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(共12张PPT)
课时训练
第二十章 勾股定理
20.2 勾股定理的逆定理及其应用（1）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 勾股定理的逆定理
1. [典型习题]在中，，，的对边分别是，， ，若三边
关系为 ，则____是直角．
2. [变式][2025福州月考]下列各组数中，能构成直角三角形的是( )
B
A.4，5，6 B.1，1， C.6，8，11 D.5，12，23
3. [变式]已知，则以，， 为边的三
角形是( )
B
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
4. [教材原题]判断由线段，， 组成的三角形是不是直角三角形：
（1），， ；
解：， ，
这个三角形是直角三角形；
（2），， .
，，
这个三角形不是直角三角形.
知识点2 勾股数
5. [典型习题][2025晋安区期末]下列各组数中，是勾股数的是( )
B
A.，，1 B.3，4，5 C.，， D.1，2，
6. [变式]已知以下四组数均是勾股数，写出，，， 表示的整数.
（1）6，8， ____；
（2）9，， ____；
（3），12， ___；
（4）8，， ____.
10
12
5
15
7. [教材原题]古希腊哲学家柏拉图曾指出，如果 表示大于1的整数，
，，，那么，， 为勾股数．你认为这种
说法正确吗？如果正确，请给出证明，并利用这个结论得出一些勾股数．
解：正确．证明如下：
表示大于1的整数
，，都是正整数，且 是最大边
，即，， 为勾股数
当 时，可得一组勾股数3，4，5．
8. 已知、是线段上的两点，，，以点 为圆
心，长为半径画弧；再以点为圆心， 长为半径画弧，两弧交于
点，连接，，则 一定是( )
B
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
9. [教材原题]在中，，，边上的中线 ，
则 ____.
13
10. 如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，求
的度数.
解：如图所示，连接 ，由题意得，
，，
，
是等腰直角三角形，且
.
11. 如图，在四边形中， ，， ，
．
（1）求 的度数；
解：如图，连接
，
，
，
，
的度数为 ；
（2）求四边形 的面积．
．
第12题
12. 如图，中， ， ，
垂足为 ，在下列说法中：
①以，， 为长度的线段首尾相连能够组
成一个三角形；
②以，， 为长度的线段首
②③
尾相连能够组成一个直角三角形；
③以，， 为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形，
其中正确的说法有______.（填序号）(共9张PPT)
课时训练
第二十章 勾股定理
专题精练2 勾股定理与方程思想
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
1. [教材原题]如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在
离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（其中丈、
尺是长度单位，1丈 尺）
解：设折断处离地面 尺
根据题意可得，，解得
答：折断处离地面的高度是4.55尺．
2. 如图，在中，，，点是 内部一
点，且．求 的长．
解：如图，延长交于点
,,
， ，
设，
由,得 ，解得
.
3. 如图，在长方形中，是 的中点，将
沿直线折叠后得到，延长 交
于点，连接，若， ，求
的长．
解：是的中点
沿折叠后得到 ，
四边形是长方形
,
设，则，
在中，，解得 .
4. （1）如图，河流的一侧有一村庄，， 为两个取水点，其中
，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点
，，在同一条直线上，并新修一条路，且 ．测得
千米，千米，求新路比原路 短多少千米．
解：设，则
在中，
即，解得
即
答：新路比原路短 ；
（2）在第（1）问中，若，， ，
，，求 的长．
设，则 ，
在中，，在中，
，即，解得 ，
即 ．
R
不7不
3
A
B
C
O
B
H
C
解：如图，延长AO交BC于点H
AB=AC,OA=OA OB=OC
,△ABO≌△ACO(SSS).∠OAB=∠OAC
:AB=AC,∠OAB=∠OAC∴.AH L BO
BH=CH=BC=
.A丑
VAB2-
BH2=V102
-62=8
设OA=OB=0C=x,
由OB2=OH2+BH2得x
x)2+62
解得
25
25
X二
.OA
E
D
:
0
0
0
●
0
0
0
0
F
G
B
C
3.如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，将
△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交
CD于点F,连接EF,若AB=6,BC=4V6,求
DF的长，
四边形ABCD是长方形.∠A
=∠D=90°.∠EGF=90°
EF=EFED=EG.Rt人EDF≌Rt入
设DF=x,则BF=6十x,
CF=6-x
在Rt△BCF中，(4V6+(6-x)=(6+x),解得x=4DF=4.
(1)如图，河流的一侧有一村庄C,A,B为两个取水点，其中
AB=AC,该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H
(A,H,B在同一条直线上)，并新修一条路CH,且CH⊥AB.测得
CH=2.4千米，HB=1.8千米，求新路CH比原路CA短多少千米.(共16张PPT)
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第二十章 勾股定理
单元复习 勾股定理（2）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 勾股定理的逆定理及其应用
1. [典型习题][2025翔安期中]下列各组数中能作为直角三角形的三边长
的是( )
D
A.4，5，6 B.1，1， C.5，12，23 D.6，8，10
2. [变式][2025南平期中]下列各数中，能与12和13组成一组勾股数的是
( )
A
A.5 B.6 C.7 D.8
3. [变式]已知一个三角形的三边长分别为、 、2，那么这个三角形
的面积为____．
4. [变式]如图，点、分别为的边、上的点，连接 、
，过点作，连接，若 ， ，
，，则 的度数为______．
第4题
5. [变式]如图，三个村庄、、之间的距离分别是 ，
，，要从修一条公路直达 ，已知公路的
造价为2 600万元/ ，求修这条公路的最低造价是多少？
解：，
当时， 最短，造价最低
（万元）
答：最低造价为12 000万元．
知识点2 勾股定理及其逆定理的综合应用
6. [典型习题]如图，已知，， ，
请问 是直角三角形吗？请说出你的理由．
解：由题意可得， 是直角三角形，理由如下：
，
是直角三角形．
7. [变式]如图为某地的、、三处住宅区,中心广场 的位置示意图，
已知，，，住宅区位于 的中点，
为方便住宅区内的居民出行，计划新修一条道路，则 的长为
________ .
第7题
8. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，以格点为三角
形的顶点，按下列要求仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作
法与证明）．
（1）请在图中画出，使，， ；
解：所作 如图所示；
（2）在（1）的条件下， 的度数为____；
（3）在（1）的条件下，请在图中找出格点，连接，使 平分
．
格点 如图所示．
9. 如图，在中，，， ，
，分别为边，上的点，连接，， ，
且满足垂直平分，垂足为．求 的长．
解：，，
是直角三角形，且
垂直平分 ，
是直角三角形
，，
，，
，即，解得 的长
为5．
10. [原创题]如图，在中， ，为的中点， 为平面
内一点，点在上，且于点．若，， ，
求证：，， 三点共线.
证明：如图，延长至点，使 ，连
接，
,,
，
,
是直角三角形,即
, ，， 三点共线.(共12张PPT)
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第二十章 勾股定理
数学活动 利用勾股定理绘制图案
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
1. 利用勾股定理，可以绘制出各种不同的图案.图1中的图案均与勾股定
理有关，不仅体现出勾股定理在图案设计中的应用，还彰显出数学的“无
限”之美.
图1
探究1：
（1）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形
的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图1（1）所
示的“勾股树”．
图1
图2
①如图2是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形B，
C的面积分别为9，16，求最大正方形A的面积为____；
25
②在如图3所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形 的边长为定值
，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为，，， ，已知
，则当 变化时，回答下列问题：（结果可用含
的式子表示）
____；
与的关系为______，与 的关系为___________．
图3
探究2：
（2）①图1（2）和（3）是如何利用勾股定理绘制的？
答：图1（2）需要先画一个直角三角形，再以此直角三角形的斜边为直
角边向外作下一个直角三角形，重复这个过程，就可以画出；图1（3）
需要先画一个如图①所示的图形，再在图形中两个直角三角形上方作出
和图①相同的图形，如图②所示，重复这个过程，就可以画出.
图1
②利用图1（2）（3）中蕴含的勾股定理的关系，解决下列问题：
如图4，，过点作且，得 ；再过点
作且，得；又过点作 且
，得 依此法继续作下去，得 等于________;
图1
图4
如图5是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，
，，， 分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的
两个正方形的面积分别是64，9，则 的值为____.
55
图5
探究3：
（3）除了图1中三幅图片外，我们还能绘制出很多有关勾股定理的图案.
① 请说明图6是如何利用勾股定理绘制的.
图6
如图7，在直线上依次摆放着 个正方形．已知斜放置的正方形的面
积分别是2，3，4， ，,正放置的正方形的面积依次是,,， ，
，当取奇数时，的值为____.（用含 的式子表示）
图③
答：图6需要先画一个如图③所示的图形，再以图形中
右侧正方形为基础，在该正方形的右方作出和图③相
同的图形，重复这个过程，就可以画出.
图7
②尝试创作一幅与勾股定理有关的图案，并说明其蕴含的数学秘密.
图2
图3
图4
图5
图6
图7
解：答案不唯一，合理即可.
例如：如下图，设四边形 为正方形，以正
方形的对角线 为边作第二个正方形
，再以第二个正方形的对角线 为边作
第三个正方形，如此下去 ，可以得到
此图．利用勾股定理可以得到每作出一个正方
形，它的边长是前一个正方形的边长的 倍，面积是前一个正方形的2倍.(共18张PPT)
课时训练
第二十章 勾股定理
20.2 勾股定理的逆定理及其应用（2）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 勾股定理逆定理的实际应用
1. [典型习题]《数书九章》里记载有这样一道题，其大意是：有一块三
角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则该沙田的面积为____
平方里.
30
2. [变式]一块三角形花圃，用篱笆 把花圃分成两个面积相等的三
角形用于种植两种植物，其中，， ,则三角形花
圃 的面积为_____.
第2题
3. [变式]如图，甲、乙两船从港口 同时出发，甲船以16海里/时的速度
向北偏东 航行，乙船以30海里/时的速度航行，半小时后，甲船到达
岛，乙船到达岛，若、 两岛相距17海里，求乙船的航行方向？
解：由题意得， ，
（海里）， （海里）
海里
乙船的航行方向为南偏东 ．
知识点2 勾股定理及其逆定理的综合应用
4. [教材原题]如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）四边形的周长为_________________；四边形 的面积为
_____；
14.5
（2） 是直角吗？
解： 是直角，理由如下：
,,
．
5. [变式]如图，在四边形中，，为 上一点．已知
，，，，且．求证： 为
直角三角形．
证明：
在 中，由勾股定理可知，
，
，
为直角三角形．
6. [教材原题]如图，在正方形中，是的中点，是 上一点，
且 ．
求证: ．
证明：连接,设
为的中点
，
，
，
，
．
7. 台风影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风中心沿东西方向
由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、 的距离
分别为，，又 ，经测量，距离
台风中心 及以内的地区会受到影响．
（1）海港 受台风影响吗？为什么？
解：海港 受台风影响，理由如下：
，，
是直角三角形，
过点作于点
是直角三角形
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域 海港 受台风影响；
（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时
间有多长？
如图，当，时，正好影响海港
台风的速度为28千米/小时 （小时）
答：台风影响该海港持续的时间为 小时．
8. 如图，在中，，，边上的中线 ．求
的长．
解：如图，延长至点，使，连接 ,
则有
是边上的中线
．(共19张PPT)
课时训练
第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用（3）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 利用勾股定理在数轴上表示数
1. [典型习题][2025闽清县期中]如图，数轴上点所表示的数为0，点 所
表示的数为2，垂直于该数轴，且，若数轴上点 所表示的数
为，则 的值为_____.
第1题
2. [变式]如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是1， ，
，以点为圆心， 长为半径画弧，与数轴交于原点右侧
的点，则点 表示的数是_______.
第2题
3. [教材原题改编]在数轴上作出表示 的点．
解：如图所示，点为表示 的点．
知识点2 利用勾股定理在网格中表示数
第4题
4. [典型习题][2025仓山区期中]如图，在 的正方形网
格中，，，，， 是网格线的交点，则下列线段长
度最长的是( )
B
A. B. C. D.
5. [变式]如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的
顶点叫作格点.
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
解：如图1，正方形 即为所求；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，
， .
如图2， 即为所求.
知识点3 勾股定理的综合应用
6. [典型习题][2025福州一模]如图，在中， ，
，，边的垂直平分线分别与、相交于点、 ，
求 的周长．
解： ，，
垂直平分
的周长为 .
7. [变式]在中，已知 ，
， ，某同学用尺规先确定了三角
形顶点、，在用长确定顶点 时，作出了
如图所示的两个点，求这两个 点之间的长
度．
解：过点作，垂足为
在中， ，
在 中，
这两个点之间的长度为 .
8. 在平面直角坐标系中的两点，，为 轴上任意一点，
则 的最小值为_____.
9. 如图，一张直角三角形纸片的直角边， ．现将直角边
沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求 的长．
解：与关于 成轴对称
， ，
在中，
设，则
在中，由勾股定理，得，解得 ，即
.
10. [2025长乐区期末]我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数
学问题．
例：如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），构造
，点，，都在格点上，比较与 的大小．
解：由勾股定理，得， ，
．
在中， ．
学习上述方法，在图2中构造图形比较与 的大小，并写出推
导过程．
解： .证明如下：
如图2，由勾股定理，得
，
在中， ．
11. 如图，是的中线， ，于点 ，求证：
.
证明：
在和在 中
，
在中，
是 的中线
.(共14张PPT)
课时训练
第二十章 勾股定理
单元复习 勾股定理（1）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 勾股定理及其应用
1. [典型习题][2025连云港中考]如图，长为 的梯子靠在墙上，梯子的
底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度为____ ．
2.4
第1题
2. [变式]下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得
到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中 的值恰
好等于10的是( )
D
A. B. C. D.
3. [变式]在平面直角坐标系中，已知点，，则, 之间
的距离为_____．
第4题
4. [变式][2025思明区期中]如图所示，正方形的边
长为1，则数轴上的点 表示的实数为_______．
第5题
5. [变式]如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均
为1，的三个顶点，， 均在网格的格点上，则
的三条边中边长是无理数的有___条．
2
6. [变式]如图，在中， ， ，利用圆规在
上截取，在上截取，若，则 的长为
_________．
第6题
7. [变式]如图，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰 处架设
一条缆车线路到另一山峰处，若在处测得 ，两山峰的底
部相距900米，求缆车线路 的长．
解：过点作，垂足为
米
米
，
在中，
设米，则米
米．
第8题
8. 如图，将三个大小不同的正方形如图放置，顶点
处两两相接，若正方形A的边长为6，C的边长为2，
则正方形B的面积为____．
40
第9题
9. [2025思明区期中]如图，在中， ，
点是上的点，若， ，则
的值为____．
16
10. 如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一
条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点 到点
，为 的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕
刻在石柱上的巨龙至少为____米．
20
第10题
11. [2025湖里区月考]如图，我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是
由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角
形的直角边长分别为，，且 ，求小正方形的面积．
解：设大正方形的边长为
大正方形的面积是18
小正方形的面积
.
12. 如图，在中，，，，求 的面积．
解：如图，作于点，设
，
，
，解得
.
13. 如图，在中， ，，是 的角平分线，
，相交于点，若，，则 的长是_____.
第13题(共6张PPT)
课时训练
第二十章 勾股定理
阅读与思考
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
1. 【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以
下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式 的最小值．
分析：和是勾股定理的形式， 是直角
边分别是和3的直角三角形的斜边， 是直角边分别是
和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角 和
，并使直角边和 在同一直线上（图1），向右平移直角
使点和重合（图2），这时， ，
，问题就变成“点在线段的何处时， 最短？”如图3，
根据两点间线段最短，得到线段 就是它们的最小值．#1.1.2
【模型应用】#2
（1）代数式 的最小值为____；
13
（2）利用图3，求代数式 的最小值；
图3
解：如图3，作交延长线于 ,由题意
得，，
，
的最小值是 ；
【模型拓展】
（3）根据以上学习，解决问题：已知正数 满足
，求 的值．
图4
如图4，构造，于点， ，
设，则,
．
【模型建立】
数形结合”和建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以
下材料，然后解答后面的问题.
例：求代数式Vx2+32+√(12-x)2+22的最小值
分析：Vx2+32和V(12-x)2+22是勾股定理的形式，Vx2+32是直角
边分别是x和3的直角三角形的斜边，√(12-x)2+22是直角边分别是
12
-x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和
△DEF,并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角
△ABC使点B和E重合（图2），这时CF=x+12-X=12,AC=3,
DF=2,问题就变成点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”如图3，
根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值，
A
3
12-x
BE)
E
12-x
F
C
B
2
2
D
D
图1
图2
图3
A
C
B
F
H
C
A
B
D
设CD=x,则AD=V36-x2,BD=V64-x2
.AB=V36-x2+V64-x2=10
:AC2+BC2=62+82=102=AB2
,∠ACB=90
ABC
=AC·BC=AB·CD
×6×8==×10×x.x=4.8(共14张PPT)
课时训练
第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用（1）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 认识勾股定理
1. [典型习题]下列说法正确的是( )
D
A.若，，是的三边，则
B.若，，是的三边，则
C.若，，是的三边， ，则
D.若，，是的三边， ，则
知识点2 利用勾股定理进行计算
2. [教材原题]设直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为 .
（1）已知，，求 ；
解： 直角三角形的两条直角边长分别为和 ，
斜边长为，，
；
（2）已知，，求 ．
直角三角形的两条直角边长分别为和 ，
斜边长为，，
.
3. [变式][2025集美区期中]在中， ，若 ，
，则 ____.
10
4. [变式][2025晋安区期末]如图，在
中，于点，， ，
．求与 的长．
解：
在中， ，
在中，
．
知识点3 勾股树
第5题
5. [典型习题][2025同安区期末]如图，直角三角形由三个
正方形顶点相连构成．则三个正方形的面积可能取值为
( )
B
A.2，3，4 B.5，6，11 C.6，8，10 D.7，12，14
6. [变式]如图，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角
形．若正方形A，B，，D的边长分别是2，3，3，6，则最大正方形 的
面积是____.
58
第6题
第7题
7. 如图，在中， ，分别以 ，
，为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积
①，②， 之间的关系为( )
B
A. B.
C. D.
8. 如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是( )
A
第8题
A.
B.
C.
D.
9. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则这个三角形的周长为
___________．
10. [2025长乐期末]在中， ，若 ，则
___．
12或
6
11. [2025泉州月考]如图，在四边形中， ，
分别以四边形 的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为
，，，，若，，，求 的值.
解：如图，连接
，，
，，
在与 中，
由勾股定理得，
.
12. [教材原题]在中， ， ．
（1）如果 ，求， ；
解： ，，
在中，由勾股定理得， ；
（2）如果 ，求， ．
，，
在中，由勾股定理得，
．
13. 两个全等的直角三角形如图摆放，其中 ，
，，，求证： .
证明：连接，过点作，交 延长线于
点，则
又
．(共16张PPT)
课时训练
第二十章 勾股定理
专题精练1 勾股定理及其逆定理的综合应用
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
1. [教材原题]如图，在三角形支架中，
，垂足为，， ，
．
（1）求 的长；
解：
在中， ，
在中， ；
（2）判断支架外框 的形状，并说明理由．
是直角三角形，理由如下：
由（1）知
是直角三角形．
2. 如图，某村有一块三角形空地 ，现计划将这块空地进行新的规划，
点是边上的一点，过点作垂直于的小路．经测量，
米，米，米， 米．
（1）求 的长；
解：米，米， 米
米
（米）.
（2）小路 的长为_ __米．
3. [2025厦门翔安区期末]某中学计划在如图阴影区域展示学生的学习心
得．现测得，，，， ．试
求阴影部分的面积．
解：如图，连接
在中， ，，
，，
是直角三角形，且
阴影部分的面积
．
4. 市郊区绿道进行修整，绿道分布具体如下：已知 ，
，，点在点的正西方向，点在点 的正北方
处．
（1）试判断与 的位置关系，并说明理由；
解： ．理由如下：
由题意可知， ，
,点在点的正北方 处,即
是直角三角形， ；
（2）修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从飞到 ，
求线段 的长度．
如图，作，交延长线于点 ，则四边形
是长方形
， ，
，
线段的长度为 ．
5. 如图，在中，边上的垂直平分线与 、
分别交于点、，且 ．
（1）求证： ；
证明：连接 ，如图
边上的垂直平分线为
；
（2）若，，求 的长．
解：设，则
在中，
即，解得，则 ．
6. 如图，中，，垂足为 ，
，， ．
（1）求证： ；
证明：，，
（2）若的垂直平分线交于点，连接，则 的长为_ _．
又， ，
是直角三角形 ．
7. 在四边形中，，， ，
， ，求对角线 的长．
解：如图，作，交延长线于点，连接 ，
则
，，
，
是等腰直角三角形
，
．(共12张PPT)
课时训练
第二十章 勾股定理
综合与实践
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
1. 综合与实践.
项目背景 我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，
结合本阶段学习内容知识点，他们对“勾股树”产生了浓厚的
兴趣．
素材一 __________________________________________________
毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”,是由毕达哥拉斯根据勾股定
理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次
后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树．
续表
素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：1．画出不同类型三角形
形成的树形图；2．所画的基础三角形周长为 ，其中一
条边长固定为 ，根据规则，三位同学分别画出了不同
类型的树形图并进行探究．
续表
素材三
解决问题 任务一 小明画出了锐角，，，则 __．
续表
任务二 小金画出了直角， ， ，计算
的值，并写出过程．
解：设
直角， ，
又的周长为
由勾股定理得,，即，解得 ，
即
， ，
；
任务三 小山画出了钝角， ， ，计算
的值，并写出过程．
如图类型③，过点作交的延长线于点
在中， ，
设，则
由勾股定理得，
类型③
，的周长为
在中，，，
由勾股定理得，
即
解得
，
，
，
;
项目总结：猜想：周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积
最大．
证明如下：
在类型①中：
在类型②中：
在类型③中：
周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积
最大.
项目总结 综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结
论：在周长一定的情况下，由______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）三角
形形成的总面积 最大.这个猜想，聪明的同学你会证明吗
钝角(共15张PPT)
课时训练
第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用（2）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 勾股定理的实际应用
1. [教材原题]一木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端
处，则木杆折断前有___米．
8
第2题
2. [变式]如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高
的树顶飞到一棵高 的树顶上，两棵树相距
，则小鸟至少要飞____米．
10
3. [变式]如图，一个透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面直径为 ，
高为，今有一根长 的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，
求吸管露在杯口外的长度的最小值．
解： 底面直径为，高为
吸管露在杯口外的长度最少为 ．
4. [变式]如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯
子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离 为
．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到
地面的距离为，求小巷的宽 ．
解：在 中，由勾股定理得，
在 中，由勾股定理得，
.
5. [变式]如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东 方向，与灯
塔的距离为30海里的 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，
到达位于灯塔的南偏东 方向上的 处，求此时轮船所在位
置处与灯塔 之间的距离．
解：由题意可得，，海里， ，
，
（海里）
在中，
（海里）
答：轮船所在位置处与灯塔之间的距离为 海里.
6. 如图，某会展中心准备将高，长，宽 的楼道铺上地毯，
若地毯每平方米30元，则铺完这个楼道至少需要_______元．
1 020
第6题
7. [教材原题]如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在
水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一
边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度
分别是多少？
解：设尺，则 （尺）
由题意得， 尺
在中，
解得
即水深为12尺，芦苇长13尺．
8. 某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂，使得，两村庄到 的距
离相等，已知，，， 于点
，于点，求 的长．
解：，两村到 的距离相等
在和 中，
，
设，则
将， 代入关系式，得
，解得
.
9. 如图，某货船以24海里/时的速度将一批
重要物资从处运往正东方向的 处，在点
处测得某岛在北偏东 的方向上．该
货船航行30分钟后到达 处，此时再测得该
岛在北偏东 的方向上，已知在 岛周围
9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向
航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．
解：该货船无触礁危险，理由如下：
过点作交延长线于点
，
，
（海里）
在中，
（海里）
（海里）
货船继续向正东方向行驶无触礁危险．
第10题
10. 如图，这是一个长为，宽为，高
为的长方体纸箱，是的中点．点 处有几滴蜂蜜，
一只蚂蚁欲从点出发沿纸箱表面爬行到点 处吃蜂蜜，
则蚂蚁爬行的最短距离是______ .

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