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第二十三章　一次函数
培优点1　一次函数的图象与性质
1．已知一次函数y＝(1＋2k)x－5的图象经过点M(x1，y1)和点N(x2，y2)，且当x1＞x2时，y1＜y2，则k的值可能是(　　)
A.－ B．0 C．－1 D．
2．若a为任意实数，在平面直角坐标系中，点P(a，a＋3)不可能在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．(2025东莞一模)在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x＋a(a≠0)的图象可能是(　　)
4．如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形OABC是平行四边形，点A(6，0)，C(1，4)，直线y＝kx－1与BC，OA分别交于点M，N，且将 OABC的面积分成相等的两部分，则k的值是(　　)
A． B． C．1 D．
　　
图1 图2
5．已知一次函数y＝x＋5的图象经过点P(a，b)和点Q(c，d)，则a(c－d)－b(c－d)的值为________ .
6．如图2，已知点A(－2，4)，B(1，2)，将直线y＝x沿y轴向上平移b(b＞0)个单位长度后，与线段AB有交点，则b的取值范围是________．
7．如图3，直线y＝－x－3与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AO上，将△ABC沿BC所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上的点D处，则点C的坐标为________.
图3
8．在如图4所示的平面直角坐标系中，P是直线y＝x上的动点，A(1，0)，B(2，0)是x轴上的两点，当PA＋PB取最小值时，S△ABP＝________．
　　
图4
9．如图5，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…均在直线l上，点B1，B2，B3，…均在x轴的正半轴上．若△A1 OB1，△A2 B1 B2，△A3 B2 B3，…均为等腰直角三角形，直角顶点均在x轴上，则△A2 026B2 025B2 026的面积为________．
　　
图5 图6
培优点2　一次函数的实际应用
10．某快递公司每天上午9：00－10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，某天该时段甲、乙两仓库的快件数量y(单位：件)与时间x(单位：分)之间的函数图象如图6所示，那么当两仓库快递件数相差100件时，此刻的时间为(　　)
A．9：10 B．9：35
C．9：15或9：00 D．9：10或9：30
11．“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市书吧规定每次进入书吧阅读的费用为2元．现决定面向社会并提供优惠活动，活动方案如下：
方案一：办理会员卡(会员卡花费30元)，每次阅读的费用按六折优惠；
方案二：未办理会员卡，每次阅读的费用按九折优惠．
(1)分别写出这两种方案中阅读费用y与阅读次数x之间的函数关系式；
(2)这两种方案中阅读费用y与阅读次数x的关系图象如图7所示，请求出点A，B的坐标，并说明点B表示的实际意义；
(3)小东同学计划在暑假期间去书吧阅读80次，通过计算说明他选择哪种方案花费更少．
图7
12．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价低0.4万元，用16万元购买A型机器人模型和用20万元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元．
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共80台，购买B型机器人模型不少于A型机器人模型的2倍，且再次购买时A型机器人便宜0.2万元，B型机器人打七五折．学校如何购买才能使得总费用最少，最少费用是多少？
培优点3　一次函数的综合运用
13．已知一次函数y＝－x＋2与y＝mx＋n(m，n为常数，m≠0)的图象如图8所示，则关于x的不等式－x＋2＜mx＋n的解集是(　　)
图8
A.x＜－1 B．x＞－1 C．x＜0 D．x＞0
14．已知直线y＝－x＋5与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点M(1，－2)的正比例函数图象上有一个动点P，则AP的最小值为(　　)
A． B．2 C．3 D．4
15．如图9，在平面直角坐标系中，点A(6，0)，点B(0，2)，P是直线y＝－x－1上一点，∠ABP＝45°，求点P的坐标．
图9
16．如图10，直线l1：y＝－x＋3与x轴相交于点A，直线l2：y＝kx＋b经过点(3，－1)，与x轴交于点B(6，0)，与y轴交于点C，与直线l1相交于点D.
(1)求直线l2的函数解析式．
(2)P是直线l2上的一点，若△ABP的面积等于△ABD的面积的2倍，求点P的坐标．
(3)设点Q的坐标为(m，3)，是否存在m的值使得QA＋QB最小？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
图10
本章重难压轴题专练
17．项目式学习：饮水机中的数学建模
项目主题 探究高铁站饮水机接水策略中的数学问题
项目背景 生活中常见的饮水机接水问题蕴含物理热传递原理与数学建模思想．小明在接水时发现：温水与开水混合时，开水放出的热量等于温水吸收的热量(不计热损失)，可简化为数学关系：开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度．
项目素材 类型温水开水水流速度20 mL/s15 mL/s初始温度30 ℃100 ℃目标容量700 mL水杯最佳饮用温度36 ℃～40 ℃实物照片
物理原理 若混合后水温为t ℃，则有：V开水×(100－t)＝V温水×(t－30)，其中V开水，V温水分别为开水和温水的体积(单位：mL)．
问题解决
任务一 接水时间计算：小明先接温水20 s，再继续接开水直至水杯接满还需________s．
任务二 温度与接水时间的函数关系：设接温水时间为x s，接开水时间为y s，水杯总容量为700 mL，则y＝________．
任务三 优化接水策略：若想在最短时间内接满水且水温达到最佳饮用温度，应如何安排接温水和接开水的时间？
18.模型建立：(1)如图11①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E.求证：△BEC≌△CDA.
模型应用：(2)如图11②，已知直线y＝2x＋4与y轴交于点A，与x轴交于点B，在AB左侧过点B作线段BC，使BC＝AB，BC⊥AB，过点A，C作直线，求直线AC的函数解析式．
(3)如图11③，已知矩形ABCO，O为坐标原点，点B的坐标为(6，4)，点A在y轴上，点C在x轴上，P是线段BC上的一个动点，D是直线y＝2x－5在第一象限上的一点．若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
　①　　　　 　　 　②　 　 　　 　　　③
　图11
19.如图12，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点C在x轴上，顶点A在y轴上，点B的坐标为(－6，8)，点D在OA上，将矩形ABCO沿BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，直线BD与x轴交于点F.
(1)求线段BO的长．
(2)求直线BD的函数解析式．
(3)若P是平面内任意一点，M是直线BD上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N.在点M的运动过程中是否存在以点P，N，E，O为顶点的四边形是菱形，且该菱形的一边为OE？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
20.如图13①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C在直线AB上，且点C的坐标是(6，4)，过点C作CD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，CD＝AD.
(1)求直线AB的函数解析式；
(2)如图13②，线段AC上有一点P(不与点A，C重合)，设点P的横坐标是t，连接DP，△DCP的面积是S，求S关于t的函数解析式(不用写出t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，过点P作PF⊥DP，交线段EC于点F，连接AF，过点P作PN⊥y轴，交AF于点M，当MF＝MP＋PC时，射线OF交AB于点H，求点H的坐标．
①　　　　　　　　　　　　　②
图13
第二十三章　一次函数
1．C　2.D　3.C　
4．B　【提示】过平行四边形对角线的中点的直线将平行四边形分成面积相等的两部分．
5．25　6.1≤b≤6　7.　8.　9.24 051　10.D　11.解：（1）由题意，得方案一中阅读费用y1与阅读次数x之间的函数关系式为y1＝30＋0.6×2x＝1.2x＋30.
方案二中阅读费用y2与阅读次数x之间的函数关系式为y2＝0.9×2x＝1.8x.
（2）由（1）可知，当x＝0时，得y1＝30.
∴点A的坐标为（0，30）.
联立，得解得
∴点B的坐标为（50，90）.
点B表示的实际意义是当阅读次数是50时，两种方案的花费一样，均为90元．
（3）当x＝80时，y1＝1.2×80＋30＝126，y2＝1.8×80＝144.
∵126<144，∴小东同学选择方案一花费更少．
12．解：（1）设A型机器人模型的单价为a万元，则B型机器人模型的单价为（a＋0.4）万元．
根据题意，得＝.解得a＝1.6.
经检验，a＝1.6是所列分式方程的根．
1．6＋0.4＝2（万元）.
答：A型机器人模型的单价为1.6万元，B型机器人模型的单价为2万元．
（2）设购买A型机器人模型x台，则购买B型机器人模型（80－x）台．
根据题意，得解得0≤x≤26.
设总费用为W元，则W＝（1.6－0.2）x＋0.75×2（80－x）＝－0.1x＋120.
∵－0.1＜0，∴W随x的增大而减小．
又0≤x≤26，且x为整数，
∴当x＝26时，W值最小，W最小＝－0.1×26＋120＝117.4.
80－26＝54（台）.
答：购买A型机器人模型26台、B型机器人模型54台才能使得总费用最少，最少费用是117.4万元．
13．B　14.A　
答图1
15．解：如答图1，过点A作AC⊥AB交BP的延长线于点C，作CD⊥OA于点D.
∵A（6，0），B（0，2），
∴OA＝6，OB＝2.
∵∠BAC＝90°，∠ABP＝45°，
∴∠ACB＝45°，AB＝AC.
∵∠CDA＝90°，
∴∠DAC＋∠ACD＝90°.
又∠BAC＝∠BAO＋∠DAC＝90°，∴∠BAO＝∠ACD.
在△AOB和△CDA中，
∴△AOB≌△CDA（AAS）.
∴OB＝DA＝2，OA＝DC＝6.∴OD＝4.
∴点C的坐标为（4，－6）.
又B（0，2）, 易得直线BC的函数解析式为y＝－2x＋2.
联立，得解得
∴点P的坐标为（3，－4）.
16．解：（1）∵点（3，－1），B（6，0）在直线l2上，
∴解得
∴直线l2的函数解析式为y＝x－2.
（2）联立，得解得
∴点D的坐标为 .
在y＝－x＋3中，当y＝－x＋3＝0时，x＝3.
∴点A的坐标为（3，0）.
∵B（6，0），∴AB＝3.
∴S△ABD＝AB·|yD |＝×3×＝.
∴S△ABP＝2S△ABD＝，即 AB·|yP |＝.
∴|yP |＝.∴yP＝±.
在y＝x－2中，当y＝x－2＝ 时，x＝.
在y＝x－2中，当y＝x－2＝－ 时，x＝.
∴点P的坐标为或.
（3）存在．m的值为 时，QA＋QB的值最小．
17．解：任务一：20.
任务二：－x＋.
任务三：根据题意，得20x（t－30）＝（700－20x）（100－t）.解得t＝100－2x.
∵最佳饮用温度为36 ℃～40 ℃，
∴解得30≤x≤32.
设接满水杯总共用时W s，则W＝x＋y＝x－x＋＝－x＋.
∵－＜0，∴W随x的增大而减小．
又30≤x≤32，
∴当x＝32时，W值最小，此时y＝－×32＋＝4.
∴接温水32 s、开水4 s可在最短时间内接满水且水温达到最佳饮用温度．
18．（1）证明：由题意，得∠E＝∠D＝90°.∴∠CBE＋∠BCE＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＋∠ACD＝90°.∴∠EBC＝∠ACD.
在△BEC和△CDA中，
∴△BEC≌△CDA（AAS）.
（2）解：如答图2，过点C作CD⊥x轴于点D.对于y＝2x＋4，
令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y＝4.∴A（0，4），B（－2，0）.∴OA＝4，OB＝2.
同（1）可证得△CDB≌△BAO（AAS）.∴CD＝BO＝2，BD＝AO＝4.∴OD＝4＋2＝6.∴C（－6，2）.
设直线AC的函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
把A（0，4），C（－6，2）代入，得
解得∴直线AC的函数解析式为y＝x＋4.
答图2
　　　　
答图3
（3）解：点D的坐标为（3，1）或（5，5）或（7，9）.
【提示】∵点B的坐标为（6，4），∴AB＝6，BC＝4.
①如答图3，当∠ADP＝90°，点P与点B重合时，AD＝PD.
∴点D在AB的垂直平分线上，即点D的横坐标为3.
把x＝3代入y＝2x－5，得y＝2×3－5＝1.∴D（3，1）.
此时AP2＝62＝36，AD2＝32＋（4－1）2＝18，PD2＝（6－3）2＋（4－1）2＝18.
∴AD2＋PD2＝AP2.∴∠ADP＝90°（符合题意）．
∴点D的坐标为（3，1）.
②如答图4，当∠ADP＝90°，AD＝PD，点P不与点B重合时，过点D作EF⊥y轴于点E，交CB的延长线于点F，则EF⊥BC.
与（1）同理可证得△ADE≌△DPF（AAS）.
∴AE＝DF，DE＝PF.
设点D的坐标为（x，2x－5），则DE＝x，OE＝2x－5，DF＝AE＝6－x.
∵OA＋AE＝OE，∴4＋（6－x）＝2x－5.解得x＝5.
∴2x－5＝5.∴点D的坐标为（5，5）.
答图4
　　　　
答图5
③如答图5，当∠APD＝90°，AP＝PD时，过点P作EF⊥y轴于点E，过点D作DF⊥EP交EP的延长线于点F.
同理可证得△APE≌△PDF（AAS）.∴AE＝PF，DF＝PE.
设点D的坐标为（x，2x－5），
则EF＝x，DF＝PE＝6，AE＝PF＝x－6，
∵OE＝OA－AE＝|yD|－DF，∴4－（x－6）＝2x－5－6.
解得x＝7.∴2x－5＝9.∴点D的坐标为（7，9）.
综上所述，点D的坐标为（3，1）或（5，5）或（7，9）.
19．解：（1）∵四边形ABCO是矩形，∴∠BCO＝90°.
∵B（－6，8），∴OC＝6，BC＝8.
在Rt△BCO中，由勾股定理，得BO＝＝＝10.∴BO的长为10.
（2）设点D的坐标为（0，b），则DO＝b.
由折叠的性质，可得∠BED＝∠BAO＝90°，DE＝DA＝8－b，BE＝BA＝6.
∴∠DEO＝90°，EO＝BO－BE＝10－6＝4.
在Rt△DEO中，由勾股定理，得EO2＋DE2＝DO2，
即42＋（8－b）2＝b2.
解得b＝5.∴点D的坐标为（0，5）.
∴可设直线BD的函数解析式为y＝kx＋5（k≠0）.
将B（－6，8）代入，得－6k＋5＝8.解得k＝－.
∴直线BD的函数解析式为y＝－x＋5.
（3）存在．
①当ON与OE为邻边时，ON＝OE＝4，
∴点N的坐标为 （4，0）或 （－4，0）.
分别将x＝4和x＝－4代入y＝－x＋5，得y＝3或y＝7.∴点M的坐标为（4，3）或（－4，7）.
②当NE与OE为邻边时，
由（2），易得点E的坐标为.
由菱形的性质，可得xN＝2xE＝－.
∴点N的坐标为.
将x＝－ 代入y＝－x＋5，得y＝.
∴点M的坐标为.
综上所述，点M的坐标为（4，3）或（－4，7）或.
20．解：（1）∵C（6，4），∴CD＝6，OD＝CE＝4.
∵CD＝AD，∴AD＝6.∴OA＝OD＋AD＝10，即A（0，10）.
设直线AB的函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
将A（0，10），C（6，4）代入，得解得
∴直线AB的函数解析式为y＝－x＋10.
（2）∵点P的横坐标为t，∴点P的坐标为（t，－t＋10）.
由题意可知S△DCP＝CD·（yp－yc）.
∴S＝×6（－t＋10－4）＝3（－t＋6）＝－3t＋18.
∴S关于t的函数解析式为S＝－3t＋18.
（3）如答图6，延长EC，NP交于点W.
由题意，易得四边形DCWN为矩形，△PCW，△APN均为等腰直角三角形．
答图6
∴PW＝WC＝DN，NW＝DC＝6，AN＝
NP，∠DNM＝∠W＝90°.
∵PD⊥PF，∴∠DPN＋∠FPW＝90°.
∵∠FPW＋∠PFW＝90°，
∴∠DPN＝∠PFW.
∴△PDN≌△FPW（AAS）.∴NP＝WF.
∵AN＝NP，∴AN＝WF.
又∠AMN＝∠FMW，∴△ANM≌△FWM（AAS）.
∴NM＝WM＝NW＝3.
设PW＝WC＝DN＝a，则MP＝MW－PW＝3－a.
∵PC＝PW，∴PC＝2a，WF＝AN＝NP＝6－a.
∵MF＝MP＋PC，∴MF＝3－a＋2a＝3＋a.
在Rt△MWF中，由勾股定理，得MF2＝MW2＋WF2，
即（3＋a）2＝32＋（6－a）2.解得a＝2.
∴WF＝4，FE＝2.∴F（6，2）.
∴直线OF的函数解析式为y＝x.
当 x＝－x＋10时，解得x＝.
∴y＝×＝.∴点H的坐标为.

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