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二次根式 单元知识过关检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．如果式子有意义，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．若1＜x＜3，则|x﹣3|+的值为（　　）
A．2x﹣4 B．-2 C．4﹣2x D．2
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列选项中，运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．若 ，且 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
8．下列根式中，，，，最简二次根式的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．下列计算错误的共有（　　）
① ；② ；③ ；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列运算正确的有（　　）
A．5ab﹣ab=4 B．3 ﹣ =3
C．a6÷a3=a3 D． + =
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若 ＝4－m，则m的取值范围是　 　．
12．已知 ，则 　 　．
13．若y＝ + +4，则x2+y2的算术平方根是　 　．
14．如果代数式 有意义，那么x的取值范围是　 　．
15．已知 的三边分别为a， b ，c，且a， b 满足 ，c=13，则 =　 　．
16．若 +|3﹣y|=0，则xy=　 　
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
18．已知实数 满足等式 .
（1） 若 ， 求 的值.
（2）若实数 ， 求 的平方根.
19． 在进行二次根式的化简和计算时，我们通常可以借助平方差公式对二次根式进行化简．例如．
（1）分别化简、和；
（2）已知实数、满足，求的值．
20．已知x＝，y＝．
（1）求x2+y2﹣xy的值；
（2）若x的整数部分是a，y的小数部分是b，求5a2021+（x﹣b）2﹣y的值．
21． 我们知道，于是我们说：“的整数部分为1，小数部分则可记为”．则：
（1）的整数部分是　 　，的小数部分可以表示为　 　；
（2）已知的小数部分是a，的小数部分为b．求的值．
22．规定新运算符号“☆”： a☆如：（-2)☆
（1）求☆ 的值。
（2）若 求x的值。
23．在平面直角坐标系中，已知，，且．
（1）求点A的坐标；
（2）如图，过点A作轴于点，连接，延长交轴于点，设交轴于点，求线段的长；
（3）在（2）的条件下，点以每秒2个单位长度的速度从原点O出发沿轴正方向运动，点从D点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴负方向运动．设运动时间为秒，请问是否存在某一时刻，使三角形的面积等于三角形的面积的一半，若存在，请求出的值及点坐标，若不存在，请说明理由．
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二次根式 单元知识过关检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，则A选项不符合题意；
B、，则B选项不符合题意；
C、是最简二次根式，则C选项符合题意；
D、，则D选项不符合题意；.
故答案为：C.
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可.
2．如果式子有意义，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴x-3≥0，
∴x≥3，
故答案为：A
【分析】根据二次根式有意义的条件结合题意即可得到x-3≥0，进而即可求解。
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A.原式=-，计算正确；
B.原式=-，计算错误；
C.原式=3，计算错误；
D.原式=6，计算错误。
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的性质和化简，判断得到答案即可。
4．若1＜x＜3，则|x﹣3|+的值为（　　）
A．2x﹣4 B．-2 C．4﹣2x D．2
【答案】D
【解析】【解答】解：∵1＜x＜3，
∴|x﹣3|+=3﹣x+x﹣1=2．
故选：D．
【分析】直接利用二次根式以及绝对值的性质化简求出即可．
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，故此选项运算错误，不符合题意，A错误；
B、，故此选项运算错误，不符合题意，B错误；
C、，故此选项运算错误，不符合题意，C错误；
D、，故此选项运算正确，符合题意，D正确；
故选：D．
【分析】本题考查实数的运算，算术平方根、立方根、二次根式的乘法、负整数指数幂的运算法则．利用平方根计算可得：，据此可判断A选项；利用立方根定义进行可得，据此可判断B选项；利用负指数幂运算法则进行可得：，再进行计算可判断C选项；利用平方根计算可得，据此可判断D选项.
6．下列选项中，运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、
，故此选项不符合题意；
B、
，故此选项不符合题意；
C、
，故此选项不符合题意；
D、
，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的加减及二次根式的乘除法逐项判断即可。
7．若 ，且 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
=
=
=
=
= .
故答案为：D.
【分析】根据x＜1，可得出x-1＜0，就可求出y的值，然后将y的值，再将y的值代入代数式，然后利用二次根式的乘除法法则计算。
8．下列根式中，，，，最简二次根式的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：最简二次根式有，，，共3个，
故选B．
【分析】先根据二次根式的性质看看能否化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
9．下列计算错误的共有（　　）
① ；② ；③ ；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：①+=+，选项计算错误，符合题意；
②2+=2+，选项计算错误，符合题意；
③α-b=（α-b），选项计算正确，不符合题意；
④==，选项计算错误，符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据二次根式的性质和加减法则进行判断即可，将二次根式化为最简二次根式，只有同类二次根式之间才可以进行加减合并运算。
10．下列运算正确的有（　　）
A．5ab﹣ab=4 B．3 ﹣ =3
C．a6÷a3=a3 D． + =
【答案】C
【解析】【解答】解：A、5ab﹣ab=4ab，故此选项错误，不合题意；
B、3 ﹣ =2 ，故此选项错误，不合题意；
C、a6÷a3=a3，正确，符合题意；
D、 + = + = ，故此选项错误，不合题意；
故选：C．
【分析】直接利用合并同类项法则以及二次根式加减运算法则和同底数幂的除法运算法则、分式加减运算法则分别化简求出答案．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若 ＝4－m，则m的取值范围是　 　．
【答案】m≤4
【解析】【解答】解： =4-m，得4-m≥0，
解得m≤4，
故答案为：m≤4.
【分析】根据二次根式的性质，可得答案.
12．已知 ，则 　 　．
【答案】
【解析】【解答】由题意得
，
解之得 ，
，
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数，即可列出不等式组，求解即可得出x的值，然后代入方程即可算出y的值，进而根据负指数幂的运算法则即可算出代数式的值。
13．若y＝ + +4，则x2+y2的算术平方根是　 　．
【答案】5
【解析】【解答】解：根据题意得，3-x≥0且x-3≥0，
解得x≤3且x≥3，
所以，x=3，
y=4，
所以，x2+y2=32+42=25，
∵25的算术平方根是5，
∴x2+y2的算术平方根是5．
故答案为：5．
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式组3-x≥0且x-3≥0，求出x的值，再代入计算即可。
14．如果代数式 有意义，那么x的取值范围是　 　．
【答案】x≥-2且x≠1
【解析】【解答】解：由题意得，x+2≥0且x-1≠0，
解得x≥-2且x≠1．
故答案为：x≥-2且x≠1．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不能为零即可解答。
15．已知 的三边分别为a， b ，c，且a， b 满足 ，c=13，则 =　 　．
【答案】30
【解析】【解答】解：根据题意可知，
5-a=a-5=0
∴a=5
∴b=12
∴a2+b2=52+122=132=c2
∴三角形ABC为直角三角形
∴S△ABC=×5×12=30
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可得到a的值，继而得到b的值，根据勾股定理的逆定理即可得到三角形ABC为直角三角形，根据三角形的面积计算即可。
16．若 +|3﹣y|=0，则xy=　 　
【答案】6
【解析】【解答】由题意得，x﹣2=0，3﹣y=0，解得x=2，y=3，所以xy=2×3=6．故答案为6．
【分析】根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性来解。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再计算即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。
18．已知实数 满足等式 .
（1） 若 ， 求 的值.
（2）若实数 ， 求 的平方根.
【答案】（1）解：把z＝﹣1代入已知等式中，可得：，①；
，②
由①+②得：，
∴x+y＝30．
∴．
（2）解：∵，
∴x﹣3y≥0，3y﹣x≥0，
∴x﹣3y＝0．
把x＝3y代入已知等式，并整理得：3y+2z＝17，11y+12z＝81，
解得：x＝9，y＝3，z＝4，
∴m4，
∴m的平方根是±2；
【解析】【分析】（1）将z＝﹣1代入两个方程中，可得关于x，y的方程，然后再将所得方程相加即可解答；
（2）由二次根式被开方数的非负性得出x＝3y，然后代入已知等式，解方程得出x、y、z的值，然后再代入m中，可求得m的值，最后求m的平方根即可解答.
19． 在进行二次根式的化简和计算时，我们通常可以借助平方差公式对二次根式进行化简．例如．
（1）分别化简、和；
（2）已知实数、满足，求的值．
【答案】（1）解：；
；
．
（2）解：，
．
同理可得，．
，
，即．
．
【解析】【分析】（1）根据材料，利用平方差公式进行分母有理化，从而达到根式化简目的；
（2）同理利用平方差可对式子进行化简，从而实现因式降幂重组，即与，最后利用式子结构特性解出a，b.
20．已知x＝，y＝．
（1）求x2+y2﹣xy的值；
（2）若x的整数部分是a，y的小数部分是b，求5a2021+（x﹣b）2﹣y的值．
【答案】（1）13 （2）
21． 我们知道，于是我们说：“的整数部分为1，小数部分则可记为”．则：
（1）的整数部分是　 　，的小数部分可以表示为　 　；
（2）已知的小数部分是a，的小数部分为b．求的值．
【答案】（1）；
（2）解：，
，
的整数部分是1，
的整数部分为3，小数部分为，
∴的整数部分为5，小数部分为，
．
【解析】【解答】解：（1）∵1＜＜2，
∴2＜+1＜3，
∴的整数部分是 2，
∴的小数部分可以表示为 ：-2，即：-1.
故第1空答案为：2；第2空答案为：-1；
【分析】（1）首先得出的整数部分是 2，然后从原数中减去整数部分，即可得出的小数部分；
（2）首先根据（1）的方法得出，， 然后代入求值即可。
22．规定新运算符号“☆”： a☆如：（-2)☆
（1）求☆ 的值。
（2）若 求x的值。
【答案】（1）解：原式
（2）解：
解得x=365
【解析】【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可；
（2）根据新定义的运算法则展开，解方程求出x的值即可.
23．在平面直角坐标系中，已知，，且．
（1）求点A的坐标；
（2）如图，过点A作轴于点，连接，延长交轴于点，设交轴于点，求线段的长；
（3）在（2）的条件下，点以每秒2个单位长度的速度从原点O出发沿轴正方向运动，点从D点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴负方向运动．设运动时间为秒，请问是否存在某一时刻，使三角形的面积等于三角形的面积的一半，若存在，请求出的值及点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴
（2）解：过作轴于N，于M，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴；
（3）解：存在．理由：
，
过作轴于R，则，（1）当在点下方时，
，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∴；（2）当在点上方时，
，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴．
综上，存在，和，，使三角形的面积等于三角形的面积的一半．
【解析】【分析】（1）根据绝对值与算术平方根的性质求解，即可得到答案；
（2）过作轴于N，于M，根据A、B点坐标得到，即，进而求出，根据OC的长度得到OD的长，再利用平行线的性质得到，即可求出OE的长；
（3）根据题意求出，过作轴于R，则，分情况讨论，当在点下方时或在点上方时，分别计算出PE的长，再根据得到的面积，根据得到关于t的等量关系，得到t的值，进而即可得到点P的坐标。
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