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一元二次方程 单元综合优选测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列方程中，一元二次方程是（　　）
A．x﹣1＝0 B．x2﹣3＝0 C． D．x+y＝2
2．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0时，配方后的方程是（　　）
A．（x＋2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2
C．（x＋2）2＝10 D．（x﹣2）2＝10
3．若p，q是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则p2+2p﹣q的值是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．13
4．下列一元二次方程两实数根和为-4的是（　　）
A． B． C． D．
5．已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+12=0的根，则这个三角形的周长为（　　）
A．7 B．11 C．7或11 D．8或9
6．如图所示，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD 上修建同样宽的小路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD平行，其余部分种草.如果使草坪部分的总面积为112m2，设小路的宽为 xm，那x满足的方程是(　　).
A． B．
C． D．
7．若x1、x2是一元二次方程x2＋9x＋20＝0的两个根，则x1＋x2的值是（　　）
A．﹣9 B．9 C．20 D．﹣20
8．用配方法解方程x2﹣8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x﹣4）2＝7 B．（x﹣4）2＝﹣7
C．（x﹣4）2＝25 D．（x﹣4）2＝﹣25
9．如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知方程x2+kx﹣2=0的一个根为1，则k的值是　 　，另一个根是　 　．
12．有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感，如果不及时控制（三轮传染速度相同），第三轮被传染的人数为　 　.
13．已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为　 　．
14．某工程队承包了一项污水处理工程，原计划每天铺设污水管道1250米，因准备工作不充分，第一天铺设了原计划的80%，从第二天开始，该工程队加快了铺设速度，第三天铺设了1440米．若该工程队第二天、第三天每天的铺设长度比前一天增长的百分数相同，设这个百分数为x，列出方程　 　．
15．已知如图所示的图形是一无盖长方体的铁盒平面展开图，若铁盒的容积为3m3，则根据图中的条件，可列出方程：　 　．
16．已知k是关于x的一元二次方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0（其中m为实数）的一个非零实数根，若记m（k+）-2k+2为y，则y与m的关系是　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（1）解方程：
（2） 解方程：．
（3）解方程：；
18．中秋节到来之际，一超市准备推出甲种月饼和乙种月饼两种月饼，计划用1200元购买甲种月饼，600元购买乙种月饼，一个甲种月饼和一个乙种月饼的进价之和为9元，且购进甲种月饼的数量是乙种月饼数量的4倍．
（1）求计划分别购买多少个甲种月饼和乙种月饼．
（2）为回馈客户，厂家推出了一系列活动，每个甲种月饼的售价降低了，每个乙种月饼的售价便宜了元，现在在（1）的基础上购买乙种月饼的数量增加了个，但甲种月饼和乙种月饼的总数量不变，最终的总费用比原计划减少了元，求的值．
19．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.
（1）若方程的一个根为2，求的值，
（2）当b-ac=1时，求证：方程有两个实数根.
20．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
（1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
（2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
21．已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．
22．某小区准备修建一个面积为的花坛，甲、乙两个工程队给出如下两个施工方案.
甲：花坛为长方形，且长与宽的比为.
乙：花坛为正方形.
（1）求长方形花坛的宽.
（2）嘉淇说：“正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长3m.”请你判断嘉淇的说法是否正确，并通过计算说明.
23． 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．
（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　 　（填序号）．
①；②；③．
（2）已知方程是“邻根方程”，求m的值．
（3）若方程是“邻根方程”，求证：．
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一元二次方程 单元综合优选测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列方程中，一元二次方程是（　　）
A．x﹣1＝0 B．x2﹣3＝0 C． D．x+y＝2
【答案】B
【解析】【解答】解：A、 x﹣1＝0 是一元一次方程，故此选项错误；
B、 x2﹣3＝0 是一元二次方程，故此选项正确；
C、 不是整式方程，故此选项错误；
D、 x+y＝2 是二元一次方程，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，根据定义即可一一判断得出答案.
2．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0时，配方后的方程是（　　）
A．（x＋2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2
C．（x＋2）2＝10 D．（x﹣2）2＝10
【答案】D
【解析】【解答】解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故答案为：D.
【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，且二次项的系数为1，利用配方法解方程的时候，首先将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
3．若p，q是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则p2+2p﹣q的值是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．13
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ p，q是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根 ，
∴p2+2p=9-p，p+q=-3
∴ p2+2p﹣q=9-p-q=9-（p+q） =9-（-3）=12.
故答案为：C.
【分析】利用p，q是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根 ，可得到p2+2p=9-p，利用一元二次方程根与系数可求出p+q的值，再整体代入求值即可.
4．下列一元二次方程两实数根和为-4的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，，，不符合题意；
B、 ，，该方程无实根，不符合题意；
C、 ，，该方程无实根，不符合题意；
D、 ，，该方程有实根，且，符合题意.
故答案为：D.
【分析】分别找出四个选项中二次项系数a、一次项系数b、常数项c，计算b2-4ac的值，当b2-4ac＞0时，设方程的两根为x1、x2，利用根与系数的关系求出x1、x2，=的值，即可判断.
5．已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+12=0的根，则这个三角形的周长为（　　）
A．7 B．11 C．7或11 D．8或9
【答案】A
【解析】【解答】解：由方程x2﹣8x+12=0，得：
解得x=2或x=6，
当第三边是6时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去；
当第三边是2时，三角形的周长为2+2+3=7．
故选A．
【分析】首先从方程x2﹣8x+12=0中，确定第三边的边长为2或6；其次考查2，2，3或2，6，3能否构成三角形，从而求出三角形的周长．
6．如图所示，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD 上修建同样宽的小路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD平行，其余部分种草.如果使草坪部分的总面积为112m2，设小路的宽为 xm，那x满足的方程是(　　).
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得，（16 2x）（9 x）＝112，
整理得：x2 17x＋16＝0，
故答案为：C．
【分析】结合图象，将“小路”减去后可得新的长方形，再利用长方形的面积公式列出方程（16 2x）（9 x）＝112即可.
7．若x1、x2是一元二次方程x2＋9x＋20＝0的两个根，则x1＋x2的值是（　　）
A．﹣9 B．9 C．20 D．﹣20
【答案】A
【解析】【解答】解：∵a=1，b=9，c=20，且x1、x2是一元二次方程x2+9x+20=0的两个根，
∴x1+x2=-=-9．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方的根与系数的关系“x1+x2=-”可求解.
8．用配方法解方程x2﹣8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x﹣4）2＝7 B．（x﹣4）2＝﹣7
C．（x﹣4）2＝25 D．（x﹣4）2＝﹣25
【答案】A
【解析】【解答】解：∵方程为x2﹣8x+9＝0，
∴利用配方法可得（x-4）2=7，
故答案为：A.
【分析】利用配方法求解一元二次方程的步骤和方法求解即可.
9．如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】【解答】由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．
利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．
∴y的最大值为AE，
∴AE＝5．
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，
设BE的长度为t，
则BA＝t+1，
∴（t+1）2+t2＝25，
即：t2+t﹣12＝0，
∴（t+4）（t﹣3）＝0，
由于t＞0，
∴t+4＞0，
∴t﹣3＝0，
∴t＝3．
∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．
故答案为：C．
【分析】根据函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．
利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．
∴y的最大值为AE，(这是做题关键)
根据等量关系式写出等量关系式：BA2+BE2＝AE2＝25，解得BE=3，BC=6
10．图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：矩形纸片的长为28cm，宽为16cm，且盒子的高为xcm，
折成的长方体底面的宽应为(16-2x)cm，长为cm，
折成的长方体底面积为80cm2，
.
故答案为：D.
【分析】根据长方形和折叠后的长方体各边长之间的关系，可得折成的长方体底面的宽应为(16-2x)cm，长为cm，再结合长方体底面积为80cm2，根据长×宽=80即可列出方程.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知方程x2+kx﹣2=0的一个根为1，则k的值是　 　，另一个根是　 　．
【答案】1；﹣2
【解析】【解答】解：设方程的另一根为a，根据两根之积，得a×1=﹣2，则a=﹣2，
∵﹣2+1=﹣k，∴k=1．
【分析】由根与系数的关系，先求出另一根，再求得k的值．
12．有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感，如果不及时控制（三轮传染速度相同），第三轮被传染的人数为　 　.
【答案】294
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，
1＋x＋x（x＋1）＝49
x＝6或x＝ 8（舍去）.
∴每轮传染中平均一个人传染了6个人，
第三轮被传染的人数为：49×6＝294（人）.
故答案为：294.
【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有49人患了流感建立方程，可求出x，进而求出第三轮过后，又被感染的人数.
13．已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，
∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，
整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣ ，k2＝1．
∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，
∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，
解得：k＜﹣3﹣2 或k＞﹣3+2 ，
∴k＝1．
故答案为1．
【分析】根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．
14．某工程队承包了一项污水处理工程，原计划每天铺设污水管道1250米，因准备工作不充分，第一天铺设了原计划的80%，从第二天开始，该工程队加快了铺设速度，第三天铺设了1440米．若该工程队第二天、第三天每天的铺设长度比前一天增长的百分数相同，设这个百分数为x，列出方程　 　．
【答案】
【解析】【解答】由题意可得：
【分析】根据第三天铺设污水管道的长度=第一天铺设污水管道的长度（1+该工程对第二天、第三天铺设污水管道长度比前一天的增长的百分数）2，即可列出关于x的一元二次方程.
15．已知如图所示的图形是一无盖长方体的铁盒平面展开图，若铁盒的容积为3m3，则根据图中的条件，可列出方程：　 　．
【答案】x（x+1）=3
【解析】【解答】解：长方体的高是1，宽x，长是x+1，根据题意得：x（x+1）=3．故答案为：x（x+1）=3．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，几何体的展开图，展开图折叠成几何体，得出长方体的长、宽、高是解题关键．
16．已知k是关于x的一元二次方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0（其中m为实数）的一个非零实数根，若记m（k+）-2k+2为y，则y与m的关系是　 　.
【答案】y=m+1
【解析】【解答】解：∵k是关于x的一元二次方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0（其中m为实数）的一个非零实数根，
∴（m-2）k2-（m-1）k+m=0，
两边都除以k，得（m-2）k-（m-1）+=0，
∴mk-2k+=m-1，
∴mk+-2k+2=m+1，
∵记m（k+）-2k+2为y，
∴y=m+1.
故答案为：y=m+1.
【分析】根据方程解的意义，将解代入方程中，再两边都除以k，可化为mk-2k+=m-1，两边同加上2，左边就是y，右边为m+1，由此得结果.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（1）解方程：
（2） 解方程：．
（3）解方程：；
【答案】（1）解：
（2）解：，
（3）解：，
【解析】【解答】（1）解：
x=4或x=-2
故答案为：
（2）解：
x-3=0或x-1=0
x＝3或x=1
故答案为： ，
（3）解：
x+1=或x+1=-
x=-1+或x=-1-
故答案为： ，
【分析】
（1）可用开平方法解出方程，注意平方根有两个。
（2）移项，再提取公因式用因式分解法解出方程。
（3）用配方法或求根公式法进行求解即可。
18．中秋节到来之际，一超市准备推出甲种月饼和乙种月饼两种月饼，计划用1200元购买甲种月饼，600元购买乙种月饼，一个甲种月饼和一个乙种月饼的进价之和为9元，且购进甲种月饼的数量是乙种月饼数量的4倍．
（1）求计划分别购买多少个甲种月饼和乙种月饼．
（2）为回馈客户，厂家推出了一系列活动，每个甲种月饼的售价降低了，每个乙种月饼的售价便宜了元，现在在（1）的基础上购买乙种月饼的数量增加了个，但甲种月饼和乙种月饼的总数量不变，最终的总费用比原计划减少了元，求的值．
【答案】（1）解：设计划购买乙种月饼个，则购买甲种月饼个，根据题意列出方程
解之得：
经检验：是原方程的解
答：计划购买甲种月饼400个，乙种月饼100个
（2）解：甲种月饼售价：（元）乙种月饼售价：（元）
化简得：
答：的值是8
【解析】【分析】（1）设计划购买乙种月饼x个，则购买甲种月饼4x个，利用进货单价=进货总价进货数量，结合一个甲种月饼和一个乙种月饼的进价之和为9元，即可列出关于x的分式方程并解之，检验后符合题意并带入4x即可求出计划分别购买的甲种月饼和乙种月饼的数量；
（2）利用进货单价=进货总价进货数量，可求出甲、乙两种月饼的进货单价，利用进货总价=进货单价进货数量，再结合进货总价比原计划减少了（400+2m）元，可列出关于m的方程并求解取符合题意的值即可得出结论.
19．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.
（1）若方程的一个根为2，求的值，
（2）当b-ac=1时，求证：方程有两个实数根.
【答案】（1）解：把代入，得，
∴，
∴
（2）证明：∵，∴，
∴，
∴方程有两个实数根
【解析】【分析】(1)利用根的定义代入求解代数式的值；
(2)通过计算判别式并利用已知条件证明方程有两个实数根.
20．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
（1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
（2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
【答案】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人；
（2）解：人，
答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
【解析】【分析】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程，解方程即可求出答案.
（2）根据（1）所求列式求解即可．
21．已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）∵方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴4（k+1）2﹣4k（k﹣1）＞0，
即：12k+4＞0，
解得，k＞﹣，
又∵关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0是一元二次方程，
∴k≠0，
∴k＞﹣且k≠0；
（2）不存在，理由如下：
设关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0的两个根分别是：x1，x2．
∴x1+x2＝，x1 x2＝，
假设：，即：，
解得：k＝﹣3，
∵k＞﹣且k≠0时，方程有两个不相等的实数根，
∴不存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于k的不等式，根据一元二次方程的一般形式“ax2+bx+c=0(a≠0)”可得关于k的不等式，解之即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系“x1、x2是关于一元二次方ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=，x1x2=”列关于k的方程，解方程并结合（1）中k的范围即可求解．
22．某小区准备修建一个面积为的花坛，甲、乙两个工程队给出如下两个施工方案.
甲：花坛为长方形，且长与宽的比为.
乙：花坛为正方形.
（1）求长方形花坛的宽.
（2）嘉淇说：“正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长3m.”请你判断嘉淇的说法是否正确，并通过计算说明.
【答案】（1）解：设长方形花坛的宽为，则长为，
由题意得，
因此，
即长方形花坛的宽为5m，长为15m.
（2）解：嘉淇的说法错误.
理由如下：
由（1）知长方形花坛的宽为5米，
若嘉淇的说法正确，正方形花坛的边长为：，
则正方形花坛的面积为：，
因此假设不成立，即嘉淇的说法错误.
【解析】【分析】本题考查图形面积、算术平方根的应用，根据题目图形的面积，列出方程，利用算术平方根的意义求解。
（1）设宽x，长3x，则3x2=75，则x=5；
（2）假设法求解，假设嘉淇的说法正确，计算正方形的面积，比较可得出结论。
23． 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．
（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　 　（填序号）．
①；②；③．
（2）已知方程是“邻根方程”，求m的值．
（3）若方程是“邻根方程”，求证：．
【答案】（1）③
（2）解：解方程得，
∵方程是“邻根方程”，
∴，
解得m=或，
故答案为：或；
（3）解：设，是一元二次方程的两个根 ，
∴，，，
∵，
∴4c=b2-1，
∴.
【解析】【解答】
解：(1)解①得，x1=1，x2=-1，，故不符合条件；
解②得：，，故不符合条件；
解③得：，，故符合条件；
故答案为：③
【分析】(1)根据“邻根方程”的定义分别计算下列方程的根，然后判断即可；
(2)根据“邻根方程”的定义，可以得到两个根之间的关系，可以得到关于m的绝对值方程，解之即可；
(3)根据“邻根方程”的定义，设两个根，然后得到关于b，c的等式，变形即可证明.
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