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(共16张PPT)
第六章 平行四边形
§6.1 平行四边形的性质（2）
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
课时内容 平行四边形的性质定理“平行四边形的对角线互相平分”.
考点1 平行四边形的性质定理“平行四边形的对角线互相平分”的应用
1. 【典例】的对角线与的长分别为， ，
，，若与相交于点，则 的周长等于
_______， 的周长等于_______.
（第2题）
2. 【变式】[2025南安期末]如图，
的对角线和相交于点 ，
，若，，则 的
长为( )
C
A.5 B.8 C.10 D.11
考点2 梯形的定义
3. 【典例】如图是一块梯形铁片的残余部分，量出 ，
，原来梯形铁片的 的度数是____.
（第3题）
4. 【变式】如图，在梯形中，，， ，
，则 ______.
（第4题）
◆基础演练
（第5题）
5. 如图，在梯形中， ，
，平分，若 ，则
的度数为( )
C
A. B. C. D.
6. 在中，，相交于点，若， ，则
的周长为____.
14
◆中档应用
7. 如图，在中，、相交于，交于点 .求证：
平分 .
证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
.
，
是线段 的垂直平分线，
，
，
，
平分 .
8. 如图，的对角线相交于点，过点分别与， 相交于
点，.若，，，试求四边形 的周长.
解： 四边形 是平行四边形，
，， ，
.
.
又 ，
.
， .
.
四边形的周长为 .
9. 如图，已知图中的四边形为平行四边形，试用两种方法，将平行四边
形分成面积相等的四个部分.（在所给的两个平行四边形中正确画图）
解：如图所示，有多种方法.
◆拓展延伸
10. 如图1，已知的周长为6，，对角线与相交于点 .
图1
图2
（1）求这个平行四边形其余各边的长；
图1
图2
解：由题意，得 ，
又 的周长为6，
；
（2）若，求 的长；
图1
图2
解：， ，
，
；
（3）将射线绕点顺时针旋转至，交于 （如图2），当旋转
角度为多少度时，平分 .说明理由.
图1
图2
解：当旋转角度为 时，平分 .理由如下：
平分， .
四边形是平行四边形， .
.
是等腰三角形.
为的中点， .
，即旋转角度为 .
图1
图2(共16张PPT)
第六章 平行四边形
§6.2 平行四边形的判定（2）
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
课时内容 平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是
平行四边形”.
考点1 平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四
边形”的应用
1. 【典例】如图，在四边形 中，
，对角线，交于点，过 交
于点，交于点，且 ，请说明
四边形 是平行四边形.
解：， .
又， ，
.
同理可证， .
， 四边形 是平行四边形.
2. 【变式】如图，四边形的对角线交于点，且为 的中点，
，，求证：四边形 是平行四边形.
证明：为的中点， .
， .
， .
又 ，
.
又 ，
四边形 是平行四边形.
◆基础演练
3. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是( )
A
A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直
C.对角线相等 D.对角线互相垂直且相等
4. [2025漳州期末]如图，四边形中，对角线，相交于点 ，
下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
B
（第4题）
A.，
B.，
C.，
D.，
（第5题）
5. 如图，在的正方形网格中，以线段 为对角线作
平行四边形，使另两个顶点也在
格点上，则这样的平行四边形最多可以画( )
D
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
6. 在综合实践课中，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点 ，使得四
边形为平行四边形.如图， 是其作图过程.在嘉嘉的作法中，
可直接判定四边形 为平行四边形的条件是( )
C
（第6题）
A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等
7. 在四边形中，对角线、相交于点 ，给出下列四个条件：
；；； .从中任选两个条
件，能使四边形 为平行四边形的选法有( )
C
A.6种 B.5种 C.4种 D.3种
8. 如图，是 的中线.
（1）画图：延长到，使，连接 ，
；
解：如图所示；
（2）四边形 是平行四边形吗？证明你的结论.
解：四边形 是平行四边形.证明如下：
是 的中线，
.
，
四边形 是平行四边形.
◆中档应用
9. 如图，在四边形中， ，
是边的中点，连接并延长与 的延长线相
交于点.求证：四边形 是平行四边形.
证明： ，
.
又是边的中点， .
又 ，
.
四边形 是平行四边形.
◆拓展延伸
10. 如图，在中，点，在对角线上，且.请你以
为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明
它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）.
（1）连接____；
（2）猜想：________________________；
（答案不唯一）
（3）证明：
如图，连接与交于点，连接 .
四边形 为平行四边形，
， .
，
.
.
四边形 为平行四边形.
.(共16张PPT)
第六章 平行四边形
单元复行四边形的性质与判定
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
1. [2025闽清期中]在中， ，则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
2. 若的对角线，，则边 的长可以是( )
B
A.2 B.7 C.8 D.9
（第3题）
3. 如图，在中， ，， 分
别为，的中点，将沿直线 折叠，
与交于点，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
（第4题）
4. [2025安溪期末]如图， 的对角线相交
于点，，交于点，连接 ，若
的周长为8，则 的周长为( )
B
A.12 B.16 C.20 D.24
（第5题）
5. 如图，在中，， ，
，，， 都是等边三
角形，下列结论中： ；②四边形
是平行四边形； ；
.正确的个数是( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6. 如图，的对角线，相交于点，，过点 ，且点
，在边上，点，在边上，若 的面积为20，则阴影区
域的面积为___.
5
（第6题）
7. 若的周长是20，边，则边 ___.
4
（第8题）
8. [2025连江期末]如图， 的对角线
，相交于点，过点 的直线分别交
，于点， ，若图中阴影部分的面积
为，，则与 之间的距
离为___ .
3
（第9题）
9. 如图，在中， ，直线
交于点，交的延长线于点 ，且
，则____ .
20
10. 如图， ，四边形 是平行四边形吗？为什么？
解：四边形 是平行四边形.理由如下：
，
可得，解得 ，
， .
四边形 是平行四边形.
11. 如图，在等腰中，， ，将绕点 逆
时针方向旋转 得到，连接.求证：四边形 是平
行四边形.
证明： 在等腰中，， ，
.
.
由旋转可知， ，
， .
且 .
四边形 是平行四边形.
12. 如图，是等边三角形，、分别在边 、
上，且，连接并延长至点 ，使
，连接、和.判断四边形 是怎
样的四边形，并说明理由.
解：四边形 是平行四边形.理由如下：
， ， 是等边三角形.
.
， .
， ， 是等边三角形.
. .
四边形 是平行四边形.
13. 【问题背景】某数学兴趣小组在学行四边形后，对其进行了
轴对称变换的操作，进一步研究平行四边形的性质.在 中，
，，，点是边上任意一点，连接 ，
将四边形沿翻折得到四边形，射线与相交于点 .
【操作发现】
图1
（1）如图1，无论点 在什么位置，图中都会有
一条线段与相等，请猜想与 相等的线段，
并说明理由；
简析：根据点在 边上的不同位置，画出图形
进行分类讨论，当射线与相交于点，点
在线段 上，根据平行四边形的性质，翻折的特征，可得
，利用等角对等边，即可证明；当点在 边上
其他位置时，同理可证得 ;
【问题延伸】
（2）当点的位置发生变化时，线段存在最小值，请求出线段 的
最小值；
根据，利用垂线段最短，可得当时， 最短，故此时
取得最小值，利用勾股定理即可求得的最小值为 ；
【问题拓展】
（3）如图2，连接，当是以 为一条直角边的直角三角形时，
求线段 的长.
图2
图2.1
根据点在边上的不同位置，①当 时，
，如图2.1所示， ；
②当 时，如图2.2所示， ；③
当点与点重合时， ，如图2.3，
.
图2.2
图2.3(共12张PPT)
第六章 平行四边形
能力提升 平行四边形中的思想方法
班级 ___姓名____座号_______月____日（星期___）
考点1 运动变化思想
1. 如图，在四边形中，， ，
，点，分别是边、上的动点，连接，将
沿直线折叠，使点的对应点落在边上，则 的取值范围是
__________________.
（第1题）
考点2 分类讨论思想
（第2题）
2. 如图，在四边形纸片中，， ，
， .将纸片先沿直线 对折，
再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后
的图形打开铺平.若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行
四边形，则 ________________.
或
3. 如图，在中，，，点在 边上以每
秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒 的速度从
点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点 时停止
（同时点也停止），在运动以后，以，，， 四点组成平行四边
形的次数有几次？
解：设经过，以点，，， 为顶点组成平
行四边形.
以点，，， 为顶点组成平行四边形，
.
分为以下情况：
①点的运动路线是，方程为 ，
此时方程 ，不符合题意；
②点的运动路线是，方程为 .
解得 ；
③点的运动路线是 ，方程为
.
解得 ；
④点的运动路线是 ，方程为
.
解得 ；
⑤点的运动路线是 ，方
程为 .
解得 ，
此时点走的路程为 ，此时不符合题
意.
在运动以后，以，，， 四点组成平行四
边形的次数有3次.
考点3 类比思想
4. 如图1，在直角梯形中，， ，操作示例：
我们可以取直角梯形的非直角腰的中点，过点作 ，
裁掉，并将拼接到 的位置，构成新的图形（如图2）.
思考发现：小明在操作后发现，该剪拼方法就是先将绕点 逆时
针旋转 到的位置，易知与 在同一条直线上.又因为在梯
形中，， ，则 ，
所以和 在同一条直线上，那么构成的新图形是一个四边形，进而
根据平行四边形的定义，可以得出四边形 是一个平行四边形.
实践探究：
（1）类比图2的剪拼方法，请你分别就图3和图4的两种情形沿一条直线
进行剪切，画出剪拼成一个平行四边形的示意图；
解：示意图如图3、图4所示；
图3
图4
联想拓展：
小明探究后发现：在一个四边形中，只要有一组对边平行，就可以剪拼
成平行四边形.
（2）如图5，在多边形中，，若连接 ，则恰有
.请你像上面剪法一样沿一条直线进行剪切，将多边形 拼
成一个平行四边形，请你在图5中画出剪拼的示意图，并简要写明剪拼
方法（不需证明）.
解：如图5，分别取，的中点，，连接并延长分别交 ，
于点，，将和一起拼接到 的位置.
图5(共15张PPT)
第六章 平行四边形
专题训练 平行四边形的性质与判定综合
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
考点1 平行四边形的对边相等
1. 平行四边形的周长为，相邻两边长的比为 ，那么这个平行四
边形较短的边长为___ .
3
考点2 平行四边形的对角相等
（第2题）
2. 如图，平行四边形绕点逆时针旋转 ，
得到平行四边形（点与点是对应点，点
与点是对应点，点与点是对应点），点 恰好落
在边上，则 的度数等于( )
B
A. B. C. D.
考点3 平行四边形的对角线互相平分
3. 在中，对角线与相交于点，， ，则下
列线段不可能是 边长的是( )
D
A.5 B.6 C.7 D.8
考点4 平行四边形是中心对称图形
4. 下列关于图形对称性的命题，正确的是( )
D
A.正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B.角既是轴对称图形，又是中心对称图形
C.线段是轴对称图形，但不是中心对称图形
D.平行四边形不一定是轴对称图形，但是中心对称图形
考点5 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
5. 如图，以的三边分别作等边三角形，等边三角形 ，等
边三角形，连接，，求证：四边形 是平行四边形.
证明：、、 都是等边三角形，
，，， .
，
即 .
.
， .
同理： .
四边形 是平行四边形.
考点6 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
6. 如图，利用尺规，在的边 上方作
，在射线上截取，连接 ，
并证明： .（尺规作图要求保留作图痕迹，不写
作法）
解：如图所示.
， .
，
四边形 是平行四边形.
.
考点7 对角线互相平分的四边形是平行四边形
7. [2025福州期中]如图，在四边形中，、相交于点 ，
，，、分别是、的中点，连接、 、
、.求证：四边形 是平行四边形.
证明：， ，
四边形 是平行四边形，
， .
，分别是， 的中点，
, ，
，
四边形 是平行四边形.
考点8 夹在平行线之间的平行线段相等
8. 如图，四边形是平行四边形，点在边上，点在边 上，
若，则与 的数量关系是______.
相等
（第8题）
考点9 平行线之间的距离
9. 如图，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是( )
D
（第9题）
A.平行四边形的面积最大
B.三角形的面积最大
C.梯形的面积最大
D.三个图形的面积都相等
考点10 平行线的性质和判定的综合应用
10. 在中，平分交于点，点， 分
别在边，上，且，点在上， ，
连接，，与相交于点 .
（1）如图1，求证：四边形 是平行四边形；
解：证明： ，
.
，
.
.
，
.
又 ，
四边形 为平行四边形；
（2）如图2，若 ，请直接写出图中所有
的等腰三角形.
解：等腰三角形有：，，， .(共13张PPT)
第六章 平行四边形
§6.2 平行四边形的判定（1）
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
课时内容 平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形
是平行四边形”，“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”.
考点1 平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行
四边形”的应用
1. 【典例】在四边形中， ，再添加一个条件，可使四边
形 是平行四边形，则这个条件是_________.
2. 【变式】下列给出的条件中，能判定四边形 是平行四边形的是
( )
C
A.， B.，
C.， D.，
考点2 平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平
行四边形”的应用
3. 【典例】[2025三明期末]依据图中所标数据，下列图形一定为平行四
边形的是( )
A
A. B. C. D.
4. 【变式】如图所示，在中，，分别为， 的中点，连
接，， ，则图中共有___个平行四边形.
4
（第4题）
◆基础演练
5. 下列四组条件中，不能判定四边形 是平行四边形的是( )
A
A.， B.，
C.， D.，
6. 已知在平面直角坐标系中有三个点：、、 .在
平面内确定点，使得以、、、 为顶点的四边形为平行四边形，则
点 的坐标不可能是( )
D
A. B. C. D.
（第7题）
7. 小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺
的一边贴着直尺推移到 的位置，这
时四边形 就是平行四边形.小明这样做的
依据是_____________________________________
_____.
有一组对边平行且相等的四边形是平行四
边形
8. 如图，在四边形中，，和 为对角线
上的两点，， .
求证：四边形 为平行四边形.
证明：， .
又， ，
.
.
又 ，
四边形 是平行四边形.
◆中档应用
9. 如图，在中，，，，分别为，，， 上的点，
且 .
求证：四边形 为平行四边形.
证明： 四边形 为平行四边形，
，，， .
，
， .
.
.
同理可证： .
.
四边形 是平行四边形.
◆拓展延伸
10. 如图，在四边形中， ，
，，点自点向 以
的速度运动，到点即停止.点自点
向以的速度运动，到点 即停止，点
，同时出发，设运动时间为 .
（1）用含 的代数式表示：
__；_______；________； ___；
（2）当为何值时，四边形 是平行四边
形？
解：根据题意有， ，
， .
，
当时，四边形 是平行四边形.
，解得 .
当时，四边形 是平行四边形；
（3）当为何值时，四边形 是平行四边形？
解： ，
当时，四边形 是平行四边形.
，解得 .
当时，四边形 是平行四边形.(共12张PPT)
第六章 平行四边形
§6.1 平行四边形的性质（1）
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
课时内容 平行四边形的性质定理“平行四边形的对边相等”，
“平行四边形的对角相等”.
考点1 平行四边形的性质定理“平行四边形的对边相等”的应用
1. 【典例】在中，已知，比 小2，则它的周长是
( )
B
A.15 B.16 C.17 D.18
（第2题）
2. 【变式】[2025富县期末]如图，在
中，平分交于点，平分
交于点，若，，则 的长
为( )
C
A.11 B.12 C.13 D.14
考点2 平行四边形的性质定理“平行四边形的对角相等”的应用
（第3题）
3. 【典例】[2025德化期末]如图，将 的一
边延长至点，若 ，则 的度
数为( )
A
A. B. C. D.
（第4题）
4. 【变式】如图，在中， ，
，于点，则 ____.
◆基础演练
5. [2025石狮期末]如图，在中， ，则 的大小
是( )
D
（第5题）
A. B. C. D.
（第6题）
6. 如图，在中，， ，
的平分线交于点，交 的延长线于点
，则 ( )
C
A.4 B.3 C.2 D.1
（第7题）
7. 如图，在中， ，延长至 ，
延长至，连接，则 ( )
D
A. B. C. D.
8. 若的对角线平分，则对角线与 的位置关系是
__________.
9. 如图，在中，平分交于，于 ，若
，则 ____.
互相垂直
（第9题）
◆中档应用
10. 如图，在中，，是直线上两点，且 .求证：
.
证明： 四边形 是平行四边形，
， .
.
,
即 .
，
，即 .
.
.
.
11. 如图，在中，，连接 并延
长交的延长线于点 .
（1）求证： ；
解：证明： 四边形 是平行四边形，
， .
.
又， ,
；
（2）若， .求 的度数.
解： ，
.
， ，
.
.
.
◆拓展延伸
12. 如图，四边形 为平行四边形，
，，点的坐标为 .
（1）请写出点，， 的坐标；
解：由图知， .
，
则的坐标为 ；
（2）计算平行四边形 的面积.
平行四边形的面积 .(共15张PPT)
第六章 平行四边形
单元复习2 三角形的中位线
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
（第1题）
1. 如图，在中， ，点， 分别
是直角边，的中点，连接，则 的度数
是( )
B
A. B. C. D.
（第2题）
2. 如图，在中，，分别是， 的中点，
则下列说法正确的是( )
D
A. B.
C. D.
（第3题）
3. 如图，点，分别是，的中点，是 的
平分线，对于下列结论：
；；； .
其中正确的是( )
D
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
（第4题）
4. 如图，把两根钢条， 的一个端点连在一起，点
，分别是，的中点，若 ，则该工件内
槽宽的长为___ .
6
5. 如图，在中，，分别是和的中点，连接，点 是
的中点，连接并延长，交的延长线于点.若，则 的
长为___.
2
（第5题）
6. 如图，在四边形中， ，，分别是， 的中
点，若，，则 的长度为___.
4
（第6题）
7. 如图，的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个 ，
再以的三边中点为顶点，组成第2个， ，则第 个
三角形的周长为_____.
（第7题）
8. 如图，在中，为 的中点.
（1）请用尺规作图法画出边的中点，并连接
（不要求写作法，保留作图痕迹）；
解：如图所示；
（2）在（1）的条件下，若，求 的长.
解：， ，
.
，
.
9. 如图，点,,分别是,,的中点，且是 的角平分线.
求证： .
证明：如图，连接 .
，，分别为，， 的中点，
， .
，四边形 是平行四边形.
.
是 的角平分线，
.
.
.
.
10. [2025曲阜期末]如图，在中， ，， 分别是
，的中点，延长到点，使，连接，， 交
于点.求证： .
证明：如图，连接， .
点，分别为， 的中点，
， .
又， .
又 ，
四边形 是平行四边形.
与 互相平分，
.
11. 如图，在中，为上一点，， 是
的中点，为的中点，连接并延长交 的延长线
于点，为的中点，求证： .
证明：如图，连接，取的中点为，连接， ，
是的中点，为 的中点，
是的中位线，是 的中位线，
，，， .
，
.
， .
，
.
.
为 的中点，
.(共13张PPT)
第六章 平行四边形
§6.2 平行四边形的判定（3）
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
课时内容 认识“平行线之间的距离”的定义，性质“夹在平行线
之间的平行线段相等”.
考点1 “平行线之间的距离”的定义的应用
1. 【典例】平面内自上而下有三条直线，，，且，若与
之间的距离为，与之间的距离为，则与 之间的距离是
( )
B
A. B. C. D.
（第2题）
2. 【变式】如图，直线，点在直线 上，
点，在直线上，已知， ，
则直线、 间的距离为( )
B
A.6 B.3 C. D.
考点2 性质“夹在平行线之间的平行线段相等”的应用
3. 【典例】有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线
段相等.如图，已知，.求证： .
证明：， ，
四边形 是平行四边形.
.
（第4题）
4. 【变式】如图，和是夹在两平行线、 之
间的平行线段，则___（填“ ”“ ”或“ ”）.
◆基础演练
（第5题）
5. [2025郴州期末]如图，点在直线 上移动，
，是直线上的两个定点，直线 .对于下
列各值，不会随点 的移动而变化的是( )
D
A.的大小 B.线段 的长度
C.的周长 D. 的面积
6. 如图，两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个
四边形.若，则___ .
8
（第6题）
（第7题）
7. 如图，在中，，， 分别在
边和上，，交于点 .若
，，，则 的长为___.
3
（第8题）
8. 如图，在中，，分别是边， 上的
点，有下列条件：； ；
； ，若要添加其中一个条件，
使四边形 一定是平行四边形，则添加的条件可
以是________.
①②③
9. 如图，如果直线 ，那么夹在这两条平行线
间的与的面积相等.如果 与
的面积相等，那么直线 .请你结合图完
成该证明.
证明：，， ，
.
又， ，
，即四边形 是平行四边形.
.
◆中档应用
10. 如图，已知，且，为 的中点.
（1）求证： ；
证明：为的中点， .
，，， ，
， .
四边形和四边形 都是平行四边形.
（2）观察图形，在不添加辅助线的情况下，除 外，请再写出两个
与 的面积相等的三角形（直接写出结果，不要求证明）：
__________________________________________________.
，，（写出其中两个三角形即可）
， .
又， .
◆拓展延伸
11. 新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们
把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”.如
图，，相邻两条平行线间的距离为，等腰 为“格线三
角形”，且 ，求 的面积.
解：如图，过作 直线于，过 作
直线于 ，
则 .
，相邻两条平行线间的距离为 ，
， .
， ，
，
.
.
又， .
， .
.
.(共15张PPT)
第六章 平行四边形
§6.3 三角形的中位线
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
课时内容 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的一半.
考点1 三角形的中位线定理的应用
（第1题）
1. 【典例】如图，在中，，分别是，
的中点，且，，，则 等于
( )
C
A.5 B.7 C.8 D.12
（第2题）
2. 【变式】如图，在中，是的中线， ，
分别是， 的中点，连接
EF，已知，则 的长为( )
A
A.3 B.4 C.5 D.6
◆基础演练
（第3题）
3. [2025南平期末改]如图，在 中，
，，点，分别是边， 的
中点，点在线段上，且，则 的
长为( )
A
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
4. 在中，，分别是，的中点，且 ，则
____.
5. 若等腰三角形的两条中位线长为2和4，则其周长为____.
20
6. 已知 在网格图中的位置如图所示，且每个小正方形的边长为1，
若点，分别为，的中点，则线段 的长为_ ___.
（第6题）
7. 如图，在四边形中，是对角线的中点，点、 分别是
、的中点，， ，则 的度数是____.
（第7题）
8. 如图，，分别为，的中点， ，
点在的延长线上，，连接 .
求证： .
证明：，分别为，的中点， ，
.
又， .
， .
四边形 是平行四边形.
.
◆中档应用
9. 如图，在中， ，，，点是 边上
一点，点为边上的动点，点、分别为，的中点，则 的
最小值是___.
（第9题）
10. 如图，已知为中边延长线上一点，且 ，连接
，分别交，于点，，连接交于点，连接 .
求证：
（1） ；
证明： 四边形 是平行四边形，
， .
又 ，
.
，
， .
；
（2） .
，
，即点是 的中点.
又 四边形 是平行四边形，
，即点是 的中点.
是 的中位线.
.
◆拓展延伸
11. 如图，是所在平面内一动点，连接，，并将 ，
，，的中点，，，依次连接，如果 能构成四边形.
（1）当点在内时，求证：四边形
是平行四边形；
解：证明：， ，
， .
同理， .
，且 .
四边形 是平行四边形；
（2）当点移到 外时，（1）的结论是否成立？画出图形并说明理由.
解：成立.如图1，证法同（1）.略去.
图1

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