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(共16张PPT)
课时训练
第二十一章 四边形
21.3.2 菱形（2）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1. [典型习题]如图，在平行四边形 中，邻
边，上的高相等，即 ．求证：四
边形 是菱形．
证明： 四边形 是平行四边形，
BE，分别为邻边， 上的高
平行四边形 是
菱形．
2. [变式][2025仓山区期中]如图，平行四边形
中，平分．求证：四边形 是菱形．
证明： 在平行四边形中，
平分
是菱形．
知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3. [典型习题]如图，四边形 是对角线互相垂直的四边形，且
，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形 是菱
形．（只需添加一个即可）（答案不唯一）
第3题
4. [变式][2025厦门月考]如图，的对角线，相交于点 ，
且，，．求证： 是菱形．
证明： 四边形是平行四边形，,
，
，
是菱形．
知识点3 四条边相等的四边形是菱形
5. [典型习题]顺次连接矩形 各边中点所得四边形必定是______.
菱形
6. [变式]如图，在平行四边形中，、 分别
为边、的中点， 是对角线，且
．求证：四边形 是菱形．
证明： 四边形是平行四边形 ，
是 的中点
同理,得
四边形 是菱形．
第7题
7. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分
为四边形，若测得，之间的距离为 ，点
，之间的距离为，则线段 的长为( )
A
A. B. C. D.
8. [2025泉州期末]如图，在等腰中，，平分 ，
过点作交的延长线于点，连接，过点作 交
的延长线于点 ．
（1）判断四边形 的形状，并说明理由；
解：四边形 是菱形，理由如下：
，平分
，
四边形 是平行四边形
四边形 是菱形；
（2）若， ，求 的长．
平分，
四边形是菱形 是等边三角形
的长为 ．
9. [2025厦门期中]如图，在平行四边形 中，对角
线的垂直平分线分别交、于点、，过点
作交延长线于点 ．
（1）求证：四边形 为菱形；
证明：如图，连接，交于点
四边形是平行四边形
垂直平分
四边形 是平行四边形
又 平行四边形 为菱形；
（2）若是的中点，求证：，， 三点共线．
如备用图，连接，是的中点
由（1）可知，四边形为菱形
是 的中点
四边形 是平行四边形
，
四边形是平行四边形 与
互相平分
是的中点 ，， 三点共线．(共17张PPT)
课时训练
第二十一章 四边形
专题精练 平行四边形和特殊的平行四边形的判定
班级___ 姓名___ 座号___ ____月 ___日
1. [2025 鲤城期末]如图，已知 ，点,,, 在一条直线
上，，．求证：四边形 是平行四边形．
证明：
和 都是直角三角形
在和中,
，即
又 四边形 是平行四边形．
2. [2025 惠安期末]如图，在四边形中， ，连接 ，
，是的平分线，且 ．求证：四
边形 是平行四边形．
证明： ，
是 的平分线
在与中，
四边形 是平行四边形．
3. [2025 仓山月考]如图，的对角线，相交于点 ，且
，，，，，求证：四边形
是矩形．
证明：在中，， ，
，
，即
是菱形
，
四边形 是平行四边形
四边形 是矩
形．
4. 如图，已知在中，点,分别是边,的中点，过点、
的直线分别交,的延长线于点,，连接，，如果 ，
求证：四边形 是矩形．
证明： 四边形 是平行四边形
，即
点,分别是边, 的中点
，即
四边形 是平行四边形
点是边的中点,
,
四边形是平行四边形 四边形 是
矩形．
5. [2025泉州月考]如图，延长平行四边形的边， ．作
交的延长线于点，作交的延长线于点 ，若
，求证：四边形 是菱形．
证明： 四边形是平行四边形 ，
，
，
在与中，
四边形 是菱形．
6. 如图，在中，点是对角线的中点，过点作 ，
垂足为点，且分别交，于点，．求证：四边形 是菱形．
证明： 四边形 是平行四边形，
为对角线 的中点
，
在和中，
又 四边形 是平行四边形
平行四边形 为菱形．
7. 如图，已知菱形的对角线交于点，,是对角线 所在直线
上的两点，且 ，，连接,,, ，得四边形
．求证：四边形 是正方形．
证明： 四边形 是菱形
，，
与互相平分 四边形 是
平行四边形，
四边形是菱形
又
菱形 是正方形．
8. 如图，中， ，， 的外角平分线交于点
，过点作的延长线于点，过点作 的延长线于点
．求证：四边形 是正方形．
证明：作于点 ，如图所示
，
四边形 是矩形
平分，平分
，
在和中，
同理可证明：
矩形 是正方形．(共14张PPT)
课时训练
第二十一章 四边形
21.3.2 菱形（1）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 菱形的四条边都相等
第1题
1. [典型习题]如图，在菱形中，若 ，
，则， 两点间的距离是( )
C
A.1 B. C.2 D.
2. [变式][2025福州模拟]如图，在菱形 中，点
、分别在、边上， ，求证：
．
证明：在菱形中，点、分别在、 边上
，
．
知识点2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
第3题
3. [典型习题][2025泉州期末]如图，菱形
的对角线，交于点 ，若
，则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
第4题
4. [变式][2025福州月考]如图，在菱形
中，，，与交于点 ，
过点作于点，连接，则 的长
为( )
A
A.5 B.10 C. D.
5. [教材原题]如图，四边形 是菱形，
，，,垂足为．求 的长.
解： 四边形 是菱形
，，
，，， ，
由勾股定理得：
， ．
6. [2025龙岩月考]如图，菱形对角线、相交于点，点 在
上，，，，则 的长为______.
第6题
7. [2025厦门期中]如图，已知在平面直角坐标系中，、 ，
菱形的顶点在轴正半轴上，则点 的坐标为_________.
第7题
8. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线 上．
（1）请用尺规把这个菱形补充完整;（保留作图痕迹，不要求写作法）
解：如图所示；
（2）若， ，求菱形 的面积．
设，交于点
四边形 是菱形
，
在中，,解得
菱形的面积 ．
9. [2025长乐月考改编]如图，菱形中，点、分别为、 的
中点，连接、 ．
如图，若为上一点，连接、 ，使
，求证：平分 ．
证明： 四边形 是菱形
，
点、分别为、 的中点
，
，
延长交延长线于点
在菱形中，
，
又
平分 ．(共14张PPT)
课时训练
第二十一章 四边形
单元复行四边形（1）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 四边形和多边形
1. [典型习题][2025云南模拟]正十边形的内角和是四边形内角和的( )
D
A.7倍 B.6倍 C.5倍 D.4倍
2. [变式][2025济阳区一模]若一个多边形的每个内角都是 ，则该多
边形为________.
3. [变式]若正多边形的一个外角为 ，则它的对角线有____条.
八边形
54
知识点2 平行四边形的性质
4. [教材原题]若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的
内角的度数是( )
B
A. B. C. D.
5. [变式][2025福州校级模拟]如图，平行四边形
的对角线,相交于点，过点 且分
别与,相交于点,，求证： ．
证明： 四边形 是平行四边形
，
在和 中
，，
．
知识点3 平行四边形的判定
6. [典型习题][2025罗源县月考]如图，在
中，点，分别在边， 上，
且．求证：四边形 是平行四
边形．
证明： 四边形 是平行四边形
四边形 是平行四边形．
7. [教材原题]如图，将的对角线 向两个
方向延长，分别至点和点，且使 ．求
证：四边形 是平行四边形．
证明：如图，连接，设与交于点
四边形 是平行四边形
，
又
四边形 是平行四边形．
知识点4 中位线定理
第8题
8. [典型习题][2025晋安区期中]如图，为测量位于一
水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点 ，
分别取，的中点，，量得 ，则
， 之间的距离是( )
C
A. B. C. D.
9. [变式]如图，在四边形中，点，， ，
分别是，，，的中点，连接 ，
，，，，．求证：四边形 是
平行四边形.
证明： 点，，，分别是，， ，
的中点
为的中位线，为 的中位线
，，，
， 四边形 是平行四边形.
10. 如图，在平行四边形中，和的平分线， 分别
交，于点，，点，分别是，的中点，连接， .
（1）求证： ；
证明； 四边形 是平行四边形
，， ，
和的平分线、分别交,于点,
，
在和中，，，
；
（2）求证：四边形 是平行四边形．
证明： ，
点、分别为、的中点
四边形 是平行四边形．
11. 如图，在中，点是边的中点，点在内， 平分
，，点在边上， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
解：延长交于点
平分
在和 中
，，
点为边的中点 为 的中位
线
四边形 是平行四边形;
（2）线段，， 之间具有怎样
的数量关系？证明你所得到的结论．
，证明如下：
由（1）可知，四边形 是平行四边
形
、分别是、的中点
．(共11张PPT)
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第二十一章 四边形
21.2.1 平行四边形及其性质（1）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 平行四边形的对边平行
1. [典型习题]在中,若 ,则的度数是_____ .
2. [变式]在中,若与的度数比为,则的度数为_____ .
130
120
第3题
3. [变式]如图,在中,平分交于点 ,
若,,则 的长为___.
5
知识点2 平行四边形的对边相等
4. [典型习题]在中，，则 ___.
5. [变式]在中,,,则 的周长为____.
6. [变式][2025 福州期末]如图，平行四边形，，点 为
，点为，则点 的坐标为______．
3
14
第6题
知识点3 平行四边形的对角相等
第7题
7. [典型习题][2025 龙岩月考]如图，在 中，
，则 ( )
B
A. B. C. D.
8. [变式][2025 福州月考]在中,若 ,则 的度数
为______.
9. [变式][2025 莆田期末]在平行四边形中，，则 的
度数为( )
B
A. B. C. D.
知识点4 平行四边形的对角线互相平分
10. [教材原题]如图，在中，对角线与
相交于点，，,求 的
周长．
解： 四边形 是平行四边形
，，
的周长 ．
11. [变式]如图,,是的对角线 上两点,
,与相交于点.求证： .
证明: 四边形是平行四边形 ,
在和 中
.
第12题
12. [2025 福清市期末]如图，在 中，若
，，，于点 ，
的长度是___．
1
第13题
13. [2025 同安区月考]如图，平行四边形 中，
，点在上，平分， 平
分，．则线段 的长为_____.
14. [原创题]如图，在平行四边形中，对角线与交于点 ，四
边形也是平行四边形，与相交于点，求证：线段 平分线
段 .
解： 四边形 是平行四边形
四边形 是平行四边形
且
且 ,
,即平分 .
15. 如图，四边形为平行四边形，,，交于点 ，
，连接，求证： .
证明：连接
四边形 为平行四边形
，，
又
为等边三角形
，即
;(共13张PPT)
课时训练
第二十一章 四边形
21.2.2 三角形的中位线
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 中位线定理
1. [典型习题]如图，在中，，，分别是，， 的中
点．若，，求四边形 的周长.
解：，，分别是，， 的中点
和是 的中位线
，
，
四边形的周长 ．
2. [变式]如图，在四边形中，，，， 分
别是，，， 的中点，求证：四边形
是平行四边形．
证明：,,,分别是,,, 的中点
,分别是, 的中位线
且,且
且
四边形 是平行四边形．
3. [变式]如图,在中,是上一点, ,
,垂足为,是的中点.求证: .
证明:,
是 的中点
是 的中位线
.
4. [变式][2025 龙岩月考]如图，在平行四边形中，对角线,
相交于点，且，平行四边形的面积为42，， 为
中点，求 的长.
解：在平行四边形中，对角线, 相交于点
，
，
，平行四边形 的面积为42
解得
为中点，
是的中位线， .
5. 已知三角形的3条中位线分别为,, ,则这个三角形的面积
是____ .
24
第6题
6. 如图，是的中位线， 的平分线
交于点，连接并延长交于点 ，若
，，则 的长为( )
A
A.6 B.8 C.10 D.12.5
7. 如图,在中,,, ,
,,求 的值.
解:如图,延长交于点
在和 中
,
是 的中位线
.
8. 如图，在四边形中，对角线， 相交于点 ，且
，，分别是，的中点，分别交，于点， ，
求证： .
证明：取边的中点，连接，
，分别是， 的中点
,
同理,，
同理，得
．(共14张PPT)
课时训练
第二十一章 四边形
21.3.1 矩形（1）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 矩形的性质
1. [典型习题][2025仓山期中]如图，在矩形中，对角线， 交
于点 ，以下说法错误的是( )
D
第1题
A. B.
C. D.
第2题
2. [变式][2025泉州月考改编]如图，矩形 的两
条对角线相交于点，已知 ，
，则矩形对角线的长为____ ，矩形
的面积为______ ．
10
3. [变式][2025泉州模拟]如图，在矩形中，点
为边的中点，连接，．求证： ．
证明： 在矩形中，点为 的中点
，，
． ．
知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
第4题
4. [典型习题][2025福建中考]某房梁如图所示，立
柱，，分别是斜梁， 的中点．若
，则的长为___ ．
4
第5题
5. [变式][2025莆田期末]如图，在 中，
， ，是边 的中点，则
的度数是( )
A
A. B. C. D.
6. [变式]如图，在中， ，
．
（1）在斜边上求作线段，使 ，连接
；（尺规作图：保留作图痕迹，不写作法）
解：所作线段 如图所示；
（2）若，求 的长．
， ，
，
，即点为 的中点
，，
．
7. 如图，是矩形的对角线的中点，是 的中点．若
，，则四边形 周长为____．
28
第7题
第8题
8. 如图，点是矩形的对角线 上一点，过
点作，分别交，于点,，连接 ,
．若， ，则图中阴影部分的面积
为( )
B
A.10 B.12 C.16 D.18
9. 在矩形中，点在边上，，，垂足为 ．
（1）求证： ；
证明： 四边形是矩形
在和中，
；
（2）若 ，且，求 的长．
解： ，
．
10. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，平分
交于点，且 ．
（1）求证： 为等边三角形；
证明： 四边形 是矩形
，，， ，
，
平分
是等边三角形．
（2）求 的度数．
解： 是等边三角形
，
．(共15张PPT)
课时训练
第二十一章 四边形
单元复行四边形（2）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 矩形的性质与判定
1. [典型习题][2025绥化中考]一个矩形的一条对角线长为10，两条对角
线的一个交角为 ．则这个矩形的面积是( )
B
A.25 B. C. D.
2. [变式][2025长乐期中]如图，在四边形
中， ，是边 的中点，
．求证：四边形 是矩形．
证明：是边的中点，
在和中，，，
，
，
四边形是平行四边形，又 ， 是矩形．
知识点2 菱形的性质与判定
3. [教材原题]若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为
( )
C
A. B. C. D.
4. [教材原题改编]如图，过的对角线的中点 作两条互相垂
直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接 ，
，，．试判断四边形 的形状并说明理由.
解：四边形 是菱形,理由如下：
四边形 是平行四边形
，
点为中点，
在和中，， ，
，
同理可得
四边形 为平行四边形
又， 四边形 是菱形．
知识点3 正方形的性质与判定
第5题
5. [教材原题]如图，正方形 外侧作等边三角形
，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
6. [变式]如图，在中， ，， 的平分线相交于
点，且于点，于点，求证：四边形 是正方形.
证明：如图，过作，交于点
， 四边形 为
矩形
平分，，，
平分，，，
， 四边形 为正方形．
7. [2025金华模拟]如图，矩形的对角线 ，
相交于点，， ．
（1）求证：四边形 为菱形；
证明：，， 四边形 是平行四边形
四边形是矩形，，，
， 四边形 是菱形；
（2）若，，求菱形 的面积．
解：连接， 四边形是菱形，
四边形是矩形， ，
，
， 四边形是平行四边形，
，，
菱形的面积 ．
8. 如图，在正方形中，动点在 上，
，垂足为， ．
（1）求证： ；
证明： 正方形， ，
， ，
在和中，，，
， ；
（2）当点运动到中点时（其他条件都保持不变），问四边形
是什么特殊四边形，说明理由．
解：当点运动到的中点时四边形 是正方
形，理由如下：
点运动到的中点， ，
，，
，，又 ，
，
， 四边形 是平行四边形
，
四边形 是正方形．(共14张PPT)
课时训练
第二十一章 四边形
21.2.2 平行四边形的判定（1）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1. [典型习题]如图,在四边形中,, .
求证:四边形 是平行四边形.
证明:
四边形 是平行四边形.
知识点2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2. [典型习题]如图,,,,求证:四边形 是平
行四边形.
证明:,
在和 中
四边形 是平行四边形.
知识点3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3. [典型习题][2025 厦门双十中学段考]如图，
在四边形中， ，
．求证：四边形 是平行四
边形．
证明： 在和中，，
四边形 是平行四边形．
知识点4 对角线互相平分的四边形是平行四边形
4. [教材原题]如图， 的对角线 ，
相交于点，且，，， 分别是 ,
,， 的中点.求证:四边形 是平
行四边形.
证明： 四边形是平行四边形 ,
为中点，为中点 ,
同理可得
四边形 是平行四边形.
5. 如图，在中，平分交 于点
，平分交于点 ．
求证：四边形 为平行四边形．
证明： 四边形 是平行四边形
，
平分，平分
，
又
四边形 为平行四边形．
6. 如图,以的三边为边在上方分别作等边,, .
求证:四边形 是平行四边形.
证明:, 为等边三角形
, ,
为等边三角形
同理可得 四边形 是平行四边形.
7. 如图，已知垂直平分，， .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
证明：垂直平分
，
在与 中
,
四边形 是平行四边形；
（2）若，，，求 的
长．
解： 四边形 是平行四边形
，
设,则 ,由勾股定理得
即,解得
即
.(共14张PPT)
课时训练
第二十一章 四边形
21.3.3 正方形（1）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 正方形的性质
1. [典型习题][2025福州期末]矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
C
A.对角互补 B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分 D.四边相等
2. [变式][2025永春模拟]若正方形 的面积为4，则正方形的对角线
的长为_____．
第3题
3. [变式][2025闽侯县期中]如图，点是正方形 内一
点，连接，，．若 是等边三角形，则
的度数为( )
C
A. B. C. D.
第4题
4. [变式]如图，在正方形 外侧，作等边三角
形，，相交于点，则 的度数为
( )
B
A. B. C. D.
5. [变式][2025鼓楼开学]如图，在正方形中，在边上， 在边
上，连接、，且，垂足为．求证： .
证明： 四边形 是正方形
，
又
在中，
又
在和中， .
.
6. [变式][2025泉州模拟]如图，在正方形中，对角线， 相交
于点，点，分别是边，上的点，且 ．求证：
．
证明： 四边形 为正方形
， ，
，即
．
7. 如图，平面内直线 ，且相邻两条平行线间隔均为1，正
方形 四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为___．
5
第7题
8. [教材原题]如图，四边形是正方形，点 是
边上的任意一点，于点， ，且
交于点，求证： ．
证明： 是正方形
，
又
在与中， .
．
9. [教材原题]如图，四边形是正方形，点是边 的中点，
，且交正方形外角的平分线于点．求证： ．
证明：取的中点，连接
四边形为正方形 ，
点为的中点
点为的中点
平分正方形的外角
.
第10题
10. 如图，在正方形中，，为对角线
上与，不重合的一个动点，过点作 于点
，于点，连接， ，下列结论：
；；；
的最小值为3．其中正确的结论有________.（填序号）
①②③(共12张PPT)
课时训练
第二十一章 四边形
21.1.2 多边形及其内角和
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 多边形及其有关概念
1. [典型习题]如图,图中的多边形为____边形，记作_______________，
它的边有线段____________________,顶点有点____________,内角有
____________________________.
六
六边形
,,,,,
,,,,,
，，，，，
画出以点A为顶点的一个外角，并画出此多边形的全部对角线.
解：外角和对角线如图所示.
2. [变式]四边形有___条对角线，五边形有___条对角线.
2
5
知识点2 正多边形有关概念
3. [典型习题]关于正多边形的概念,下列说法正确的是( )
C
A.各边相等的多边形是正多边形
B.各角相等的多边形是正多边形
C.各边相等且各角相等的多边形是正多边形
D.各边相等或各角相等的多边形是正多边形
4. [变式]下列几何图形是正多边形的是( )
D
A.六边形 B.等腰三角形 C.长方形 D.正方形
知识点3 多边形的内角和公式及相关计算
5. [教材原题]填表：
多边形 边数 3 4 5 6 8 12 20
内角和 _____ _____ _____ _____ ______ ______ ______ _______
_______
_______
6. [变式]正多边形的内角和为 ,则它的边数是( )
C
A.5 B.6 C.7 D.8
知识点4 多边形的外角及外角和
7. [典型习题]若一个正多边形的外角都是 ，这个多边形是几边形？
解： 正多边形外角和为
边数： .
答：这个多边形的边数为12.
8. [教材原题]
（1）一个多边形的内角和是外角和的一半，这个多边形是几边形？
解：设这个多边形的边数为
解得： 这个多边形是三角形；
（2）一个多边形的内角和与外角和相等，这个多边形是几边形？
设这个多边形的边数为
解得： 这个多边形是四边形．
第9题
9. 如图,将一个正五边形与一个正六边形按如图所
示方式放置，顶点，，， 在同一条直线上，
为公共顶点，则 等于( )
B
A. B. C. D.
10. 如图，五边形的每个内角都相等，且 ，
求 的值．
解： 五边形的内角和等于 ，且每个内
角都相等
,
.
11. 如图，将正五边形一角沿直线 折叠，折
叠后得到点，求 的度数.
解： 五边形 是正五边形
，
．
12. [2025 思明月考]对于一个凸多边形（边数为偶数），
若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我
们称这个凸多边形为等边半正多边形．如果六边形
是等边半正六边形，那么
， ，
，且．连接对角线，猜想 与
的数量关系，并说明理由.
解： ．理由如下：
连接,
六边形 是等边半正六边形
，
.(共14张PPT)
课时训练
第二十一章 四边形
21.3.3 正方形（2）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 正方形的判定
1. [典型习题][2025泉州月考]已知矩形的对角线、交于点 ，
下列条件中能判定四边形 是正方形的是( )
D
A. B. C. D.
第2题
2. [变式]如图，菱形 的对角线相交于点
，请你添加一个条件：_________________
_______________，使得该菱形为正方形．
（答案不唯一）
3. [变式][2025厦门期中]如图，已知四边形的对角线相交于 ，则
下列条件能判断它是正方形的是( )
C
第3题
A.，，，
B.，
C.，
D.，，，
4. [变式]如图，在中， ，
的平分线交于点， ，
．求证：四边形 为正方形．
证明：，
四边形 为平行四边形
在中， 四边形 为矩形
，
的平分线交于点 矩形 为正方形．
5. [变式]如图，在矩形中，点、 分别在边
、上，，于点 ．
（1）求证： ；
证明： 四边形是矩形
，
在和中，，，
；
（2）求证：四边形 是正方形．
四边形是矩形 四边形 是正方形．
6. 一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形： ．两组
对边分别相等；．一组对边平行且相等；．一组邻边相等； ．一个
角是直角．顺次添加的条件：； ；
．其中正确的是______.
①②
7. [2025长汀期末]如图，已知平行四边形 中，
对角线、交于点，是 延长线上一点，
且 是等边三角形．
（1）求证：四边形 是菱形；
证明： 四边形是平行四边形
是等边三角形
是菱形；
（2）若，求证：四边形 是正方形．
从上易得： 是直角三角形
是等边三角形
又 四边形 是菱形
菱形 是正方形．
8. 如图，已知在正方形中，， 为对角
线上一点，连接，过点作，交射线 于
点，以，为邻边作矩形，连接 ．
（1）求证：矩形 是正方形；
证明：作于点，于点，则
当点在边上时，如图1，当点在边 的延长线上时，如备用图
四边形 是正方形
，
四边形 是矩形
四边形是矩形
矩形 是正方形．
（2）试探究 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，
请说明理由.
解： 的值是定值
理由：
，
的值是定值
，
这个定值是4．(共12张PPT)
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第二十一章 四边形
数学活动
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
活动1 黄金矩形
1. 【操作与探究】宽与长的比是（约为 ）的矩形叫作黄金矩
形，此时矩形宽与长的比叫作黄金比．某数学兴趣小组在阅读课本后发
现可以通过折纸得到黄金矩形．
【操作过程】 请根据操作完成填空．（设矩形纸片的宽 为2）
步骤 图示 操作说明
步骤一 把一张矩形纸片的一端按图1的方
法折出一个正方形，然后把纸片展
平，则 ；
步骤二 如图2，把这个正方形对折成两个
相同的矩形，再把纸片展平，则
；
步骤 图示 操作说明
步骤三 折出内侧矩形的对角线 ，并把
折到图3中所示的 处，则
____；
步骤四 展平纸片，按照所得到的点 折出
，得到矩形，则
_______．
结论 如图4，_ ____，所以矩形 是一个黄金矩形．
续表
【探究证明】 证明：矩形 是黄金矩形．（提示：
，利用平方差公式使分母不含二次根式）
证明：在矩形中， ，
矩形 是黄金矩形．
活动2 剪拼正方形
2. 数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求无损
耗、无重叠．
【初步尝试】
（1）如图1，长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成， 是
的中点，沿着， 剪2刀，得到3块图案①，②，③，保持③不动，
移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片．若，则
_____；
【深入实践】
（2）如图2，“十字形”纸片可看作由5个全等的小正方形组成，已知点
，在正方形网格的格点上，，是纸片边上的中点．沿着， 将
这个“十字形”纸片剪2刀，得到4块图案①，②，③，④，保持①不动，
移动②，③，④，可以拼接成一个大正方形纸片．请在正方形网格中画
出拼接后的大正方形，并标注对应的编号；
两种不同的拼法，如图2.1，如图2.2即为所求；
【拓展迁移】
（3）如图3，同学们从刘徽设计的"青朱出入图"受到启发，将两个边长
不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片． ，
，为剪痕与原正方形边的交点，已知， ．
①___， ___；
4
3
②求正方形 的边长．
由①可知，
在中，由勾股定理得：
在中，由勾股定理得：
在中，由勾股定理得：
，设
，解得
在直角三角形 中，由勾股定理得：
正方形的边长是 ．(共12张PPT)
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第二十一章 四边形
21.2.2 平行四边形的判定（2）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1. [典型习题]如图，在平行四边形 中，
，，， 分别是垂足.求证：四边
形 是平行四边形．
证明： 四边形 是平行四边形
，
，
，
在和 中
四边形 是平行四边形．
2. [变式]如图，在四边形中，，点,为对角线 上的两
点，，．求证：四边形 是平行四边形．
证明：
在和 中
四边形 是平行四边形．
3. [变式]如图，四边形是平行四边形，线段
在的左侧，连接,,和 ，四边形
的对角线和交于点，且 ，
．求证：四边形 是平行四边形．
证明： 四边形的对角线和交于点 ，且
，
四边形是平行四边形 ，且
四边形是平行四边形 ，且
，且 四边形 是平行四边形．
4. 如图，在四边形中，，点在上，连接， ，
，与交于点，， ，求证：四边形
是平行四边形.
证明：
又，
四边形 是平行四边形.
5. 如图,在四边形中，，点在边上，连接， ，过
点作于点，， ．求证：四边形
为平行四边形.
证明：设 ，则
，
四边形 为平行四边形.
6. [2025 龙岩期末]如图，在平行四边形中，一动点在 边上，
以每秒的速度从点向点运动，另一动点在 边上，以每秒
的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点 到
达点时停止运动（同时点也停止）.若，则 为何值时，以
，，， 四点组成的四边形是平行四边形？
解:
当时，四边形 是平行四边形
①当时，，
，解得 ；
②当时，，
，解得 ；
③当时，，
，解得 ；
④当时，，
，解得 ；
当为或或或时，以，，， 四
点组成的四边形是平行四边形．(共15张PPT)
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第二十一章 四边形
21.1.1 四边形及其内角和
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 四边形的基本概念
第1题
1. [典型习题]
（1）如图，平面上不在同一直线上的四条线段首尾顺次
相接组成的图形叫做________，图中的四边形可以记作
_____________，其边有__________________，顶点为
______________，线段 是它的________.该四边形____
凸四边形.（填“是”或“不是”）
四边形
四边形
，，，
，，，
对角线
是
（2）图中四边形的内角有________________________，请在图中画出
一个以点 为顶点的外角.
，，，
第1题
解：如图， 即为所作对角.
2. [变式]图中，____是凸四边形.（填序号）
①
第2题
知识点2 四边形的内角和
3. [典型习题]在四边形中， ， ， ，
求 的度数.
解：
.
4. [变式]求出下图中 的值.
（1）
解：由题意得：
;
（2）
由题意得：
解得 ．
5. [教材原题]若四边形四个内角度数比为 ，求其中最大的内角度数.
解：设四个内角的度数分别为,,,
则 解得
最大的内角度数：
答：最大的内角度数为 .
知识点3 四边形的外角和
6. [典型习题]在四边形中，的外角是 ， 的外角是
，的外角是 ， 的外角是____.
7. [变式]如图，，求 的
度数.
解：设 ，
则
.
知识点4 四边形的不稳定性
8. [典型习题]以下情景中，运用了四边形的不稳定性的有______．
①伸缩门 升降机 围篱笆
①②
9. [变式]以下情景中，克服了四边形的不稳定性的有______．
①②
10. 图中的凸四边形有( )
B
第10题
A.2个
B.3个
C.5个
D.6个
11. 下面说法正确的是( )
C
A.四边形的外角可能都是锐角 B.四边形的外角中至少有1个钝角
C.四边形的外角中可能有2个钝角 D.四边形的外角全部都是钝角
12. 在“互补四边形”中， ，
是四边形的一个外角．试判断 与
的数量关系，并说明理由．
判断：
证明： ，
.
13. 探究:四边形的外角和它不相邻的内角之间有什么关
系？
如图，在四边形中，、是四边形 的两
个外角．
解： ，
，
．
猜想： ，请你给出证明过程.
14. [教材原题]如图，在四边形 中，， 是它的两条对角线.
比较 与四边形周长的大小.
解：,是四边形 的对角线
在中，,在 中，
,
在中，,在 中，
即
.(共14张PPT)
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第二十一章 四边形
21.2.1 平行四边形及其性质（2）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 平行四边形性质的综合应用
1. [典型习题]下列不属于平行四边形性质的是( )
B
A.对边平行 B.对角线相等
C.对角线互相平分 D.对角相等
2. [变式]在平行四边形中， ，对角线， 相交于
点，平分，求证： .
证明：
平分
为等边三角形
四边形 为平行四边形
即 .
知识点2 两条平行线之间的距离
第3题
3. [典型习题]如图，已知直线 ，则下列能表示
直线， 之间距离的是( )
B
A.线段的长 B.线段 的长
C.线段的长 D.线段 的长
第4题
4. [变式]如图，四边形是平行四边形，线段 与
交于点，线段与交于点，则___ .
（填“ ”“ ”或“ ”）
5. 如图,在中,,,边上的高是 ,
,则图中阴影部分的面积是____ .
80
第5题
6. 如图,的对角线,交于点, ,
, .求的面积和 的
长.
解: 四边形 是平行四边形
,,
,
,
的面积 ；
在中,
.
7. 如图，在中，点在 上，
，平分,，求 的
面积.
解：作交于，则
平分
.
8. （1）如图，在平行四边形中，若过对角线与交点 的直
线与，的延长线分别交于点，，求证： ．
证明： 四边形 是平行四边形
，
在和 中
；
（2）在（1）的条件下，若的面积为20,,,直线
在绕点旋转的过程中,线段在什么位置时最小？ 的最小值是多少？
解：直线在绕点旋转的过程中,当时, 最短
的面积为20,
直线在绕点旋转的过程中,时,最小,的最小值为 .
第9题
9. [2025 泉州期末]如图，在中，点，
分别是，边的中点，延长至点 ，使
，以，为边向 外构造
，连接交于点，连接 ．若
， ，则 的长为_ __．
[解析] 如图，连接， ，
由四边形是平行四边形， ，
点，分别是，边的中点，得出 是等边三角形，
证明，得出是线段的中点，求出 的长.(共14张PPT)
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第二十一章 四边形
21.3.1 矩形（2）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1. [典型习题]小强和小壮在做一道习题：若四边形 是平行四边形，
请补充条件，使得四边形是矩形．小强补充的条件是 ；
小壮补充的条件是 ．你认为下列说法正确的是( )
A
A.小强和小壮都正确 B.小强正确，小壮错误
C.小强错误，小壮正确 D.小强和小壮都错误
2. [变式]如图，的对角线，相交于，将 平移到
，若，，，求证：四边形 是矩形．
证明： 是平行四边形
，
由平移知：，
四边形是平行四边形， 是
矩形．
知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形
3. [典型习题]如图，在中,,相交于点，，当
___时， 是矩形．
4
第3题
4. [教材原题]如图，四边形是平行四边形，对角线， 相交于
点，．求证：四边形 是矩形．
证明：如图，在中，，
为矩形．
知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形
第5题
5. [典型习题][2025三明模拟]活动课上，小明用四根
细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个
四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是( )
A
A.测量是否有三个角是直角 B.测量对角线是否相等
C.测量两组对边是否分别相等 D.测量对角线是否互相垂直
6. [教材原题改编]如图， 的四个内角的平
分线分别相交于点，，， ．求证：四边形
是矩形．
证明： 四边形 是平行四边形
平分，平分
同理可得
四边形 是矩形．
7. [教材原题改编]如图，在中， ，点
、分别是线段、的中点，过点作 的平行
线交的延长线于点，连接 ．
（1）求证： ；
证明：
是线段的中点
；
（2）求证：四边形 为矩形．
是线段的中点
四边形 是平行四边形
,
为矩形．
8. [2025福州月考改编]如图，在四边形中， ，
，，，，点、 分别从点
、同时出发，向点， 运动．当一个点到达端点时，停止运动，另
一个点也停止运动．如果点的速度为 ，其他条件不变，要使四
边形是矩形，且矩形的长宽之比为，求点 运动的速度．
解：依题意：，当满足 时，四边
形是平行四边形，又因为有 ，此
时四边形 是矩形
设点运动的速度时，因为矩形的长宽之比为
或
或16
或，解得或
要使四边形是矩形，且矩形的长宽之比为，点 运动的速度
为或 ．

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