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高 三 数 学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的)
1. 已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点所在象限为
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 全集 ,且 ,则满足条件的集合 的个数为
A. 8 B. 7 C. 4 D. 2
3. 在平行四边形 中, 与 交于点 ,若 ,则 的值为
A. B. C. D.
4. 已知圆 与圆 相切,则
A. 4 B. 6
C. 4 或 6 D. 16 或 36
5. 已知定义在 上的函数 满足 ,且 ,则
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
6. 在 中,内角 的对边分别为 ,则 一定为
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形
7. 设 为坐标原点， ， 是 ( ， )的左、右焦点，若在双曲线上存在点 ，满足三角形 的面积为 ,则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中,曲线 绕着 轴旋转一周得到一个旋转体 ，在 中放入 4 个半径为 的小球,四个小球均与旋转体 的表面以及开口平面相切,则小球半径 的最大值为
A. B. C. D.
二、选择题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 下列说法正确的是
A. 数据1,2,2,2,3,3,3,4,5的众数是 2
B. 数据 的第 25 百分位数是 1
C. 若随机变量 ，则
D. 根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 . 依据 的独立性检验 ,可判断变量 与 不独立
10. 已知数列 的首项 ,且满足 ,下列说法正确的有
A.
B. 数列 为等差数列
C. 数列 的前 项和大于 4
D. 为单调递减数列
11. 已知椭圆 的右焦点为 ,过点 的直线与 交于 两点,当 为 的上顶点时, . 过点 作直线 的垂线,垂足为 ,直线 与 轴交于点 ,直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,则下列说法正确的是
A. 椭圆 的短轴长为
B. 三角形 的面积的最大值为
C. 四边形 的面积的最大值为
D. 设 的中点的横坐标为 ，则 为定值
三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 已知函数 的两个相邻零点间的距离为 ，则 _____.
13. 已知 ，且 ，则 的最小值为_____.
14. 如图，要用 个元件组成一个电路系统，当且仅当从 到 的电路为通路状态时，系统正常工作. 已知每个元件正常工作的概率为 ，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为 ，则 _____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 13 分)
已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的前 项和 ；
(2)记 ，数列 的前 项积为 ，求 的最小值.
16. (本小题满分 15 分)
我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎. 某品牌新能源汽车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入. 该公司近 5 年的年广告费 (单位:百万元)和年销售量 (单位: 百万辆) 关系如图所示:
令 ,数据经过初步处理得: , 7.657. 现有 和 两种模型作为年销售量 关于年广告费 的回归分析模型,其中 均为常数.
(1)请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
(2)为刺激消费， 省出台了以下补贴政策:每购买一辆新能源汽车，补贴 6000 元. 若甲、乙两人近期在 省购买一辆该新能源汽车的概率分别为 ，其中 ，每人最多购买一辆. 求该省对甲、乙两人补贴总金额期望值的取值范围.
参考数据: .
相关系数 .
17. (本小题满分 15 分)
在抛物线 中,直线 与 交于 两点, 为 的焦点. 当直线 为 时, .
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)若线段 中点的纵坐标始终为 1，求 的取值范围；
(3)已知直线 与 相交于 两点，直线 与 相交于 两点(点 在 轴的上方),若 ,四边形 的外接圆圆心坐标为 ; 求证: .
18.(本小题满分 17 分)
如图,四棱锥 的底面 是平行四边形,侧面 是等边三角形, ,二面角 的平面角大小为 为 的中点.
(1)设平面 平面 ，求直线 与直线 的夹角大小；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值；
(3)设 为侧棱 上一点，四边形 是过 ， 两点的截面，分别交 ， 于 ， 两点,其中 为 的中点, 平面 ,求四棱锥 的体积的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
设函数 .
(1)讨论函数 的单调区间;
(2)当 ， 时，函数 的图象上有且仅有 2 个点到原点距离为 ，求 的取值范围；
(3)函数 的图象上是否存在唯一的一组点 ，构成正 多边形， 且 若存在,请求出所有满足条件的 以及对应 的值; 若不存在,请说明理由.
高三数学参考答案
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C C D A B B
1. D 因为 ，所以 ，在复平面内对应的点为 ，位于第四象限，故选 D.
2. A 因为 的子集有 8 个，故选 A.
3. C ，因为 三点共线，所以 ,即 ,故选 C.
4. C 若圆 与圆 相外切,则 ,所以 ; 若圆 与圆 相内切,则 ,因为 ,所以 , 综上, 或 6,故选 C.
5. D 因为 ,所以 ,
两式相减得 ,故 的一个周期为 4,
中,令 得 ,又 ,故 ,
所以 ,故选 D.
6. 由 化简可得 ,所以 ,即 ,因为 ,所以 ,即 ,所以 一定为直角三角形,故选 A.
7. 解法一: 不妨设点 在双曲线的左支上, ,则 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
化简得 ,整理得 ,
设 ,
因为 ,
所以 ,
所以三角形 的面积 ,
所以 ,
由余弦定理得 ,整理得 ,
所以 ,化简得 ,
所以 . 故选 B.
解法二: 设 ,
则由 ,得 .
又 ,则 ,
又 ,则 , 即 . 故选 B.
8. 如图所示,两球的对角球心距 ,所以 ,所以 ,解得 ,故选 B.
二、选择题(本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分)
题号 9 10 11
答案 BCD ABD ABD
9. BCD 对于 ,数据1,2,2,2,3,3,3,4,5中 2 和 3 各出现了三次,所以该组数据的众数是 2 和 3,故 错误; 对于 B,8 个数从小到大排列,因为 ,所以取第 2 个数与第 3 个数的平均数,得 ,故 B 正确; 对于 ,因 ,则 ,故 ,故 C 正确; 对于 ,因为 ,所以变量 与 不独立,故 D 正确. 故选 BCD.
10. 计算可得 ,故 正确；
由 可得 ,则数列 是以 3 为首项,1 为公差的等差数列,即 ,即 ,故 正确;
,则数列 的前 项和为 , 故 C 错误;
数列 为正的单调递减数列,则 ,故 D 正确. 故选 ABD.
11. ABD 记椭圆 的半焦距为 ,由右焦点为 可得 ,
而当 为 的上顶点时, ,
所以 ,所以短轴长 ,故 正确;
椭圆 的方程为 ,
设 ,
联立
整理得 ,
可得 ,
即 ,
易知 ,直线 的斜率为 ,
故直线 的方程可表示为 ,
当 时,显然 ,
故 ,
所以直线 过定点 .
当点 为椭圆的上、下顶点时, 的面积取最大值 ,故 B 正确;
四边形 的面积 ,令 ,
,当 ,即 时,四边形 的面积取最大值 ,故 C 错误;
由 可得 的中点的纵坐标为 ,所以 ,
则
所以 ，即 是定值一 ，故 D 正确. 故选 ABD.
三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 或 (答对其中任意一个都给 3 分。)
函数 的两个相邻零点间的距离为 ,则函数 的周期为 ,即 或 -2,则函数 或 ,则 或 .
13. ,即 ,又 ,当且仅当 ，即 时等号成立。
14. 时,系统有 4 个单元,每个单元 2 个元件,各单元之间相互独立,
设 : 某单元正常工作, : 单元中有损坏元件,
则 ,从而 .
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(1) 因为数列 是等差数列,且 ,
所以 , 2 分
解得 , 4 分
所以 , 5 分
所以 . 6 分
(2)由题可知 ，则 ， 8 分
又 在 上单调递增,且 在 时取得最小值 -4, 10 分
则 在 时取得最小值 . 13 分
16.(1)设模型①和②的样本相关系数分别为 ，
由题意可得: , 3 分 6 分
所以 ,由相关系数的意义可得,模型②的拟合程度更好. 7 分
(2)设甲、乙两人购买新能源车的总数量为 ,则 的可能取值为 0,1,2,
8 分
9 分
10 分
所以 , 12 分
依题意，每购买一辆新能源车，发放 6000 元补贴，
因此该省对甲、乙两人补贴总金额期望值为 , 13 分因为 ,
所以 , 即 , 14 分
故该省对甲、乙两人补贴总金额期望值的取值范围是 . 15 分
17.(1) 当直线 为 时,联立
消去 得 , 1 分
所以 , 2 分
所以 , 3 分
化简得 ，所以 或 (舍)， 4 分
所以抛物线 的标准方程为 . 5 分
(2)设直线 ， ， ，
联立 消去 得 ,
所以 , 6 分
因为 中点的纵坐标为 1,所以 ,
所以 ,所以 ,所以 , 7 分
又 , 8 分
因为 ,所以 ,所以 , 9 分
故 的取值范围为 . 10 分
(3)由已知可得 ，联立 得 ， ，
则 ,同理可得 , 11 分
当 时, ,解得 , 12 分
由对称性可得四边形 的外接圆圆心在 轴上,故 ,设圆心为 ,
因为 ,所以 , 13 分
将 代入整理得 , 14 分
因为 ,所以 ,所以 . 15 分
18.(1)延长 交 的延长线于点 ，则 为交线 ， 2 分
因为 为 的中点， ，所以 为 的中点，所以 ， 3 分
因为侧面 是等边三角形,所以 ，
所以 ，所以 ，
所以所求角为 . 4 分
(2)取 的中点 ，连接 ，由 ，则 ，
分别以 ， 所在直线为 轴和 轴，以过 垂直于底面 的直线为 轴建立空间直角坐标系，
5 分
则 ,
设平面 的法向量为 ,
则
令 ,则 . 6 分
设直线 与平面 所成角为 ,则 . 7 分
令 ,则 ,
令 ,结合 的取值范围可知 , 8 分
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 的最大值为 , 9 分
所以 . 10 分
(3)由题意可知 ，所以点 为 的中点， 11 分
设 ,
因为 ,
12 分
所以 , 13 分
所以 ,所以 . 14 分
即 16 分
因为 ,所以 . 17 分
19.(1) ,定义域为 ,
则 , 1 分
分两种情况讨论:
① 当 时，有 恒成立，此时 的单调递增区间为 ； 2 分
② 当 时，令 ，解得 或 ，
当 或 时, 单调递增,
当 时, 单调递减,
故函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . 4 分
(2)当 ， 时， ，
,令 , 5 分
则 ,
所以当 或 时, ,当 时, , 6 分
所以函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . 7 分
又因为 ,
故当 或 时,关于 的方程 有唯一正根,对应两个 的值符合题意. 所以 的取值范围为 . 9 分
(3)只需考虑 的情况，
由( 2 )可知关于 的方程 至多有 3 个正根，对应 6 个 的值，从而 .
又由于 的图象有唯一的对称中心 ,故要有唯一的正多边形,该正多边形一定也以 为对称中心，否则就不唯一，因此排除正三角形和正五边形. 10 分
故只需研究正四边形和正六边形.
当 时,若 ,所以 在 上单调递增,
曲线 上不存在 4 个点能构成正方形,所以 . 11 分
不妨设正方形的 4 个顶点分别为 ,由于 斜率一定存在,设其中一条对角线 的方程为 ,则 ,解得 ,
所以 ,同理可得① ,
由 ,得 ,化简得 , 12 分根据题意可知方程 只有一个正解,因为 上式不成立,
所以 , 13 分
因为 ,所以 ,得 ,
设 ,则 ,令 ,
由题意可知,只需要直线 与函数 的图象只有唯一的公共点即可,
故 ,即 时, 符合题意; 14 分
当 时,同上可知 在 上单调递增,在 上单调递减,
假设曲线 上存在正六边形 ,由对称性知该正六边形中心位于原点 处,
不妨设对角线 的倾斜角为 ,则 的倾斜角分别为 ,
即 ,取 时 不存在
联立 解得 ,
则 ,
故 ,
同理 ,
16 分
若要存在正六边形,则 有解.
(i) 时, ,显然 ,故 ,正六边形不存在;
(ii) 时, ,
显然 ,故 ,正六边形不存在.
综上所述,有且仅有 时存在唯一的一组点构成正 多边形,此时 . 17 分

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