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整式的乘除 单元综合能力测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．计算的结果是（　　）
A．-6a3b3 B．6a2b3 C．6a3b3 D．-6a2b3
2．在电影《哪吒之魔童降世》中，哪吒的混天绫由一种神奇的纤维制成．科学家研究发现，这种纤维的直径仅有0.000012米．请用科学记数法表示这个直径的正确选项是（　　）
A．1.2×10﹣5 B．1.2×10﹣6 C．0.12×10﹣4 D．120×10﹣7
3．若x2+kx+81是完全平方式，则k的值应是（　　）
A．16 B．18 C．﹣18 D．18或﹣18
4．下列计算正确的是（　　）
A．n+n＝2n2 B．3n 4n＝12n
C．n6÷n2＝n3 D．（2n）3＝8n3
5．若x2+cx+2=(x+1)(x+2)，则c的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若(ax＋3y)2=4x2＋12xy＋by2，则a、b的值分别为（　　）
A．a=4，b=3 B．a=2，b=3 C．a=4，b=9 D．a=2，b=9
7．下列计算不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．设（3m+2n）=（3m-2n）+P，则P的值是（　　）
A．12mn B．24mn C．6mn D．48mn
9．如果a，b，c，d都是非零实数，且满足，下列结论中，（1）（2）（3），则一定成立的命题个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．若 ， 则 的末位数字是 ( )
A．6 B．7 C．3 D．5
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一个长方形的面积是 ，宽为 ，则这个长方形的长为　 　．
12．计算（﹣2.5）2015×（﹣4）2016÷（﹣10）2015=　 　．
13．对实数a，b定义运算＂＂如下：，计算　 　.
14．若x，y均为实数，，则　 　.
15．计算：　 　．
16．，，若，，请借助下图直观分析，通过计算求得的值为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+
18．
19．某学校准备假期对闲置土地进行规划改造用于学生劳动课程，如图，已知该土地是长为米，宽为米的长方形，学校准备在该处修一条平行四边形小路，小路的底边宽a米，并计划将阴影部分改造为种植区.
（1）用含有a，b的式子分别表示出小路面积和种植区面积；
（2）若，，求此时种植区的面积.
20．配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和美数”．例如，是“和美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“和美数”．
解决问题：
（1）请你再写一个小于的“和美数”______；并判断是否为“和美数”______；
（2）若二次三项式（x是整数）是“和美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______；
探究问题：
（1）已知“和美数”（x，y是整数）的值为0，则的值为______；
（2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“和美数”，试求出符合条件的k值．
拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值是______．
21．在幂的运算中规定：若（且，x，y是正整数），则．
利用上面的结论解答下列问题：
（1）若，求x的值；
（2）若，求x的值．
22．小明遇到下面一个问题：
计算
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
请你根据小明的方法，试着解答以下问题：
（1）
（2）
23．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图是由个长、宽分别为，的长方形和个边长为的正方形拼成的一个大正方形，利用这个图形可以验证一个恒等式，这个恒等式是 ．
（2）请利用图所得的恒等式，解决问题：
①若，，求的值；
②如图，点在线段上，四边形，都是正方形，连接，，．若阴影部分的面积之和为，的面积为，求的长．
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整式的乘除 单元综合能力测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．计算的结果是（　　）
A．-6a3b3 B．6a2b3 C．6a3b3 D．-6a2b3
【答案】A
【解析】【解答】解：2a2b3·(-3a)=-6a3b3.
故答案为：A.
【分析】根据单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"可求解.
2．在电影《哪吒之魔童降世》中，哪吒的混天绫由一种神奇的纤维制成．科学家研究发现，这种纤维的直径仅有0.000012米．请用科学记数法表示这个直径的正确选项是（　　）
A．1.2×10﹣5 B．1.2×10﹣6 C．0.12×10﹣4 D．120×10﹣7
【答案】A
【解析】【解答】解： 0.000012 =1.2×10-5.
故答案为：A。
【分析】根据绝对值小于1的数的科学记数法的规范要求，正确表示出来即可得出答案。
3．若x2+kx+81是完全平方式，则k的值应是（　　）
A．16 B．18 C．﹣18 D．18或﹣18
【答案】D
【解析】【解答】解：∵x2+kx+81是一个完全平方式，
∴这两个数是x和9，
∴kx=±2×9x=±18x，
解得k=±18．
故选D．
【分析】本题是完全平方公式的应用，这里首末两项是x和9这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和9乘积的2倍．
4．下列计算正确的是（　　）
A．n+n＝2n2 B．3n 4n＝12n
C．n6÷n2＝n3 D．（2n）3＝8n3
【答案】D
【解析】【解答】解：A n+n=2n，故A项不符合题意；
B 3n·4n=12n2，故B项不符合题意；
C n6÷n2=n4，故C项不符合题意；
D 故D项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项，单项式乘单项式，单项式除单项式和积的乘法，逐一计算即可求得.
5．若x2+cx+2=(x+1)(x+2)，则c的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵x2+cx+2=(x+1)(x+2) ，
x2+cx+2=x2+3x+2，
比较一次项系数可得c=3.
故答案为：C.
【分析】先根据乘法运算法则将左式展开合并，比较各项系数，即可得出一次项系数c的值.
6．若(ax＋3y)2=4x2＋12xy＋by2，则a、b的值分别为（　　）
A．a=4，b=3 B．a=2，b=3 C．a=4，b=9 D．a=2，b=9
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ (ax＋3y)2=4x2＋12xy＋by2， (ax＋3y)2=a2x2＋6axy＋9y2，
∴4x2＋12xy＋by2=ax2＋6axy＋9y2，
∴6a=12，b=9，
解得a=2，b=9；
故答案为：D.
【分析】利用完全平方公式将等号左边展开，再利用对应系数相等建立方程，即可求解.
7．下列计算不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，故正确，不符合题意；
B、，故正确，不符合题意；
C、，故正确，不符合题意；
D、，故错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式可判断A、B；根据平方差公式可判断C；根据积的乘方、幂的乘方法则以及单项式与单项式的除法法则可判断D.
8．设（3m+2n）=（3m-2n）+P，则P的值是（　　）
A．12mn B．24mn C．6mn D．48mn
【答案】B
【解析】【解答】解：∵（3m+2n）2=9m2+4n2+12mn=9m2+4n2-12mn+24mn=（3m-2n）2+24mn，∴P=24mn．
故选B．
根据完全平方公式展开，求出P值解答即可.
9．如果a，b，c，d都是非零实数，且满足，下列结论中，（1）（2）（3），则一定成立的命题个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：
∴ac= -bd，
∴ab+ cd
= ac· bc+ ad· bd+ ac· ad+ bc· bd
=-bd· bc+ ad· bd+(-bd)· ad+ bc· bd
=0；
∴ac=-bd，
=
∵只有当d =±c或a =±b时，
即只有当d=±c或a=±b时，
∴ad+ bc=0不成立.
综上所述，有2个命题正确.
故答案为：C.
【分析】解题题目条件，利用整式的乘法计算，逐项判断即可解题.
10．若 ， 则 的末位数字是 ( )
A．6 B．7 C．3 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：
=…
∵
由此可知：个位数字每4个一次循环
∴32÷4=8
故232的个位数字为6，因此232+1的个位数字为7.
故选：B.
【分析】先根据平方差公式把A计算出来，再计算2n的个位数字规律，得出：每4个个位数字每4个一次循环，得出232的个位数字为6，故232+1的个位数字为7.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一个长方形的面积是 ，宽为 ，则这个长方形的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意得：（ ）÷a= ，
故答案为：
【分析】根据长方形的面积公式，即可用代数式求出长。
12．计算（﹣2.5）2015×（﹣4）2016÷（﹣10）2015=　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：（﹣2.5）2015×（﹣4）2016÷（﹣10）2015=
=[（﹣2.5）×（﹣4）]2015×（﹣4）÷（﹣10）2015
=102015×（﹣4）÷（﹣102015）
=（﹣4）×（﹣1）
=4，
故答案为：4．
【分析】根据积的乘方法则：先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，将这个法则逆用，再根据同底数幂的除法法则计算即可。
13．对实数a，b定义运算＂＂如下：，计算　 　.
【答案】2
【解析】【解答】解：由题意得：
=2-3÷（-2）-4 = 18÷116 =2
故答案为：2.
【分析】根据定义的运算规则，分别计算h和d的值，再进行除法运算.
14．若x，y均为实数，，则　 　.
【答案】1
【解析】【解答】解：∵，
∴；
又∵，
∴
∴，
∴
故答案为：1.
【分析】根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法法则可得43xy·47xy=(43x)y·(47y)x=2021x+y，由积的乘方法则可得43xy·47xy=(43×47)xy=2021xy，则xy=x+y，给两边同时除以xy即可.
15．计算：　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：，
故答案为：1．
【分析】根据零指数幂求解作答即可，任何非零数的零次幂都等于1.
16．，，若，，请借助下图直观分析，通过计算求得的值为　 　．
【答案】5
【解析】【解答】解：设图形中小正方形边长为n，最中间的正方形边长为m，则大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为：
∵，
∴
∵，，
∴．
故答案为：5．
【分析】假设四角的小正方形的边长为n，中心正方形的边长为m，则m+2n的值恰好是图中最大的正方形的边长，求出其面积即可。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+
【答案】解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+ ，
= （5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+ ，
= （532﹣1）+ ，
= ．
【解析】【分析】本题是平方差公式的应用，把多项式：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+ 转化为 （5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+ = （532﹣1）+ 的形式，然后再利用平方差公式计算 （516 2﹣1）+ = ．
18．
【答案】解：原式= .
【解析】【分析】先转化成同指数幂相乘，再根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘的性质的逆用计算.
19．某学校准备假期对闲置土地进行规划改造用于学生劳动课程，如图，已知该土地是长为米，宽为米的长方形，学校准备在该处修一条平行四边形小路，小路的底边宽a米，并计划将阴影部分改造为种植区.
（1）用含有a，b的式子分别表示出小路面积和种植区面积；
（2）若，，求此时种植区的面积.
【答案】（1）解：如图，
∵小路的底边宽a米，
∴，
∵将小路去掉，剩下的阴影部分会重新组成一个宽为米的长方形，
∴.
∴小路面积和种植区面积分别为，.
（2）解：由（1）得：，
将，，代入得：
.
∴此时种植区的面积为336.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形面积计算公式可计算出，将小路去掉，剩下的阴影部分会重新组成一个长方形，据此可计算出.
（2）将，，代入计算即可.
（1）解：∵小路的底边宽a米，
∴，
∵将小路去掉，剩下的阴影部分会重新组成一个宽为米的长方形，
∴.
（2）解：将，，代入得：
.
20．配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和美数”．例如，是“和美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“和美数”．
解决问题：
（1）请你再写一个小于的“和美数”______；并判断是否为“和美数”______；
（2）若二次三项式（x是整数）是“和美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______；
探究问题：
（1）已知“和美数”（x，y是整数）的值为0，则的值为______；
（2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“和美数”，试求出符合条件的k值．
拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值是______．
【答案】解决问题：（1）或或或或或或（写出一个即可）；是；（2）2；探究问题：（1）（2）；拓展结论：
【解析】【解答】解：解决问题（1）：
∵
∴小于的“和美数”有：或或或或或或（写出一个即可）；
∵，
∴是为“和美数”
故答案为：或或或或或或（写出一个即可）；是；
（2）∵
∴
∴
故答案为：2
探究问题（1）：
∵，
∴
∴
故答案为：
（2）∵，
∴要使S为“和美数”，
则
拓展结论：∵，
∴
∴
∵
∴
∴的最小值是
故答案为：.
【分析】（1）根据题设中，给定的信息，结合，得到是为“和美数”，即可求解；
（2）由，由此得到m和n的值，探究问题（1）根据，即可求解；
（2）根据，即可求解；拓展结论：根据题意可得，即可求解；
21．在幂的运算中规定：若（且，x，y是正整数），则．
利用上面的结论解答下列问题：
（1）若，求x的值；
（2）若，求x的值．
【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，∴．
，
∴，
解得．
【解析】【分析】（1）根据幂的乘方的法则，化简变形为，得到，求得x的值，即可得到答案；
（2）根据同底数幂的乘法法则，化简变形为，得到，求得x的值，即可得到答案；
（1）解：∵，
∴，
∴，
解得；
（2）∵，
∴．
，
∴，
解得．
22．小明遇到下面一个问题：
计算
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
请你根据小明的方法，试着解答以下问题：
（1）
（2）
【答案】（1）解： 原式：
（2）解： 原式
【解析】【分析】(1)乘以(2-1)原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；
(2)乘以原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果.
23．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图是由个长、宽分别为，的长方形和个边长为的正方形拼成的一个大正方形，利用这个图形可以验证一个恒等式，这个恒等式是 ．
（2）请利用图所得的恒等式，解决问题：
①若，，求的值；
②如图，点在线段上，四边形，都是正方形，连接，，．若阴影部分的面积之和为，的面积为，求的长．
【答案】（1）
（2）解：①解：已知，，
，
，
．
答：．
②解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则，
阴影部分的面积之和为，
，
，
的面积为，
，
，
，
，
，
，
故．
答：．
【解析】【解答】（1）解：大正方形边长为，
大正方形面积可表示为，
个长方形的长、宽分别为、，小正方形的边长为，
大正方形面积可表示为，
．
答：．
【分析】（1）根据长方形面积，结合割补法建立代数式即可求出答案.
（2）①根据完全平方公式化简计算即可求出答案.
②设正方形的边长为，正方形的边长为，则，根据阴影部分面积建立方程，结合完全平方公式即可求出答案.
（1）解：大正方形边长为，
大正方形面积可表示为，
个长方形的长、宽分别为、，小正方形的边长为，
大正方形面积可表示为，
．
答：．
（2）①解：已知，，
，
，
．
答：．
②解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则，
阴影部分的面积之和为，
，
，
的面积为，
，
，
，
，
，
，
故．
答：．
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