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第七章 相交线与平行线
7.3 定义，命题，定理
（第二课时）
学习目标
1. 理解定理及证明的概念；
2. 知道证明的意义及必要性，了解反例的作用。
新知导入
问题1 上节课我们认识了真，假命题，请你举出一些我们学过的真命题的例子。
有公共端点的两条射线组成的图形叫作角.
两点之间，线段最短.
同角(等角)的补角相等.
问题2 上述真命题，它们有什么差别呢
有公共端点的两条射线组成的图形叫作角.
两点之间，线段最短.
同角(等角)的补角相等.
定义
基本事实
？
新知导入
探究新知
在前面，我们学过一些图形的性质，它们都是真命题.其中有些命题是基本事实，比如：
两点确定一条直线；
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
还有一些命题，比如：
对顶角相等；
内错角相等，两直线平行；
正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.
探究新知
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，
这个推理过程叫做证明.
我们以证明命题：“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明什么是证明.
(1)这个命题是真命题还是假命题？
(2)请将这个命题所叙述的内容用图形表示出来.
(3)写出这个命题的题设和结论，并用几何语言表述.
真命题
已知：如图，直线⊥, ∥ ,
求证：⊥.
例题精讲
证明命题：
在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么
它也垂直于另一条.
已知：如图，直线⊥, ∥ ,
求证：⊥.
题设
结论
例1. 已知：如图，直线求证：
证明：∵（已知），
∴°（垂直的定义），
∵∥（已知），
∴=（两直线平行，同位角相等）.
∴°（等式的基本事实）.
∴（垂直的定义）.
证明的每一步推理都要有依据，不能‘’想当然‘’. 这些依据可以是已知条件、也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
例题精讲
探究新知
①分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图
形，并在图形上标出有关字母与符号；
②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；
③经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程.
证明的一般步骤：
探究新知
思考：如何判定一个命题是假命题？
例如，要判定命题 “相等的角是对顶角” 是错误的， 可以举出如下反例：
举反例
在图中，是的平分线， ， 但它们不是对顶角．
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
1
2
巩固练习
1. 在下面的括号内，填上推理的依据.
如图， +=°，求证： +=°.
证明： ∵+=°，
∴∥（______________________），
∴+=°（______________________）.
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
巩固练习
2. 命题“同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例.
解：不正确.
如图，和是同位角， 但它们不相等．
课堂小结
命题
定义
结构
分类
题设
结论
真命题
假命题
对数学对象的清晰、明确的描述称为数学对象的定义.
已知事项
由已知事项推出的事项
形式
如果……那么……
定理
举反例
证明
拓展提升
1. 完成下面的证明.
⑴ 如图，AB∥CD，BC∥ED.
求证∠B+∠D=180°.
证明：∵AB∥CD，
∴∠B= ( )，
∵BC∥ED，
∴∠C+∠D=180°( ).
∴∠B+∠D=180°.
∠C
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
⑵. 已知:如图,∠1和∠2互为补角,∠A=∠D.
求证:AB∥CD.
证明:∵∠1与∠CGD是对顶角,
∴∠1=∠CGD(　　　　　 ).
又∵∠1与∠2互为补角(已知),
∴∠CGD与∠2互为补角,
∴AE∥FD(　　　　　　　　　　　　),
∴∠A=∠BFD(　　　　　　　　　　 ).
∵∠A=∠D(已知),
∴∠BFD=∠D(　　　　 ),
∴AB∥CD(　　　　　　　　　　 ).
对顶角相等
同旁内角互补,两直线平行
两直线平行,同位角相等
等量代换
内错角相等,两直线平行
5. 已知:如图,∠1和∠2互为补角,∠A=∠D.
求证:AB∥CD.
证明:∵∠1与∠CGD是对顶角,
∴∠1=∠CGD(　　　　　 ).
又∵∠1与∠2互为补角(已知),
∴∠CGD与∠2互为补角,
∴AE∥FD(　　　　　　　　　　　　),
∴∠A=∠BFD(　　　　　　　　　　 ).
∵∠A=∠D(已知),
∴∠BFD=∠D(　　　　 ),
∴AB∥CD(　　　　　　　　　　 ).
对顶角相等
同旁内角互补,两直线平行
两直线平行,同位角相等
等量代换
内错角相等,两直线平行
拓展提升
2.如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，
交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP.
求证：PG∥HQ.
证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)．
又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，
∴∠GPQ＝ ∠BPQ,∠HQP＝ ∠CQP(角平分线的定义)，
∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，
∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．
A
B
C
D
M
N
P
Q
H
G
谢谢观看！

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