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2026年甘肃省武威第二十中学数学中考人教版《二次函数》基础知识专项练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线
C．函数的最小值为 D．当时，y随x增大而增大
3．已知抛物线的解析式为，则这条抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线与轴交于，，该函数在时，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值，有最大值3 B．有最小值0，有最大值3
C．有最小值，有最大值4 D．有最小值，有最大值4
5．若抛物线的开口向上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，以下四个结论：①；②；③若点在此抛物线上，则；④若点在此抛物线上且，则．其中正确结论的序号是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④
7．已知二次函数解析式为，当时，的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．在平面直角坐标系中，已知抛物线与y 轴正半轴有交点，当时，；当时，，则m的值等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．二次函数（）的图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）当时，．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，下列说法错误的是（ ）
A． B．对称轴为直线
C．当时，x的取值范围是 D．与y轴的交点坐标为
12．现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（ ）个
①若，则；
②当，时，，那么代数式值为4；
③方程的解为或或；
④若函数，当时，x的取值范围是．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．抛物线与y轴的交点坐标是________．
14．将抛物线向左平移1个单位，向下平移3个单位，得到的拋物线表达式是________．
15．若二次函数的对称轴是直线，则b等于____．
16．已知二次函数的图象上有两点，则a，b的大小关系为__________．
17．抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两个根是____．
18．抛物线与轴交于，两点，与轴交于，且此抛物线的顶点坐标为，则此抛物线的表达式为___________．
19．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限交于点．
（1）______．
（2）若（不与点，重合）是线段上的动点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，轴，轴，垂足分别为，，则四边形面积的最大值为______．
20．已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有________个．
21．已知抛物线与轴交于点（点在轴正半轴上），且．
（1）的值为______；
（2）若点为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图象于点，当时，的长度随的增大而增大，则的取值范围是______．
22．如图，在等边中，过点作射线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在射线上的点'处，连接，已知．当最短时，________ ．

三、解答题
23．用配方法把二次函数化为的形式，并指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
24．已知二次函数．
(1)求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点；
(2)若该二次函数图像的对称轴为，求它与轴的交点坐标．
25．杭州亚运会羽毛球比赛项目中，中国队收获4金3银2铜共9枚奖牌，在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面1米的A点处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分．当球运动到最高点时，离甲运动员站立地点O的水平距离为4米，其高度为米．在离点O水平距离5米处，放置一个高1.55米的球网，以点O为原点建立如图所示的坐标系，回答下列问题．
(1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；
(2)试通过计算判断此球能否过网．
26．如图，在中，，，．点为边上的任意一点，过点分别作、的平行线，与、的交点分别为、，设．
(1)用含的式子表示平行四边形的面积．
(2)当为何值时，平行四边形的面积最大？最大面积是多少？
27．如图，已知抛物线经过点，，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线与抛物线交于另一点D．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)试在线段下方的抛物线上求一点E，使得的面积最大，并求出最大面积；
28．包书皮是每位同学都经历过的事情，下面展示两种包书皮的方法：
方法一： 方法二：

(1)一本字典长为，宽为，高为，如果按方法一包书，将封面和封底各折进去3cm，试用含a、b、c的代数式分别表示封皮的长和宽；
(2)现有1张一角污损的矩形包书纸，如右图，矩形中，，，，．使用没有污损的部分按方法二的方式包一本长为，宽，厚为的字典．试画出一种合适的剪裁法，并写出剪裁后矩形的长和宽；
(3)在（2）的条件下，是否存在裁剪后最大的矩形也能包这本书，并说明理由．

29．如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，；矩形的边在线段的上，点A、D在抛物线上．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)设点D的横坐标是m，矩形的周长为L，求L与m的关系式，并求出L的最大值；
(3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求F点的坐标．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《2026年甘肃省武威第二十中学数学中考人教版《二次函数》基础知识专项练习题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A A A C D D B B
题号 11 12
答案 D B
13．
14．
15．6
16．/
17．
18．
19．
20．2
21．解：（1）令，则，解得或，
∵点B在x轴正半轴上，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵抛物线的函数表达式为，点为抛物线上一动点，
∴，
∵轴，交一次函数的图象于点Q，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的长度随m的增大而增大，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
22．解：是等边三角形，且，
，，
，
，
由折叠的性质得：，
，，
当最短时，则，
如图，过点作于点，连接，交于点，

，
，
，
由折叠的性质得：，
设，则，
在中，，即，
解得，
，
设，则，，
，
，
，
，
解得或（不符合题意，舍去），
；
故答案为：．
23．解：
，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标．
24．（1）证明：∵ 二次函数为 ，
∴ , , ，
判别式 ，
化简得 ，
∵ 无论 为何值，，
∴ ，
即无论 为何值时，该二次函数的图像与 轴都有交点；
（2）解：∵ 二次函数 的对称轴为 ，
又∵ 对称轴为 ，
∴ ，
代入函数得 ，
令 ，则 ，
解得 ，
∴ 或 ，
∴ 它与 轴的交点坐标为 和 ．
25．（1）解：根据题意设抛物线解析式为，
将点代入可得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：此球能过网，理由：
当时，，
，
此球能过网．
26．（1）解：，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
当时，平行四边形的面积最大，最大面积是．
27．（1）解：由题意，，
解得，
∴．
（2）解：设直线的解析式为，则
，
解得，
∴直线解析式为．
联立直线与抛物线解析式，得
，
解得，，
∴，
过点E作轴，交于点G，
设，，则
的面积
∴
∴当时，，的面积有最大值．
此时，，
∴．
28．（1）解：长为，宽为a
（2）解：设，由
得，
∴，
∴,
此时剪裁后矩形的长和宽分别为，，
当，则长和宽分别为，，
裁剪方式如下图：

（3）解：不存在，
设面积为y，
则，
当时，y最大，
此时，
所以，不存在．
29．（1）依题意得顶点P的坐标
设抛物线的解析式为
把点代入解析式，解得
所以抛物线的解析式为
即
（2）∵点D的横坐标是m，
∴点D的纵坐标是
∴矩形的周长
得，
∴当时，周长L有最大值10．
（3）①是平行四边形的边时：
点F的横坐标：，
纵坐标：，
此时，点
或点F的横坐标：，
纵坐标：，
此时，点
②是平行四边形的对角线时，
所在的直线经过的中点，
∴都在抛物线的对称轴上，
∴点F与点P重合，∴点
综上所述，点或或时，以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形．
答案第1页，共2页
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