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(共10张PPT)
第五章 分式与分式方程
单元复习1 分式的概念与混合运算
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
1. 下列各式：，，，，， ，其中分式有( )
B
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2. 对于分式 ，下列说法错误的是( )
D
A.不论 取何值，分式都有意义 B.分式的值大于0
C.不论取何值，分式的值都不为0 D.当或 时，分式无意义
3. 下列计算错误的是( )
C
A. B.
C. D.
4. [2025漳州期末]下列分式中，最简分式的是( )
B
A. B. C. D.
5. 下列约分正确的是( )
D
A. B. C. D.
6. 下列各式从左到右的变形正确的是( )
D
A. B.
C. D.
7. [2025辽宁模拟]若分式有意义，则 的取值范围为( )
C
A. B.
C.或 D.或且
8. 按一定规律排列的分式：-，，，，， ，则第
个分式是( )
B
A. B. C. D.
9. 要使式子有意义，则实数 的取值范围为________________.
且
10. 不改变分式的值，把分式 的分子和分母各项的系数都化为
整数得_______.
11. [2025漳州模拟]若分式的值为0，则 等于___.
12. 若，那么 的值为____.
13. [2025福州模拟]已知非零实数，满足，则 的值等于
___.
1
2
14. 计算：
（1） ；
解：原式
；
（2）[2025宁德期末] .
解：原式
.
15. 若代数式的化简结果为，求整式 .
解：根据题意，得
.
16. 小王去市场采购同一种商品.第一次采购用了2 400元，第二次采购
用了3 000元，第一次采购时该商品的价格是 元/件，第二次采购时该
商品的价格是 元/件.
（1）求小王两次共采购了多少件该商品；
解：第一次采购该商品的件数为 ，
第二次采购该商品的件数为 ，
小王两次共采购该商品的件数为 （件）；
（2）小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？
解： ，
第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍.(共10张PPT)
第五章 分式与分式方程
专题训练2 实际问题与分式
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
考点1 配套问题
1. 某家具生产车间有30名工人生产家用餐桌和椅子，1张桌子和4把椅子
配成一套.已知一名工人一天可以生产2张桌子或7把椅子.
（1）分别安排多少名工人生产桌子和椅子可使一天生产的桌椅正好配套？
解：设安排名工人生产桌子，则安排 名工人生产椅子，
根据题意，得，解得 .
（名）.
答：安排14名工人生产桌子，16名工人生产椅子可使一天生产的桌椅正
好配套；
（2）今年一套桌椅的成本比去年提高了 ，去年总投入200万元，今
年投入的比去年多10万元，结果生产的桌椅比去年少500套，则今年的
成本是每套多少万元？
解：设去年的成本是每套万元，则今年的成本是每套 万元.
根据题意，得，解得 .
经检验， 是原方程的解，且符合实际意义.
（万元）.
答：今年的成本是每套0.06万元.
考点2 利润问题
2. 某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比
一个乙款篮球的进价多30元.
（1）若商店用6 000元购进甲款篮球的数量是用2 400元购进乙款篮球
的数量的2倍，求每个甲款篮球，每个乙款篮球的进价分别为多少元？
解：设每个乙款篮球的进价为元，则每个甲款篮球的进价为 元.
根据题意，得，解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
.
答：每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元；
（2）若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，
且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利
30元，销售乙款篮球每个获利为20元，购进甲款篮球的数量为多少时，
商店获利最大？
解：设该商店本次购进甲款篮球个，则购进乙款篮球 个.
根据题意，得，解得 .
设商店共获利元，则 .
，随 的增大而增大，
当时， 取得最大值.
答：购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大.
考点3 行程问题
3. （1）甲、乙两船从相距 的A，B两地同时出发相向而行，甲船
从A地顺流航行 时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流速度为
，若甲、乙两船在静水中的速度相同，求两船在静水中的速度；
解：设两船在静水中的速度为 ，
根据题意，得，解得 .
经检验， 是原方程的解，且符合题意.
答：两船在静水中的速度为 ；
（2）已知A，B两港之间的距离为150千米，水流速度为5千米/小时.记某
船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行回到A港，所用的时间为 ；
若该船从A港航行到B港再返回A港均为静水航行，所用时间为 ，请比
较与 的大小，并说明理由.
解： .理由如下：
设轮船在静水中的航行速度为千米/时 ，
根据题意，得， .
，
，即 .
考点4 工程问题
4. 某村计划对总长为 的道路进行改造，安排甲、乙两个工程队.
已知甲队每天能完成的道路长度是乙队每天能完成的2倍，且在独立完
成长为 的道路时，甲队比乙队少用4天.
（1）甲、乙两工程队每天能完成道路的长度分别是多少米？
解：设乙工程队每天能完成道路的长度是 ，
根据题意，得，解得 .
经检验，是原方程的解，且符合题意，则 .
答：甲工程队每天能完成道路的长度是 ，乙工程队每天能完成道
路的长度是 ；
（2）若村委每天需付给甲队的道路改造费用为0.4万元，乙队为0.25万元，
要使这次的道路改造费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
解：设应安排甲队工作 天，
根据题意，得，解得 .
答：至少应安排甲队修建10天.(共12张PPT)
第五章 分式与分式方程
单元复习2 分式方程及应用
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
1. [2025宁德期末]为了更好宣传宁德畲族历史文化，某商店推出多款文
创产品，其中有木质浮雕冰箱贴、畲族 卡通钥匙扣等.已知1个冰箱贴
的售价比1个钥匙扣的售价高20元，用45元购买钥匙扣和105元购买冰箱
贴的数量一样多.若设钥匙扣的单价为 元，则可列方程是( )
A
A. B. C. D.
2. [2025莆田模拟]2024年12月29日莆田成功举办了豆讯·木兰溪杯马拉松
比赛，共有20 000名中外跑友汇聚千年荔城.已知赛程总长约为 ，
其中甲选手的平均速度是乙选手的1.2倍，最终甲选手到达终点的时间比
乙选手提前20分钟，若设乙选手的平均速度是 ，则可列方程为
( )
B
A. B.
C. D.
3. [2025厦门模拟]某学校整修校门口 的道路，但是在实际施工时，
调整了施工进度，设原计划每天整修道路 ，根据等量关系列出方程
，则符合这个方程的是( )
B
A.实际每天比原计划多修 ，结果延期20天完成
B.实际每天比原计划多修 ，结果提前20天完成
C.实际每天比原计划少修 ，结果延期20天完成
D.实际每天比原计划少修 ，结果提前20天完成
4. 某商家计划购进A，B两种品牌的红酒，经调查，用30 000元购买A品
牌红酒的数量是用9 000元购买B品牌红酒数量的3倍，一箱A品牌红酒的
进价比一箱B品牌红酒的进价多20元.
（1）求A，B两种品牌红酒一箱的进价分别为多少元；
解：设一箱B品牌红酒的进价为 元，则一箱A品牌红酒的进价为
元.
根据题意，得，解得 .
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
.
答：一箱A品牌红酒的进价为200元，一箱B品牌红酒的进价为180元；
（2）若该商家购进A，B两种品牌的红酒共210箱进行试销，其中A品牌
红酒的数量不多于B品牌红酒数量的2倍，且不少于100箱，已知A品牌红
酒的售价为320元/箱，B品牌红酒的售价为280元/箱，且全部售出，设购
进A品牌红酒箱.求商家销售这批红酒的利润与 之间的关系式，并写
出利润最大时的进货方案.
解：根据题意，得
.
品牌红酒的数量不多于B品牌红酒数量的2倍，且不少于100箱，
解得 .
在中，， 当时， 最大.
商家购进A品牌红酒140箱，B品牌红酒70箱时，所获利润最大.
5. 甲、乙两地之间的高速公路全长100千米，比原来国道的长度减少了20
千米，高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了40千米/时，从甲
地到乙地的行驶时间缩短了一半，求该长途汽车在高速公路上行驶的速度.
解：设长途汽车原来行驶的速度为 千米/时，则在高速公路上行驶的速
度为 千米/时.
根据题意，得，解得 .
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
则 .
答：该长途汽车在高速公路上行驶的速度为100千米/时.
6. 维修某段公路，现计划由甲、乙两工程队来完成，已知甲、乙两工程
队合作6个月，可完成工程的 ；甲工程队先单独做6个月，剩下的由乙工
程队单独做8个月才能完成.
（1）甲、乙两工程队单独完成此工程各需几个月？
解：甲、乙两队合作的工作效率为 ，设甲单独完成此工程需要
个月，则乙的工作效率为 .
根据题意，得，解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
.
答：甲工程队单独完成此工程需12个月，乙工程队单独完成此工程需16
个月；
（2）已知甲工程队每月费用为20万元，乙工程队每月费用为10万元.现
要求15个月内完工，且施工总费用最低，如果甲、乙两工程队单独施工，
那么甲、乙两工程队各应施工多长时间？
解：设甲工程队施工个月，则乙工程队施工
个月.
根据题意，得，解得 .
设总费用为 万元.
，
其中，随 的增大而增大，
当时， 最小，
当甲工程队施工3个月时，剩下的由乙做需要的费用最低，
乙工程队施工的时长为： .
答：甲工程队施工3个月，乙工程队施工12个月，施工总费用最低.(共12张PPT)
第五章 分式与分式方程
§5.2 分式的运算（3）
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容 理解通分的概念，异分母分式的加减法计算法则.
考点1 通分的认识
1. 【典例】将下列各分式通分：
（1）， ；
解： 最简公分母是 ，
，
.
（2）， .
解：由题意可得最简公分母是
，
，
.
2. 【变式】[2025新安期中]若 ，这个等式恒成立，则
的值是( )
B
A. B.6 C. D.2
考点2 异分母分式的加减法
3. 【典例】计算：
（1） ；
解：原式
；
（2）[2024三明模拟] .
解：原式
.
4. 【变式】计算： .
解：原式
.
◆基础演练
5. 已知 .
（1）化简 ；
解：
；
（2）若，满足，求此时 的值.
解： ，
.
原式 .
◆中档应用
6. 若，， .
（1）当时，计算， 的值；
解：当时，， ；
（2）猜想与 的大小关系，并证明你的猜想.
解：猜想： .证明如下：
.
， .
，
即 .
◆拓展延伸
7. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”.若
，均为非零实数，且分式与 属于“友好分式组”，求分式
的值.
解： .
，均为非零实数，且分式与 属于“友好分式组”，
.
或 ，
即， ，
将①代入，原式 ，
将②代入，原式 ，
的值为或 .(共10张PPT)
第五章 分式与分式方程
§5.3 分式方程（2）
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容 解分式方程，理解分式方程解的情况.
考点1 解分式方程
1. 【典例】若分式与的值相等，则 的值为( )
B
A.7 B. C.5 D.
2. 【变式】已知关于的方程的解是负数，则 的取值范围是
( )
B
A. B.且 C. D.或
考点2 分式方程解的情况
3. 【典例】若关于的分式方程有增根，则 的值是
( )
A
A. B.0 C.3 D.0或3
4. 【变式】[2025安溪期中]已知点， 在数轴上所对应的数分别为
，，无论取何值，，两点都不可能关于原点对称，则 的值
为( )
C
A.6 B.8 C.10 D.12
◆基础演练
5. 解方程：
（1） ；
解：去分母，得 .
解得 .
经检验，当时， .
是原方程的根；
（2）[2025漳州期末] ；
解：去分母，得 .
解得 .
经检验，当时， ，
是原方程的根；
（3） ；
解：去分母，得 .
解得 .
经检验， 是原方程的根.
是原方程的根；
（4） .
解：去分母，得 .
解得 .
经检验， 是增根.
原方程无解.
◆中档应用
6. 现有甲、乙、丙三张正方形卡片，卡片的边长如图1所示 .某同
学将甲和丙卡片的一个直角重叠在一起拼成图2，其阴影部分面积记为
；图3为乙卡片，其面积记为，若时，求 的值.
图1
图2
图3
解：由题意可知，， ，
.
，
，解得 .
经检验， 是原方程的根.
图1
图2
图3
◆拓展延伸
7. 在计算 的值时，大家可以利用裂项
的思想方法，即
.请你利用裂项的思路解分式方程：
.
解：根据题意，得
.
，
原方程化简为 .
去分母，得 .
整理，得 .
解得 .
经检验， 是原方程的根.(共12张PPT)
第五章 分式与分式方程
§5.1 分式及其基本性质（2）
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容 分式的基本性质，分式的化简（约分），理解最简分
式的定义.
考点1 分式的基本性质
1. 【典例】[2024南平期末]下列分式中，化简结果等于 的是( )
A
A. B. C. D.
2. 【变式】[2025晋江期中]对于分式，当， 都扩大到原来的2倍
时，该分式的值( )
C
A.缩小为原来的 B.不变
C.扩大为原来的2倍 D.扩大为原来的4倍
考点2 约分
3. 【典例】下列分式：；；； 中，不能约
分的有( )
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4. 【变式】化简下列分式.
（1） ；
解：原式
；
（2） .
解：原式
.
考点3 最简分式的定义
5. 【典例】[2025宁德期末]下列分式中，是最简分式的是( )
D
A. B. C. D.
6. 【变式】下列分式：；；； 中，是最简
分式的有______（填序号）.
①④
◆基础演练
7. 下列各式从左到右的变形中，正确的是( )
C
A. B. C. D.
8. 要使式子 从左到右变形成立，应满足的条件是( )
A
A. B. C. D.
9. 若要将分式 化成最简分式，则分子分母同时约去公因式_______.
10. 将分式化成最简分式，再求值，其中， .
解：原式 .
当，时，原式 .
11. 约分：
（1） ；
解：原式
；
（2） .
解：原式
.
◆中档应用
12. 若把分式中的，同时扩大5倍，则分式的值也扩大5倍，则“ ”
可以是( )
C
A.5 B. C. D.
13. [2024福清期末]若是一个最简分式，则 可以是( )
C
A. B. C. D.2
14. 根据分式的性质，可以将分式为整数 进行如下变
形：
，其中 为整数.
结论1：依据变形结果可知，的值可以为0；结论2：若使 的值为整数，
则 的值有3个.
以下说法正确的是( )
C
A.1和2都对 B.1和2都不对 C.1不对2对 D.1对2不对
◆拓展延伸
15. 计算： .
解： ，
原式
.(共10张PPT)
第五章 分式与分式方程
§5.3 分式方程（1）
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容 理解分式方程的含义，学会列分式方程.
考点1 分式方程的认识
1. 【典例】[2024雷州期末]下列是分式方程的是( )
D
A. B. C. D.
2. 【变式】[2025永春期中]下列方程：； ；
； ，是分式方程的有( )
D
A.①② B.②③ C.③④ D.②③④
考点2 列分式方程
3. 【典例】[2024莆田期末]兴化府历史文化街一家文创店分三批采购书
签，其中花费200元采购第二批书签，比第一批少30份；花费600元采购
第三批书签，比第一批多50份.依题意可列方程为 ，其中未知
数 表示( )
B
A.书签的单价 B.第一批书签的数量
C.第二批书签的数量 D.第三批书签的数量
4. 【变式】[2025福建模拟]随着无人机技术的发展，无人机表演越来越
受欢迎.在一次无人机表演排练时，A无人机落后B无人机30米，已知B无
人机的飞行速度为3米/秒，若A无人机飞行200米刚好追上B无人机，设A
无人机接下来的飞行速度为 米/秒，则下列方程正确的是( )
A
A. B.
C. D.
◆基础演练
5. 下列方程不是分式方程的是( )
C
A. B.
C. D.
6. 下列关于的方程：；；；
，其中是分式方程的有( )
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7. 小明和爸爸周末进行体育锻炼，已知爸爸绕跑道跑一圈需要60秒，小
明绕跑道跑一圈需要80秒，若小明和爸爸同时从起点同向出发， 秒后爸
爸正好比小明多跑了一圈，则下列等式成立的是( )
B
A. B. C. D.
8. 请写出一个未知数是的分式方程，并且当 时没有意义：______
__.（答案不唯一）
◆中档应用
9. 观察下列分式方程：；； ；
， ，根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的
第 个方程：_ _________________.
10. 某地区2024年吸收外国投资额为6.8亿美元，比上一年减少了 .设
2023年该地区吸收外国投资额为亿美元，请你写出 满足的方程.你能写
出几个方程？其中哪个是分式方程？
解：根据题意得， 满足的方程有：
，，， ，
，
其中， 是分式方程.
◆拓展延伸
11. 某项工作，甲单独做完成的天数为乙、丙合作完成天数的 倍，乙
单独做完成的天数为甲、丙合作完成天数的 倍，丙单独做完成的天数
为甲、乙合作完成天数的倍，求 的值.
解：设甲、乙、丙单独完成分别需天、天、 天，
根据题意，得 ①， ②， ，
由①，得 ，
.
，即 .
同理，由②，得；由③，得 ，
.
故 的值为2.(共8张PPT)
第五章 分式与分式方程
专题训练1 分式的化简求值
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
考点1 直接代入法化简求值
1. 先化简，再求值：，其中 .
解：原式
.
当时，原式 .
2. [2025厦门模拟]先化简，再求值：，其中 .
解：原式
.
当 时，
原式 .
考点2 选择合适的值代入求值
3. 化简：，并从 的范围内选取一
个合适的 的整数值代入求值.
解：原式
.
或1时，原分式无意义， ，
或 ，
当时，原式 ；
当时，原式 .
考点3 整体代入法化简求值
4. 先化简，再求值：，其中 满足
.
解：原式
.
，
.
原式 .
5. 先化简，再求值：，其中 是方程
的根.
解：原式
.
是方程 的根，
.
.
原式 .
考点4 求字母或含字母的式子的值后代入化简求值
6. 先化简，再求值：，其中 是绝对值不大于2的
整数.
解：原式
.
，，，， 是绝对值不大于2的整数，
，，， .
当时，原式 .
解：原式=
(x+1)(x-1)
(x+1)2
-(x-1)
x+1
当x=2时，原式=名
2
2+1
3
解：原式=2)
x2+2x
x+2
1
x(x+2)
(x+1)(x-1)
当x=√2+1时
原式=
V②+1
2
v2
2
解：原式=
2x-(x+2)
,x2-(x+1)(x-1)
(x+2)(x-2)
x-1
2x-x一2
x-1
(x+2)(x-2)
x2-x2+1
x-2
x一1
(x+2)(x-2)
x-1
x+2
:x=士2或1时，原分式无意义，一2≤X≤2，
x=0或-1，
当x=0时，原式=
0一1
0+2
当x=一1时，原式=
-1-1
一1+2
解：原式=
X-2
x一1
x+2
x-2
x-1
(x-2)(x+2)-x(x-1)
x(x+2)
(x+2)2.
X一4
(x+2)(x-4)
x(x+2)(x-4)
2x一4
x(x+2)(x-4)
x(x+2）
x2+2X
x2十2x-1=0,
x2十2x:
原式=1
m-3
(m+2)(m-2)-5
m-3
m-2
解：原式=
3m(m-2)
m-2
3m(m-2）
(m+3)(m-3)
3m(m+3)
3(m2+3m
m是方程x2+3x一10=0的根，
.m2+3m-10=0
.m2+
3m=10
原式=
3×10
30(共8张PPT)
第五章 分式与分式方程
能力提升 含参分式方程解的讨论
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
考点1 无解问题
1. 若关于的分式方程无解，求 的值.
解：方程两边都乘，得 .
整理，得 .
当，即 时，分式方程无解；
当时， ，分式方程无解.
把代入整式方程，得，解得 ，
综上所述，的值为1或 .
2. 已知关于的分式方程无解，求 的值.
解：方程两边都乘，得 .
整理，得 .①
当， ，
即 时，方程①无解，则原方程无解；
当，即 时，
原分式方程无解，
，即或 .
把代入①，得 ；
把代入①，得 ，
综上所述，的值为或3或 .
3. 若关于的分式方程无解，求 的值.
解：去分母，得 .
整理，得 .
当且时，该方程无解，解得 ；
当，则 .
，即 ，
当 时，则原分式方程无解，
解得或 .
综上所述，的值为或5或 .
考点2 根据分式方程解的情况求值
4. 若关于的分式方程有非负数解，求 的取值范围.
解：去分母，得 .
去括号，得 .
移项，得 .
系数化为1，得 .
根据题意，得， .
解得，且 .
5. 若关于的分式方程的解为正数，求 的取值范围.
解：去分母，得 ，
解得 .
方程的解为正数，
，
.
又 ，
，
，
的取值范围为且 .
6. 若关于的分式方程有增根，求 的值.
解：方程两边都乘，得 ，
解得 .
原方程的增根为或 ，
把代入整式方程，得 ，
把代入整式方程，得 ，
的值为 或0.(共12张PPT)
第五章 分式与分式方程
§5.2 分式的运算（4）
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容 进行分式的混合运算、求值，理解分式的实际意义.
考点1 分式的混合运算
1. 【典例】计算：
（1） ；
解：原式
；
（2） .
解：原式
.
2. 【变式】[2025龙岩模拟]化简代数式 ，然后判断它
的值能否等于 .
解：原式
.
若，则 ，
此时 ，即原式无意义，
它的值不能为 .
考点2 分式的实际应用
3. 【典例】某度假村计划修一条 的时光隧道，让甲工程队单独
做需要天完成，让乙工程队单独做需要天完成 .则甲工程
队的工作效率与乙工程队的工作效率之差可表示为_ _____________
（用含， 的式子表示）.
4. 【变式】为了鼓励学生加强锻炼，增强体质，实验中学准备购买一些
健身器材供学生使用.经调查，某厂家有A，B两种健身器材可供选择，
如果购买A种健身器材 套需要2万元，如果购买B种健身器材
套需要12万元 种健身器材的单价为____万元，B种健身器材的
单价为_____万元，一套A种健身器材和一套B种健身器材一共____万元
（用含 的代数式表示）.
◆基础演练
5. [2025河北模拟]小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小
亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“ ”为( )
C
（第5题）
A. B. C.1 D.
6. 计算：
（1） ；
解：原式
；
（2） .
解：原式
.
◆中档应用
7. 甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格
有变化，第一次的价格为元/千克，第二次的价格为元/千克
，是正数，且 .甲每次购买800千克；乙每次用去800元，而不
管购买多少饲料.
（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？
解：甲的平均价格是 （元），乙的平均价格是
（元）；
（2）谁的购买方式平均单价较低？
解：由（1），得 .
，且， ，
.
，即 .
.
乙的购买方式平均单价低.
◆拓展延伸
8. 对于任意的，都有，求 的值.
解： ，
可得解得
.(共10张PPT)
第五章 分式与分式方程
§5.1 分式及其基本性质（1）
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容 分式的定义，分式有意义的条件，分式值为0的条件.
考点1 分式的定义
1. 【典例】[2025晋江期中]下列代数式中，属于分式的是( )
D
A. B. C. D.
2. 【变式】[2025永春期中]下列各式：,,,, 中，是分
式的共有( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点2 分式有意义的条件
3. 【典例】[2025南安期中]当 时，下列分式没有意义的是( )
D
A. B. C. D.
4. 【变式】二次根式有意义，则 的取值范围是________.
考点3 分式值为0的条件
5. 【典例】[2024漳州期末]分式的值为0，则 的值是( )
C
A.0 B. C.2 D.
6. 【变式】当____时，分式 的值为0.
◆基础演练
7. 在 ，，，，，， 中，分式有( )
B
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
8. 下列判断错误的是( )
B
A.代数式 是分式
B.当时，分式 的值为0
C.当时，分式 有意义
D.
9. （1）当________时，分式有意义；当______时，分式 无意义；
（2）若分式有意义，则 的取值范围是______；
（3）若分式有意义，则 的取值范围是__________.
全体实数
10. 当，时， 的值为___.
11. [2024吐鲁番期末]当时，分式无意义，则 的值为___.
2
2
12. 若分式是整数，求所有满足条件的正整数 的值.
解： 分式 是整数，
或或 ，
解得或或2或或0或 .
是正整数，
.
◆中档应用
13. 从整式，4， 中任选两个组成的所有代数式中，属
于分式的有( )
A
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
14. 若分式的值为正数，则 的取值范围是( )
B
A. B.且 C. D.
15. 已知当时，分式无意义；当 时，分式的值为0，求
的值.
解： 当时，分式 无意义，
，解得 .
当 时，分式的值为0，
，解得 ，
.
◆拓展延伸
16. 观察下列分式，探究其规律并填空.
（1）给定分式：，，，，， ，
按此规律，则第 个分式是_ _____________；
（2）一组按一定规律排列的式子：-，，，， ，猜
想第 个式子是
_ ____________.(共12张PPT)
第五章 分式与分式方程
§5.2 分式的运算（1）
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容 分式乘除法的计算法则.
考点1 分式的乘法法则
1. 【典例】计算 的结果是( )
D
A. B. C. D.
2. 【变式】化简分式 的结果为单项式，则“（ ）”上填
的式子可以是( )
B
A. B. C. D.
考点2 分式的除法法则
3. 【典例】计算 的结果是( )
A
A. B. C. D.
4. 【变式】[2025保定模拟]若分式可进行约分化简，则整式
不可以是( )
C
A. B. C. D.
考点3 分式的乘方
5. 【典例】[2025晋江期中]计算 的结果是( )
A
A. B. C. D.
6. 【变式】计算 ____.
◆基础演练
7. 计算：
（1） ；
解：原式
；
（2） ；
解：原式
；
（3） ；
解：原式
；
（4） ；
解：原式
；
（5） ；
解：原式
；
（6） .
解：原式
.
8. 先化简，再求值：，其中 .
解：原式 .
当时，原式 .
◆中档应用
9. 先化简：，并在1， ，0，2四个数中选择一个适合的
数作为 的值代入求值.
解：原式 .
，0， ，
当时， .
◆拓展延伸
10. 如图，“优选1号”水稻试验田是边长为 的正方形去掉一个
边长为 的正方形蓄水池后余下的部分；“优选2号”水稻试验田是边长
为的正方形，两块试验田都收获了 水稻.问：哪块水稻试
验田的单位面积产量更高？
解：根据题意得，“优选1号”水稻的单位
面积产量为 ，
“优选2号”水稻的单位面积产量为
.
，
. “优选2号”水稻的单位
面积产量更高.(共10张PPT)
第五章 分式与分式方程
§5.2 分式的运算（2）
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容同分母分式的加减法计算法则.
考点1 同分母分式的加减法
1. 【典例】[2025三明模拟]化简 的结果是( )
A
A. B. C. D.
2. 【变式】下列计算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
◆基础演练
3. [2025潍坊]计算 的结果是( )
B
A.1 B. C.0 D.
（第4题）
4. [2025邯郸模拟]如图是一个正确的运算过程，
但有一个算式被遮挡了，则被遮挡的算式是
( )
C
A. B. C. D.
5. 计算： ______.
6. 计算：
（1） ；
解：原式
；
（2） ；
解：原式
；
（3） ；
解：原式
；
（4） .
解：原式
.
◆中档应用
7. 若，互为倒数，且，则分式 的值为( )
D
A.0 B.1 C. D.
8. 如果记，并且表示当时 的值，即
，那么
______
（结果用含的代数式表示， 为正整数）.
9. 如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与 互为“和
整分式”，常数称为“和整值”.如分式， ，
，则与互为“和整分式”，“和整值” .
已知分式，，判断与 是否互为“和整分式”，若是，请
求出“和整值” ；若不是，请说明理由.
解：， ，
.
故与互为“和整分式”，“和整值” 为2.
◆拓展延伸
10. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”.
（1）下列3组分式：
与； 与； 与 .
其中属于“友好分式组”的有______（填序号）；
②③
（2）若正实数，互为倒数，求证：与 属于“友好分式组”.
证明：， 互为倒数，
， .
.
与 属于“友好分式组”.(共10张PPT)
第五章 分式与分式方程
§5.3 分式方程（3）
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
课时内容 分式方程与实际问题.
考点1 分式方程的实际应用与计算
1. 【典例】甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9
千米，乙工程队需要修12千米.已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千
米，最终用的时间比甲工程队少半个月.若设甲工程队每个月修 千米，
则可列出方程为___________.
2. 【变式】水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，
某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价
的 .小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元.已
知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少 .设该市去年居
民用水价格为元/ ，则可列分式方程为_ ___________.
◆基础演练
3. [2025泉州期末]某校八年级学生去距学校 的科技馆参观，一部
分学生骑自行车，过了 ，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到
达.已知汽车的速度是骑自行车学生速度的4倍，设骑自行车学生的速度
为 ，则下列方程正确的是( )
A
A. B. C. D.
4. 为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两
类共30条生产线的设备进行更新换代，其中甲类生产线有10条，乙类生
产线有20条.经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类
生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数
量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获
得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
解：设购买更新1条乙类生产线设备需投入 万元，则购买更新1条甲类
生产线设备需投入 万元.
根据题意，得，解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意.
（万元）.
答：还需投入1 330万元资金更新生产线的设备.
◆中档应用
5. 阳光体育用品店有甲、乙两种品牌的篮球，已知乙品牌篮球的单价比
甲品牌篮球的单价多20元，用800元购买甲品牌篮球的数量是用500元购
买乙品牌篮球数量的2倍.
（1）求甲、乙两种品牌篮球的单价；
解：设甲品牌篮球的单价是元，则乙品牌篮球的单价是 元.
根据题意，得，解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合实际意义.
.
答：甲品牌篮球的单价为80元，乙品牌篮球的单价为100元；
（2）该店在国庆节期间开展优惠活动，甲品牌篮球按原单价的9折出售，
乙品牌篮球按原单价的 折出售，某校计划在国庆节期间在该店购买甲、
乙两种品牌篮球共50个，总费用不超过4 000元，那么最多可购买多少
个乙品牌篮球？
解：设本次购买个乙品牌篮球，则购买 个甲品牌篮球，
根据题意，得，解得 .
为正整数， 的最大值为30.
答：最多可购买30个乙品牌的篮球.
◆拓展延伸
6. 一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出 ，第2次
倒出的水量是，第3次倒出的水量是，第4次倒出的水量是 ，
请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能变成原来水量的 ？试说明理由.
解：由题意可得，倒了 次后剩余的水量为
.
，解得 .
经检验， 是原方程的根.
经过99次操作之后能达到.

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