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2025-2026 学年高三年级质量检测 数 学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷、答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的。
1. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
2. 若复数 的实部与虚部互为相反数,则 的值为
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
3. 已知 是两个不共线的向量,若向量 与 共线,则
A. 9 B. 6 C. -4 D. -12
4. 在正四棱台 中， ，若侧面与底面的夹角为 ，则该四棱台的体积为
A. B. C. D.
5. 已知双曲线 是过右焦点 且垂直于 轴的弦,若点 到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为 2 , 则其离心率为
A. B. C. D. 2
6. 某次测试共设置两道必答题,考生至少答对其中一道题即可通过测试. 已知考生甲答对每一题的概率均为 ,在甲通过测试的条件下,其只答对一道题的概率为
A. B. C. D.
7. 已知函数 的定义域为 ,若 ,则
A. B.
C. 函数 是奇函数 D. 函数 是偶函数
8. 的内角 的对边分别为 . 已知 , ,若 是 的中点,则 的最小值为
A. B. 1 C. D. 2
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列结论正确的是
A. 的展开式中 的系数为 -10
B. 一组数据 的中位数一定是 4
C. 一组数据 的线性回归方程为 ,若 ,则
D. 对随机事件 ,若 ,则事件 与 相互独立
10. 将函数 的图象向左平移 后得到函数 的图象, 若 是偶函数,则
A.
B. 函数 的图象关于点 对称
C. 函数 在 上单调递增
D. 函数 在 上的所有零点之和为 ,则
11. 有一款弹球游戏,在如图所示的矩形球台 上进行,游戏开始时,弹球从 点发射,玩家可以自由控制发射角度, 但不能沿边框发射, 弹球发射后沿直线运动, 碰撞到球台的边框后被反弹(入射角 = 反射角)，反弹后继续沿直线运动，经过若干次反弹后，到达 的中点 ，一轮游戏结束. 若弹球大小忽略不计，则
A. 若经过一次反弹到达点 ，则碰撞点是某边框的一个三等分点
B. 若经过两次反弹到达点 ，则首次碰撞点是某边框的一个四等分点
C. 若前两次碰撞点分别在 、 上，则只经过三次反弹不可能到达点
D. 若经过三次反弹到达点 ，且首次碰撞点在 上，则该点是 的一个五等分点三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 设 为各项均为正数的等比数列 的前 项和,若 ,则 _____.
13. 抛物线 的焦点为 ,准线与 轴交于点 为抛物线上一点,若 为锐角, ,则 _____.
14. 已知函数 的定义域为 ,若 ,则不等式 的解集为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
某企业对员工进行技能测试,测试成绩 (满分为 150 分) 近似服从正态分布 , 且 ,测试成绩 120 分以上为优秀.
(1)若该企业共有 30000 名员工参加测试，试估计该企业测试成绩 80 分以上的员工人数(结果四舍五入保留到整数)；
(2)从该企业所有参加测试的员工中随机抽取 3 人，设 3 人中测试成绩优秀的人数为 ,求 的分布列和期望.
附:若随机变量 ,则 ,
16. (15 分)
记 为等差数列 的前 项和. 已知 且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设函数 ，求数列 的前 项和 .
17. (15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，平面 平面 ， 是边长为 2 的等边三角形, 为侧棱 的中点, 为线段 上一点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若 平面 ,求直线 与平面 所成角的正弦值;
(3)设点 为三棱锥 的外接球的球心，试判断三棱锥 的体积是否为定值 若是,求出该定值; 若不是, 请说明理由.
18. (17 分)
已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上.
(1)求 的方程；
(2)已知 上一点 ，且 不在 轴上，直线 ， 与 的另一个交点分别为 ， .
(i) 若点 的坐标为 ，求直线 的方程；
(ii) 若 ,求 的值.
19. (17 分)
已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2) 若 .
( i ) 求 ;
(ii) 函数 图象上是否存在关于原点对称的点 若存在,试确定对称点的对数; 若不存在, 请说明理由.
2025-2026 学年高三年级质量检测参考答案
一、选择题
1.A 2.C 3.D 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B
二、选择题
9.ABD 10.BC 11.BCD
三、填空题
12. 13. 14.
四、解答题
15. 解: (1) 因为 ,所以 ,
所以 ; 4 分则 ,
所以估计该公司测试成绩 80 分以上的员工人数为 25241 人. .5 分
(1) 因为 ,且 ,所以 ,
依题意 , 8 分
所以 ,
随机变量 的分布列为:
Y 0 1 2 3
0.729 0.243 0.027 0.001
随机变量 的期望 . (不列表或没有计算出四个小数值不扣分) 13 分
16. 解: (1) 设数列的公差为 ,当 时,由 可知
,则 .2 分
又 ,令 可得
联立解得 ,则 5 分
. .6 分
( 2 )当 时， ,当 时, 成立,
所以 .8 分
,则 11 分
. 15 分
17. ( 1 )证明: 平面 平面 ，交线为 ， ，则 平面 平面 ,则
又 , ,则 平面 平面
平面 平面 . 4 分
(2) 平面 ，平面 平面 ，则
为线段 的中点
取 的中点 ,连接 ,则 平面 5 分
以 为坐标原点, 所在直线为 轴,过 作 的平行
线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 ,
设平面 的法向量为
则 ,
令
设 与平面 所成角为 则 . 9 分
(3)由(1)知， 平面 ，则 ， 为直角三角形，且 也为直角三角形，则三棱锥 外接球的球心为线段 的中点 ，
则 且 ,即点 恒在与 平行的直线上,
点 到平面 的距离为 到平面 的一半,则三棱锥 的体积为定值 12 分
. 15 分
18 解: (1) 由已知得 ,则
又椭圆过点 ,代入方程得 ,所以 . 4 分
(2)(i)若点 ，又 ，则 ， 关于 对称， 5 分
又 ,则 ,直线 的方程为 6 分
由韦达定理可知 ，则 . 8 分
所以 ,则直线 的方程为 ,
整理得: . (斜截式不扣分) 10 分
(ii) 设直线
由
由
13 分
由 ,同理可得
, 17 分
所以 的值为 .
19. 解析: (1) 当 时,
2 分
则 为增函数,又
当 时, 为增函数,当 时, 为减函数
的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . 4 分
(2)(i) 即
当 时,若 ,则
且 ,不等式不成立,
当 时,令
6 分
令 ,则 为增函数
,又 且
则 在 上有且仅有一个零点 8 分
当 时, 为增函数
当 时, 为减函数
则函数在 处取得最小值
又 ,则此时必有 ,所以 ,解得 . 10 分
(ii) 由 (i) 知, ,假设存在关于原点对称的点,
设点 为函数 图象上的点,则 关于原点对称的点为
12 分
设函数
为偶函数
当 时, 14 分
,则
所以函数 为增函数,
即方程 在 上有唯一解,
综上可知函数 图象上存在唯一一对关于原点对称的点. 17 分

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