资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
相交线与平行线 单元综合提优突破卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，和是内错角的是（　　）
A． B．
C． D．
2．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（　　）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130
3．如图，a∥b，∠1=70°，则∠2等于（　　）
A．20° B．35° C．70° D．110°
4．如图，能和∠α构成内错角的角的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，以下说法错误的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=8，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF.若四边形ABED的面积为8，则平移距离为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
7．如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离，就得到此图形，下列结论正确的有（　　）
①AC∥DF；②HE＝5；③CF＝5；④阴影部分面积为 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H．若∠1=135°，则∠2的度数为（　　）
A．65° B．55° C．45° D．35°
9．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EFHC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①ADBC；②GK平分∠AGC；③∠DGH=37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为3∶2．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为α，β，在液体中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（　　）
A． （α＋β）＝γ B． （α＋β）＝120°－γ
C．α＋β＝γ D．α＋β＋γ＝180°
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，，，，则　 　°．
12．直角三角形平移得到直角三角形，，，，若平移的距离为，则 　 　．
13．如图，已知直线 ， 被 所截， 是 的角平分线，若 ， ，则 的度数是　 　 .
14．如图，AB∥CD，∠1=39°，∠C和∠D互余，则∠B=　 　.
15．两个角的两边分别平行，其中一个角是60°，则另一个角是　 　．
16．如图，已知AB∥CD，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的角平分线（点E在平行线AB、CD之间），已知∠ADC=54°，
①当BC∥AE时，∠ABC=度　 　.
②∠AEC与∠ABC之间的关系式为　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知∠COF+∠C＝180°，∠C＝∠B．说明AB//EF的理由．
18．如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝25°，求∠COD的度数.
19．如图，已知直线相交于点平分．
（1）如果，求的度数；
（2）如果，则　 　（用含的代数式表示）；
（3）图中与互余的角有：　 　．
20．如图，点C，D在直线上，，．
（1）求证：；
（2）作的平分线交于点G，交于点N．过点F作交的延长线于点M．若，求的度数．
21．如图1，已知直线l1∥l2，直线l和直线l1、l2交于点C和D，在直线l有一点P，
（1）若P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化，并说明理由．
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合，如图2和3），试直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，不必写理由．
22．如图①，已知，点E在直线，之间．
（1）试说明．
（2）若平分，将线段沿平移至．
①如图②，若，平分，求的度数；
②如图③，若平分，试判断与的数量关系并说明理由．
23．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠EGH＝∠EFH．
（1）如图1，求证：EF∥GH；
（2）如图2，EN为∠BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，求证：∠N＝∠HPN﹣∠NFH
（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作FM⊥GH于点M，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若FN平分∠DFM，且∠GQH比∠N的多3°，求∠AEF的度数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
相交线与平行线 单元综合提优突破卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，和是内错角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A图中，与有一边在同一条直线上，两个角分别在截线的两侧，且在两条被截线之间，是内错角，故本项符合题意；
B图中，与有一边在同一条直线上，两个角分别在截线的两侧，但不在两条被截线之间，不是内错角，故本项不符合题意；
C图中，与的两边都不在同一条直线上，两个角同在截线的一侧，且在两条被截之间，不是内错角角，故本项不符合题意；
D图中，与的两边都不在同一条直线上，两个角同在截线的一侧，且在两条被截线同侧，不是内错角，故本项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.
2．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（　　）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130
【答案】A
【解析】【解答】解：如图：
故选：A．
【分析】首先根据题意对各选项画出示意图，观察图形，根据同位角相等，两直线平行，即可得出答案．
3．如图，a∥b，∠1=70°，则∠2等于（　　）
A．20° B．35° C．70° D．110°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵a∥b，∠1=70°，
∴∠3=∠1=70°，
∴∠2=∠1=70°，
故答案为：C．
【分析】先根据平行线的性质得出∠3的度数，再根据对顶角相等求解．
4．如图，能和∠α构成内错角的角的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：与∠α成内错角的角有2个．
故答案为：B．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，内错角是两个角位于第三条直线的两侧，在两条直线之间，两个角的位置交错，呈“Z字型”，即可得出答案。
5．如图，以下说法错误的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】B
【解析】【解答】解：A、若∠EAD=∠B，则AD∥BC，正确，理由：同位角相等，两直线平行，故此选项不符合题意；
B、∠EAD与∠D是一对内错角，只有它们相等的时候，才能判定AB∥CD，所以∠EAD+∠D=180°，则AB∥CD，错误，故此选项符合题意；
C、若∠CAD=∠BCA，则AD∥BC，正确，理由：内错角相等，两直线平行，故此选项不符合题意；
D、若∠D=∠EAD，则AB∥CD，正确，理由：内错角相等，两直线平行，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行，进行逐一判断即可.
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=8，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF.若四边形ABED的面积为8，则平移距离为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】A
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，
∴AC= AB=4，
∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AD=BE，AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵四边形ABED的面积等于8，
∴AC BE=8，即4BE=8，
∴BE=2，
即平移距离等于2.
故答案为：A.
【分析】根据含30°的直角三角形的性质，可得AC= AB=4，根据平移的性质可得四边形ABED为平行四边形，从而可得AC BE=8，据此求出BE的值即可.
7．如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离，就得到此图形，下列结论正确的有（　　）
①AC∥DF；②HE＝5；③CF＝5；④阴影部分面积为 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：①对应线段平行可得AC∥DF，符合题意；
②对应线段相等可得AB＝DE＝8，则HE＝DE﹣DH＝8﹣3＝5，符合题意；
③平移的距离CF＝BE＝5，符合题意；
④S四边形HDFC＝S梯形ABEH＝ （AB+EH） BE＝ （8+5）×5＝32.5，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等，对应角相等，对应线段平行且相等，阴影部分和三角形面积间的关系，结合图形与所给的结论即可得出答案。
8．如图，直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H．若∠1=135°，则∠2的度数为（　　）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1=135°，
∴∠2=180°﹣135°=45°．
故选C．
【分析】根据平行线的性质求出∠2的度数即可．
9．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EFHC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①ADBC；②GK平分∠AGC；③∠DGH=37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【解答】解：①：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，故①正确；
②：∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
③：∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，
∴90°-∠FGA-∠DGH=16°，
∵∠FGA=∠DGH，
∴90°-2∠FGA=16°，
∴∠FGA=∠DGH=37°，故③正确；
④：设∠AGM=α，∠MGK=β，
∴∠AGK=α+β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK=∠AGK=α+β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+α=β+α+β，
∴β=18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④错误，
综上可知：正确的有 ①②③ ；
故答案为：B．
【分析】
根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据题意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°，故③正确；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的定义即可得到结论，故④错误；
逐一判断即可解答.
10．如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为3∶2．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为α，β，在液体中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（　　）
A． （α＋β）＝γ B． （α＋β）＝120°－γ
C．α＋β＝γ D．α＋β＋γ＝180°
【答案】B
【解析】【解答】解：如图2，分别作出两条入射关系的法线并延长，与折线的夹角分别为∠1和∠2，再过γ角的顶点作法线的平行线，夹角分别为∠3和∠4，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴γ=∠1+∠2①，
又∵入射角与折射角的度数比为3：2，
∴∠1=（90°-α），∠2=（90°-β），
∴γ=（90°-α）+（90°-β）=（180°-α-β），
∴γ=120°-（α+β），即（α+β）=120°-γ.
故答案为：B.
【分析】如图2，分别作出两条入射关系的法线并延长，与折线的夹角分别为∠1和∠2，再过γ角的顶点作法线的平行线，夹角分别为∠3和∠4，由平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，从而得γ=∠1+∠2，再根据入射角与折射角的度数比为3：2，分别求得∠1=（90°-α），∠2=（90°-β），再代入①式中，整理化简即可得到（α+β）=120°-γ.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，，，，则　 　°．
【答案】130
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：130.
【分析】根据垂直的定义得到：进而根据角的运算即可求出∠BOC的度数.
12．直角三角形平移得到直角三角形，，，，若平移的距离为，则 　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：平移的距离为，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先利用图形平移的特征可得，再利用线段的和差求出EC的长即可.
13．如图，已知直线 ， 被 所截， 是 的角平分线，若 ， ，则 的度数是　 　 .
【答案】40
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，
∵EG平分∠AEF，
∴∠AEF=2∠4，
∵∠1=∠AEF，
∴∠1=2∠4=∠2，
∴∠2+∠4=3∠4=120°，
∴∠4=40°，
∵AB∥CD，
∴∠3=∠4=40°.
故答案为：40.
【分析】根据∠1=∠2可得AB∥CD，根据角平分线的概念可得∠AEF=2∠4，由对顶角的性质可得∠1=∠AEF，则∠1=2∠4=∠2，结合∠2+∠4=120°可得∠4的度数，然后根据平行线的性质进行解答.
14．如图，AB∥CD，∠1=39°，∠C和∠D互余，则∠B=　 　.
【答案】129°
【解析】【解答】∵AB∥CD， ∠1=39°，
∴∠D=∠1=39°
∵∠C和∠D互余，
∴∠C=90°-39°=51°
∵AB∥CD，
∴∠B=180°-51°=129°.
故答案为 .
【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得∠D=∠1=39°，利用余角的性质求出∠C=90°-39°=51°，利用两直线平行，同旁内角互补，可得∠B+∠C=180°，从而求出∠B的度数.
15．两个角的两边分别平行，其中一个角是60°，则另一个角是　 　．
【答案】60°或120°
【解析】【解答】解：∵两个角的两边分别平行，
∴两角相等或互补，
又∵其中一个角是60°，
∴另一个角是60°或120°．
故答案为：60°或120°．
【分析】根据平行线的性质结合两个角的两边分别平行，即可得出两角相等或互补，由此即可得出结论．
16．如图，已知AB∥CD，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的角平分线（点E在平行线AB、CD之间），已知∠ADC=54°，
①当BC∥AE时，∠ABC=度　 　.
②∠AEC与∠ABC之间的关系式为　 　.
【答案】117；2∠AEC+∠ABC=414°
【解析】【解答】解：①∵AB∥CD， ∠ADC=54°
∴∠DAH=∠ADC=54°
∴∠BAD=180°-∠DAH=126°
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠BAD=63°
∵AE∥BC
∴∠ABC=180°-∠BAE=117°
②设∠BCE=x°
∵CE平分∠BCD
∴∠BCD=2∠BCE=2x°
∵AB∥CD
∴∠ABC=180°-∠BCD=180-2x°
∵由（1），知∠BAE=63°
∴在四边形AECB中，∠AEC=360°-∠BAE-∠ABC-∠BCE=117+x°
连列，得
由②变形，得 x=∠AEC-117° ③
把③代入①，得∠ABC=180°-2∠E+234°
化简，得2∠AEC+∠ABC=414°.
故答案为：117；2∠AEC+∠ABC=414°.
【分析】本题需熟练运用角平分线性质定理和平行线的性质定理，在解题中需要灵活设参数来表示角.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知∠COF+∠C＝180°，∠C＝∠B．说明AB//EF的理由．
【答案】解：∵∠COF+∠C＝180°，
∴EF//CD，
∵∠C＝∠B，
∴AB//CD，
∴AB//EF．
【解析】【分析】根据平行线的判定可得EF//CD，AB//CD，再根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行即可求解．
18．如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝25°，求∠COD的度数.
【答案】解：∵∠BON＝25°，
∴∠AOM＝25°，
∵OA平分∠MOD，
∴∠AOD＝∠MOA＝25°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠COD＝90°-25°＝65°.
答：∠COD的度数是65°.
【解析】【分析】根据对顶角的性质可得∠BON＝∠AOM＝25°，由角平分线的概念可得∠AOD＝∠MOA＝25°，然后根据∠COD＝∠AOC-∠AOD进行计算.
19．如图，已知直线相交于点平分．
（1）如果，求的度数；
（2）如果，则　 　（用含的代数式表示）；
（3）图中与互余的角有：　 　．
【答案】（1）解：∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC=66°，
∴∠BOD=∠AOC=66°，
∵OE平分∠BOD，
∴
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°
∴∠FOD=∠EOF-∠DOE=90°-33°=57°
∵∠AOF+∠EOF+∠BOE=180°，∠EOF=90°
∴∠AOF+ZBOE=90°
∴∠AOF=180°-∠BOE=90°-33°=57°
∴∠AOD=∠AOF+∠FOD=57°+57°=114°

（2）
（3），
【解析】【解答】解：(2)∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC=n°，
∴∠BOD=∠AOC=n°，
∵OE平分∠BOD，
∴，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴，
故答案为：.
(3)∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°
∴∠FOD+∠DOE=90°，
∴∠FOD与∠DOE互余，
∵∠AOF+∠EOF+∠BOE=180°，∠EOF=90°，
∴∠AOF+∠BOE=90°.
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE
∴∠AOF+∠DOE=90°
∴∠AOF与∠DOE互余，
∴图中与∠DOE互余的角有：∠FOD，∠AOF，
故答案为：∠FOD，∠AOF.
【分析】(1)先由对顶角相等得∠BOD=∠AOC=66°，根据角平分线的定义得∠BOE=∠DOE=33°，再由OF⊥OE得∠FOD=∠EOF-∠DOE=57°，然后由∠AOF+∠EOF+∠BOE=180°，∠EOF=90°得∠AOF=180°-∠BOE=57°，最后根据∠AOD=∠AOF+∠FOD可得∠AOD的度数；
(2)先由对顶角相等得∠BOD=∠AOC=n°，根据角平分线的定义得，进
而根据OF⊥OE可得∠FOD的度数；
(3)先由OF⊥OE得∠FOD+∠DOE=90°，故得∠FOD与∠DOE互余；再根据∠AOF+∠EOF+∠BOE=180°，∠EOF=90°得∠AOF+∠BOE=90°，再由角平分线的定义得∠BOE=∠DOE，则∠AOF+∠DOE=90°，故得∠AOF与∠DOE互余，据此可得图中与∠DOE互余的角.
20．如图，点C，D在直线上，，．
（1）求证：；
（2）作的平分线交于点G，交于点N．过点F作交的延长线于点M．若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，∴；
（2）解：∵，∴．又∵，∴．
∵，∴．
∵是的平分线，∴．
∵，∴，∴．
【解析】【分析】（1）根据同角的补角相等，可得，从而得出CE∥DF；
（2）首先根据三角形内角和求得∠MNF=35°，然后根据平行线的性质，可得∠DFG=35°，再根据角平分线的定义，求得∠DFE=70°，最后根据平行线的性质得出．
21．如图1，已知直线l1∥l2，直线l和直线l1、l2交于点C和D，在直线l有一点P，
（1）若P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化，并说明理由．
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合，如图2和3），试直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，不必写理由．
【答案】解：（1）如图①，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．
理由如下：
过点P作PE∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2∥l1，
∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；
（2）如图2，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB．
理由如下：
∵l1∥l2，
∴∠PED=∠PAC，
∵∠PED=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．
如图3，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．
理由如下：
∵l1∥l2，
∴∠PEC=∠PBD，
∵∠PEC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
【解析】【分析】（1）当P点在C、D之间运动时，首先过点P作PE∥l1，由l1∥l2，可得PE∥l2∥l1，根据两直线平行，内错角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD．
（2）当点P在C、D两点的外侧运动时，由直线l1∥l2，根据两直线平行，同位角相等与三角形外角的性质，即可求得：∠PBD=∠PAC+∠APB．
22．如图①，已知，点E在直线，之间．
（1）试说明．
（2）若平分，将线段沿平移至．
①如图②，若，平分，求的度数；
②如图③，若平分，试判断与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）证明：如图1，过点E作直线，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
①∵平分，设，
又，
∴，
又，，
∴，
如图2，过点H作，
∴；
②，理由如下：
设，，
∵平分，
∴，
由（1）知，
如图3，过点H作，
同理，
即，，
∴．
【解析】【分析】
（1）过点E作直线，根据两直线平行内错角相等推出，，再通过角度的和差运算即可解答；
（2）①设，表示出，根据平行线的性质可以得到的度数，解答即可；
②设，，根据角平分线的概念以及平行线的性质和角度的和差运算即可得到与的数量关系，由此即可解答．
23．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠EGH＝∠EFH．
（1）如图1，求证：EF∥GH；
（2）如图2，EN为∠BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，求证：∠N＝∠HPN﹣∠NFH
（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作FM⊥GH于点M，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若FN平分∠DFM，且∠GQH比∠N的多3°，求∠AEF的度数．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFH，
∵∠EGH＝∠EFH，
∴∠AEF＝∠EGH，
∴EF∥GH；
（2）证明：如图2，过点N作NR∥CD，
∴∠NFH＝∠FNR，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥RN，
∴∠ENR＝∠NEB，
∵EN平分∠BEF，∴∠NEF＝∠NEB，
∴∠ENR＝∠NEF，
∵EF∥GH，∴∠HPN＝∠NEF，
∴∠ENR＝∠HPN，
即∠ENF+∠FNR＝∠HPN，
∴∠ENF＝∠HPN﹣∠NFH；
（3）如图3，过点N作NR∥CD，
设∠ENF＝3α，则∠GQH＝α+3，
∵AB∥CD，∴∠AGQ＝∠GQH＝α+3，
∵GQ平分∠AGH，
∴∠AGH＝2∠AGQ＝2α+6，
∴∠EFD＝∠AGH＝2α+6，
∴∠AEF＝∠EFD＝2α+6，
∴∠BEF＝180°﹣∠AEF＝174°﹣2α，
∴∠BEN＝∠BEF＝87°﹣α，
∵FM⊥GM，∴∠M＝90°，
∵EF∥GH，∴∠EFM+∠M＝180°，
∴∠EFM＝90°，
∴∠DFM＝90°﹣∠EFD＝90°﹣（2α+6）＝84°﹣2α，
∵FN平分∠DFM，∴∠DFN＝∠DFM＝42°﹣α，
∴∠FNR＝∠DFN＝42°﹣α，
∴∠RNE＝∠FNR+∠ENF＝42°﹣α+3α＝42°+2α，
∵NR∥CD，AB∥CD，
∴AB∥NR，∴∠BEN＝∠RNE，
∴87°﹣α＝42°+2α，∴α＝15°，
∴∠AEF＝2α+6＝36°．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得，等量代换求出，再根据平行线的判定得出结论；
（2）过点N作，根据平行线的性质可得，，由角平分线的定义可得，等量代换求出，再利用平行线的性质求出，等量代换可得，再利用角的和差关系证明即可；
（3）如图3，过点N作，设，则，根据平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，等量代换求出，，由平角的定义可得，根据垂线的定义可得，再利用平行线的性质可得，从而求出，最后根据平行线的性质和角平分线的定义可得，求出α，即可得到的度数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑