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课时训练
第二十三章 一次函数
专题精练3 一次函数的实际应用
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
1. 通讯运营商关于手机上网流量资费标准推出了三种优惠方案：
方案A：按流量计费， 元/兆；
方案B:50元流量套餐包月，包含500兆流量，如果超过500兆，超过部分
另外计费（见图象）；
方案C:120元包月，无限制使用．
用表示每月上网流量（单位：兆）， 表示每月
的流量费用（单位：元），方案B和方案C对应的
关于 的函数图象如图所示，请解决以下问题：
（1）写出方案A的函数解析式，并在图中画出其图象；
解：根据题意可知， ，图
象如图；
（2）求出方案B的函数解析式；
当时，
当时，设方案B的解析式为
代入， ，得
解得
方案B的函数解析式为
（3）选取哪种方案能节省上网费用？
由解得
①当 时，选取A方案能节省上网费用
②当 ，选取B方案能节省上网费用
由解得
③当 ，选取B方案能节省上网费用
④当 时，选取C方案能节省上网费用
综上所述：当 ，选A方案；
当 时，选B方案；
当 时，选C方案．
2. 本学期初二年级举办了篮球比赛，为了让参赛的运动员更好地训练，
体育组计划购买甲，乙两种品牌的篮球，已知甲品牌篮球的单价比乙品
牌篮球的单价低40元，且用4 800元购买甲品牌篮球的数量是用4 000元
购买乙品牌篮球数量的 倍．
（1）求甲、乙两种品牌篮球的单价；
解：设甲品牌篮球的单价为元，则乙品牌篮球的单价为 元，由
题意，得
，解得，经检验 是原方程的解
则
答：甲、乙两种品牌篮球的单价分别为160元、200元；
（2）若学校计划购买甲、乙两种品牌的篮球共90个，且乙品牌篮球的
数量不小于甲品牌篮球数量的2倍，购买两种品牌篮球的总费用不超过
17 200元，则该校共有几种购买方案？
设购买甲品牌篮球个，则购买乙品牌篮球 个，由题意，得
且为整数，解得，且
为整数
该校共有11种购买方案；
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对乙品牌篮球进行优惠，每个乙品
牌篮球优惠元 ，甲品牌篮球价格不变，那么学校采用哪
一种购买方案可使总费用最低？
设总费用为 ，则
①当时，，随 的增大而增大
当时，有最小值，
即此时应购进甲品牌篮球20个，购进乙品牌篮球70个
②当时，， ，（2）中所有方案费用
都一样
③当时，，随 的增大而减小
当时，有最小值，
即此时应购进甲品牌篮球30个，购进乙品牌篮球60个
综上所述：当 时，购进甲品牌篮球30个，购进乙品牌篮球60
个；
当 时，所有方案费用都一样；
当 时，购进甲品牌篮球20个，购进乙品牌篮球70个.(共15张PPT)
课时训练
第二十三章 一次函数
23.2 一次函数的图象和性质（3）
班级___ 姓名___ 座号___ ___月____日
知识点1 利用待定系数法求一次函数解析式
1. [典型习题][2025湖里期末]已知一次函数的图象经过点 和
．
（1）求该一次函数的解析式；
解：设一次函数解析式为
把、 分别代入得
解得
一次函数解析式为 ；
（2）点和是该一次函数图象上两点，判断， 的大小
关系，并说明理由．
．理由如下：
点和 在函数
的图象上
，
．
2. [变式]如图，直线与轴交于点，与 轴
交于点 ．
（1）求直线 的解析式；
解：设直线的解析式为
直线过，
解得
直线的解析式为 ；
（2）若直线上的点在第一象限，且 ，
求点 的坐标．
设点的坐标为
，解得
点的坐标是 ．
知识点2 利用待定系数法解决实际问题
3. [教材原题改编]某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费
标准．居民每月应缴水费（单位：元）是用水量（单位： ）的函数，
其图象如图所示．
（1）分别求出当和时，关于 的
函数解析式；
解：①当时，设，将 代入
得，解得
②当时，设，将 ，
代入
得解得
综上，关于 的函数解析式为
（2）若某用户某月用水 ，应缴水费多少元．
当时， 元
答：若某用户某月用水 ，应缴水费120元．
4. [变式]某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李．当
行李的质量超过规定时，需付的行李费元与行李质量 之间满足一次
函数关系，部分对应值如下表：
… 30 40 50 …
… 4 6 8 …
则旅客最多可免费携带行李的质量是____ ．
10
5. 已知一次函数的图象经过点，，与轴交于点，与 轴交
于点 ．
（1）求一次函数的表达式；
解：设一次函数表达式为
一次函数的图象经过点，
解得
一次函数表达式为 ；
（2）将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过 ，
求 的值．
一次函数的图象平移后的解析式为
将点代入解析式，得
解得 ．
6. 已知一次函数的图象经过，， 的面
积为2，求该一次函数的解析式．
解：，，
，解得
点的坐标为或
①把，代入得 解得
一次函数解析式为
②把，代入得解得
一次函数解析式为
综上，该一次函数解析式为或 ．
7. 电信公司手机的收费标准有A，B两类，已知每月应缴费用 （元）与
通话时间 （分）之间的关系如图所示．当通话时间为180分钟时，按这
两类收费标准缴费的差为____元．
16
第7题
8. 如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是
上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点 处，则直
线 的函数解析式是_ __________．
第8题(共14张PPT)
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第二十三章 一次函数
23.3 一次函数与方程（组）、不等式（2）
班级___ 姓名___ 座号___ ___月____日
知识点1 一次函数与二元一次方程（组）的关系
1. [典型习题]在如图的直角坐标系中，用图象法解方程组 .
解：列表
0 1
1
2 1
描点做出两函数图像如图所示，直线与 交于点
所以方程组的解为 .
第2题
2. [变式][2025永春期中]如图，已知函数
和的图象交于点 ，则根据图象
可得，关于、的二元一次方程组 的
解是( )
B
A. B.
C. D.
3. [变式]已知直线和 上部分点的横坐标和
纵坐标如下表所示：
0 1 2
5 3 1
0
则关于，的方程组 的解是_ ________.
4. [变式]已知直线与直线的交点坐标为 ，
则关于，的方程组 的解为_ ________．
5. [变式]直线与交于点，则关于 的方程
的解为______．
知识点2 利用两个一次函数图象的交点求不等式的解集
第6题
6. [典型习题]如图，直线与
相交于点，若点的横坐标为，则关于 的不等
式 的解集是( )
B
A. B. C. D.
7. [变式]如图，已知直线与直线 的交点的横
坐标为，则不等式 的解集为________．
第7题
8. 学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行
车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所
示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间 的关系，则出
发_____ 后两人相遇．
0.35
第8题
9. 直线与直线 在同一平面直角坐标系中的图象
如图所示，则关于的不等式 的解集为_____________．
第9题
10. 如图，直线与直线相交于点 ，并且直线
经过轴上点 .
（1）求直线 的解析式；
解：把代入中，得 ，解得
把，代入 中得
解得
一次函数的解析式是 ；
（2）直接写出不等式 的解集．
不等式可以变形为
结合图象得到解集为 ．
11. 在平面直角坐标系中，一次函数 的图象为
直线 ，在下列结论中：
①无论取何值，直线 一定经过某个定点；
②过点作，垂足为，则的最大值是 ；
③若与轴交于点，与轴交于点，为等腰三角形，则 ；
④对于一次函数，无论 取何值，始终有
，则，或 ．
其中正确的是______．（填写所有正确结论的序号）．
①②(共13张PPT)
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第二十三章 一次函数
23.2 一次函数的图象和性质（2）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 一次函数的图象
1. [教材原题改编]请在如图的平面直角坐标系中作
出， 的图象，并指出在每
个函数中，当增大时 如何变化．
解：列表
0
4 0
0 1
4 0
描点连线作出各函数图象如图．
在中，随 的增大而增大；
在中，随 的增大而减小．
2. [变式]在平面直角坐标系中，一次函数 的图象不经过的象限
为( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. [变式]正比例函数函数值随 的增大而增大，则
的图象大致是( )
B
A. B. C. D.
知识点2 一次函数图象的平移
4. [典型习题]将直线 向下平移3个单位长度后，得到的直线是
( )
B
A. B. C. D.
5. [变式][2025泉州期中]将直线向上平移 个单位长
度后，经过点，则 的值为___．
5
知识点3 一次函数的性质
第6题
6. [典型习题][2025鼓楼期末]若一次函数
的图象如图所示，则下列说法
正确的是( )
D
A. B.
C.随的增大而增大 D.当时，
7. [变式]点，都在直线， 均为常
数上，则与 的大小关系是( )
C
A. B. C. D.
8. [变式]若一次函数的函数值随的增大而减小，则
的取值范围是______．
9. 关于的一次函数，若随 的增大而增大，且
图象与轴的交点位于原点下方，则实数 的取值范围为____________．
10. 写一个图象不经过第一象限且经过点 的一次函数解析式_____
_______．
11. 已知一次函数，如果，那么 的取值范围是
_______________．
12. 已知在一次函数的图象上有三个点， ，
，且 ，则下列各式中正确的是( )
A
A.， B.， C.， D.，
13. 作出函数 的图象，并回答下面的问题：
解：列表
0 3
0
作出函数图象如图所示.
（1）求它的图象与轴、 轴所围成图形的面积；
由作图过程可知，函数与轴，轴的交点为分别为，
所围的面积为 ；
（2）求原点到此函数图象的距离．
过作交于
，，
原点到此函数图象的距离为 ．
14. [2025连江期末]已知一次函数 ．
（1）若该函数图象随的增大而减小，且与轴交于正半轴，求 的取
值范围；
解： 一次函数的图象与 轴交于正半轴，
并且随 的增大而减小
解得 ；
（2）该函数图象必过一定点（记作点），求点与原点 的距离．
当时，
该函数的图象恒过一定点
点与原点的距离为： ．
15. 在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数
的性质．已知函数 ，分析得到了下列四个结论：
①它的图象由直线 向下平移3个单位所得；
②随着 的增大而增大；
③当时，随着 的增大而减小；
④函数有最小值 .其中正确结论的序号是______．
③④(共16张PPT)
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第二十三章 一次函数
23.4 实际问题与一次函数（1）
班级___ 姓名___ 座号___ ___月____日
知识点1 简单实际问题
1. [典型习题][2025陕西模拟]行李托运简单便捷，给
人们的出行带来了极大的便利，省事又省心．某客
运公司规定旅客可以免费携带一定质量的行李，当
行李的质量超过规定时，需付的行李托运费 （元）
与行李质量 之间的关系如图所示．
（1）求与 之间的函数解析式；
解：设与的函数解析式为，将 ，
代入，得
.解得 .
；
（2）若张先生某次出差时所付的行李托运费用为56元，求张先生托运
行李的质量．
当 时，得
，解得
答：张先生托运行李的质量为 ．
2. [变式]某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销
售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如
果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，
设销售单价为元，每星期销售量为 个．
（1）请直接写出（个）与 （元）之间的函数解析式；
解：由题意，得 ；
（2）当销售单价为70元时，该网店每星期的销售利润.
由题意，得
销售利润为 （元）
答：当销售单价为70元时，每星期的销售利润是2 400元．
知识点2 分段函数问题
3. [教材原题]为了鼓励居民节约用电，某市实行居民生活用电阶梯电价
方案.每户每月用电量不超过时，按0.45元/ 收费；当用
电量超过时，超出部分按0.55元/ 收费．设一个家庭某
月用电量为，应缴电费为 元.
（1）求关于 的函数解析式，并画出函数图象；
解：当时，函数解析式为 ；
当 时，函数解析式为
；
函数图象如图所示；
（2）如果这个家庭某月的电费为141元，那么此家庭这个月的用电量是
多少？
解得
答：此家庭这个月的用电量是 .
4. [变式]为了鼓励公民节约用电，某市采
用分段计费的方法按月计算每户家庭的电
费．每户家庭每月电费 （元）与用电量
之间的函数图象如图所示．
（1）求当时，与 之间的函数解析式；
解：当时，设
过点，
.解得 .
当时， ；
（2）若乙用户某月需缴电费132元，求乙用户该月的用电量．
令 ，得
，解得
答：乙用户该月的用电量为 ．
5. 某小区在旧小区改造过程中，需要为一段路面
重新铺设地砖，由甲、乙两个小组共同完成．甲
小组先单独铺设路面，一段时间后，乙小组也赶
来和甲小组一起铺设路面．甲、乙两个小组每小
时铺设路面的长度不变，乙小组每小时铺设路面
（1）甲小组每小时铺设路面____米， 的值为_____；
50
150
40米．甲、乙两小组铺设路面的总长度 （米）与甲小组铺设路面所用
的时间 （小时）之间的函数图象如图所示．
（2）当乙小组加入后，与 之间的函数解析式为___________________
______；
（3）当铺设完路面总长度的一半时，求甲、乙两个小组各自铺设路面
的长度．
解：当铺设完路面总长度的一半时，铺设路面的
长度为 （米）
令，得，解得
（米）， （米）
甲小组铺设路面的长度为 米，乙小组铺设路
面的长度为 米．
第6题
6. 某日，甲、乙两人相约在一条笔直
的道路上锻炼．两人都从A地匀速出
发，甲走向B地，途中偶遇一位朋友，
驻足交流 后，继续以原速前
进．乙因故比甲晚出发 ，跑步
到达B地后立刻以原速返回，在返回
途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离 与甲出发的
时间 之间的函数关系．
（1）乙与甲的速度差为_____ ；甲与乙的速度比为_____；
100
第6题
（2）甲、乙两人从第一次相遇至第二次相遇期间与 之间的函数解析
式为
_ _______________________________．
.
第6题(共12张PPT)
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第二十三章 一次函数
23.2 一次函数的图象和性质（1）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 正比例函数的图象
1. [典型习题]请在如图的平面直角坐标系中
分别作出， 的图象，并指出
在每一个函数中，当增大时 如何变化．
解：列表得
0 1
0
0 3
描点作出两函数图象如图所示；
在中，随 的增大而减小；
在中，随 的增大而增大.
2. [变式]在下列各图象中，表示函数 的图象大致是( )
A
A. B. C. D.
第3题
3. [变式]正比例函数的图象如图所示，则
的值可能是( )
A
A. B. C. D.
知识点2 正比例函数的性质
4. [教材原题]函数 的图象经过第________象限，经过点
（0，___）与点（1，____），随 的增大而______．
二、四
0
减小
5. [变式]若正比例函数的图象经过点 ，则这个图象必经过点
( )
D
A. B. C. D.
6. [变式]正比例函数的自变量增加1，函数值相应减少3，则 的
值为( )
B
A.3 B. C. D.
7. [变式]已知，则正比例函数 的图象经过( )
A
A.第二、四象限 B.第二、三象限 C.第一、三象限 D.第一、四象限
8. [变式]已知正比例函数，当 时，函数有最大值3，则
的值为_______．
或
第9题
9. 在闭合电路中，通过定值电阻的电流 （单位：A）
是它两端的电压（单位： ）的正比例函数，其图象
如图所示．当该电阻两端的电压为 时，通过它的
电流为( )
A
A. B. C. D.
第10题
10. 如图，四个正比例函数的图象分别对应的解析式
是：，，， ，
下列用“ ”表示，，， 的不等关系，正确的是
( )
C
A. B.
C. D.
11. 已知函数 是正比例
函数.
（1）求这个函数解析式；
解： 是正比例函数
，解得
函数解析式为 ；
（2）在如图所示的坐标系中画出该函数图象；
画出函数图象如图所示；
（3）若点在此函数图象上，求 的值；
点 在此函数图象上
，解得 ；
（4）图象上的两点， ，如
果，比较， 的大小．
随 的增大而减小
．
12. 已知实数，满足，为最接近的整数，当 时，
正比例函数的最大值与最小值之差是1，求 的值．
解：为最接近 的整数
，即
①当时，随 的增大而增大
此时有，解得 ；
②当时，随 的增大而减小
此时有，解得 （舍去）
综上， ．(共12张PPT)
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第二十三章 一次函数
综合与实践 音乐与数学
班级___ 姓名___ 座号___ ___月____日
活动一：探究音乐律制中蕴含的数学原理
1. 阅读材料，回答问题
材料一：乐音有四个基本要素，即音强、音高、音值和音色.音强指
的是声音的强弱程度，由发声体的振幅决定；音高指的是声音的高低程
度，由发声体的频率决定，我们常说的"度"就是衡量音高距离的基本单
位，例如到是2度，到 是3度.当两个声音的频率是简单
整数比时，叠加后能形成波形规则的新声波，听起来就会比较和谐；音
值即声音的长短程度，由发声体振动的持续时间决定；音色即声音的特
色，由发声体的材质、结构以及振动时产生的"泛音"决定，例如人可以
轻松分辨出钢琴和吉他的演奏声音，即音色的差异.
材料二："三分损益法"是中国古代最早的系统化音律生成理论，最
早记载于春秋时期的《管子·地员篇》.它通过调整音程的长度来生成五
声音阶，即"宫、商、角、徵、羽".三分损益法分为"三分损一"和"三分益
一"."三分损一"是指将长度减少三分之一，"三分益一"是指将长度增加三
分之一.我们以乐器古琴的弦长为例，古人将"宫"定为基本音，它的弦长
为81，先"三分损一"，得到相邻一个音"徵"的长度，即徵的弦长为54；
在此基础上再"三分益一"，得到下一个相邻音"商"的长度；再接下来"三
分损一"得到羽……以此类推，损益交替，由基本音推出其它音.一百多
年后，与"三分损益法"原理相同的"五度相生律"（又称为"毕达哥拉斯音
阶"）诞生于古希腊，它也是通过纯五度音程生成所有音高，即从一个基
础音出发，向上或向下叠加纯五度来确定其它音的位置.
材料三："三分损益法"和"五度相生律"本质都是用纯五度音程
（其频率比为 ）生成的音阶，不能回归到本律，即所得到的音和最
初的音不能形成八度关系，存在转调困难的局限.直到明代律学家朱载堉
创立了十二平均律，这个问题才得到彻底解决.一个八度的频率之比为
，即高一个八度的音，其频率是原音频率的2倍，十二平均律是将一
个八度等比分成12个音程，依次得到13个单音使得相邻两个单音的频率
比值固定.朱载堉称之为"密率"，并通过珠算将其精确到25位有效数字，
记载在《律吕精义》中，为音乐的发展作出重大贡献，成为音乐史上里
程碑式的突破.但受限于当时的社会环境，这一理论并未得到广泛的推广
和应用.比利时传教士金尼阁将《律吕精义》带回欧洲后，十二平均律深
刻影响了西方音乐的发展.著名音乐家巴赫于1772年创作《平均律钢琴曲
集》，通过24套大小调作品展示了十二平均律在自由转调与和声衔接上
的优势，使其成为西方古典音乐的基石，加速了十二平均律在全世界的
普及.#1.3
问题1： 根据"三分损益法"确定古琴上五音的弦长，完成下表.
五音 宫 徵 商 羽 角
弦长 81 54 ____ ____ ____
72
48
64
问题2： 列式计算十二平均律中相邻两个音的频率之比的值.
解：设一个原音的频率为，相邻两个音的频率比为 ，则
第1个相邻音的频率，第2个相邻音的频率 ，第3
个相邻音的频率 第12个相邻音的频率
因为高一个八度的音的频率是原音的2倍，即 ，解得
.
活动二：从函数角度分析乐谱
2. 阅读材料，回答问题
五线谱是国际通用的记谱法，通过音符的位置、形状和符号精准记
录音高、时值、节奏等音乐要素.如图1所示，五线谱分为五线四间，从
下到上依次为第一线至第五线，第一间至第四间，当音位超出五线四间
时可以通过上下加线补充.图1为高音谱号（ 谱号），第二线固定音名为
，依次往上为，，（高八度的 ）.五线谱的拍号写在
谱号的右侧，以分数的形式表示，决定每小节的节拍规则，如图1为
拍，代表每个小节两拍.例如"风"对应音符在第三间，即为 （高八度的
），是四分音符，占1拍.对应的音值记录表如图2所示.
图1
图2
图4
问题一： 写出图1所示五线谱中"马在叫"对应的音符的音高及音值所占
的拍数；
图1
图2
答："马"对应""占1拍，"在"对应" "和"3"各占半拍，"叫"对应"5"占2拍；
问题二： 五线谱记录乐音的音高和音值这两个基本要素，在平面直角
坐标系中，如果将横坐标记为音符对应的音值，纵坐标记为对应音符的
音高，能构成函数图象吗？为什么？
图1
图2
答：不能构成函数图象，根据函数的概念，每一个值对应唯一的 值，
如果将横坐标记为音值，会出现同一个音值对应不同的音高，所以不能
构成函数图象；
问题三： 在图3的平面直角坐标系中，将横坐标记为音符对应的节拍顺
序，纵坐标记为对应音符的音高，请找出图1音符对应的点的位置并用
平滑的曲线连接相邻的点；（提示：如"马"对应的音高为 （高八度的
），占第三小节的第1拍， 歌曲每个小节为两拍，所以记为该乐
谱片段的第5拍，坐标为
图3
问题四： 如图4五线谱片段为高音谱 拍歌曲，即每小节四拍，按问
题三中的记谱方式，请依次写出对应音符的坐标.
图1
图2
解：对应音符的坐标依次为，，，， ，
.(共14张PPT)
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第二十三章 一次函数
23.4 实际问题与一次函数（3）
班级___ 姓名___ 座号___ ___月____日
知识点1 最大利润（最小费用）问题
1. [典型习题]近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期
间，“汉服 景区”已然成为当下年轻人的创新玩法．某景区一汉服专卖
店计划购进甲、乙两种汉服共120件（2种服装都要），甲汉服进价80元/
件，售价100元/件；乙汉服进价100元/件，售价200元/件.若设甲汉服的
数量为件，销售完甲、乙两种汉服的利润为 元．
（1）求与 之间的函数解析式，写出自变量范围；
解：由题意得
与之间的函数解析式为 ；
（2）若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购选多
少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润．
乙的数量不能超过甲的数量的2倍
，解得
由（1）知，
，随 的增大而减小
当时，取最大值，
答：当甲汉服购进40件时，该店在销售完这两种汉服获利最多，最大利
润为8 800元．
2. [变式]近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商
店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花
费2 920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
解：设甲种头盔的单价为元，乙种头盔的单价为 元，根据题意，得
.解得 .
答：甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元；
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促
销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降
价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，
那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用
是多少元？
设再次购进甲种头盔只，总费用为 元，根据题意，得
，解得 为整数
，随着 增大而增大
当时， 取得最小值
即购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为
（元）.
3. 为全面推进乡村振兴，某省实行城市援助乡镇的政策．该省的A市有
120吨物资，B市有130吨物资．经过调研发现该省的甲乡需要140吨物资，
乙乡需要110吨物资．于是决定由A、B两市负责援助甲、乙两乡，已知
从A市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为300元/吨、150元/吨，从B市
往甲、乙两乡运送物资的运费分别为200元/吨、100元/吨．
（1）设从A市往甲乡运送 吨物资，从A、B两市向甲、乙两乡运送物资
的总运费为元，求与 之间的函数解析式．
解：
，，，
的取值范围是
与的函数解析式为 ；
（2）请设计运费最低的运送方案，并求出最低运费．
随着 增大而增大
当时，取得最小值，最小值为 （元）
从A市往甲乡运送10吨物资，从A市往乙乡运送110吨物资，从B市往
甲乡运送130吨物资物资，从B市往乙乡运送0吨物资为运费最低的运送
方案，最低运费是45 500元.
4. 我市某游乐场在暑假期间推出学生个人门票优惠活动，各类门票价格
如下表：
票价种类 （A）夜场票 （B）日通票 （C）节假日通票
单价（元） 80 120 150
某慈善单位欲购买三种类型的门票共100张奖励品学兼优的留守学生，
设购买A种票张，B种票张数是A种票的3倍还多7张，C种票 张，根据
以上信息解答下列问题：
（1）与 之间的函数解析式为____________；
（2）设购票总费用为元，则（元）与 （张）之间的函数解析式为
____________________；
（3）为方便学生游玩，计划购买学生的夜场票不低于20张，且节假日
通票至少购买5张，有哪几种购票方案？哪种方案费用最少？并求出最
小费用。
解：依题意得.解得
整数 为20，21，22
共有3种购票方案（，，；，，；， ，
）
而
，随 的增大而减小
当时，
即当A种票22张，B种票73张，C种票5张时费用最少，最少费用为
11 270元．(共14张PPT)
课时训练
第二十三章 一次函数
单元复习 一次函数（1）
班级___ 姓名___ 座号___ ___月____日
知识点1 一次函数的概念
1. [典型习题]下列函数中，__________是一次函数；______是正比例函数.
；；；； ；
．
①④⑤⑥
①⑤
知识点2 一次函数的图象与性质
2. [典型习题]对于一次函数 ，下列结论正确的是( )
A
A.它的图象与轴交于点 B.随 的增大而增大
C.当时， D.它的图象经过第一、二、三象限
第3题
3. [变式]如图，在同一平面直角坐标系中，一次函
数与的图象分别为直线
和直线 ，下列结论正确的是( )
C
A. B.
C. D.
4. [变式]一次函数的图象经过第____________象限，随 的
增大而______，它可以看作是函数 的图象向____平移___个单位
长度得到的．
一、三、四
增大
下
3
知识点3 确定一次函数的解析式——待定系数法
5. [典型习题]一次函数的图象经过点，则 ____．
6. [变式]已知是的一次函数，下表是其中部分对应数据，则表中 的
值为___．
… 0 1 2 …
… 1 4 …
7
知识点4 一次函数与方程（组）、不等式的关系
7. [典型习题]如图，直线与直线 相交于点
，则关于，的方程组 .的解为( )
A
第7题
A.. B.. C.. D. .
8. [变式]在平面直角坐标系中，一次函数和 的图
象如图所示，则关于的一元一次不等式 的解集是______．
第8题
9. [变式]在如图所示的平面直角坐标系中画出函数 的图象，
并利用图象解决下列问题：
解： 的图象如图所示.
（1）方程 的解为______；
（2）不等式 的解集为______；
（3）若，则 的取值范围是____________．
10. 若与成正比例，且当时，，则与 的函数解析
式是______________．
11. 已知一次函数，当时，对应的函数 的取
值范围是 ，则这个函数解析式为________________________．
或
12. 如图，已知函数和 的图
象交于点，这两个函数的图象与 轴分别
交于点， ．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
解：将点代入，解得
将点代入，解得
这两个函数的解析式分别为 和
；
（2）求 的面积.
在中，令，得 ，
在中，令，得 ，
．
13. 在平面直角坐标系中，点 ．
（1）若点在轴上，求点 的坐标；
解：
点在 轴上
，解得
；
（2）点 一定在某一直线上，请你求出这条直线的解析式．
设直线解析式为，当时，，当时，
.解得 .
这条直线的解析式为 ．(共6张PPT)
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第二十三章 一次函数
专题精练2 一次函数与面积问题
班级___ 姓名___ 座号___ ___月____日
1. 在平面直角坐标系中，已知一次函数 的图象过
点， ．
（1）求一次函数的解析式；
解：将点，代入，得 解得
一次函数的解析式为 ；
（2）该一次函数图象与轴交于点，若点 为该一次函数图象上的一点，
满足的面积为1，请写出点 的坐标．
在中，令得
设点横坐标为
则，解得
当时，
当时，
或 ．
2. 如图，在平面直角坐标系中，直线与
轴，轴分别交于点，，与直线 相交于点
．
（1）求点 的坐标；
解：在中，令，得
点的坐标为 ；
（2）求 的面积；
在中，令，得
点
；
（3）在直线上是否存在一点，使的面积是面积的 ？
若存在，求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
存在．设点的坐标为
当时，点的坐标是
当时，点的坐标是
综上所述，点的坐标为或 ．
解：将点(1，一1)，(-2,5)代入y=kx+b,得
k+b=-1,
解得
-2k+b=5,
k=一2，
b
.一次函数的解析式为y=一2x+1;
在y=一2x+1中，令x=0得y=1
A(0,1)
设P点横坐标为x
则2=1，解得x=士2
当x=2时，y=一3
当x=一2时，y=5
P(2,-3)或P(-2,5).
C
A
B
O
X
2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+6与x
轴，y轴分别交于点B,C,与直线OA相交于点
A(-4,2)
在y=x+6中，令x=0,得y=6
.点C(0,6)
SA0c=X6×4=12:
(3)在直线AC上是否存在一点M,使△OMC的面积是△OAC面积的？
若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.
存在.设点M的坐标为(a,a十6)
×6×风=×12
.a=十2
当a=2时，点M的坐标是(2,8)
当a=一2时，点M的坐标是(-2,4)
综上所述，点M的坐标为(2,8)或（一2,4）(共15张PPT)
课时训练
第二十三章 一次函数
数学活动
班级___ 姓名___ 座号___ ___月____日
活动1 水龙头的滴水量
1. 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水
量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究．
【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每 记
录一次容器中的水量，得到如表的一组数据：
0 5 10 15 20 …
5 20 35 50 65 …
【问题解决】
（1）请根据表中信息在坐标系中描点，连线，画出关于 的函数图象，
根据图象发现容器内盛水量与滴水时间 ，符合学习过的
______函数；（填“正比例”或“一次”）
一次
关于 的函数图象如图所示；
（2）根据以上判断，求关于 的函数关系式；
解：该水龙头的漏水速度为
关于的函数关系式为 ；
（3）推算该水龙头在这种漏水状态下一天（24小时）的漏水量．
当
答：这个水龙头在这种漏水状态下24小时的漏水量为 ．
2. 小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成
的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一
分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已
经有少量水，因而得到如表的一组数据：
1 2 3 4 5 …
7 12 17 22 27 …
（1）通过分析数据，小明发现可以用一次函数来刻画总水量 （毫升）
与时间（分钟）之间的关系，求与 之间的函数关系式；
解：由表格可知，该水龙头每分钟漏水5毫升，则
与的函数关系式为 ；
（2）根据以上数据，解决下列问题：
①求小明在第20分钟测量时量筒中的总水量；
当时，
答：小明在第20分钟测量时量筒中的总水量为102毫升；
②一个人一天大约饮用1 500毫升水，求这个水龙头一个月（按30天计）
的漏水量可供一人饮用多少天．
（分钟）
当时， ，
（天）
答：这个水龙头一个月的漏水量可供一人饮用144天．
活动2 纸杯的高度
3. 如图是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图．小红想探究叠放在
一起的纸杯的总高度（单位：）随纸杯数量 （单位：个）的变化关
系，于是她通过叠放纸杯的操作，得到如下数据：
1 2 3 4 5 6 …
8 9 10 11 12 13 …
（1）根据该表格中的数据，求出纸杯的总高度与纸杯数量 之间的函
数关系式；
解：从表格数据可知与满足一次函数关系，设
将， 代入，得
解得
所以与之间的函数关系式为 ；
（2）如果按上述方法将50个同样的纸杯叠放在一起，求出这50个纸杯
的总高度．
当时，
答：50个纸杯叠放的总高度为 ．
图①
4. 子涵同学在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同
的碗尽可能多地放入内侧高为 的柜子里．她把碗
按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道
一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里．
【探究发现】
子涵同学测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗的个数的变
化而变化，记录的数据如表：
1 2 3 4 5
5.5 7 8.5 10 11.5
【建立模型】
（1）请根据表中信息，在如图②的平面直角坐标系中描出相应的点；
图②
解：描点如图所示；
（2）观察图②中描出各点的分布规律，判断它们是否在同一直线上，
如果在同一直线上，求出这条直线对应的函数解析式；如果不在同一直
线上，请说明理由；
图①
图①
连线，发现这些点分布在同一条直线上
这条直线对应的函数为一次函数
设这条直线对应的函数解析式为
,为常数,
将点和分别代入 ，得
解得
这条直线对应的函数解析式为 ；
图①
（3）当碗的个数为12个时，求这摞碗的总高度；
【结论应用】
当时，
答：这摞碗的总高度为22厘米．
（4）请帮子涵同学算一算，一摞最多能叠____个碗可以一次性放进柜子里.
20(共12张PPT)
课时训练
第二十三章 一次函数
23.1 一次函数的概念
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 一次函数的概念
1. [教材原题改编]下列函数；； ；
； 中，是一次函数的有( )
B
A.①②④ B.②④⑤ C.②④ D.①④⑤
2. [变式]下列函数中，属于一次函数的是( )
A
A. B.，为常数
C.为常数 D.
3. [变式]已知是关于的一次函数，则 ____．
知识点2 正比例函数的概念
4. [典型习题]下列函数中，是 的正比例函数的是( )
B
A. B. C. D.
5. [变式]若函数是正比例函数，则 的值为____．
6. [变式]当_____时，是正比例函数．当 _____时，
是正比例函数．
知识点3 列一次函数解析式
7. [教材原题改编]写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为
的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以的速度匀速行驶，行驶路程与行驶时间 之
间的关系；
解： ，是一次函数，也是正比例函数；
（2）一个长方体的长为，高为，宽为，体积为 ；
，是一次函数，也是正比例函数；
（3）某水箱有水，以 的速度开始往外放水，放水时间为
，剩余的水量为 ；
，是一次函数，但不是正比例函数；
（4）圆的面积与它的半径 之间的关系．
，不是一次函数，也不是正比例函数．
8. [变式]琯溪蜜柚的上市时间约为每年九月份，果农将摘下的成熟蜜柚
销往省外某地．某快递公司的收费标准为：不超过 物品需付13元，
以后每增加需增加托运费1.5元．直接写出当时，托运 蜜柚
的费用 （元）的函数关系式为______________．
9. 已知A、B两地相距，小明以平均 的速度从A地开往B
地，开车时间为时，小明离B地的距离为 ．
（1）求与之间的函数关系，并指出是 的什么函数；
解：根据题意得
与之间的函数关系式为，是 的一次函数；
（2）当开车时间为 时，求此时小明离B地还有多远．
将带入
得
答：此时小明离B地还有 .
10. 总长为12米的竹篱笆围成一个如图所示的长方形的养鸡场，养鸡场一
边靠墙，另三边用竹篱笆围成，如果养鸡场一边长为米，另一边为 米．
（1）写出与 之间的函数解析式；
解：由题意得
则 ；
（2）求出自变量 的取值范围．
，解得
．
11. 已知函数是正比例函数，则_ _， ____.
12. 已知 是一次函数．
（1）求 的值；
解：由题意得，，解得 ；
（2）求时， 的值；
由（1）知，
当时， ；
（3）当时， 的值．
当时，，解得 ．
13. 新定义：为一次函数，，为实数 的“关联
数”．若“关联数”为的一次函数是正比例函数，则关于 的方程
的解为______．(共9张PPT)
课时训练
第二十三章 一次函数
单元复习 一次函数（2）
班级___ 姓名___ 座号___ ___月____日
知识点1 一次函数的实际应用
1. [典型习题]某市出租车收费标准如下：起步价10元（ 以内，包含
），超出部分每千米加收2元（不足按 计算）．设乘坐出
租车行驶为正整数且的费用为元，则关于 的函数解析
式是( )
B
A. B. C. D.
2. [变式]某文旅公司推出野外宿营活动，有以下两种优惠方案．某团队
有人参加该活动，购票总花费为元，这两种方案中关于 的函数图象
如图所示，则下列说法正确的是( )
D
方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费 元），
所有人都按半价优惠；
方案二：所有人都按六折优惠．
第2题
A.
B.原票价为480元/人
C.方案二中关于的函数解析式为
D.当 时，方案一比方案二优惠
3. [变式]中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基
本规则简明易懂．国家"双减"政策实施后，某校为了发展棋社，决定增
添 副中国象棋．文具店的中国象棋的标价为40元/副，现推出
优惠活动，方案如下：
方案一：购买中国象棋超过20副时，超过部分每副打六折；
方案二：不论购买多少副中国象棋，全部按八折销售．
（1）设按照方案一购买的总费用为，按照方案二购买的总费用为 ，
请分别写出，与 之间的函数解析式；
解：根据题意，得 ，
；
（2）该学校选择哪种购买方案更划算？
当时，得，解得 ；
当时，得，解得 ；
当时，得，解得 ；
当 时，选择方案一更划算；
当 时，选择方案一或方案二均可；
当 时，选择方案二更划算．
4. 某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，
售价220元；乙种服装每件进价120元，售价160元．现计划购进两种服
装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装 件，两种服装
全部售完，商场获利 元．
（1）求与 之间的函数解析式；
解：由题意，得
；
（2）若购进100件服装的总费用不超过15 000元，求最大利润为多少元；
由题意，得
.解得
中，
随 的增大而增大
当时， （元）；
（3）在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠
元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少 元，售价不变，
且，若最大利润为4 950元，请求出 的值．
，
由题意，得
，
①当时，
随 的增大而增大
当时，
，符合题意；
②当时， ，不合题意，舍
去；
③当时，
随 的增大而减小
当时，
，不合题意，舍去．
综上所述， ．(共16张PPT)
课时训练
第二十三章 一次函数
23.3 一次函数与方程（组）、不等式（1）
班级___ 姓名___ 座号___ ___月____日
知识点1 利用方程求直线与坐标轴的交点坐标
1. [典型习题]已知关于的方程的解是 ，则直
线与 轴的交点坐标是_______．
2. [变式]已知方程的解是，则函数 的图象可
能是( )
C
A. B. C. D.
3. [变式]已知关于的方程的解是，则直线 一
定过点______．
知识点2 利用一次函数解一元一次方程
第4题
4. [典型习题]如图，已知一次函数
的图象分别与，轴交于，两点，若 ，
，则关于的方程 的解为________．
5. [变式]直线与轴交于点，则关于 的方程
的解为______．
6. [变式]如图，已知一次函数的图象为直线，则关于 的方程
的解为______．
第6题
知识点3 一次函数与一元一次不等式
第7题
7. [典型习题]已知一次函数 的图象
如图所示，则不等式 的解集是( )
A
A. B. C. D.
8. [变式]已知一次函数 ，完成下列问题：
（1）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
解 ： 一次函数 过 与 ， 作出函数图象如图；
（2）根据函数图象回答：
①求方程 的解；
由函数图象可知 ， 方程 的解为
；
②当时，求 的取值范围．
当 时 ， 的取值范围为 ．
9. [变式]如图，一次函数的图象经过点 ，则不等式
的解集是________．
第9题
10. [变式]一次函数与轴的交点为 ，则不等式
的解为________．
11. —次函数中两个变量， 的部分对应值如表所示：
… 0 1 …
… 7 5 3 1 …
那么关于的不等式 的解集是________．
12. 若一次函数为常数且的图象经过点 ，则关
于的方程 的解为______．
13. 已知一次函数经过点 ，
与轴交于点 ．
（1）求的值和点 的坐标；
解： 一次函数经过点
当时，，解得
；
（2）画出此函数的图象；观察图象，当时， 的取值
范围是__________；
画出函数图象如图；
（3）若点是轴上一点，的面积为6，求点 的坐标.
，
，解得
的坐标为或 ．
14. 若不等式的解集是 ，则下列各点可能在一次函数
图象上的是( )
A
A. B. C. D.
15. 一次函数的图象过点 ，则不等式
的解集是______．
16. 已知关于的不等式，为常数，的解集是 ，
下列结论：；；③直线可能与 轴交于点
；④不等式的解集是 ，其中结论正确的序号有
________．（填序号）
①②③
17. 直线与的交点的横坐标为，则关于 的不等
式 的整数解为_________．
，(共15张PPT)
课时训练
第二十三章 一次函数
23.4 实际问题与一次函数（2）
班级___ 姓名___ 座号___ ___月____日
知识点1 方案选择问题
1. [教材原题]甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品，春节
期间两家商场都开展促销活动，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商
场对一次购物中实付金额超过200元的部分打7折．
（1）以（单位：元）表示商品原价， （单位：元）表示购物实付金
额，分别就两家商场的促销方式写出关于 的函数解析式，并在同一平
面直角坐标系中画出函数图象；
解：甲商场，乙商场 .，
函数如图所示；
（2）春节期间选择去哪家商场购物更省钱？
由题意得，解得
当购物金额按原价等于600元时，在两商场购物花钱一样多；
当购物金额按原价小于600元时，在甲商场购物省钱；
当购物金额按原价大于600元时，在乙商场购物省钱．
2. [变式]为增强学生体质，提高运动意识，八年级近期将举办乒乓球比
赛．现需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价
100元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下：
方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售；方案
乙：按购买金额打9折付款．学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球
盒．
（1）求两种优惠办法实际付款金额（元），（元）与 （盒）之
间的函数解析式；
解：由题意，得 ，
；
（2）如果学校需要购买20盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？
当时， （元）
当时， （元）
选择方案甲更省钱．
3. [变式]某景点的门票销售分两类：一类为散客门票，价格40元/张，另
一类为团体门票（一次性购买门票10张及以上），每张门票价格在散客
价格基础上打8折．某班部分同学要去景点旅游，设参加旅游 人，购买
门票需要 元．
（1）如果每人分别买票，则与 之间的函数解析式为_________；
（2）如果买团体票，求与 之间的函数解析式，并写出自变量的取值
范围；
解：团体票： ，
；
（3）请根据人数变化设计一种比较省钱的购票方案．
由题意得，解得
当人数为8人，两种购票方案相同；
当人数少于8人，按散客门票购票比较省钱；
当人数多于8人，按团体票购票比较省钱．
4. 河南信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某
公司采购员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式：
会员卡费用（元/张）
方式一：金卡会员 500 1 600
方式二：银卡会员 200 1 800
设该公司此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为 元，按方
式二的总费用为 元．
（1）请直接写出，关于 的函数解析式；
解：根据题意，得：， ；
（2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二的总费用相同，求该公
司此次购买茶叶的质量；
根据题意，得：，解得 ；
（3）若该公司此次购买茶叶的总预算为6 500元，则按哪种方式购买可
以获得更多的茶叶？
按照第一种方式购买茶叶：，解得
按照第二种方式购买茶叶：，解得
按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶．
5. 某学校要买40本笔记本和若干支圆珠笔作为奖品，笔记本和圆珠笔的
零售价分别为3元和2元.但甲文具店的营业员说：“若笔记本按零售价，
则圆珠笔可按零售价的7折优惠．”乙文具店的营业员说：“笔记本和圆珠
笔都可以按零售价的8折优惠．”
（1）设要买的圆珠笔为支，试用含 的式子表示甲、乙两个文具店的收费；
解：甲文具店的收费
乙文具店的收费 ；
（2）若学校要买80支圆珠笔作为奖品，选择哪家文具店较合算？可节
省多少钱？
当时， （元），
（元）
，
学校要买80支圆珠笔作为奖品，选择乙文具店较合算，可节省8元；
（3）若购买圆珠笔支，当 满足什么条件时，选择甲文具店较合算？
此时能节省多少钱？
由题意得，解得
即购买圆珠笔 支时，选择甲文具店较合算，此时能节省
元．
6. 某网络公司给出A，B两种上网的月收费方式（如下表）
收费方式 月使用费/元
A 30 30
B 45 50 3
设上网时间为（单位：），，若，当上网时间为
时，A方式和B方式的上网费用相同，若的值存在两个，则 的取值范
围为______________．(共6张PPT)
课时训练
第二十三章 一次函数
专题精练1 一次函数的系数与图象位置关系
班级___ 姓名___ 座号___ ____月 ___日
1. [教材原题]
（1）当时，函数 的图象经过第____________象限；
（2）当时，函数 的图象经过第____________象限；
（3）当时，函数 的图象经过第____________象限；
（4）当时，函数 的图象经过第____________象限.
一、二、三
二、三、四
一、二、三
一、二、四
2. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 和一次函数
图象可能是( )
B
A. B. C. D.
3. 如图是函数的图象，则函数 的大致图象是
( )
D
第3题
A. B. C. D.
4. 若一次函数 的图象经过第二、三、四象限，则一次函数
的图象不经过的象限是( )
C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5. 一次函数 的图象经过第一、三、四象限，则化简
所得的结果是( )
D
A. B. C. D.
6. 若实数，，满足，且，则函数
的图象可能是( )
A
A. B. C. D.
7. 若一次函数的图象不经过第二象限，则 的取值范围
是____________．
(1)当b>0时，函数y=x+b的图象经过第
象限；
(2)当b<0时，函数y=一x+b的图象经过第
象限；
(3)当k>0时，函数y=kx+1的图象经过第
象限：
(4)当k<0时，函数y=kx+1的图象经过第
象限

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