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(共35张PPT)
单元训练6 数据的分析
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每题4分，共40分）
1. [2025盐城中考]在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺
嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是( )
D
A.平均数 B.中位数 C.方差 D.众数
2. [2025马尾期末]甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如
表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较高且状态稳定的同学参加数
学比赛，那么应选( )
甲 乙 丙 丁
平均数 90 90 85 85
方差 42 45 42 45
A
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3. [2025仓山期末]数据1，2，3的方差是( )
D
A. B. C.1 D.
4. 某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影
响三项得分分别为8 分，9分，7分，若将三项得分依次按 的比例
计算总成绩，则该企业的总成绩为( )
B
A.8分 B.8.1分 C.8.2分 D.8.3分
5. [2025广元中考]为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了10名
学生收集红色文化书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如表：
书籍本数 2 3 4 5 6
人数 2 2 2 3 1
下列关于书籍本数的描述正确的是( )
C
A.众数是3 B.平均数是3 C.中位数是4 D.方差是1
6. 随机抽取一组数据，根据方差公式得：
，则关于抽取
的这组数据，下列说法错误的是( )
C
A.样本容量是10 B.平均数是40
C.中位数是39.8 D.离差平方和是0.3
7. 八年级（1）班有45名学生，八年级（2）班有50名学生，期末数学测
试中，（1）班学生的平均分为100 分，（2）班学生的平均分为103.8
分，这两个班95 名学生的平均分为( )
C
A.100分 B.101.9分 C.102分 D.103.8分
8. [原创题]关于一组数据：，，，， ，下列说法正确的是
( )
D
A.在分组计算组内离差平方和时有5种分法
B.这组数据的中位数是
C.若这组数据中每个数都扩大2倍，则这组数据的方差不变
D.若这组数据中每个数都 ，则使这组数据的组内离差平方和最小的分
法不变
9. [教材原题改编]下列说法正确的是( )
C
A.一组数据的平均数、中位数、众数一定存在，且都是这组数据中的数
B.一组数据中，大于平均数和小于平均数的数据各占
C.计算加权平均数时，权越大的数影响也越大
D.比较两组数据的离散程度，离差平方和较大的组，其方差也一定较大
10. 有一组被墨水污染的数据（均为整数） ，17，7，14，★，★，★，
16，10，4，4，11，其箱线图如图，下列说法错误的是( )
B
A.这组数据的下四分位数是4
B.这组数据的中位数是10
C.这组数据的上四分位数是15
D.被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 某校5名同学课外一周的体育锻炼时间（单位：小时）分别为：8，8，
9，10，15．这5个数据的平均数是____．
12. 某品牌专卖店9月份销售了20双运动鞋，其尺码和数量统计如表：这
20双运动鞋尺码的众数是____．
10
尺码 38 39 40 41 42
数量 2 4 5 6 3
41
13. 某市9月份其中6天的最高气温（单位： ）如下：30，34，33，35，
33，32.其中34是这组数据的____________．（填“上四分位数”“中位数”
或“下四分位数”）
上四分位数
14. [2025鼓楼月考]若整数1、2、3、4、5的方差为 ，整数6、7、8、9、
10的方差为，则与的大小关系是___．（填“ ”“ ”或“ ”）
15. 在一组数据21，30，8，5，20中插入一个数，恰好得中位数是19，
则插入的数是____．
18
16. 某公司招聘员工，A，B进入终面，成绩如表．公司笔试成绩和面试
成绩按，为整数 的权重录取．若最终A被录取，
则 可以是_________________．（填一个即可）
应聘者 笔试成绩 面试成绩
A 86 90
B 92 84
3（答案不唯一）
三、解答题（共86分）
17. （8分）机床厂今年一月份生产机床1 300 台，二月份生产1 200 台，
三月份生产1 400 台．前3个月平均每个月生产机床多少台？照这样计
算，全年可以生产机床多少台？
解： 机床厂今年一月份生产机床1 300 台，二月份生产1 200 台，三
月份生产1 400 台
（台）， （台）
答：前3个月平均每个月生产机床1 300 台，照这样计算，全年可以生
产机床15 600 台．
18. （8分）一组数据：1，3，4， ，6．已知这组数据的众数是6．
（1） ___，这组数据的中位数是___；
6
4
（2）求出这组数据的方差．
解 ： 这组数据的平均数为
方差 ．
19. （10分）[2025广西中考]某班需从甲、乙两名同学中推荐一人参加校
史馆讲解员的选拔，班委决定从口头表达能力、思维能力、表现力、仪
容仪表四项内容进行考查．全班同学投票确定了各项所占的百分比，结
果如图1，再对甲、乙进行考查并逐项打分，成绩如图2．
图1
图2
（1）在所考查的四项内容中，甲比乙更具优势的有哪些？
图1
图2
解：在所考查的四项内容中，甲比乙更具优势的有口头表达能力、仪容
仪表；
（2）按照图1的各项占比计算甲、乙的综合成绩，并确定推荐人选．
甲的综合成绩为 （分）
乙的综合成绩为 （分）
推荐乙参加校史馆讲解员的选拔．
图1
图2
20. （10分）[2025陕西中考]为了让同学
们了解我国航天事业取得的成就并普及
航天知识，某校在“中国航天日”当天开
展了研学活动，随后采取自愿报名的方
式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，
从竞赛成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分）中用科学的抽样
方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图．
其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，
85，85，84，83，81，81，80，80，80．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）B组15个成绩的平均数为____分；
84
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为____，
本次被抽取的所有成绩的中位数为____分；
50
80
（3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有
500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数．
解： （人）
答：本次竞赛的获奖人数约为120 人．
21. （10分）根据组内离差平方和最小原则将下列数据进行分组：23，
30，35，42，37，24，21．
解：将7个数据小到大排列，可得21，23，24，30，35，37，42，将它
们分成两组共有6种情况，计算组内离差平方和如下表：
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔 0 282.83 282.83
第2个间隔 2 189.2 191.2
第3个间隔 4.67 74 78.67
第4个间隔 45 26 71
第5个间隔 133.2 12.5 145.7
第6个间隔 223.33 0 223.33
观察组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时，组内离差平方
和最小，因此按组内离差平方和最小的分法将7个数据分组为： ，23，
24，和，37， ．
22. （12分）甲、乙两组的测试成绩如下：
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98；
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95.
（1）求甲组数据的四分位数，， ；
解：将甲组的成绩从小到大排列为60，70，70，80，89，91，92，96，
98，100
所以，， ；
（2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘
制甲组的箱线图；
甲组测试成绩的最大值为100，最小值为60，则甲组的箱线图如图所示；
（3）根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法．
根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同，但甲组成绩
明显比乙组的波动大．（答案不唯一，合理即可）
23. （14分）某城市推行"绿色出行"宣传活动，五位评审对甲、乙、丙
三位宣传志愿者的表现进行打分，相关得分数据整理如下统计图表．
图1
图2
图3
平均数 中位数 方差
甲 9 9
乙 8.8 0.96
丙 8 0.96
根据以上信息，完成下列问题：
（1）求出统计表中，， 的值；
图1
图2
图3
解：由折线统计图可知，甲得分的排序为：10，9，9，9，8
甲得分的方差
由条形统计图可知，乙得分的排序为：10，9，9，9，7
乙得分的中位数
由扇形统计图可知，丙的平均数
，， ；
图1
图2
图3
（2）从三位选手中选一位进行表彰，你认为选谁更合适？请选择一个
统计量进行说明；
图1
图2
图3
选甲更合适．理由如下：
因为甲的平均成绩比乙、丙高，甲、乙的中位数比丙高，且甲的方差比
乙、丙低，说明甲的平均水平高且更稳定，所以选甲更合适；
（答案不唯一，合理即可）
图1
图2
图3
（3）如果去掉一个最高分和一个最低分之后，乙的中位数记为 ，判断
与 的大小关系，并说明理由．
图1
图2
图3
，理由如下：
去掉一个最高分和一个最低分之后，乙的中位数为9，
．
图1
图2
图3
24. （14分）李先生从家到公司上班，可以乘坐20路或66路公交车，他
在乘坐这两路车时，对所需的时间分别做了20次统计，并绘制如下统计
图．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）计算下表中， 的数据：
公交线路 20路 66路
乘车时间统计量 平均数 34
中位数 30
解：， ；
（2）李先生从家到公司，除乘车时间外，另需10分钟（含等车，步行
等）．该公司规定每天8点上班，16点下班.
①某日李先生7点20分从家里出发，乘坐哪路公交车合适？并说明理由；
李先生要想按时上班，乘车时间不能超过30分钟
又 由统计图可知，乘20路公交车和66路公交车所需时间不超过30分钟
的频数分别为8和11
选择66路公交车比较适合；
②公司出于人文关怀，允许每个员工每个月迟到两次．若李先生每天同
一时刻从家里出发，则每天最迟几点出发合适？并说明理由．
（每月的上班天数按22天计）
李先生每天最迟7点10分出发，乘坐20路公交车比较合适．理由如下：
一月上班22天，其中公司出于人文关怀允许两次迟到
不迟到的天数应不少于20天
假设李先生每天7点10分出发，则有40分钟的乘车时间
由统计图可估计乘坐20路公交车不迟到的天数为
乘坐66路公交车不迟到的天数为
李先生每天7点10分出发，乘坐20路公交车比较适合.(共33张PPT)
单元训练5 一次函数
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每题4分，共40分）
1. 下列函数：；；； 中，是
一次函数的有( )
B
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2. 某函数图象经过点 ，该函数的解析式可以是( )
C
A. B. C. D.
3. 若一次函数的函数值随的增大而减小，则 的值
可以是( )
A
A. B. C.0 D.2
4. 把直线 向下平移2个单位，得到的直线是( )
A
A. B. C. D.
第5题
5. 如图，一长为，宽为 的长方形木板，现
要在长边上截去长为 的一部分，则剩余木板的
面积（空白部分）与 的函数解析式为
( )
D
A. B. C. D.
第6题
6. [2025屏东期中]一次函数和 的
图象如图所示，则关于的不等式 的
解集是( )
A
A. B. C. D.不确定
7. 甲、乙两人从同一地点出发，沿同一方向跑步，速度分别为4米/秒和
6米/秒，开始时甲先跑100米后乙再追赶，则从乙出发开始追上甲这一过
程中，甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间 （秒）之间的
函数解析式为( )
C
A. B.
C. D.
8. 在同一平面直角坐标系中，函数与 的图象大致是
( )
A
A. B. C. D.
9. 一条直线，其中， ，那么该直
线经过( )
D
A.第二、四象限 B.第一、二、三象限
C.第一、三象限 D.第二、三、四象限
第10题
10. 如图，在“探索一次函数中， 与
图象的关系”的活动中，已知点，点
在第一象限内且满足 ，若一次函数
图象经过， ，则下列判断正确的是
( )
B
A.当时，
B.当时，
C.若，则
D.若，则
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 若函数是正比例函数，则 的值为___．
12. 一次函数的图象经过点，每当增加1时， 增加3，
则此函数的表达式是___________．
13. 已知一次函数，当时，函数 的最大值是___．
7
3
14. 以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个二元一次方程的图
象．如图，二元一次方程组为常数 中的两个二元一次方
程的图象交于点，则 ____．
第14题
15. [2025延安期中]某商场销售某种商品，经市场调查，售价
（单位：元）、每星期销量（单位：千克）、每千克利润 （单位：元）
之间的关系如图1、图2所示．若某星期该商品每千克利润为20元，则本
星期该商品的销量为_______千克．
1 800
第15题
16. 直线与轴和轴分别交于，两点，把射线绕点 逆
时针旋转 得射线，点是射线上一个动点，点是 轴上一个动
点．若与全等，则点 的坐标是_ ________________．
或
三．解答题（共86分）
17. （10分）已知一次函数 ．
（1）若是的正比例函数，求 的值；
解：由题意，得：且
解得 ；
（2）若该函数图象过点 ，求一次函数的解析式．
由题意得：且
解得
一次函数的解析式为 ．
18. （10分）在一次函数中，与 的部分对应值如表：
0 1 2
3 2 1 0
（1）在平面直角坐标系中，画出这个函数的图象．
解：函数图象如图所示；
（2）观察图象，直接写出当时， 的取值范围．
由图象可知，时，的取值范围为： ．
19. （10分）小林同学从家出发，步
行到离家 米的公园散步，速度为50
米/分钟；6分钟后哥哥也从家出发沿
着同一路线骑自行车到公园，哥哥
到达公园后立即以原速返回家中，
两人离家的距离 （米）与小林出发
（1） _____；
600
的时间 （分钟）的函数关系如图所示．
（2）求 所在直线的函数表达式；
解：设 ，由题意得：
由图象得，
设 所在直线的函数表达式为
则有解得
；．
（3）小林与哥哥第二次相遇时距离
公园还有多远？
根据题意可知： 所在直线的函数
表达式为
根据 ，得
（米）
小林与哥哥第二次相遇时距离公
园还有120米.
20. （12分）在平面直角坐标系 中，已知一次函数
的图象过点， ．
（1）求一次函数的解析式；
解：将点，代入 ，得
解得
一次函数的解析式为 ；
（2）该一次函数图象与轴交于点，若点 为该一次函数图象上的一点，
满足的面积为1，请直接写出点 的坐标．
或 理由：
令，得，
设点横坐标为，则，解得
当时，；当时，
或 ．
21. （14分）[2025屏东期中]草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是
草莓的销售旺季．某水果店以3 150元购进A、B两种不同品种的盒装草
莓，其中A品种进价为35元/盒、B品种50元/盒；若按A品种60元/盒、B
品种80元/盒的标价出售可获利润2 050元．
（1）求这两个品种的草莓各购进多少盒？
解：设A品种草莓购进了盒，B品种草莓购进了 盒，由题意，得
解得
答：A品种草莓购进了40盒，B品种草莓购进了35盒．
（2）该店计划下周购进这两种品种的草莓共100盒（每种品种至少进1
盒），并在两天内将所进草莓全部销售完毕（损耗忽略不计）.因B品种
草莓的销售情况较好，水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的
2倍，且A品种不少于25盒．如何安排进货，才能使利润最大，最大利润
是多少？
设A品种草莓购进了盒，则B品种草莓购进了 盒，由题意，得
解得
利润，
利润随 的增大而减小．
当时，利润取最大值，最大值为， ．
答：当A品种草莓购进25盒，B品种草莓购进75盒时，利润最大，为
2 875元．
图1
22. （14分）综合与实践.
问题情境：函数在生活中无处不在，小芳
和小文想寻找身边的函数．她们借助各自
的水杯，一起探究了杯中水的体积与水面
到水平桌面的距离之间的关系．如图1所示，
小芳的水杯为厚底圆柱形，记为1号杯，小文的水杯为底部厚度忽略不
计的普通圆柱形，记为2号杯．
图2
实践操作：小芳和小文分别向各自的水杯倒水，设1号
杯中水的体积为 ，2号杯中水的体积
为 ，水面到水平桌面的距离为
．小芳通过操作，测量，记录，绘制出了与
之间的函数图象（如图2）；小文则测量并记录了
与对应的 的几组数值，整理成下表，发
现是 的函数．
0 2 4 6 8 10
0 50 100 150 200 250
问题解决：请根据上述材料完成下列任务：
（1）求与 之间的函数表达式；
解：设与之间的函数表达式为
，为常数，且
将坐标和分别代入 ，
得解得
与之间的函数表达式为 ；
（2）能看成 的一次函数吗？若能，请直接写出函数表达式；若不能，
请说明理由；
能看成的一次函数，与之间的函数表达式为 ；
图2
（3）在图2中，画出与 之间的函数图象；
描点并连线如图所示；
（4）当为___ 时，1号杯和2号杯中水的体积相等．
6
[解析] 当时，得，解得
当为 时，1号杯和2号杯中水的体积相等．
23. （16分）如图所示，直线：与直线： 交于点
，直线与轴交于点 ．
备用图
（1）求， 的值；
解：当时，，
将代入 中，得
，解得 ；
备用图
（2）点为上一动点，过点作平行于轴的直线交于点 ，当
时，求点 的坐标；
备用图
由（1）可知，
，
设，则
，，解得或
或 ；
（3）将直线绕点旋转 得到直线，请求出该直线与 轴的交点坐
标．
备用图
设直线与轴的交点为
①当直线绕点逆时针旋转 时，过点 作
交直线于点 ，
过点作轴交于点，过点作 轴
交于点 ，
，
，
，
，
直线的解析式为， 直线与轴的交点为
②当直线绕点顺时针旋转 时，同理可得直线 的解析式为
直线与轴的交点为
综上所述，该直线与轴的交点坐标为或 ．(共37张PPT)
单元训练2 勾股定理
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每题4分，共40分）
1. 下列是一组勾股数的是( )
A
A.3，4，5 B.1，2，3 C.2，3，4 D.1，1，1
第2题
2. 如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母
B所代表的正方形的面积是( )
C
A.12 B.13 C.144 D.194
3. 下列条件中不能判定 是直角三角形的是( )
D
A.，， B.
C. D.
4. 已知一个直角三角形的两条边长分别是6和8，则第三边长是( )
D
A.10 B.8 C. D.10或
第5题
5. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以点 为圆
心，为半径画弧，交网格线于点，则 的长为
( )
B
A.2 B. C.3 D.
6. 五根木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角
三角形，下图正确的是( )
B
A. B. C. D.
第7题
7. 如图，一架长的梯子 靠在一竖直的墙上，这时
梯子的底端到墙根的距离为，如果梯子的顶端
下滑至 ，那么梯子底端将向左滑动( )
C
A. B. C. D.
第8题
8. 如图，在中，且 于点
，垂直平分，交于点，交于点 ，
若，，则 的长为( )
B
A. B. C.1 D.
9. [2025福清期中]在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形
验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是( )
A
①
②
③
④
A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.①②③
10. [2025莆田期末]某校开展数学文化节，向同学们征集文化节 ，
小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图，分别以
的边，，为直径画半圆．若要求 的面积，只要
知道( )
D
第10题
A.月形图形 的面积
B.月形图形 的面积
C.月形图案的面积与月形图案 的面积之
差
D.月形图案的面积与月形图案 的面积
之和
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 已知正方形的面积是4，则它的对角线长是_____．
12. 如图，是等腰三角形，，点在 轴的正半轴上，点
的坐标是，则点 的坐标是_______．
第12题
13. 如图，已知 ，，， ，则
____．
第13题
14. 将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长
分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形
（如图3），其面积分别为，，则 ____.
12
第14题
第15题
15. 如图是颁奖台， 个长方体颁奖台的
长均为，宽均为 ，1，2，3号
台的高度分别是，，．
若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点 处沿表面
第16题
16. 如图，与 均为直角三角形，且
， ，
，点是的中点，则 的长为
__．
爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为_______ ．
三、解答题（共86分）
17. （8分）在中， ， ，，求 的长.
解：在中， ，
根据勾股定理，得 ．
18. （8分）如图，在中，于点 ，
，，,求 的长.
解：
在中,
在中,
．
19. （8分）长方形纸片中， ，
，按如图方式折叠，使点与点 重
合，折痕为，求 的长．
解：设，则 ，
在中， ，即
.
20. （8分）设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为，及 ，
求证： ．
证明：设斜边为，根据勾股定理即可得出
，即
,, 都不为0
．
21. （8分）[2025泉州模拟]如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，
点， 在格点上（每个小正方形的顶点称为格点）．按要求回答问题：
（1） 的长为_____；
（2）在网格中找出一个格点，使得， ，并通过计
算判断 的形状．
解：如图，点 即为所求点
，
是直角三角形．
22. （10分）[2025福清期中]材料：如果平面直角坐标系内有两点
，，， ，那么这两点的横向（或纵向）距离可以用两点
横坐标（或纵坐标）的差的绝对值来表示，即或 ，那
么根据勾股定理，其两点间的距离 ．
例如：，，则 ．
解决问题：
（1）如图，已知，，则两点的横向距离 ___，
纵向距离___，根据勾股定理可得 ____；
6
8
10
（2）若点，点在轴上，，请根据上述材料，求点 的坐
标．
解：设
，
或
或 ．
23. （10分）综合与实践.
问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地
（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完
成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：
如图，，，，，在 上选取两
点，为浇灌点，从水源点 处铺设管道引水．
强强设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点， ；
方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点
处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点， 铺
设管道．社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点
方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某
两点之间的距离，就确定了 ．
（1）施工人员测量的是点___与点___之间的距离；
C
（2）若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用；
解：连接
,，
，
，
四边形的面积
建造绿化地的费用为 （元）；
（3）若 ，， ，管道铺设费用为50元/
米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道
所需的最少费用．
，，
方案一：铺设管道所花的费用 （元），
方案二：铺设管道所花的费用 （元）
答：铺设管道所需的最少费用为700元．
24. （12分）定义：如图，点，把线段分割成，， 三段，
若以，，为边的三角形是直角三角形，则称点， 是线段
的勾股分割点．
（1）若，，，则点，是线段 的勾股分
割点吗？请说明理由；
解：点、是线段 的勾股分割点，理由如下：
，
、、 为边的三角形是直角三角形
点、是线段 的勾股分割点；
（2）已知点，是线段的勾股分割点，且 为直角边．若
，，求 的长．
设，则
①当 为最长线段时，
由题意得,
即，解得 ；
②当 为最长线段时，
由题意得,
即，解得
综上所述,的长为或 ．
25. （14分）如图，已知在中， ， ，
，是上的一点，，点从点出发沿射线 方向以
每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为秒，连接 ．
（1）当秒时，求 的面积；
解：根据题意得,
当秒时，
;
（2）若平分，求 的值；
如图，当线段平分 时，作
于点
平分， ，
在中，，即 ,解得
，解得 ；
（3）过点作于点．在点的运动过程中，当 为何值时，能
使 ？
①点在线段上时，连接 ，如图所示
平分
又
在中，由勾股定理得： ，解得
；
备用图
②点在线段的延长线上时，过点作于，连接 ，如备
用图所示
同①得：
备用图
在中，由勾股定理得： ，解得
综上所述，在点的运动过程中，当的值为4.5或10.5时，能使 ．(共33张PPT)
单元训练4 函数
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每题4分，共40分）
1. 把20本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入
本，第二个抽层放入 本，则下列判断错误的是( )
A
A.20是变量 B.是变量 C. 是变量 D.20是常量
2. [2025长乐期中]下列图象中，表示是 的函数的是( )
A
A. B. C. D.
3. 对于函数，当自变量 时，对应的函数值是( )
A
A.2 B. C. D.4
第4题
4. 周末的早晨王老师从家出发去燕山公园锻
炼，她连续、匀速走了60分钟后回到家．如
图线段 是她出发后所在位置
离家的距离（公里）与行走时间 （分钟）
之间的函数关系．则下列图形中可以大致描
述王老师行走路线的是( )
A
A. B. C. D.
5. 下列各点在函数 的图象上的是( )
B
A. B. C. D.
6. 小王家、食堂、图书馆在同一条直线上，小王从家去食堂吃早餐，接
着去图书馆读报，然后回家，如图反映小王离家的距离与时间 之间的
对应关系，下列说法正确的是( )
C
第6题
A.小王读报用了
B.小王吃早餐用了
C.小王回家的平均速度是
D.小王家离食堂
7. 如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记
为，（氢原子）的个数记为，则由结构式可知与 满足的关系式是
( )
名 称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷
结 构 式
B
A. B. C. D.
8. 小明同学制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位
和时间 两个变量之间的关系．如表是小明记录的部分数据，
当为时，对应的时间 为( )
… 1 2 3 4 …
… 2.4 2.8 3.2 3.6 …
D
A. B. C. D.
第9题
9. 将甲、乙、丙三种固体物质在等量溶剂中完全
溶解的质量单位：分别记为、、 ，它
们随温度单位： 的变化情况如图所示，若
，则温度 的范围应控制在( )
C
A. B.
C. D.
10. 如图1，在四边形中，，
是对角线的中点，点从点出发，沿 方向匀速运动，到
达点后停止．设点的运动路程为，的面积为 ，得到如图2所
示的函数图象，则对角线 的长为( )
B
第10题
A.43 B. C. D.
二、填空题（每题4分，共24分）
11. “随着气温上升，雪糕的销量开始上涨．”在这个情境中，自变量是
______ ．
12. 下列各式：；； ；
.其中是 的函数的有________．
13. 函数中，自变量 的取值范围是_____________．
气温
①③④
且
第14题
14. 如图，用每张长 的纸片，重叠
粘贴成一条纸带，纸带的长度
与纸片的张数 之间的关系式是_________
_______．
15. 如图所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称
为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高是指距 的函
数．下表是测得的指距与身高的一组数据：
20 21 22 23
160 169 178 187
某人身高为196厘米，一般情况下他的指距应是____厘米．
24
第16题
16. 甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同
起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人
原地休息，已知甲先出发3秒，在跑步过程中，
甲、乙两人的距离（米）与乙出发的时间 （秒）
之间的关系如图所示，则甲、乙两人相距的最大
距离是____米．
68
三、解答题（共86分）
17. （10分）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要向前滑行一段距离
才能停住，这段距离叫作刹车距离．根据有关资料，在湿滑路面行驶时，
某车的刹车距离与车速之间的关系为 ．
（1）写出上述关系中的变量和常量；
解：，是变量， 是常量；
（2）当时，求相应的刹车距离 的值；
当时， ；
（3）若该车在限速的公路上行驶，当刹车距离为 时，通过
计算说明该车是否超速．
当时，
解得
该车超速了．
18. （10分）某商场叠放的购物车如图所示，小亮尝试探究整齐叠放的
购物车车身总长与购物车数量的关系．如表是小亮测得的一些数据：
购物车数量/辆 1 2 3 4 5
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8
根据上表回答下列问题：
（1）随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加___
;
0.2
（2）若某商场采购了 辆购物车，求整齐叠放时车
身总长与购物车辆数 的表达式．
解： ，
车身总长与购物车辆数的表达式为 ．
19. （10分）科学家实验发现，声音在不同气温下的传播速度不同，声
音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过
查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：
0 1 2 3 4 5
331 331.6 332.2 332.8 333.4 334
（1）在这个变化过程中，______是自变量；（填汉字）
（2）声音在空气中的传播速度与气温 的关系式可以表示为
______________；（不要求写出 的取值范围）
气温
（3）某日的气温为，小乐看到烟花燃放 后才听到声响，那么小
乐与燃放烟花所在地大约相距多远？
解：
答：小乐与燃放烟花所在地大约相距 远．
20. （12分）小东根据学习函数的经验，对函数 的图象与性
质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）函数的自变量 的取值范围是__________；
（2）下表是与 的几组对应值：
全体实数
… 0 1 2 3 4 …
… 2 4 2 …
表中 的值为_ _；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的
点，根据描出的点，画出函数 的大致图象.
21. （14分）学校举行大型活动，
用甲、乙两架无人机进行航拍．若
无人机在上升过程中匀速飞行，甲
先从地面起飞，在空中停留一会儿
后继续上升，此时乙从地面起
飞．无人机所在高度 （米）与甲起
飞时间 （秒）之间的关系如图所示，
根据图象回答下列问题：
（1）甲在空中停留时的高度是 ____ 米，甲起飞 ____ 秒后，乙开始起飞；
20
14
（2）求甲无人机的上升速度是多少米/秒？
解： （米/秒）
答：甲无人机的上升速度为4米/秒；
（3）若两架无人机所在的高度相差12米，求
的值．
乙无人机的上升速度是：
（米/秒）
根据题意得：
或 或
解得或或
所以，当 或18或30时，两架无人机所在
的高度相差12米．
22. （14分）有一个像如图1那样的长方体容器，现在以每秒0.75升的速
度向这个容器注水．容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚
度），将容器隔为A、B两个部分．B部分有一个洞，水按一定的流速往
下漏．（1升 立方厘米）．图2表示从注水开始A部分水的高度变
化的图象．回答下面的问题：
图1
图2
（1）求图2中 表示的数；
图1
图2
解：0.75升 立方厘米
（厘米）
答：图2中 表示的数是15；
（2）从B的洞中每秒钟流出来多少升水；
图1
图2
（立方厘米）
6 750立方厘米=6.75升
（升/秒）
（升/秒）
答：从B的洞中每秒钟流出0.3升水；
图1
图2
（3）直接写出图2中、 表示的数．
图1
图2
0.45升/秒 立方厘米/秒
表示的数是：
（秒）
表示的数是：
（厘米）
答：表示的数是54， 表示的数是30．
图1
图2
23. （16分）如图1，长方形中，，，点 从
出发，沿方向运动，经过，，到停止，点 的速度为每秒
，秒时点改变速度，变为每秒，图2是点出发秒后
的面积与 （秒）的关系图象．
图1
图2
（1）直接写出___，_____， ___；
5
10.5
4
（2）设点离开点的路程为，求出路程与运动时间 （秒）的
关系式；
解：当时，
当时，
图1
图2
（3）当点出发多少秒后， ？
图1
图2
设到的距离为
解得：
或
当点出发或秒后， ．
图1
图2(共25张PPT)
单元训练1 二次根式
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每题4分，共40分）
1. 下列各式中，一定是二次根式的是( )
A
A. B. C. D.
2. [2025徐州中考]使有意义的 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
B
A. B. C. D.
4. [2025河北中考]计算： ( )
B
A.2 B.4 C.6 D.8
5. 下列计算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
6. 若直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为 ，则斜边上
的高为( )
C
A. B. C. D.
7. 某小区有一块长方形的草地，这块草地的宽为 ，为美化
小区环境，给这块长方形草地围上白色的低矮栅栏，所需的栅栏的长度
为 ，那么这块草地的面积为( )
B
A. B.
C. D.
8. 若，则 等于( )
D
A.1 B.5 C. D.
9. 若，则化简 的结果是( )
B
A. B. C. D.
10. 若， 为两个连续奇数，
，，则下列对 的描述中正确的是( )
B
A.总是偶数 B.总是奇数
C.总是无理数 D.可能是有理数，可能是无理数
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 化简： __．
12. 若，则 _____（请写出一个符合条件的无理数）．
（答案不唯一）
13. [2025青岛中考]计算： ___．
14. 若最简二次根式与是同类二次根式，则 ___．
7
3
15. 定义一种新运算：☆，则2☆ __．
16. [2025南通中考]我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面
积的公式：一个三角形的三边长分别为，， ，三角形的面积
.若，，，则 的值为____．
三、解答题（共86分）
17. （每题5分，共20分）计算：
（1） ；
解：原式
；
（2） ；
解：原式
；
（3） ；
解：原式
；
（4） .
解：原式
．
18. （8分）先化简，再求值：，其中 ．
解：原式
当时，原式 ．
19. （8分）实数， 在数轴上的位置如图所示，化简：
．
解：由图可知，
，，，
．
20. （8分）设的小数部分为，的小数部分为 ，求
的值．
解： 的整数部分为3
的整数部分为6
把， 代入代数式，得
．
21. （8分）已知实数、满足， ．
（1）求 的值；
解：，
，
原式
；
（2）试比较 的值与3的大小．
由（1）得，
即 ．
22. （10分）嘉嘉和淇淇同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容
器中放入四个小球，小球上分别标有一个数．现从容器中摸取小球，若
摸到白色球，就加上球上的数；若摸到灰色球，就减去球上的数．
图1
图2
（1）若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果；
解：由题意得 ；
（2）如图2，若嘉嘉摸出全部的球，计算结果为，淇淇说 的值能与
合并．你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由．
图1
图2
淇淇的说法正确，理由如下：
由题意得，
的值与 是同类二次根式，可以合并运算．
图1
图2
23. （12分）阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
小华在学习分式运算时，通过具体运算：， ，
，
发现规律：（ 为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律：快速计算
．
材料二：根式化简
例1. ；
例2. .
（1）化简： ；
解：原式 ；
（2）猜想：________________（ 为正整数）；
（3）计算： ．
原式
．
24. （12分）【观察发现】阅读如下思考过程：
；
．
【初步探索】
（1）化简： _________；
（2）形如可以化简为，即 ，且
，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得
______， ____；
（3）若，且，均为正整数，求 的值；
解：
；
【解决问题】
（4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、
乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和 ．快
递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（纸箱厚度不计）
型号 长 宽 高
A型
B型
C型
请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角
度考虑，应选择哪种型号的纸箱？
底面积的饰品盒底面边长为
底面积的饰品盒底面边长为
，
，C都符合条件
B型号的体积为
C型号的体积为
选择C型号的纸箱．(共35张PPT)
单元训练3 四边形
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每题4分，共40分）
第1题
1. [2025贵州中考]如图，小红想将一张矩形纸片沿
， 剪下后得到
一个，若 ，则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
2. 若一个多边形的内角和比外角和多 ，则这个多边形是( )
C
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
第3题
3. [2025广东中考]如图，点，，分别是 各边上
的中点， ，则 ( )
C
A. B. C. D.
4. [2025泸州中考]矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A
A.对角线相等 B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直 D.对角相等
第5题
5. [2025湖北中考]如图，平行四边形 的对角线
交点在原点．若
，则点 的坐标是( )
C
A. B. C. D.
第6题
6. [2025陕西中考]如图，在 中，
， ，为 边上的中线，
，则图中与 互余的角共有( )
C
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
7. 如图，在中，,,,分别平分, ,
那么 的长为( )
B
第7题
A.3 B.4 C.5 D.以上都不对
8. 一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线的一个交角为 ．则这
个矩形的面积是( )
B
A.16 B. C. D.
9. 璐璐家准备用地砖铺地，已经购买了正八边形地砖，现打算购买另一
种不同形状的正多边形地砖，与正八边形地砖在同一顶点处做平面镶
嵌．则可以购买的地砖形状是( )
B
A.正三角形 B.正四边形 C.正五边形 D.正六边形
第10题
10. [2025大庆中考]如图，在矩形 中，
．动点从点开始沿 边以
的速度向点运动，动点从点 开始
沿边以的速度向点运动，动点
D
A. B.4 C. D.
从点开始沿边以的速度向点运动．点，点和点 同时出
发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时
间为，当时， 的值为( )
二、填空题（每题4分，共24分）
11. [2025河北中考]平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长
为．若为整数，则 的值可以为_______________．（写出一个即可）
2或3或4或5或6
第12题
12. [2025乐山中考]如图，在 中，对
角线与相交于点 ．小乐同学欲添加
两个条件使得四边形 是正方形，现有
三个条件可供选择： ；
； ．则正确的
（或）
组合是 __________________ （只需填一种组合即可）．
第13题
13. [2025巴中中考]如图，四边形 是菱形，对角
线、相交于点，，，
于点， 的长为___．
第14题
14. [2025西宁中考]如图，菱形的对角线，
相交于点，，垂足为，连接 ．若
，，则菱形 的面积是_____．
15. [2025凉山州中考]如图，四边形是菱形，对角线， 相交
于点，是边的中点，过点作于点，于点 ，若
，，则 的长为___．
5
第15题
16. 如图，中， ，以斜边 为边向外作正方形
，且正方形对角线交于点，连接，已知， ，则
的长为_____．
第16题
三、解答题（共86分）
17. （10分）[2025长沙中考删减]如图，正方形 中，
点，分别在，上，且 ．求证：四边形
是平行四边形.
证明：在正方形中，，
，，
又， 四边形 是平行四边形．
18. （10分）[2025长春中考]如图，的对角线、 相交于点
，，，．求证： 是菱形．
证明：，， ，
，
，， 是菱形．
19. （10分）如图所示，已知四边形， 都
是菱形，， 为锐角．
（1）求证： ；
证明： 四边形， 都是菱形
，
是等腰三角形
， ；
（2）若，求 的度数．
解：，
，即 是等边三角形
，
．
20. （10分）如图，点是正方形对角线 上一
点，，，垂足分别为， ，若正方
形的周长是 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
证明： 四边形为正方形，
，， ，
又 ， 四边形 是矩形；
（2）求四边形 的周长；
解： 正方形的周长是 ，
四边形为正方形， ，
为等腰直角三角形
（3）当___时，四边形 是正方形.
5
， 四边形 的周长
．
21. （10分）如图，矩形的对角线、相交于点， ，
．
（1）求证：四边形 为菱形；
证明：，， 四边形 是平行四边形
矩形的对角线、相交于点，
四边形 为菱形；
（2）若垂直平分线段于点，，求 的长．
解： 四边形是矩形， ，
垂直平分线段，，
在中， ．
22. （10分）[2025鲤城期末]综合与实践：根据以下信息，探索完成任
务．#1
如何设计窗户限位器位置 信息1 问题 背景 __________________________________________________________________________________________________
平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种
滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图．
信息2 数学 抽象
续表
信息3 安全 规范
问题解决 续表
任务1 求解关键数量
滑撑支架中的长度为 ___ ，滑动轨道的长度是 ____
6
29
任务2 确定安装方案
为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道 上安装一个
限位器，控制平开窗的开启角度，当点滑动到点时 ，
则限位器应装在离点 多远的位置？（结果保留根号）
解：如图， ，此时点与点 重合，
作于点，则
， ，
，
答：限位器应装在离点 的位置．
23. （12分）如图，中，点是上一个动点，过点的直线 与
平行，设交的平分线于点，交的外角平分线于点 ．
（1）求证： ；
证明：是 的角平分线
又
同理
；
（2）当点运动到何处时，四边形 是矩形，证明你的结论；
解：当点移动到中点时，四边形 为
矩形，理由如下：
当点运动到的中点时，
又
四边形 是平行四边形
，
，即
四边形 是矩形；
（3）在（2）的条件下，当 满足什么条
件时，四边形 是正方形，证明你的结
论．
解：是以 为直角的直角三角形时，
四边形 是正方形,理由如下
,
矩形 是正方形．
24. （14分）如图所示，在菱形中，， ，
为等边三角形，点、分别在菱形的边、上滑动，且、
不与、、 重合．
（1）证明：不论、在、上如何滑动，总有 ．
证明：连接 ，如图所示
四边形为菱形， ，
是等边三角形，
，
四边形为菱形，
， ，和 为等边三角形
，
在和 中，
．
;
（2）当点、在、上滑动时，分别探讨四边形和 的
面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大
（或最小）值．
解：四边形的面积不变,的面积最大值为
理由：由（1）得，则
故
，是定值
作于 点，如图所示
，
，
备用图
在 中，根据勾股定理得：
的面积随 面积的变化而变化
为等边三角形
当最短时，的面积最小，此时 的面积有最大值
当时， 最小
的最小值为
备用图
过点作，垂足为 ，如图所示：
为等边三角形，，
，
，
，
即的面积的最大值为 ．
备用图

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