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第二十章 勾股定理 单元综合强化提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下列线段长为边，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，5 B．2，3，4 C．3， ，4 D．2，4，5
2．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（　　）
A．三角形的三边长满足关系a+b=c
B．三角形的三边长之比为2：3：4
C．三角形的三边长分别为5、12、13
D．三角形的一边长等于另一边长的一半
3．如图，在中，，点D为的中点，，则边为（ ）
A． B．9 C．8 D．6
4．如图，已知在Rt ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点AE= AB，AF= AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（　　）
A．S1+S3=2S2 B．S1+S3=4 S2
C．S1=S3=S2 D．S2= (S1+S3)
5．如图，四边形的对角线和相交于点E．若，且，，，则的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．如图，棱长为1的正方体，一只蚂蚁从A顶点出发沿着正方体的外表面爬到相对最远的顶点B的最短路程是（　　）
A．3 B．2 C． D．1+
7．在中，，，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．在△ABC中，AB＝AC＝5，P是BC上异于B，C的一点，则AP2+BP PC的值是（　　）
A．15 B．25 C．30 D．20
10．如图，OP=1，过点P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1= ；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2= ；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2……依此法继续作下去，得OP2017=（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，长方体的长为，宽为，高为，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，则它需要爬行的最短路程为　 　．
12．一直角三角形的边长分别为，若，，那么的值是　 　.
13．如图，在 中， ， ， 为边 的中点，若 ，则 的长度为　 　.
14．如图，在中，，点A，B在数轴上对应的数分别为1，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则点D对应的数是　 　.
15．如图，△ABC中，AB=BC，AD⊥AB，垂足为D，已知AB=10，BC=16，则AD的长为　 　．
16．如图所示，∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM＝11，ON＝6.点P、Q分别是OA、OB上动点，则MQ+PQ+NP的最小值是 　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图， 中， 于D．求 及 的长．
18．如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．
19．已知实数、、满足．
（1）求、、的值；
（2）判断以、、为边能否构成三角形？若能构成三角形，判别此三角形的形状，并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
20．在数学活动课上，同学们用边长为，的两个正方形，（如图1）进行摆放，其中．现有两种摆放方式：方式一，如图2，将正方形放在正方形内部；方式二，如图3，将正方形，并列放置在边长为的正方形内部．若记图1中正方形，的面积之和为，记图2，图3中阴影部分的面积分别为，，解答下列问题：
（1）用，的代数式表示；
（2）若的三边长分别为，，．试猜想是哪一类三角形，并证明你的猜想；
（3）已知直角三角形的两边长为，，且，为整数，当时，求直角三角形第三边的长．
21．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图1），进行了如下操作：
①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离为1.5米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离的长为8米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如图2，小明想让风筝沿方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？
22．如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，P为线段AD上一动点（点P不与点A，D重合），以PB为边在PB的下方作等边三角形PBQ，连接CQ.
（1）求证：AP=CQ；
（2）如题图2，M，N为直线CQ上两点，且BM=BN，△BMN的周长为16，CD=4，求MN的长.
23．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE，使∠DAE=90°，连结CE.
（1）探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD.
（2）应用：在探究的条件下，若AB= ，CD=1，则△DCE的周长为　 　.
（3）拓展：①如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为　 　.
②如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为　 　.
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第二十章 勾股定理 单元综合强化提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下列线段长为边，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，5 B．2，3，4 C．3， ，4 D．2，4，5
【答案】C
【解析】【解答】A、22+32=13≠52，不能构成直角三角形，故本选项错误；
B、22+32=13≠42，不能构成直角三角形，故本选项错误；
C、32+（ ）2=16=42，能构成直角三角形，故本选项正确；
D、22+42=20≠52，不能构成直角三角形，故本选项错误；
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形中两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。
2．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（　　）
A．三角形的三边长满足关系a+b=c
B．三角形的三边长之比为2：3：4
C．三角形的三边长分别为5、12、13
D．三角形的一边长等于另一边长的一半
【答案】C
【解析】【解答】A．三角形的三边长满足关系 a+b=c，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B．设三角形的三边长分别为2x、3x、4x， (2x)2+(3x)2≠(4x)2，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵52+122=132，∴此三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
D．由三角形的一边长等于另一边长的一半无法判断三角形的形状，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理，对各项进行逐一判断即可。
3．如图，在中，，点D为的中点，，则边为（ ）
A． B．9 C．8 D．6
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，点D为的中点，，
∴，
由勾股定理得，，
故答案为：D．
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质求出AB的长，再利用勾股定理求出AC的长即可.
4．如图，已知在Rt ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点AE= AB，AF= AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（　　）
A．S1+S3=2S2 B．S1+S3=4 S2
C．S1=S3=S2 D．S2= (S1+S3)
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AE= AB，AF= AC，
∴BE=2AE，CF=2AF，
∴S1+S3= =
∵AE2+AF2=EF2，
∴S2= = ，
∴S1+S3=4S2.
故答案为：B.
【分析】由勾股定理可知AE2+AF2=EF2，利用已知和半圆面积公式即可得到S1+S3= ，S2= ，即可求出S1+S3=4S2.
5．如图，四边形的对角线和相交于点E．若，且，，，则的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】【解答】过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F（如图），
由题可知：∠F=∠BHC=90°，
∵∠ABC=∠ACD=90°，
∴∠F=∠ABC，
∵∠ACB+∠BAC=∠ACB+∠DCF=90°，
∴∠DCF=∠BAC，
在△CDF和△ACB中
，
∴△CDF≌△ACB（AAS），
∴DF=BC，CF=AB，
∵AB=3，BD=15，
∴CF=3，
设DF=BC=x，则BF=x+3，
在Rt△BDF中，BF2+DF2=BD2，
∴（x+3）2+x2=152，
解得：x1=9，x2=-12（舍），
∴DF=BC=9，
故答案为：C.
【分析】过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，先证出△CDF≌△ACB（AAS），可得DF=BC，CF=AB，再设DF=BC=x，则BF=x+3，利用勾股定理可得（x+3）2+x2=152，再求出x的值即可。
6．如图，棱长为1的正方体，一只蚂蚁从A顶点出发沿着正方体的外表面爬到相对最远的顶点B的最短路程是（　　）
A．3 B．2 C． D．1+
【答案】C
【解析】【解答】解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线．
AB==．
故选C．
【分析】要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
7．在中，，，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴AB=2BC，
∴BC2+AC2=AB2=（2BC）2，
∴AC=BC=，
∴AB=2BC=；
故答案为：D.
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得AB=2BC，再利用勾股定理求出BC的长，从而得出AB的长.
8．如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】【解答】解：设PC=x，
在Rt △ PCA中，PA2=x2+22=x2+4，
在Rt △ PCB中，PB2=x2+42=x2+16，
∴PB2-PA2=x2+16-(x2+4)=12。
故答案为：D。
【分析】设PC=x，首先根据勾股定理分别求出PA2和PB2，然后再求出它们的差即可。
9．在△ABC中，AB＝AC＝5，P是BC上异于B，C的一点，则AP2+BP PC的值是（　　）
A．15 B．25 C．30 D．20
【答案】B
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝5，∠ADP＝∠ADB＝90°，
∴BD＝CD，PA2＝PD2+AD2，AD2+BD2＝AB2，
∴AP2+PB PC＝AP2+（BD+PD）（CD﹣PD）
＝AP2+（BD+PD）（BD﹣PD）
＝AP2+BD2﹣PD2＝AP2﹣PD2+BD2
＝AD2+BD2＝AB2＝25．
故答案为：B．
【分析】首先过点A作AD⊥BC于D，可得∠ADP＝∠ADB＝90°，又由AB＝AC，根据三线合一的性质，可得BD＝CD，由勾股定理可得PA2＝PD2+AD2，AD2+BD2＝AB2，然后由AP2+PB PC＝AP2+（BD+PD）（CD﹣PD），即可求得答案．
10．如图，OP=1，过点P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1= ；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2= ；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2……依此法继续作下去，得OP2017=（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：OP1= ，OP2= ， ……，∴OP2017= .
故答案为：D.
【分析】本题考查的是勾股定理，依次求出OP的长，找出规律即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，长方体的长为，宽为，高为，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，则它需要爬行的最短路程为　 　．
【答案】
【解析】【解答】根据题意，长方体的长为，宽为，高为，
故有两种展开图．
第一种展开图中，；
第一种展开图中，；
∵，
∴它需要爬行的最短路程为，
，
故答案为：．
【分析】
将长方体沿着宽度和高度展开，这样点A和点B之间的路径就变成了一个直角三角形的斜边，然后根据勾股定理求解即可。
12．一直角三角形的边长分别为，若，，那么的值是　 　.
【答案】5或
【解析】【解答】解：①若和为两直角边，则；
②若和为一直角边一斜边，则
故答案为：5或.
【分析】根据已知条件可得a=3，b=4，分①a和b为两直角边；②a和b为一直角边一斜边，利用勾股定理就可求出c的值.
13．如图，在 中， ， ， 为边 的中点，若 ，则 的长度为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：延长AD到E，使得AD=DE，如图，
∵ 为边 的中点，
∴BD=CD
在△ADB和△EDC中，
∴△ADB≌△EDC
∴
∴
∴
∴
过点E作 于H
在 中，
∴
在 中， ，
∴
∴
故答案为： .
【分析】延长AD到E，使得AD=DE，由题意用边角边可证△ADB≌△EDC，于是∠B=∠DCE，CE=AB，则AB∥CE，由平行线的性质可求得∠ACE的度数，过点E作EH⊥AC于H，在Rt△EHC中，用勾股定理求得CH=EH的值，在Rt△AEH中，用勾股定理求得AH的值，然后由线段的构成AC=AH+HC可求解.
14．如图，在中，，点A，B在数轴上对应的数分别为1，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则点D对应的数是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∵以A为圆心，以为半径画弧，
∴，
∴点D表示的实数是.
故答案为：.
【分析】利用勾股定理可得AC的值，由题意可得AD=AC，进而可得点D表示的数.
15．如图，△ABC中，AB=BC，AD⊥AB，垂足为D，已知AB=10，BC=16，则AD的长为　 　．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=BC，AD⊥AB，AB=10，BC=16，
∴BD=DC=8，
∴在Rt△ABD中，
AD= = =6．
故答案为：6．
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出BD的长，再利用勾股定理得出AD的长．
16．如图所示，∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM＝11，ON＝6.点P、Q分别是OA、OB上动点，则MQ+PQ+NP的最小值是 　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：如图，作点N关于 的对称点 ，则 ，作点M关于 的对称点 ，则 ，
，
当 在同一条直线上时取最小值，连接 ，过点 作 交 的反向延长线于点E，
，
则 ，
，
，
在 中，
在 中， ，
故答案为： .
【分析】作点N关于OA的对称点N′，作点M关于OB的对称点M′，由两点之间，线段最短的性质得：当N′、P、Q、M′在同一条直线上时取最小值，连接ON′，OM′，过点N′作N′E⊥OM′交OM′的反向延长线于点E，得∠N′OA=20°，∠BOM′=∠BOA=50°，∠N′OM′=120°，∠EON′=60°，∠EN′O=30°，然后求出EO的值，由勾股定理可得EN′，然后求出EM′，最后在Rt△EM′N′中，运用勾股定理求解即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图， 中， 于D．求 及 的长．
【答案】解： ，垂足为D，
．
在 中， ， ，
，
∴ ，
∴ ，
，
．
在 中， ．
【解析】【分析】根据垂直的定义得出，利用三角形内角和求出∠CAB=30°，利用含30°角的直角三角形的性质得出，由勾股定理求出AD=3，先求出CD=BC-BD=11，再利用勾股定理求出AC的长即可.
18．如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．
【答案】解：连接FC，
∵△ABC和△AEF为等边三角形，
∴AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF=60°﹣∠CAE，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF，
∴CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，
∴EF=3，CE=5，
∴CE2=EF2+CF2，
∴∠CFE=90°
∵∠AFE=60°，
∴∠AFC=90°+60°=150°，
∴∠AEB=∠AFC=150°
【解析】【分析】连接FC，根据等边三角形的性质得出AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，∠BAC=∠EAF=60°，求出∠BAE=∠CAF，证出△BAE≌△CAF，推出CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，求出CE2=EF2+CF2，推出∠CFE=90°即可求得．
19．已知实数、、满足．
（1）求、、的值；
（2）判断以、、为边能否构成三角形？若能构成三角形，判别此三角形的形状，并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：原式化为：．
，，，解得：，，；
（2）解：，，
以、、为边构成的三角形是直角三角形．
三角形的面积是：．
【解析】【分析】（1）根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性即可求出、、的值；
（2）运用勾股定理逆定理进行判断三角形是直角三角形，代入三角形面积公式，计算求解即可．
20．在数学活动课上，同学们用边长为，的两个正方形，（如图1）进行摆放，其中．现有两种摆放方式：方式一，如图2，将正方形放在正方形内部；方式二，如图3，将正方形，并列放置在边长为的正方形内部．若记图1中正方形，的面积之和为，记图2，图3中阴影部分的面积分别为，，解答下列问题：
（1）用，的代数式表示；
（2）若的三边长分别为，，．试猜想是哪一类三角形，并证明你的猜想；
（3）已知直角三角形的两边长为，，且，为整数，当时，求直角三角形第三边的长．
【答案】（1）解：
（2）答：猜想为直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：据题意得，，
因为为大于0小于5的整数，且，
所以，，
①当，为直角边时，第三边为，
②当为斜边时，第三边为．
【解析】【分析】
（1）利用割补法即可，即阴影部分面积等于大正方形面积减去正方形A、B面积的和；
（2）先分别用含的整式表示出a、b、c，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可；
（3）先根据题意求出满足条件的m、n的正整数解，再分类讨论，即，都为直角边或为斜边时， 再根据勾股定理分别求出第三边的长即可．
（1）解：
（2）解：猜想为直角三角形．
∵，，，
∴，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：据题意得，，，
据题意得为大于0小于5的整数，且，
所以，，
①当，为直角边时，第三边为，
②当为斜边时，第三边为．
21．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图1），进行了如下操作：
①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离为1.5米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离的长为8米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如图2，小明想让风筝沿方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
答：风筝的垂直高度为.
（2）解：由题意得，，
∴，
在中，，
∴，
答：他应该往回收线．
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出CD的长，再利用线段的和差求出CE的长即可；
（2）先利用线段的和差求出DM的长，再利用勾股定理求出BM的长，最后利用线段的和差求出答案即可.
22．如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，P为线段AD上一动点（点P不与点A，D重合），以PB为边在PB的下方作等边三角形PBQ，连接CQ.
（1）求证：AP=CQ；
（2）如题图2，M，N为直线CQ上两点，且BM=BN，△BMN的周长为16，CD=4，求MN的长.
【答案】（1）证明：与为等边三角形，
，，.
，即
.
.
（2）解：如图，过点B作于点E.
为等边三角形，AD为BC边上的高，
，.
，
.
.
，，
.
其他解法：
（设法一：设，则，
在中，，
即，
解得.
.
.
（设法二：设，则，
在中，，
即，
解得.
.
（设法三：设，，
则
得
.
.
【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质得到，，，再利用角度的和差运算根据SAS证明，即可解答；
（2）如图，过点B作于点E，由等边三角形的性质得到，，再由（1）中可得到BE=4，再根据等腰三角形三线合一的性质得到；设，得到MN=2x，BM=8-x，利用勾股定理建立方程求出x的值，即可得到MN的值；由此即可解答(需要注意的是不同的未知数设法，建立的等量关系不一样，但所得的结果相同，计算正确即可).
23．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE，使∠DAE=90°，连结CE.
（1）探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD.
（2）应用：在探究的条件下，若AB= ，CD=1，则△DCE的周长为　 　.
（3）拓展：①如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为　 　.
②如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为　 　.
【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE．
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE．
∴BD=CE．
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD．
（2）
（3）BC= CD-CE；BC= CE-CD
【解析】【解答】（2）应用：在Rt△ABC中，AB=AC= ，
∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=2，
∵CD=1，
∴BD=BC-CD=1，
由探究知，△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=45°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△BCE中，CD=1，CE=BD=1，
根据勾股定理得，DE= ，
∴△DCE的周长为CD+CE+DE=2+
故答案为：2+ .（3）拓展：①同探究的方法得，△ABD≌△ACE．
∴BD=CE
∴BC=CD-BD=CD-CE，
故答案为BC=CD-CE；
②同探究的方法得，△ABD≌△ACE．
∴BD=CE
∴BC=BD-CD=CE-CD，
故答案为：BC=CE-CD．
【分析】（1）由∠BAC=∠DAE=90°，易知∠BAD=∠CAE，根据SAS可证明△ABD≌△ACE，则BD=CE，根据线段间的等量代换证得BC=CE+CD。（2）在Rt△ABC中，先计算出BC，然后求得BD，在Rt△BCE中，再运用勾股定理求得DE，最后求出△DCE的周长。拓展：①同探究的方法得出△ABD≌△ACE，利用全等三角形性质可得BD=CE，进而得出BC= CD-CE。②同探究的方法得，△ABD≌△ACE，可得BD=CE，进而得出结论BC= CE-CD。
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