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【解答题强化训练·50道必刷题】
浙教版数学七年级下册第1章 相交线与平行线
1．如图，EF平分∠CED，∠EDF=∠BFD．
（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠FEC=55°，求∠C的度数．
2．如图，直线AB CD相交于点O，EF⊥AB于O，且∠COE =50°，求∠BOD的度数
3．完成下面的推理填空
如图，已知，F是DG上的点，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：∠AED＝∠C．
证明：∵F是DG上的点（已知）
∴∠2+∠DFE＝180° （　 　）
又∵∠1+∠2＝180°（已知）
∴∠1＝∠DFE （　 　）
∴BD∥EF （　 　）
∴∠3＝∠ADE （　 　）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴∠B＝∠ADE （　 　）
∴DE∥BC （　 　）
∴∠AED＝∠C （　 　）
4．如图，已知：DE⊥AO于点E， BO⊥AO于点O，∠CFB=∠EDO，证明：CF∥DO .
5．如图，已知，，求证．
6．已知：如图∠AED=∠C，∠DEF=∠B，请你说明∠1与∠2相等吗 为什么
因为∠AED=∠C（已知）
所以DE∥BC（　 　）
所以∠B+∠BDE=180°（　 　）
因为∠DEF=∠B（已知）
所以∠DEF+∠BDE=180°（　 　）
所以　 　∥　 　（　 　）
所以∠1=∠2（　 　）．
7．已知：如图，∠CDG=∠B，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，试判断∠1与∠2的关系，并说明理由．
8．如图所示，已知AD//BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，求∠DEC的度数．
9．如图，直线与直线，分别交于点E，F，是它的补角的3倍，．判断与的位置关系，并说明理由．
10．如图，在三角形中，点D在上，交于点E，点F在，．
（1）试说明：；
（2）若，求的度数．
11．如图，，点，分别在射线和上，．
（1）若，则　 　 ．
（2）嘉嘉同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法如图，过点作，交于点，请你根据嘉嘉同学提供的辅助线，先确定该定值再说明理由．
（3）如图，把“”改为“”，其他条件保持不变，直接写出与的数量关系．
12．如图，已知，，求的度数．
13．如图，已知，垂足为O，且直线经过点O．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
14．如图，EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°，试说明∠ADC＝90°．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵∠1＝∠C，（已知）
∴GD∥ ▲ ．（ ）
∴∠2＝∠DAC．（ ）
∵∠2+∠3＝180°，（已知）
∴∠DAC+∠3＝180°．（等量代换）
∴AD∥EF．（ ）
∴∠ADC＝∠ ▲ ．（ ）
∵EF⊥BC，（已知）
∴∠EFC＝90°．（ ）
∴∠ADC＝90°．（等量代换）
15．如图所示，已知∠1=∠2，∠C=∠D，试说明AC∥DF．
16．如图所示，已知AB∥CD，∠1=∠2，试判断∠E与∠F的大小关系，并说明理由.
17．已知：如图，在 中， ， 于 ， 为 上一点， 为 上一点， 于 ， .试说明 .
18． 根据语句画图，并回答问题，如图，内有一点P．
（1）作线段；过点P画直线交于点C，画直线交于点D．
（2）证明，请完善证明过程．
证明：∵，
▲ （　　）；
▲
（　　）
▲ + ▲ ，，
（　　）
19．如图，∠ABC=∠ADC，BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠1=∠2． 问AB与CD，AD与BC平行吗？请说明理由．
20．如图， ， ， ， ，问直线 与 有怎样的位置关系，为什么？
21．如图，在三角形中，平分，，求的度数．
22．已知如图，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由。
23．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，求∠2的度数．
24．如图，∠1＝∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠5，∠2＝∠4，∠ABC＋∠BCD＝180°.将下列推理过程补充完整：
（1）因为∠1＝∠ABC(已知)，
所以AD∥　 　 (　 　)．
（2）因为∠3＝∠5(已知)，
所以　 　∥　 　(内错角相等，两直线平行)．
（3）因为∠ABC＋∠BCD＝180°(已知)，
所以　 　∥　 　(　 　)．
25．如图，直线，相交于点，且．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
26．如图，AC⊥BC于点C，∠1与∠2互余，由这些条件能够判定哪两条直线平行？请说明理由．
27．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠ACD=114°，求∠MAB的度数.
28．把一块长方形木板与一块含30°的直角三角板如图放置，若，求的度数．
29．一个风筝的骨架如图所示。
（1）∠1与∠5是一对什么角 如果∠1=∠6=45°，那么∠5等于多少度 根据什么 ∠5与∠1相等吗
（2）∠2与∠3是一对什么角 如果∠2=∠4=45°，那么∠3等于多少度 根据什么 ∠2+∠3等于多少度
30． 如图，分别找出一个角与∠α配对，使这两个角成为：
①同位角；②内错角；③同旁内角.
指出它是由哪一条直线截另外哪两条直线所得.
31．如图，已知AB∥CD，∠ABE=110°，∠DCE=36°，求∠BEC的大小.
32．
（1）如图AB∥CD，∠ABE=120°，∠EC D=2 5°，求∠E的度数。
（2）小亮的一张地图上有A、B、C三个城市，但地图上的C城市被墨迹污染了（如图），但知道∠BAC=∠1，∠ABC=∠2，请你用尺规作图法帮他在如图中确定C城市的具体位置．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
33．如图，AB与DE相交于点O，BC∥DE，∠B＝60°，∠D＝120°，AB与DF平行吗？说明你的理由.
34．已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，证明：∠DEC+∠C=180°.
35．如图所示，已知直线AB∥CD，FH平分∠EFD，FG⊥FH，∠AEF＝62°，求∠GFC的度数．
36．如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°.∠BFC等于多少度？为什么？
37．如图， ， 是截线， ， ，求： 的度数．
38．如图，，且，试说明．
39．当我们想要放松身心，享受阳光和清风时，一把舒适的躺椅就成为了必不可少的伴侣，如图是某种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支果分别与交于点G，D，与靠背交于点N，于点D．
（1）若于点O，与平行吗？说说你的理由．
（2）若，求的度数．
40．如图，在一块长为20m，宽为14m的草地上有一条宽为2m的曲折小路，你能运用你学的知识求出这块草地的绿地面积吗？
41．已知，为射线上一点，平分.
（1）如图1，当点在线段上时，求证：；
（2）如图2，当点在线段延长线上时，连接，若，；
①求证：；
②求的度数.
42．已知，点E在上，点F在上，点Q为射线上一点．
（1）如图1，若，则______．
（2）如图2，当点Q在线段的延长线上时，关于和的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．
（3）如图3，平分，交于点H．
①若平分，求和的数量关系；
②若，直接写出的度数为______．
43．已知，如图AB∥CD，AF平分∠EAB，DF平分∠EDC．
（1）如图1，探究∠F与∠E的数量关系并证明．
（2）如图2，在（1）的条件下，过A作AH∥ED交DC于点H，AD平分∠EAH，∠DAG：∠FDE＝2：7，求∠BAH的度数．
44．如图，AB∥CD，BE和DE相交于E．证明：∠ABE=∠D+∠E
45．如图，在△ABC中， ∠ABC与 ∠ACB的平分线相交于O．过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．若 ∠BOC=130°， ∠ABC： ∠ACB=3：2，求 ∠AEF和 ∠EFC．
46．已知：，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧．
（1）如图，若，则=_______°；
（2）若的平分线交边于点F．
①如图，当，且时，试说明：；
②如图，当保持不变时，试求出与α之间的数量关系．
47．如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，．
（1）将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数；
（2）将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，边恰好与射线平行；第______时，直线恰好平分锐角；
（3）将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由．
48．如图，已知AD⊥BC， FG⊥BC，垂足分别为D，G，∠1=∠2，试猜想∠BDE与∠C的大小关系，并说明理由．
49．（1）如图1，，，．求度数；
（2）如图2，，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，，．则，，之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点在，两点外侧运动时（点与点，，三点不重合），请你写出，，之间的数量关系，并说明理由．
50．如图，，．
（1）如果，求的度数；
设，，直接写出、之间的数量关系： ；
（2）如图，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数；
（3）在（2）的条件下，若，点为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．已知，求的度数．
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【解答题强化训练·50道必刷题】
浙教版数学七年级下册第1章 相交线与平行线
1．如图，EF平分∠CED，∠EDF=∠BFD．
（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠FEC=55°，求∠C的度数．
【答案】（1）解：DE∥BC，理由如下：
∵∠EDF=∠BFD，
∴DE∥BC.
（2）解：∵EF平分∠CED，
∴∠FEC=∠FED，
∵∠FEC=55°，
∴∠FED=55°，
∴∠AED=180°-∠FEC-∠FED=180°-55°-55°=70°，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠C=70°.
【解析】【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行即可求解；
（2）根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠FED=55°；求得叫AED=70°，根据两直线平行，同位角相等即可求解.
2．如图，直线AB CD相交于点O，EF⊥AB于O，且∠COE =50°，求∠BOD的度数
【答案】解：∵EF⊥AB
∴∠EOB=90°
∵∠COE =50°
∴∠BOD=180°－∠COE－∠EOB=40°
【解析】【分析】根据垂直的定义可得∠EOB=90°，然后根据平角的定义即可求出结论.
3．完成下面的推理填空
如图，已知，F是DG上的点，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：∠AED＝∠C．
证明：∵F是DG上的点（已知）
∴∠2+∠DFE＝180° （　 　）
又∵∠1+∠2＝180°（已知）
∴∠1＝∠DFE （　 　）
∴BD∥EF （　 　）
∴∠3＝∠ADE （　 　）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴∠B＝∠ADE （　 　）
∴DE∥BC （　 　）
∴∠AED＝∠C （　 　）
【答案】邻补角的定义；等角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵F是DG上的点（已知）
∴∠2+∠DFE＝180° （邻补角的定义）
又∵∠1+∠2＝180°（已知）
∴∠1＝∠DFE （等角的补角相等）
∴BD∥EF （内错角相等，两直线平行）
∴∠3＝∠ADE （两直线平行，内错角相等）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴∠B＝∠ADE （等量代换）
∴DE∥BC （同位角相等，两直线平行）
∴∠AED＝∠C （两直线平行，同位角相等）
故答案为邻补角的定义；等角的补角相等；内错角相等，两直线平行；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【分析】根据平行线的性质定理和判定定理，即可解答．
4．如图，已知：DE⊥AO于点E， BO⊥AO于点O，∠CFB=∠EDO，证明：CF∥DO .
【答案】证明：∵DE⊥AO，DO⊥AO（已知）
∴ （垂直定义）
∴DE∥BO（同位角相等，两条直线平行）
∴∠EDO=∠BOD（两直线平行，内错角相等）
又∵∠EDO=∠CFB（已知）
∴∠BOD=∠CFB（等量代换）
∴CF∥DO（同位角相等，两条直线平行）
【解析】【分析】判定两直线平行的方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；
5．如图，已知，，求证．
【答案】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】先结合题意运用对顶角即可得到，进而运用平行线的判定和平行公理推论即可求解。
6．已知：如图∠AED=∠C，∠DEF=∠B，请你说明∠1与∠2相等吗 为什么
因为∠AED=∠C（已知）
所以DE∥BC（　 　）
所以∠B+∠BDE=180°（　 　）
因为∠DEF=∠B（已知）
所以∠DEF+∠BDE=180°（　 　）
所以　 　∥　 　（　 　）
所以∠1=∠2（　 　）．
【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；EF；AB；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：因为∠AED=∠C（已知）
所以 DE∥BC（ 同位角相等，两直线平行）
所以∠B+∠BDE=180° （ 两直线平行，同旁内角互补）
因为∠DEF=∠B（已知）
所以∠DEF+∠BDE=180° （等量代换 ）
所以 EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行 ）
所以∠1=∠2 （ 两直线平行，内错角相等）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换； EF；AB；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【分析】先依据∠AED=∠C判断出DE∥BC得出∠B+∠BDE=180°，再根据∠DEF=∠B等量代换，即可判断出EF∥AB即可．
7．已知：如图，∠CDG=∠B，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，试判断∠1与∠2的关系，并说明理由．
【答案】解：∠1=∠2，
理由：
∴DG∥BA（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
∴AD∥EF（在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（等量代换）．
【解析】【分析】根据同位角相等，两直线平行，可得∠1=∠BAD，利用在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，可得AD∥EF，利用两直线平行，同位角相等可得∠2=∠BAD，从而求出∠1=∠2.
8．如图所示，已知AD//BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，求∠DEC的度数．
【答案】解：因为AD//BC，∠B＝30°，
所以∠ADB＝∠B＝30°（两直线平行，内错角相等）．
又DB平分∠ADE，
所以∠ADE＝2∠ADB＝60°．
因为AD//BC，
所以∠DEC＝∠ADE＝60°（两直线平行，内错角相等）．
【解析】【分析】根据平行线的性质求出 ∠ADB＝∠B＝30°，再根据角平分线求出∠ADE＝2∠ADB＝60°，最后计算求解即可。
9．如图，直线与直线，分别交于点E，F，是它的补角的3倍，．判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】解：；理由如下：
∵是它的补角的3倍，
∴设，则的补角为，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后证明即可。
10．如图，在三角形中，点D在上，交于点E，点F在，．
（1）试说明：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质结合已知证明，然后根据平行线的判定可得结论；
（2）先根据三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求出和即可．
11．如图，，点，分别在射线和上，．
（1）若，则　 　 ．
（2）嘉嘉同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法如图，过点作，交于点，请你根据嘉嘉同学提供的辅助线，先确定该定值再说明理由．
（3）如图，把“”改为“”，其他条件保持不变，直接写出与的数量关系．
【答案】（1）60°
（2）解：．
理由：，，
，
，
，
，
，
，
无论如何变化，的值始终为定值；
（3）解：．
过点作与相交于点，如图，
，，
，
，
，
，
，
．
．
【解析】【解答】 (1) 作，
根据平行线的传递性可知，
∴，
∴.
(2)．
理由：，，
，
，
，
，
，
，
无论如何变化，的值始终为定值；
(3)解：．
过点作与相交于点，如图，
，，
，
，
，
，
，
．
．
【分析】 (1)、 根据平行线的性质，同旁内角互补求出即可.
(2)、 根据平行线的性质求出 ，，即可证明的值始终为定值；
(3)、过点作与相交于点， 根据平行线的性质求出 ，，求出 为定值．
12．如图，已知，，求的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】先证出，可得，再利用邻补角求出即可.
13．如图，已知，垂足为O，且直线经过点O．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：，
，
，
，
的度数为
（2）解：，
设，则，
，
，
，
解的：，
，，
，
的度数为
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到，进而结合题目已知信息即可求出∠COE的度数；
（2）由题意设，则，根据""，据此列出方程，进而可得到∠COE和∠BOC的度数，最后根据角的运算即可求解.
14．如图，EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°，试说明∠ADC＝90°．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵∠1＝∠C，（已知）
∴GD∥ ▲ ．（ ）
∴∠2＝∠DAC．（ ）
∵∠2+∠3＝180°，（已知）
∴∠DAC+∠3＝180°．（等量代换）
∴AD∥EF．（ ）
∴∠ADC＝∠ ▲ ．（ ）
∵EF⊥BC，（已知）
∴∠EFC＝90°．（ ）
∴∠ADC＝90°．（等量代换）
【答案】解：如图，
∵∠1＝∠C，（已知）
∴，（同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠DAC，（两直线平行，内错角相等）
∵∠2+∠3＝180°，（已知）
∴∠DAC+∠3＝180°，（等量代换）
∴，（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠ADC＝∠EFC，（两直线平行，同位角相等）
∵EF⊥BC，（已知）
∴∠EFC＝90°，（垂直的定义）
∴∠ADC＝90°．（等量代换）
【解析】【分析】先利用平行线的判断得出AD//EF，再利用平行线的性质可得∠ADC=∠EFC=90°。
15．如图所示，已知∠1=∠2，∠C=∠D，试说明AC∥DF．
【答案】解：∵∠1=∠2（已知）
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行）
∴∠C=∠DBA（两直线平行，同位角相等）
又∵∠C=∠D（已知）
∴∠D=∠DBA（等量代换）
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）
【解析】【分析】首先证明BD∥CE，然后根据平行线的性质以及已知条件，证明∠D=∠ABD，根据同位角相等，两直线平行即可证得．
16．如图所示，已知AB∥CD，∠1=∠2，试判断∠E与∠F的大小关系，并说明理由.
【答案】解：∠E=∠F.理由如下：
因为AB∥CD，所以∠ABC=∠DCB.
又因为∠1=∠2，
所以∠ABC-∠1=∠DCB-∠2，即∠EBC=∠FCB.
所以BE∥CF.所以∠E=∠F.
【解析】【分析】先利用平行线的性质可得∠ABC=∠DCB，再利用角的运算和等量代换可得∠EBC=∠FCB，证出BE∥CF，即可得到∠E=∠F.
17．已知：如图，在 中， ， 于 ， 为 上一点， 为 上一点， 于 ， .试说明 .
【答案】证明：因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
【解析】【分析】根据垂直于同一条直线的两直线平行得出 ，由两直线平行，同旁内角互补得出 ，等量代换可证 ，进而得证.
18． 根据语句画图，并回答问题，如图，内有一点P．
（1）作线段；过点P画直线交于点C，画直线交于点D．
（2）证明，请完善证明过程．
证明：∵，
▲ （　　）；
▲
（　　）
▲ + ▲ ，，
（　　）
【答案】（1）如图所示：，，即为所求；
（2）证明：∵，
（两直线平行，内错角相等）；
∵，
（两直线平行，内错角相等）
∵，，
（等量代换）．
【解析】【分析】（1）根据线段以及平行线的画法作图即可；
（2）先读懂推理过程，根据平行线的性质求解即可。
19．如图，∠ABC=∠ADC，BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠1=∠2． 问AB与CD，AD与BC平行吗？请说明理由．
【答案】解： 与 ， 与 平行．理由如下：
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】先根据角平分线的定义得到，，由于，则，根据∠1=∠2，可得∠1=∠CDE，然后根据同旁内角互补，两直线平行得到AB//CD，再根据平行线的性质得到∠ADC+∠A=180°，由∠ABC=∠ADC，则∠ABC+∠A=180°，再根据同旁内角互补，两直线平行即可判断AD//BC。
20．如图， ， ， ， ，问直线 与 有怎样的位置关系，为什么？
【答案】解：直线 与 平行，理由如下：
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】由 ， ，结合 ， ，得 ，进而即可得到结论．
21．如图，在三角形中，平分，，求的度数．
【答案】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】根据角平分线求出 ，再求出DE//BC，最后根据平行线的性质证明求解即可。
22．已知如图，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由。
【答案】解：BF与AC的位置关系是：BF⊥AC.
理由：∵∠AGF=∠ABC，
∴BC∥GF，
∴∠1=∠3；
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠2+∠3=180°，
∴BF∥DE；
∵DE⊥AC，
∴BF⊥AC
【解析】【分析】根据同位角相等，两直线平行，可得
BC∥GF，利用两直线平行，内错角相等，可得∠1=∠3，由∠1+∠2=180°，可得∠2+∠3=180°.利用同旁内角互补，两直线平行，可得BF∥DE .根据垂直于同一直线的两直线互相平行，可得
BF⊥AC.
23．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，求∠2的度数．
【答案】解：∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠1=55°，
∴∠3=35°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=35°．
【解析】【分析】因为∠ABC=，可知∠1与∠3互余，已知∠1的度数，可知∠3的度数，再利用两直线平行，同位角相等，可得到∠2=∠3，即可得到∠2的值.
24．如图，∠1＝∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠5，∠2＝∠4，∠ABC＋∠BCD＝180°.将下列推理过程补充完整：
（1）因为∠1＝∠ABC(已知)，
所以AD∥　 　 (　 　)．
（2）因为∠3＝∠5(已知)，
所以　 　∥　 　(内错角相等，两直线平行)．
（3）因为∠ABC＋∠BCD＝180°(已知)，
所以　 　∥　 　(　 　)．
【答案】（1）BC；同位角相等，两直线平行
（2）AB；CD
（3）AB；CD；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：（1）∵∠1＝∠ABC，
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），
故答案为：BC；同位角相等，两直线平行.
（2）∵∠3＝∠5，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
故答案为：AB；CD.
（3）∵∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：AB；CD；同旁内角互补，两直线平行.
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行即可证明；
（2）根据内错角相等，两直线平行即可证明；
（3）根据同旁内角互补，两直线平行即可证明.
25．如图，直线，相交于点，且．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1），
，
，
，
的度数为；
（2），，
，
，
，
的度数为．
【解析】【分析】（1）先根据垂直得到，再进行角的运算即可求解；
（2）先根据比例结合题意得到，进而得到。
26．如图，AC⊥BC于点C，∠1与∠2互余，由这些条件能够判定哪两条直线平行？请说明理由．
【答案】解：AB与CD平行.理由：∵AC⊥BC，∴∠1+∠3=90°.∵∠1和∠2互余，∴∠2=∠3，∴CD∥AB.
【解析】【分析】根据余角的性质推出∠2=∠3，然后根据平行线的判定，即可得到答案.
27．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠ACD=114°，求∠MAB的度数.
【答案】解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，
又∵∠ACD=114°，
∴∠CAB=66°，
由作法知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB=∠CAB=33°.
【解析】【分析】由尺规作图过程可知AM平分∠CAB，则∠MAB=∠CAM∠CAB，再由两直线平行同旁内角互补求出∠CAB即可.
28．把一块长方形木板与一块含30°的直角三角板如图放置，若，求的度数．
【答案】解：，，
，
，
．
【解析】【分析】先利用角的运算求出，再利用平行线的性质可得。
29．一个风筝的骨架如图所示。
（1）∠1与∠5是一对什么角 如果∠1=∠6=45°，那么∠5等于多少度 根据什么 ∠5与∠1相等吗
（2）∠2与∠3是一对什么角 如果∠2=∠4=45°，那么∠3等于多少度 根据什么 ∠2+∠3等于多少度
【答案】（1）解：由图可知，与是一对内错角；
∵∠1=∠6=45°
∴（对顶角相等）；
∴与相等.
（2）解：由图可知，与是一对同旁内角；
∵∠4=45°，
∴根据平角的定义，，；
则∠2+∠3=45°+135°=180°.
【解析】【分析】（1）由图可知，∠1与∠5所在直线被FE所截，两角分别在FE两侧，符合内错角的定义；由对顶角相等可知，继而可判断∠5与∠1相等.
（2）由图可知，∠2与∠3所在直线被GH所截，两角分别位于GH同侧，符合同旁内角的定义；由平角的定义可得∠3，继而可判断∠2+∠3=180°.
30． 如图，分别找出一个角与∠α配对，使这两个角成为：
①同位角；②内错角；③同旁内角.
指出它是由哪一条直线截另外哪两条直线所得.
【答案】解：记GH与CD的交点为M，①∠CMH与∠ α 为GH截AB，CD所得的同位角；
②∠GMD与∠ α 为GH截AB，CD所得的内错角；
③∠CMG与∠ α 为GH截AB，CD所得的同旁内角.
【解析】【分析】两条直线被第三条直线所截，在被截线内侧，截线两侧的两个角叫内错角；在被截线同侧，截线同侧的两个角叫同位角；在被截线内侧，截线同侧的两个角叫同旁内角.
31．如图，已知AB∥CD，∠ABE=110°，∠DCE=36°，求∠BEC的大小.
【答案】 解：
过点E作EF∥AB
∵AB∥CD
∴EF∥CD，∠ABE+∠BEF=180°
∴∠FEC=∠ECD=36°
∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=180°-∠ABE+∠DCE=180°-110°+36°=106°
【解析】【分析】过点E作EF∥AB，根据直线平行的性质证明∠FEC=∠ECD=36°，继而计算得到答案即可。
32．
（1）如图AB∥CD，∠ABE=120°，∠EC D=2 5°，求∠E的度数。
（2）小亮的一张地图上有A、B、C三个城市，但地图上的C城市被墨迹污染了（如图），但知道∠BAC=∠1，∠ABC=∠2，请你用尺规作图法帮他在如图中确定C城市的具体位置．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）解：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∠ABE=120°
∴∠FEB=60°，EF∥CD
∴∠FEC=25°
∴∠BEC=25°+60°=85°
（2）解：连接AB，以AB为边，作∠BAC=∠1，作∠ABC=∠2，则两个弧相交的点即为点C的位置。
【解析】【分析】（1）根据直线平行的性质，两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，即可得到∠E的值。
（2）根据作一个角等于已知角的方法进行操作即可，可得最后两个直线的交点即为C点所在的位置。
33．如图，AB与DE相交于点O，BC∥DE，∠B＝60°，∠D＝120°，AB与DF平行吗？说明你的理由.
【答案】解：平行，理由如下：
∵BC∥DE，
∴∠BOE=180°-∠B=180°-60°=120°，
∴∠BOE=∠D，
∴AB∥FD.
【解析】【分析】由于BC∥DE，根据平行线的性质求出∠BOE，则知∠BOE=∠D，即可判断AB∥FD.
34．已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，证明：∠DEC+∠C=180°.
【答案】证明：∵∠1=∠2，∠2=∠GHC(对顶角相等)，
∴∠1=∠GHC，
∴BD//EC(同位角相等，两直线平行)，
∴∠C=∠DBA(两直线平行，同位角相等)，
∵∠C=∠D，
∴∠D=∠DBA，
∴DF//AC(内错角相等，两直线平行)，
∴∠DEC+∠C=180°(两直线平行，同旁内角互补).
【解析】【分析】由已知信息得出∠1=∠GHC从而判定BD//EC，由平行线性质得 ∠C=∠DBA ，因为 ∠C=∠D ，通过等量的代换得出∠D=∠DBA从而判定DF//AC即可得出结论。
35．如图所示，已知直线AB∥CD，FH平分∠EFD，FG⊥FH，∠AEF＝62°，求∠GFC的度数．
【答案】解：∵AB∥CD，∠AEF=62°，
∴∠EFD=∠AEF=62°，∠CFE=180°-∠AEF=180°-62°=118°；
∵FH平分∠EFD，
∴∠EFH=∠EFD=×62°=31°；
又∵FG⊥FH，
∴∠GFE=90°-∠EFH=90°-31°=59°，
∴∠GFC=∠CFE-∠GFE=118°-59°=59°．
【解析】【分析】首先根据平行线的性质可得∠EFD=62°，∠CFE°=118°，然后再根据角平分线的定义得出∠EFH=31°，进而得出∠GFE=59°，即可得出∠GFC=∠CFE-∠GFE=118°-59°=59°．
36．如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°.∠BFC等于多少度？为什么？
【答案】解：∠BFC等于30度，理由如下：
∵AB∥GE，
∴∠B+∠BFG＝180°，
∵∠B＝110°，
∴∠BFG＝180°﹣110°＝70°，
∵AB∥CD，AB∥GE，
∴CD∥GE，
∴∠C+∠CFE＝180°，
∵∠C＝100°.
∴∠CFE＝180°﹣100°＝80°，
∴∠BFC＝180°﹣∠BFG﹣∠CFE＝180°﹣70°﹣80°＝30°.
【解析】【分析】由AB∥CD，AB∥GE得CD∥GE，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠B+∠BFG＝180°，∠C+∠CFE＝180°，而∠B＝110°，∠C＝100°，可以求出∠BFG和∠CFE，最后可以求出∠BFC.
37．如图， ， 是截线， ， ，求： 的度数．
【答案】解：由题意知： ．
∴∠1=∠2，∠3+∠5=∠5+∠4= ．
∵ ， ．
∴ ．
【解析】【分析】根据题意知： ，找出角的关系，计算求解即可．
38．如图，，且，试说明．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】由邻补角定义及同角的补角相等得∠EFD=∠ADC，由同位角相等，两直线平行，得EF∥AD，由二直线平行，同位角相等得∠BAD=∠1，结合已知可得∠BAD=∠2，最后根据内错角相等，两直线平行得出DG∥AB.
39．当我们想要放松身心，享受阳光和清风时，一把舒适的躺椅就成为了必不可少的伴侣，如图是某种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支果分别与交于点G，D，与靠背交于点N，于点D．
（1）若于点O，与平行吗？说说你的理由．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：与平行，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先利用垂直的定义可得，再证出即可；
（2）先利用角的运算求出，再利用平行线的性质可得，再结合，利用角的运算求出即可．
（1）解：与平行，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
40．如图，在一块长为20m，宽为14m的草地上有一条宽为2m的曲折小路，你能运用你学的知识求出这块草地的绿地面积吗？
【答案】【解答】平移使路变直，路是长20+(14-2)m，宽2m的矩形，绿地的面积20×14－[20+(14-2)]×2＝216（m2），答：这块草地的绿地面积是216m2．
【解析】【分析】根据平移，可得路是矩形，根据面积的和差，可得答案．
41．已知，为射线上一点，平分.
（1）如图1，当点在线段上时，求证：；
（2）如图2，当点在线段延长线上时，连接，若，；
①求证：；
②求的度数.
【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①证明：∵，
∴，
∴；
②解：∵，设，
∴，∵，∴，
∴，∵，
又∵，∴，
∵，即，解得：，
∴，∵，
∴.
【解析】【分析】（1）角平分线和平行线结合，等量代换即可得结论；
（2）①根据平行线的性质，结合同角的补角相等即可证明；②根据角之间的关系倍数关系，设出小角，，根据平行线的性质，得出方程，解方程即可.
42．已知，点E在上，点F在上，点Q为射线上一点．
（1）如图1，若，则______．
（2）如图2，当点Q在线段的延长线上时，关于和的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．
（3）如图3，平分，交于点H．
①若平分，求和的数量关系；
②若，直接写出的度数为______．
【答案】（1）；
（2）解：理由如下：
过点Q作如图：
，
即
（3）解：过点H作如图：
，
又∵平分平分
由（2）可得.
．
【解析】【解答】（1）解： 过点Q作如图：
，
故答案为：；
（3）理由如下：
故答案为：．
【分析】（1）过点Q作 先利用平行线的性质可得再利用角的运算求出即可；
（2）过点Q作先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）①过点H作先利用平行线的性质可得 再利用角平分线的定义可得 ，再利用角的运算和等量代换可得；
②先求出 再求出 最后利用角的运算求出 即可.
（1）解： 过点Q作如图：
，
故答案为：；
（2）解：理由如下：
过点Q作如图：
，
即
（3）解：过点H作如图：
，
又∵平分平分
由（2）可得；
理由如下：
故答案为：．
43．已知，如图AB∥CD，AF平分∠EAB，DF平分∠EDC．
（1）如图1，探究∠F与∠E的数量关系并证明．
（2）如图2，在（1）的条件下，过A作AH∥ED交DC于点H，AD平分∠EAH，∠DAG：∠FDE＝2：7，求∠BAH的度数．
【答案】（1）解：2∠AFD+∠AED＝360°，
证明：如图，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，
∵FN∥AB，
∴∠NFA＝∠BAF，
∵AF平分∠EAB，
∴∠EAB＝2∠BAF，
∴∠EAB＝2∠NAF，
∵FN∥AB，AB∥CD，
∴FN∥CD，
∴∠NFD＝∠FDC，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDC＝2∠FDC，
∴∠EDC＝2∠NFD，
∴∠BAE+∠EDC＝2（∠NFA+∠NFD）＝2∠AFD，
∵AB∥CD，
∴EM∥CD，
∵EM∥AB，
∴∠BAE+∠AEM＝180°，
∵EM∥CD，
∴∠DEM+∠EDC＝180°，
∴（∠BAE+∠AEM）+（∠DEM+∠EDC）＝360°，
即∠BAE+∠AED+∠EDC＝360°，
∴∠AED＝360°﹣（∠EAB+∠EDC）＝360°﹣2∠AFD，
2∠AFD+∠AED＝360°；
（2）解：∵∠DAG：∠FDE＝2：7，
∴设∠DAG＝2α，∠FDE＝∠FDG＝7α，
∴∠EDH＝2∠FDG＝14α，
∵∠GAD＝∠GAE﹣∠DAE＝∠BAE﹣∠EAH＝∠BAH，
∴∠BAH＝4α，
∵AB∥CD，
∴∠AHD＝∠BAH＝4α，
∵AH∥ED，
∴∠AHD+∠EDH＝180°，
∴4α+14α＝180°，
解得：α＝10°，
∴∠BAH＝4α＝40°．
【解析】【分析】（1）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，利用平行线的性质及等量代换可得 ∠NFD＝∠FDC， 再利用角平分线的定义可得 ∠EDC＝2∠NFD， 再利用角的运算和等量代换可得 （∠BAE+∠AEM）+（∠DEM+∠EDC）＝360°， 即∠BAE+∠AED+∠EDC＝360°， 再求出 2∠AFD+∠AED＝360°即可；
（2）设∠DAG＝2α，∠FDE＝∠FDG＝7α，再利用角的运算和平行线的性质可得 ∠AHD＝∠BAH＝4α， 再结合 ∠AHD+∠EDH＝180°， 可得 4α+14α＝180°， 求出 α＝10°， 最后求出 ∠BAH＝4α＝40°即可．
44．如图，AB∥CD，BE和DE相交于E．证明：∠ABE=∠D+∠E
【答案】证明：延长AB交DE于F，
∵AB∥CD，
∴∠BFE=∠D，
又∵∠ABE是△BEF的一个外角，
∴∠ABE=∠BFE+∠E，
即∠ABE=∠D+∠E.
【解析】【分析】延长AB交DE于F，根据平行线性质得∠BFE=∠D，再由三角形外角性质得∠ABE=∠BFE+∠E，等量代换即可得证.
45．如图，在△ABC中， ∠ABC与 ∠ACB的平分线相交于O．过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．若 ∠BOC=130°， ∠ABC： ∠ACB=3：2，求 ∠AEF和 ∠EFC．
【答案】解：∵∠ABC： ∠ACB=3：2，
∴设∠ABC=3x， ∠ACB=2x，
∵BO、CO分别平分 ∠ ABC、 ∠ ACB，
∴∠ABO=∠CBO=x，∠ACO=∠BCO=x，
又∵∠BOC=130°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴130°+x+x=180°，
解得：x=20°，
∴∠ABC=3x=60°， ∠ACB=2x=40°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，
∠EFC+∠ACB=180°，
∴∠EFC=140°.
【解析】【分析】根据已知条件设∠ABC=3x， ∠ACB=2x，由角平分线性质得∠ABO=∠CBO=x，∠ACO=∠BCO=x，在△BOC中，根据三角形内角和定理列出方程，解之求得x值，从而得∠ABC=60°， ∠ACB=40°，再由平行线性质同位角相等得∠AEF=60°，同旁内角互补得∠EFC=140°.
46．已知：，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧．
（1）如图，若，则=_______°；
（2）若的平分线交边于点F．
①如图，当，且时，试说明：；
②如图，当保持不变时，试求出与α之间的数量关系．
【答案】（1）45
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在直角三角形中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵当保持不变时，总有，
在直角三角形中，，
∴，
∵
∴，且，
∵平分，
∴，
∴．
【解析】【解答】（1）解：如图，过点E作，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
故答案为：45；
【分析】（1）过点E作，则，根据直线平行性质即可求出答案.
（2）①根据直线平行性质可得，，再根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
②根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质可得，且，根据角平分线定义可得，再根据补角即可求出答案.
（1）解：如图，过点E作，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
故答案为：45；
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在直角三角形中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵当保持不变时，总有，
在直角三角形中，，
∴，
∵
∴，且，
∵平分，
∴，
∴．
47．如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，．
（1）将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数；
（2）将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，边恰好与射线平行；第______时，直线恰好平分锐角；
（3）将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：，
，
又，
，
.
（2）9或27，12或30；
（3）解：.
理由如下：∵在的内部，
∴，，
∴，
∴．
【解析】【解答】（2）解：，
，，
当在直线上时，，此时旋转角为或，
每秒顺时针旋转，
时间为或，
当直线恰好平分锐角时，旋转角为或，
∵每秒顺时针旋转，
∴时间为或，
故答案为：9或27；或.
【分析】（1）先利用角的运算求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可；
（2）分类讨论：①当在直线上时，，此时旋转角为或，②当直线恰好平分锐角时，旋转角为或，再分别求解即可；
（3）先利用角的运算求出，，再求出即可．
（1）解：，
，
又，
，
；
（2）解：，
，，
当在直线上时，，此时旋转角为或，
每秒顺时针旋转，
时间为或，
当直线恰好平分锐角时，旋转角为或，
∵每秒顺时针旋转，
∴时间为或，
故答案为：9或27；或；
（3）解：，理由如下：
∵在的内部，
∴，，
∴，
∴．
48．如图，已知AD⊥BC， FG⊥BC，垂足分别为D，G，∠1=∠2，试猜想∠BDE与∠C的大小关系，并说明理由．
【答案】解： ∠BDE=∠C ，理由如下：
∵ AD⊥BC， FG⊥BC，
∴AD∥FG（同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠1=∠DAC（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠DAC，
∴ED∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠EDB=∠C（两直线平行，同位角相等）.
【解析】【分析】 ∠BDE=∠C ，理由如下：由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，得AD∥FG，由两直线平行，同位角相等，得∠1=∠DAC，几何已知可推出∠2=∠DAC，从而由内错角相等，两直线平行，得ED∥AC，最后根据两直线平行，同位角相等，得∠EDB=∠C.
49．（1）如图1，，，．求度数；
（2）如图2，，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，，．则，，之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点在，两点外侧运动时（点与点，，三点不重合），请你写出，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】解：（1）过P作，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（2），理由如下：
如图3，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）当P在延长线时，；
理由：如图4，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
当P在之间时，．
理由：如图5，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴．
综上所述，，，之间的数量关系为或．
【解析】【分析】（1）过P作PE∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PE∥AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补可得∠APE=180°-∠A=40°，∠CPE=180°-∠C=50°，进而根据角的构成可得∠APC的度数；
（2）过P作PE∥AD交CD于E，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PE∥AD∥CB，由二直线平行内错角相等得，，进而根据角的构成即可得出答案；
（3）分两种情况：①点P在BA的延长线上，过P作PE∥AD交CD于E，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PE∥AD∥CB，由二直线平行内错角相等得，，进而根据角的构成即可得出答案；②点P在AB的延长线上，过P作PE∥AD交CD于E，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PE∥AD∥CB，由二直线平行内错角相等得，，进而根据角的构成即可得出答案.
50．如图，，．
（1）如果，求的度数；
设，，直接写出、之间的数量关系： ；
（2）如图，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数；
（3）在（2）的条件下，若，点为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．已知，求的度数．
【答案】（1）解：如图：过点作，
∵，
，
，
，
∴，
又，
，
；
（2）解：不发生变化；，理由为：
由可得，，
、的角平分线交于点，
，，
，
过作，
，
；
（3）解：由（2）得，，，
，
，
过点作，
，
，
，，
，
当点在点的左侧时，如图，
则，
，
；
当点在点的右侧时，如图，
则，
，
．
综上所述，或．
【解析】【解答】解：（1）过点作，
，
，
，，
又，
，
，
故答案为：；
【分析】
（1）过点作，则有，然后得到，，然后计算及可解答；
过点作，则有，，再根据直角计算即可得到结论；
（2）由可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同的推导过程得到结论；
（3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况：利用角度的和差运算解答即可．
（1）解：过点作，
，
，
，，
又，
，
；
过点作，
，
，
，，
又，
，
，
故答案为：；
（2）解：不发生变化；，理由为：
由可得，，
、的角平分线交于点，
，，
，
过作，
，
；
（3）由（2）得，，，
，
，
过点作，
，
，
，，
，
当点在点的左侧时，如图，
则，
，
；
当点在点的右侧时，如图，
则，
，
．
综上所述，或．
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