭圆方程 得 . 8 分
,即 .③
,
代入②式得 ,
化简得 ，解得 (舍去)，或 ，满足不等式③成立.
直线 方程为 ，直线 过定点 . 10 分
(3)由题意，盒子中三面涂红色的小立方体有 8 个，每次抽到后顺时针跳动 1 次的概率为 ，
盒子中六个面均没有涂红色的小立方体有 8 个，每次抽到后逆时针跳动 1 次的概率为 ，
盒子中一面涂红色的小立方体有 24 个，每次抽到后顺时针跳动 2 次的概率为 ,
盒子中两面涂红色的小立方体有 24 个，每次抽到后逆时针跳动 2 次的概率为 , 12 分
设经过 次操作后点 在 处为事件 ,点 在 处为事件 ,
点 在 处为事件 ,点 在 处为事件 ,
易知 ,由对称性知 ,即 ,
计算得 .
而 ,
即 . 4
又 代入④式
得 ,即 .
而 ,所以 ,即 . 14 分
又 ,
即 . ⑤
将 代入⑤式得
即 . 所以 .
即 ,
所以 . 17 分

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