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二次根式 单元全优达标检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（　　）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
2．下列二次根式，不能与 合并的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若代数式 有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2且x≠3 B．x≥2 C．x≠3 D．x≥2且x≠3
6．下列各式计算正确的是（　　）
A．＝-1 B．＝±2 C．＝±2 D．＝-3
7．使代数式8 有意义的 的范围是（　　）
A． B． C． D．不存在
8．如图，在长方形ABCD中无重叠放人面积分别为 和 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　）
A． B．
C． D．
9．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，边上的中线．过点A作于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知 =4， 3，且 ，则 的值为　 　．
12． 要使代数式有意义，则的取值范围为　 　 ．
13．若y= + +2，则xy=　 　．
14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是　 　．
15．若，则x+y的平方根等于　 　．
16．已知实数，满足，则的值为　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1） ；
（2） .
18．已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）
19．阅读下面问题：
；
；
（1）计算：①　 　，②　 　；
（2）计算：　 　；
（3）计算：
20．我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根．
解：，
所以的算术平方根是．
你看明白了吗 请根据上面的方法化简：
（1）；
（2）．
21．求代数式，，如图是小亮和小芳的解答过程：
解：原式 解：原式
（1）　 　的解法是正确的；
（2）化简代数式，（其中）；
（3）若，直接写出a的取值范围．
22．先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
（1）的有理化因式是______；化简______；
（2）计算：______；
（3）比较与的大小，并说明理由．
23．若实数x，y满足．
（1）求x，y之间的数量关系；
（2）求的值．
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二次根式 单元全优达标检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（　　）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】B
【解析】【解答】解：A、 ＝2 ，故 和 不是同类二次根式；
B、 ＝2 ，故 和 是同类二次根式；
C、 = ，故 和 不是同类二次根式；
D、 和 不是同类二次根式；
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
2．下列二次根式，不能与 合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】A. = ，能与 合并，故不符合题意；
B. =- ，能与 合并，故不符合题意；
C. = ，能与 合并，故不符合题意；
D. =3 ，不能与 合并，故符合题意，
故答案为：D.
【分析】先将每一个选项的二次根式化为最简二次根式，若被开方数为3即可合并.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A．，故A选项不符合题意．
B．，故B选项符合题意．
C．，故C选项不符合题意．
D．，故D选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的加减法、乘除法及二次根式的性质逐项判断即可。
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，
∴此选项不符合题意；
B、，
∴此选项不符合题意；
C、
∴此选项不符合题意；
D、，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据单项式除以单项式的法则”系数相除，同底数幂相除 ，只在被除式里的字母则连同它的指数作为积的一个因式”可求解；
D、 根据二次根式的加减法法则"二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简 二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合 并，合并时系数相加减，根式不变"可求解.
5．若代数式 有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2且x≠3 B．x≥2 C．x≠3 D．x≥2且x≠3
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，且x﹣3≠0，
解得：x≥2，且x≠3，
故选：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再根据分式有意义的条件可得x﹣3≠0，再解即可．
6．下列各式计算正确的是（　　）
A．＝-1 B．＝±2 C．＝±2 D．＝-3
【答案】A
【解析】【解答】解：A.-1，故A选项符合题意；
B.= 2，故B选项不符合题意；
C.，故C选项不符合题意；
D.=3，故D选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用二次根式和立方根的性质逐项判断即可。
7．使代数式8 有意义的 的范围是（　　）
A． B． C． D．不存在
【答案】C
【解析】【解答】由原式成立，所以a≧0，-a≧0，所以a=0，故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组a≧0，-a≧0 ，从而得出a的值。
8．如图，在长方形ABCD中无重叠放人面积分别为 和 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，
∴它们的边长分别为，，
∴AB=4cm，BC=，
解法一：∴空白部分的面积
，
解法二：∴空白部分的面积
，
故答案为：A.
【分析】根据两个正方形的面积求出边长，进而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积计算即可.
9．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A. ，故答案为：A计算错误，不符合题意；
B. ，故答案为：B计算错误，不符合题意；
C. ，故答案为：C计算错误，不符合题意；
D. ，故答案为：D计算正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据乘方的意义可判断A；根据二次根式的性质=|a|可判断B；根据最简二次根式的概念可判断C；根据二次根式的乘法法则可判断D.
10．如图，在中，，边上的中线．过点A作于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接，过作于，
则，
∵边上的中线，
∴是中点，
∵过点作于点，
∴，
∴，
∵的长为的长为，
，
，
，
∵中，，
中，，
，
整理得：，
故选：C．
【分析】连接，过作于，根据中线得到，根据三线合一得到，然后在和中利用勾股定理列方程，化简整理即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知 =4， 3，且 ，则 的值为　 　．
【答案】﹣7
【解析】【解答】解：∵ ，
∴b＝3，
∵ ，
∴a＝±4，
∵|a+b|＝﹣a﹣b，
∴a+b＜0，
∴a＝﹣4，b＝3，
∴a﹣b＝﹣4﹣3＝﹣7，
故答案为：﹣7．
【分析】根据 ，可知a＝±4，根据 ，可知b＝3，根据|a+b|＝﹣a﹣b，可知a+b＜0，进而求出a﹣b的值即可．
12． 要使代数式有意义，则的取值范围为　 　 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：
a-5>0，解得：a>5
故答案为：
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件即可求出答案。
13．若y= + +2，则xy=　 　．
【答案】9
【解析】【解答】解：y= 有意义，
必须x﹣3≥0，3﹣x≥0，
解得：x=3，
代入得：y=0+0+2=2，
∴xy=32=9．
故答案为：9．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣3≥0，3﹣x≥0，求出x，代入求出y即可．
14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是　 　．
【答案】-2a
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
∴
故答案为：-2a.
【分析】根据数轴可得-10，然后根据二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，最后合并同类项即可.
15．若，则x+y的平方根等于　 　．
【答案】±2
【解析】【解答】∵
且≥0，|3x-2y-2|≥0，
∴x+y＝4，3x-2y＝2，
则x+y＝4，4的平方根是±2．
故答案为：±2．
【分析】利用非负数的性质求出x+y的值，即可求出平方根．
16．已知实数，满足，则的值为　 　.
【答案】4050
【解析】【解答】，，，①，，，得，，，，，.
故答案为：4050
【分析】根据原式计算得到，根据二次根式的非负性求出x和y的值，然后代入计算解答即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
=1-1
=0
【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质化简，在合并即可解答.（2）利用零指数幂，平方差公式进行计算即可.
18．已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵，，∴，
∴；
（2）解：∵，，∴，
∴．
【解析】【分析】本题考查二次根式的求值以及乘法公式的应用。
(1)利用完全平方公式将代数式变形为，先计算的结果，再代入平方计算；
(2)利用平方差公式将代数式变形为，分别计算和的结果，再将两个结果相乘即可。
（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
19．阅读下面问题：
；
；
（1）计算：①　 　，②　 　；
（2）计算：　 　；
（3）计算：
【答案】（1）；
（2）
（3）解：原式 =10-1=9．
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
故答案为：，
（2）
故答案为：
【分析】（1）观察代数式变换规律即可求出答案.
（2）根据（1）变换规律即可求出答案.
（3）根据（1）变换规律即可求出答案.
20．我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根．
解：，
所以的算术平方根是．
你看明白了吗 请根据上面的方法化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；

（2）解：
【解析】【分析】此题考查了二次根式的化简．
（1）根据题意提供的方法得到，直接开方即可；
（2）根据题意提供的方法得到，直接开方即可；．
（1）解：
（2）解：
21．求代数式，，如图是小亮和小芳的解答过程：
解：原式 解：原式
（1）　 　的解法是正确的；
（2）化简代数式，（其中）；
（3）若，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）小芳
（2）解：，
；
（3）解：
当时，，
解得：；
当时，；
当时，，
解得：，
综上，a的取值范围是：．
【解析】【解答】解：，
所以小芳正确。
【分析】（1）根据化简并计算即可。
（2）根据化简并计算即可。
（3）根据题意分类讨论：当时，当时，当时。再根据化简并计算即可。
22．先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
（1）的有理化因式是______；化简______；
（2）计算：______；
（3）比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1），
（2）9
（3）解：．
理由如下：
设、，
则，
，
由于，
则，即，
因此．
【解析】【解答】解：（1），
则的有理化因式是，
，
故答案为：，；
（2）根据题意得：对于任意的正整数，有，
则
故答案为：；
【分析】（1）根据题意，利用平方差公式，即可得出答案；
（2）首先把各项进行分母有理化，然后再根据相反数的和为0，根据式子特征进行简化运算即可；
（3）通过有理化将差值转化为倒数形式，比较分母大小得出结论即可．
（1）解：，
则的有理化因式是，
，
故答案为：，；
（2）解：根据题意得：对于任意的正整数，有，
则
故答案为：；
（3）解：设、，
则，
，
由于，
则，即，
因此．
23．若实数x，y满足．
（1）求x，y之间的数量关系；
（2）求的值．
【答案】（1）解：．
∴．
∴①
同理得：②
①＋②得：，∴．
（2）解：把代入①，得，∴．
则
．
【解析】【分析】（1）先求出，再利用二次根式有理化的计算方法可得，再求出，最后相加并化简可得；
（2）将代入，求出，再将其代入计算即可.
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