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课时训练
第十九章 二次根式
19.1 二次根式及其性质（1）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 二次根式的定义
1. [典型习题]下列各式中，一定是二次根式的是( )
C
A. B. C. D.
2. [变式]下列各式子中，不属于二次根式的是( )
D
A. B. C. D.
知识点2 二次根式有意义的判定
3. [典型习题][2025福建中考]若在实数范围内有意义，则实数 的
值可以是( )
D
A. B. C.0 D.2
4. [变式]若在实数范围内无意义，则实数 的取值范围是______．
5. [变式][2025绥化中考]若式子有意义，则 的取值范围是________．
6. [教材原题]当 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ；
解：有意义，则，解得 ；
（2） ；
有意义，则，解得 ；
（3） ；
有意义，则，解得 为任意实数；
（4） ．
有意义，则，解得 ．
知识点3 二次根式的实际应用
7. [典型习题]已知一个正方体木块的表面积为 ．则这个正方体
木块的棱长为___.
5
8. [教材原题]已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和，如果大圆的
半径为，两个小圆的半径分别为2和3，求 的值．
解：由题意可得：
解得或（不合题意舍去），的值为 ．
9. 在式子，，，， 中，是二次根式的有
( )
B
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10. 若二次根式的值为4，则 的值为____．
11. [2025广州中考]要使代数式有意义，则 的取值范围是_________
_______．
且
12. 已知，是有理数，若，求 的平方根．
解：由题意，得，，且
解得
的平方根为 ．
13. 某市决定在一块面积为 的正方形空地上建一个足球场以供
全民健身．已知足球场的面积为，其中长是宽的 倍，足球场的
四周必须留出 宽的空地，这块空地能否成功建一个符合规定的足球
场？
解：设足球场的宽为，则长为 ，根据题意，得
，即
为正数
，
答：能按规定在这块空地上建一个足球场．
14. 若
（1）求及 的值；
解：
，
， ；
（2）求 的值．
两边都除以 得
．(共9张PPT)
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第十九章 二次根式
阅读理解
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
1. 已知， 为非负实数，
，
，当且仅当“ ”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有
着广泛的应用．
例：已知，求代数式 的最小值．
解：令，，则由，得 ．
当且仅当，即 时，代数式取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
（1）已知，则当____时，代数式 取到最小值，最小值为
_____；
（2）用篱笆围一个面积为 的矩形花园，则当这个矩形花园的长、
宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
解：由题意，设这个矩形花园的长为米，
矩形花园的宽为米，所用的篱笆长度为 米
又令，，则由，得 ，
当且仅当，即时，代数式 取到最小值，最小值为20
这个矩形花园的长为10米，宽为10米，所用的篱笆最短，最短的篱笆
的长度是
（米）
答：这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆
的长度是40米；
（3）已知，则自变量取何值时，代数式 取到最大值？最
大值为多少？
由题意得，
由例题可知，当且仅当，即时，代数式 取到最小值，
最小值为4
当时，代数式 取到最小值为2
当时，代数式取到最大值，最大值为 ．
（4）若为任意实数，代数式的值为，则 的范围为
_ ________________．
2. 某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了
数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积
的秦九韶公式：
（其中，， 为三角形的三边长）．
材料2．古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海
伦公式：
（其中，， 为三角形的三边长，
）.
请你用适合的公式解决问题．
（1）三角形的三边长为，， ，则它的面积为_ ___；
（2）一个三角形的三边长依次为，， ，请你从上述材料中选用
适当的公式求这个三角形的面积（写出计算过程）．
解：由题意得，令，，
，， ．
．(共14张PPT)
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第十九章 二次根式
19.2 二次根式的乘法与除法（1）
班级___ 姓名___ 座号___ ___月____日
知识点1 利用 进行计算
1. [典型习题]计算：
（1） ；
2
（2） .
3
20
2
2. [变式]计算：
（1）[2025广西中考] ；
解:原式
；
（2）[2025淮安中考] ；
解:原式
；
（3）
解:原式
；
（4）
解:原式
.
知识点2 利用 进行化简和计算
3. [典型习题]化简：
（1）=____×____ _____；
49
（2）= ____×_____ _____.
8
4. [变式]下列各式化简后的结果等于 的是( )
D
A. B. C. D.
0.04
7
0.2
1.4
9
8
9
3
5. [变式]计算：
（1）
解:原式
；
（2）
解:原式
；
（3）
解:原式
；
（4）
解:原式
.
6. 在下列各式中，化简正确的是( )
B
A.
B.
C.
D.
7. 若与的积是一个有理数，则 的值可以是( )
C
A.3 B.5 C.11 D.13
8. 若等式成立，则 满足的条件是
____________．
9. [教材原题]如图，从一个大正方形纸片中裁去面积为
和 的两个小正方形，求剩下部分的面积．
解：如图所示,由题意可得 ，
答：剩下部分的面积为 ．
10. 若将一个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是
，宽是 ，求圆的半径.
解：设圆的半径为 ，根据题意，得
圆的半径为 .
11. 阅读材料：将等式反过来，可得到 ，
根据这个思路，我们可以把根号外的正数“移入”根号内，用于根式的化
简，例如： ．
（1）请仿照上例化简：
① ；
解： ；
② ；
；
（2）请类比猜想 化简后结果是_____；
（3）请化简 ．
有意义
，即
．(共11张PPT)
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第十九章 二次根式
19.2 二次根式的乘法与除法（2）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 利用 进行计算
1. [典型习题]计算：
（1） ____；
72
（2） __.
15
8
9
3
5
2. [变式]计算：
（1） ；
解:原式
；
（2） ；
解:原式
；
（3） ；
解:原式
；
（4） .
解:原式
.
知识点2 利用 进行化简
3. [典型习题]化简：
（1） __；
25
（2） ______.
48
36
9
4. [变式]化简：
（1） ；
解:原式
；
（2） ；
解:原式
；
（3） ；
解:原式
；
（4） .
解:原式
.
5. 计算：
（1） _______；
（2） _____．
6. [教材原题]一个三角形的面积为，底边上的高 ，求它
的底边 的长．
解：根据题意，得
答：底边的长为 ．
7. 在学完“二次根式的乘除”后，数学老师给同学们留下这样一道思考题：
已知，，求 的值．
小刚是这样解的：
把，代入，得 ．
显然，这个解法是错误的，请你写出正确的解题过程．
解：，
，
把，代入，得原式 ．
解：原式=√18÷8
3
2
解：原式=
1
2
V 2
5
2
2
5
5
2
解原式=
V52×2
V42X2
5V2
2
5
◆
4
解：原式=2
3√5
3W5
35
解：原式=
11
4
2
解：原式=
14×3
3×3
V14×3
V32
V42
3
解：原式=
16
5
16X5
5X5
V42X5
53
4V5
5
解：原式=
52.a
(4b)2
5va
4b
解：根据题意，得
a=23=2x26
4v6Xv2
4V1
√2-V2x√2
2=43
2
答：底边a的长为4y√3.
7.在学完二次根式的乘除”后，数学老师给同学们留下这样一道思考题：
已知x+y=-6,xy=4,
求
x的值
小刚是这样解的：
把x+y=-6,xy=4代入
xy(x+y)
V4×(-6
显然，这个解法是错误的，请你写出正确的解题过程
解：x十y=一6，y=4
+店-+原-+
xy(x+y)
把x+y=一6，xy=4代入，得原式=
vx(x+y)
V4×(-6)(共11张PPT)
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第十九章 二次根式
单元复习 二次根式（2）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 二次根式的应用
1. [教材原题]已知边长分别为， 的两个正方形
的面积分别为， .
（1）求 的值；
解：根据题意，得 ；
（2）用一根长为 的铁丝，能否围成这两个正方形？
根据题意，得两个正方形的周长和为
答： 长的铁丝能围成这两个正方形.
图1
2. [变式]如图，现有两块同样大小的长方形木板
①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形
木板①上截出三个面积分别为4平方分米、8平方
分米和18平方分米的正方形木板，， ．
（1）正方形木板的边长为___分米， 的边长为
_____分米， 的边长为_____分米；
2
（2）求木板①中阴影部分的面积；
解：
平方分米；
图2
（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形
木板②上截出两个面积均为16平方分米的正方形
木板，请你判断能否截出，并说明理由．
不能截出．理由如下：
正方形木板的边长为4分米
又， 不能截出．
3. [变式]在一块矩形的地面上铺设地砖，该矩形地面的长为 ，宽
为 ．
（1）求该矩形地面的周长；
解：该矩形地面的周长
；
答：该矩形地面的周长为 .
（2）现计划在该矩形地面上铺满地砖，请计算需要的地砖总面积
（结果保留整数，， ）．
需要的地砖总面积
答：需要的地砖总面积约为 .
4. 一个三角形的三边长分别为，， ．
（1）求该三角形的周长；
解：由题意，得三角形的周长
；
（2）请你给一个适当的 值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周
长的值．
当时，周长 ．（答案不唯一）
5. 如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形
空地的长为，宽为 ，现要在空地中划
出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部
分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为 ，
宽为 ．
（1）求大长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式）
解：由题意，得大长方形空地的周长为
答：大长方形空地的周长为 ；
（2）张大伯种植的蔬菜每平方米产量为15千克，
求张大伯种植蔬菜的总产量．
由题意，得种植蔬菜的面积为
（千克）
答：张大伯种植蔬菜的总产量为585千克．
6. [教材原题]如图，以点 为圆心的三个同心圆把以
为半径的大圆的面积四等分.若 ，求这三
个圆的半径，， 的长．
解：
这三个圆的半径分别为：， ，
．(共11张PPT)
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第十九章 二次根式
19.2 二次根式的乘法与除法（3）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 最简二次根式的概念
1. [典型习题]下列各式中，属于最简二次根式的是( )
D
A. B. C. D.
2. [变式]在二次根式，，，，， 中，最简二次根式
的个数是___个.
1
知识点2 二次根式的化简
3. [典型习题]化简二次根式为最简二次根式：
（1） ；
解:原式
；
（2） ；
解:原式
；
（3） ；
解:原式
；
（4） .
解:原式
.
4. [变式]化简二次根式为最简二次根式：
（1） ；
解:原式
；
（2） ；
解:原式
；
（3） ；
解:原式
；
（4） .
解:原式
.
知识点3 二次根式的乘除运算
5. [典型习题]计算：
（1） ；
解:原式
；
（2） .
解:原式
.
6. [变式]小颖为妈妈准备了一份生日礼物，礼物的外包装盒为长方体，
已知该长方体包装盒的体积为，它的高为 ，长为
，求这个长方体包装盒的宽．
解：由题意，得
答：这个长方体包装盒的宽为 ．
7. 若是最简二次根式，则整数 的最小值为___．
3
8. 计算：
（1） ；
解:原式
；
（2） .
解:原式
.
9. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象： ，
这个根号里的2经过适当地演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨
把这种现象称为“穿墙”，具有这种现象的数还有许多，例如：
， 等．
（1）【猜想】 _ _____；（不用化成最简二次根式）
（2）【推理证明】请你用一个正整数 表示含有上述规律的等式，
并给出证明；
解： ，证明如下：
；
（3）【创新应用】按此规律，若（， 为正整数），求
的值．
由条件可知，
， ．(共13张PPT)
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第十九章 二次根式
19.3 二次根式的加法与减法（1）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 被开方数相同的最简二次根式
1. [典型习题]下列二次根式，不能与 合并的是( )
D
A. B. C. D.
2. [变式]若最简二次根式与 可以合并成一个二次根式，
则 ___．
6
知识点2 二次根式的加减运算
3. [典型习题]计算：
（1）（_______） ______；
3
（2）____(________) ______.
5
5
6
2
7
4. [变式]计算：
（1） ；
解:原式
；
（2） ；
解:原式
；
（3） ；
解:原式
；
（4） ；
解:原式
；
（5） ；
解:原式
；
（6） .
解:原式
.
5. [教材原题]已知，求 的近似值
（结果保留小数点后两位）．
解：原式
原式 ．
6. 如果与的和等于，那么 的值是____.
7. 等腰三角形的两边长分别为和 ，则其周长为_______________
_________．
46
或
8. 计算：
（1） ；
解:原式
；
（2） .
解:原式
.
9. 在算式“”中，“□”表示“”或“ ”中的一个运算符
号，请通过计算说明当“ ”表示哪一种运算符号时，算式的结果较大，
并求出比另一个结果大多少．
解：当□表示“”时，
当□表示“”时，
当□表示“”时，算式的结果较大．比另一个结果大 ．
10. 一个三角形的边长分别为、、 ，求它的周长
（要求结果化简）．
解： 一个三角形的三边长分别为，，
三角形的周长
．
11. 小明准备完成题目 时，发现“ ”处的
数字印刷不清楚．
（1）他把“ ”处的数字猜成6，请你计算
的结果；
解： ；
（2）同学小红说：“你猜错了，我看到该题的正确答案是 ．”请你通
过计算求出原题中“ ”处的数字．
设“ ”处的数字为
则原式
这个题的正确答案是，解得 ，故原题中
“ ”处的数字是 ．(共8张PPT)
课时训练
第十九章 二次根式
专题精练1 二次根式的运算
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
1. 用法则计算：
（1） ；
解：原式
；
（2） ；
解：原式
；
（3） ；
解：原式
；
（4） .
解：原式
.
2. 用运算律计算：
（1） ；
解：原式
；
（2） ；
解：原式
；
（3） ；
解：原式
；
（4） .
解：原式
．
3. 用乘法公式计算：
（1） ；
解：原式
；
（2） ；
解：原式
；
（3） ；
解：原式
；
（4） .
解：原式
.
解：原式=2V10-5×+√0
10
=20-
/10
5v√10
解：原式=3V3+V3-写÷V3
11V3
3
3
解：原式=2+1-(3-2)
=2+1-1
=2.
解：原式=2√2-2+2√2+1)+(3-1)
=2V2-3-2V2+2
=-1(共13张PPT)
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第十九章 二次根式
19.3 二次根式的加法与减法（2）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 二次根式的混合运算
1. [典型习题]计算：
（1）[2025甘肃中考] ；
解：原式
；
（2） .
解：原式
.
2. [变式]计算：
（1） ；
解：原式
（2） ；
解：原式
；
（3） ；
解：原式
；
（4） .
解：原式
．
知识点2 二次根式与乘法公式
3. [典型习题]计算：
（1）[2025天津中考] ；
解：原式
；
（2） .
解：原式
.
4. [变式]计算：
（1） ；
解：原式
；
（2） .
解：原式
.
5. [教材原题]已知， ，求下列各式的值：
解：，
，
（1） ；
；
（2） ．
．
6. 计算 的值．
解：原式
．
7. 在一个边长为 的正方形木板的内部挖去一个长为
，宽为 的长方形，求剩余部分木板的面积．
解：根据题意，得
答：剩余部分木板的面积为 ．
8. 在二次根式的运算中，小燕同学发现以下等式具有某种规律：
；
；
…
请你观察这些等式，利用你发现的规律，回答以下问题：
（1）化简：_______， ___________；
（2）计算： ．
解 ： 原式
．(共6张PPT)
课时训练
第十九章 二次根式
专题精练2 二次根式的化简求值
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
1. 先化简，再求值：，其中 ．
解：原式
当时，原式 ．
2. 先化简，再求值：，其中， ．
解：原式
当，时，原式 ．
3. 先化简，再求值：，其中 ，
．
解：原式
当，时，原式 ．
4. 将化简，然后选择一个合适的整数作为 的值代
入求值．
解：且且
原式 ．
当，原式 的值不唯一，合理即可）
5. 已知， ．
（1）求 的值；
解：，
原式
；
（2）求 的值．
由题意得，
，
原式
．
解：原式=x·3V+y2.V网-x2.是V+5x·V网
=x√元+V灯-x√元+5V灯=6V灯
当x=y=时，原式=6××=
解：'x=V10+3,y=√10
-3
原式=(x十y)2+xy
=(V10+3+V10-3)2+(√10
十3
)(V10
-3)
=(2V10)2+10-9
=40+1=41;
由题意得y一x=一6，xy=1
x-2>0,y+1>0
原式=x-2
_V+1)2
x-2
y+1
x(x-2)
y(y+1)
x(x-2)
y(y+1)
V-X(共12张PPT)
课时训练
第十九章 二次根式
单元复习 二次根式（1）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 二次根式的相关概念
1. [典型习题]下列各式中，一定是二次根式的是( )
B
A. B. C. D.
2. [典型习题]下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
C
A. B. C. D.
3. [变式]最简二次根式与最简二次根式可以合并，则 的值为
___．
3
知识点2 二次根式的性质
4. [典型习题][2025西藏中考]若代数式有意义，则实数 的取值范
围是( )
D
A. B. C. D.
5. [变式][2025凉山州中考]若式子在实数范围内有意义，则 的取
值范围是_______．
6. [典型习题]计算：
（1） ___；
（2） ____．
3
0.8
7. [变式]若，则 的取值范围是______
_____．
8. [典型习题]是整数，则正整数 的最小值是___．
9. [变式]已知是整数，那么自然数 的值可能是______________
____．
3
2、9、14、17、
18
知识点3 二次根式的运算
10. [典型习题]计算：
（1） ；
解：原式
；
（2） ；
解：原式
；
（3） ；
解：原式
；
（4） .
解：原式
．
11. [教材原题]已知 ，求代数式
的值．
解：由条件可知
．
12. 如果， ，那么下面各式正确的是( )
C
A. B.
C. D.
13. 已知，都是实数，且，则 ____．
64
14. 已知实数，， 在数轴上的位置如图所示，化简
．
解：由数轴可知
，
原式 ．
15. 先化简，再求值：，其中 ．
解：原式
当时，原式 ．
16. 若两个二次根式，满足：，且是有理数，则称与 是
关于的"共轭二次根式"，如，则称与 是关于4的"共
轭二次根式"．
（1）若与是关于6的"共轭二次根式"，求 的值；
解：与 是关于6的"共轭二次根式"
；
（2）若与是关于4的"共轭二次根式"，求 的值.
．(共14张PPT)
课时训练
第十九章 二次根式
19.1 二次根式及其性质（2）
班级___ 姓名___ 座号___ ____月____日
知识点1 利用 进行计算
1. [典型习题]计算 的结果是( )
B
A. B.5 C. D.25
2. [变式]已知圆的半径为，则这个圆的面积是____ ．
3. [变式]若，则实数 满足的条件是______.
4. [变式]计算：
（1） ；
解:原式 ；
（2） ；
解:原式
；
（3） ；
解:原式
；
（4） ；
解:原式
；
（5） ；
解:原式
；
（6） ；
解:原式
.
知识点2 利用 进行计算和化简
5. [典型习题]化简： ______.
6. [变式]若，则 ______．
7. [变式]点在第三象限，化简 ____．
8. [变式]计算：
（1） ；
解:原式 ；
（2） ；
解:原式
；
（3） ；
解:原式
；
（4） ；
解:原式
；
（5） ；
解:原式
；
（6） ；
解:原式
.
9. [教材原题]已知是整数，则正整数 的最小值为___．
10. 实数， 在数轴上的位置如图所示，化简：
_____．
6
第10题
11. 求代数式的值，其中 ．
解：原式
原式 .
12. 形如 的二次根式叫做复合二次根式.
把变成 的过
程叫做复合二次根式化简.
请你将下列复合二次根式进行化简：
（1） ；
解:原式
；
（2） ；
解:原式
.
13. （1）当时，化简； ___；
3
（2）若，求 的值；
解：由，得
当时，，解得 ；
当时， ，不成立；
当时，，解得
的值为 或6;
（3）已知实数，满足 ，
求 的最大值．
由条件可知
，当且仅当 时取等号
，当且仅当 时取等号
，，且 ，
当，时，取得最大值为 ．

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