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广西钦州市第十三中学2026年春季学期高二年级第三周考试数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。四答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ）
A．10种 B．种 C．种 D．45种
2．袋子中有3个除颜色外完全一致的球，分别为红色、黄色、蓝色，小明从袋中有放回地随机摸球4次，则3种颜色的球都被摸出来的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（ ）
A．120种B．240种C．480种 D．600种
4．甲 乙 丙等7名同学参加演讲比赛，决出特等奖1名 一等奖1名 二等奖2名 三等奖3名.比赛结束后，甲说：“我和乙均获三等奖，”乙说：“我获三等奖，”丙说：“我和乙至少有1人获三等奖，”已知这3人中仅有1人说谎，则这7人获奖情况的种数为（ ）
A．60 B．90 C．120 D．180
5．某学校组织同学们假期参加社区服务活动，4名同学被分配到甲、乙两个社区，每个社区至少一名同学，不同的分配方案有（ ）
A．6种 B．12种 C．14种 D．28种
6．有6位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排3人，若后排每位同学比他正前面的同学身高高，则不同的站法种数为（ ）
A．90 B．120 C．270 D．720
7．将一些相同的小球放入一排盒子中，每个盒子中至多放一个小球.若要放三个小球且装有小球的盒子互不相邻的方案数为x，若要放四个小球且装有小球的盒子互不相邻的方案数为y，若，则这一排盒子的总个数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
8．某学校派5名同学参加“市长杯”足球比赛中4个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为（ ）
A．180 B．240 C．320 D．360
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）
9．将7个小球放入3个盒子中，结合小球的相同与不同属性、盒子的相同与不同特征，以及不同的放置限制条件，下列说法正确的有（ ）
A．若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15
B．若小球相同、盒子不同，且允许有空盒子，则不同的放法种数为21
C．若小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为301
D．若小球相同、盒子不同，且恰有1个盒子放2个球，其余盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15
10．午子山景区，又称“午子山风景名胜区”，简称“午子山”，亦名“武子山”或“母子山”，是国家AAAA级旅游景区，位于陕西省汉中市西乡县堰口镇堰口社区，总面积约27平方千米，始建于西汉．午子山景区是集自然山水风光、珍稀植物、茶园、果园、田园风光、堰上古镇、宗教文化活动等于一体的旅游风景名胜区，为道教活动圣地和陕南道教活动中心，素有“汉南胜景区、陕南小华山、陕南小武当”之美称，是观光旅游、宗教朝拜的圣地．为更好地提升旅游品质，午子山景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．判断下列说法正确的是（ ）
A． B．工作人员所选取的100人中在的人数为3人
C．工作人员采用按分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，则在中抽取2人，在中抽取4人
D．按分层抽样的方法从评分在的两组中抽取的6人中再抽两人，则选取的2人评分分别在和内各1人的概率为
11．下面正确的是（ ）
A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法；
B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法；
C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法；
D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法．
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种．
13．在如图所示的九宫格中，每个格子用1，2，3，4，5，6中的一个数字填入，要求1用两次，2用三次，其余数字各用一次，且当两个1在同一行或同一列时均不相邻，则不同的填法共有______种.
14．如图，在的平行四边形中，，为一条对角的两个顶点．一个动点从出发按照以下规则运动到点：动点沿着图中箭头方向（往右或往上）移动，每次移动一步（一步或是图中最小平行四边形的两条邻边之一，或是最小平行四边形的对角线），到达最小四边形的一个顶点．则动点从移动到点有_____种不同的移动方法．
四、解答题（共5小题，共77分）
15．有4名男生，5名女生．
(1)从中选5名代表，要求男生2名，女生3名，且某女生必须在内，有多少种选法？
(2)从中选5名代表，要求男生不少于2名，有多少种选法？
(3)分成甲、乙、丙三组，每组3人，有多少种分法？
16．解方程式：.
17．某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个，从其中任取10个进行检验，那么（各题列出算式即可，不必计算最后结果）
(1)一共有多少种抽取结果？
(2)全部抽到一等品的结果有多少种？
(3)抽不到一等品的结果有多少种？
(4)恰抽到5个一等品的结果有多少种？
(5)恰抽到1个一等品、2个二等品的结果有多少种？
(6)至少抽到1个一等品的结果有多少种？
18．某国际会议中心有A、B、C、D、E等5种不同功能的会议室，且每种功能的会议室又有大、中、小和特小等4种型号，总共20个会议室.现在有一个国际学术会议需要选择3种不同功能的6个会议室，并且每种功能的会议室选2个型号.试问会议中心的工作人员有多少种安排会议室的方法？
19．对整数，在一个棱长均为1的正棱柱的所有条棱中，随机选取两条不同的棱，将事件“所在直线与所在直线平行”发生的概率记为．是否存在两个不同的正整数满足？证明你的结论．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D C C A B B AC ACD
题号 11
答案 AC
12．145 13．20160 14．
15．（1）选2名男生，有种选法；选3名女生，且某女生必须在内，有种选法．
所以符合条件的不同选法有（种）．
（2）方法一（直接法）：符合条件的选法有三类：
第1类，2名男生，3名女生的选法有种；
第2类，3名男生，2名女生的选法有种；
第3类，4名男生，1名女生的选法有种；
所以男生不少于2名的不同选法有（种）．
方法二（排除法）：
因为从9名学生中，选5名代表的选法共有种，其中包括1男4女和5女0男两种不符合条件的情况，所以男生不少于2名的不同选法有105（种）．
故共有105种不同的选法．
（3）先安排甲组有种分法，再安排乙组有种分法，余下的学生为丙组有种分法．
所以符合条件的不同分法有（种）．
故共有1680种不同分法．
16．由原方程及组合数性质可得，或，解得或.
而当时，，不符合组合数定义，故舍去.
因此.
17．（1）这批产品一共有（个），从其中任取10个进行检验，共有种抽取结果.
（2）这批产品中有一等品100个，取出10个一等品，共有种抽取结果.
（3）抽不到一等品，相当于从二等品和三等品中抽取10个进行检验.
而二等品和三等品共有（个），所以抽不到一等品的抽取结果共有种.
（4）恰抽取5个一等品，剩下的5个产品从二等品和三等品中抽取.
分步计数：先抽取5个一等品，再抽取5个非一等品.
根据分步乘法计数原理，一共有种抽取结果.
（5）恰抽到1个一等品，2个二等品，剩下的7个产品从三等品中抽取.
分步计数：先抽取1个一等品，再抽取2个二等品，最后抽取7个三等品.
根据分步乘法计数原理，一共有种抽取结果.
（6）“抽取的10个产品中，至少有一个一等品”是“没有抽到一等品”的反面，
因此，用所有的抽取结果数减去没有抽到一等品的结果数即可.
所以至少抽到一个一等品的结果共有种.
18．从5种不同的会议室选三种有种方法，再从每种会议室里分别选出两个型号的会议室有种方法，
所以有种不同的安排方法.
19．在正棱柱的所有条棱中选取两条棱的方法数为．
现考虑的选法，显然均为侧棱或均为底面上的棱．
若均为侧棱，则所有种选法都满足要求．
若均为底面上的棱，注意到正棱柱的两个底面都是正边形，且对应边平行，可按的奇偶性讨论如下：
当为奇数时，正边形没有平行边，故当且仅当选自两个底面的对应边，有种选法．相应可知
当为偶数时，正边形恰有组对边平行，故两个底面的条边可按平行关系分为组，每组4条，则有种选法．相应可知
假设存在两个不同的正整数满足．
若都是奇数，则，化简得，矛盾．
若都是偶数，则，化简得，矛盾．
若一奇一偶，不妨设，则
，化简得，矛盾．
综上，不存在正整数满足要求．

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